Nghiên cứu phương pháp phân rã và xây dựng phần mềm giải bài toán ô nhiễm khí quyển (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM THANH NGHỊ

NGHIÊN CỨU PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ VÀ XÂY DỰNG
PHẦN MỀM GIẢI BÀI TỐN Ơ NHIỄM KHÍ QUYỂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM THANH NGHỊ

NGHIÊN CỨU PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ VÀ XÂY DỰNG
PHẦN MỀM GIẢI BÀI TỐN Ơ NHIỄM KHÍ QUYỂN
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 8 48 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Giáo viên hƣớng dẫn: TS. Nguyễn Đình Dũng

THÁI NGUYÊN - 2020


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này do chính tơi thực hiện, dưới sự hướng dẫn
khoa học của TS. Nguyễn Đình Dũng, các kết quả lý thuyết được trình bày trong
luận văn là sự tổng hợp từ các kết quả đã được cơng bố và có trích dẫn đầy đủ, kết
quả của chương trình thực nghiệm trong luận văn này được tơi thực hiện là hồn
tồn trung thực, nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm.
Thái Ngun, tháng năm 2020
Học viên cao học

Phạm Thanh Nghị
Xác nhận của khoa chuyên môn

Xác nhận của giáo viên
hƣớng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Đình Dũng


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin và
Truyền thông dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Đình Dũng. Tác giả xin bày tỏ
lịng biết ơn tới các thầy cơ giáo Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền
thông, Đại học Thái nguyên, các thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin –
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả
trong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn tới TS. Nguyễn Đình Dũng đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nhiều tài liệu
cần thiết để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn.

Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học và bạn bè đồng nghiệp
đã trao đổi, khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường Đại
học Công nghệ Thông tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người đã ln bên
cạnh, động viên và khuyến khích tác giả trong q trình thực hiện đề tài.
Thái Nguyên, ngày

tháng

Học viên cao học

Phạm Thanh Nghị

năm 2020


iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
CHƢƠNG 1. CÁC MƠ HÌNH TỐN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MƠI TRƯỜNG5
1.1. Phương trình truyền tải vật chất trong khí quyển, tính duy nhất nghiệm ........5
1.2. Phương trình truyền tải dừng .........................................................................10
1.3. Bài toán truyền tải và khuếch tán vật chất, tính duy nhất nghiệm.................15
1.4. Bài tốn liên hợp cho miền ba chiều..............................................................21
1.5. Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp .................................................26
1.6. Kết luận chương 1 ..........................................................................................29
CHƢƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI TỐN KHƠNG DỪNG31

2.1. Các lược đồ sai phân xấp xỉ cấp hai cho bài tốn khơng dừng với tốn tử
phụ thuộc thời gian [4] ...................................................................................31
2.1.1. Bài toán thuần nhất ..............................................................................31
2.1.2. Xét bài toán thuần nhất ........................................................................37
2.2. Phương pháp phân rã .....................................................................................39
2.2.1 Bài toán thuần nhất ...............................................................................39
2.2.2. Bài tốn khơng thuần nhất ...................................................................40
2.3. Phương pháp phân rã nhiều thành phần.........................................................44
2.3.1. Bài toán thuần nhất ..............................................................................45
2.3.2. Bài tốn khơng thuần nhất ...................................................................46
2.4. Kết luận chương 2 ..........................................................................................49
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ TRONG BÀI TỐN
Ơ NHIỄM KHÍ QUYỂN ............................................................................50
3.1. Bài tốn ơ nhiễm khí quyển ...........................................................................50
3.2. Sai phân biến không gian ...............................................................................51
3.2.1. Cấp xấp xỉ của tốn tử sai phân ...........................................................53
3.2.2. Tính khơng âm của toán tử sai phân ....................................................54


iv

3.3. Lược đồ phân rã giải bài tốn ơ nhiễm khí quyển .........................................55
3.4. Một số kết quả thực nghiệm ..........................................................................58
3.5. Kết luận chương 3 ..........................................................................................60
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN .............................................................61
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................63


1

MỞ ĐẦU
1. Tính khoa học và cấp thiết của đề tài
Thực tế cho thấy, một số lượng khá lớn những bài tốn thực tiễn phức tạp có
thể được giải quyết nhờ cơng cụ của phương trình liên hợp. Chẳng hạn, đó là những
bài tốn về cơ chế lượng tử, năng lượng hạt nhân, những quá trình động lực học phi
tuyến trong vật lý, hoá học và nhiều vấn đề khác.
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi đề cập tới những vấn đề về mơi
trường và khí hậu. Sự tác động qua lại của chúng chính là những vấn đề trọng tâm
của khoa học, vì nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự sống trên trái đất.
Mơi trường quanh ta, đó là môi trường nước (nước mặt: sông hồ, biển, đại
dương; nước ngầm: các dịng chảy trong lịng đất), mơi trường khơng khí, mơi
trường đất và mơi trường sinh thái. Các thành phần của môi trường luôn luôn biến
đổi, chúng tác động qua lại với nhau và chuyển hoá từ trạng thái này sang trạng
thái khác.
Trong mơi trường khơng khí, khí quyển, các thành phần của chúng pha trộn
lẫn với nhau(theo một tỷ lệ nào đó), dịch chuyển nhờ gió và khuếch tán.
Khí thải cơng nghiệp là tác nhân lớn nhất làm ơ nhiễm khơng khí. Để bảo vệ
được mơi trường sống chúng ta phải hiểu được qui luật khách quan và từ đó có các
biện pháp tích cực và hữu hiệu để bảo vệ môi trường.
Các thực thể vật chất bị nhiễm bẩn ở dạng khí (khói nhà máy, lị hạt nhân, núi
lửa v.v...) lan truyền và khuếch tán trong khí quyển, tác động với nhau (dưới ảnh
hưởng của nhiệt độ, độ ẩm) trở thành một hợp chất phức tạp, ta gọi chung là hợp chất
khí. Trong q trình chuyển động các thành phần của hợp chất khí tác động với nhau,
một số thành phần đang từ không độc hại trở thành độc hại đối với cuộc sống của
sinh vật. Q trình này dẫn đến tình trạng ơ nhiễm các lục địa và đại dương.
Để giải quyết được điều đó ta cần phải biết được những quá trình lan truyền
và khuếch tán các thực thể nhiễm bẩn trong môi trường, mà khi di chuyển liên tục
trong khí quyển chúng có thể được biến đổi từ những thành phần khơng có hại

2

thành những thành phần có hại và ngược lại, thường làm ơ nhiễm đại dương và các
lục địa. Đó là những vấn đề rất đáng quan tâm. Vì thế giới sẽ khơng ngừng hồn
thiện, nền văn minh nhân loại sẽ ngày một phát triển, điều rất cần thiết là phải dự
đốn được xu hướng phát triển của các ngành cơng nghiệp, để kết hợp với những
vấn đề về gìn giữ thiên nhiên, môi trường. Hơn bao giờ hết, chúng ta cần phải tiến
hành đầu tư vốn cần thiết để không chỉ điều chỉnh những tiềm năng sẵn có trong
thiên nhiên đã bị mất đi, mà cịn nâng cao nó, cải thiện mơi trường. Tuy nhiên điều
đó địi hỏi một lượng kinh phí rất lớn. Song vấn đề ấy là rất quan trọng và cần được
chứng minh bằng sức mạnh toàn cầu. Vấn đề là ở chỗ có thể thoả thuận được việc
cấm vũ khí hạt nhân cũng như có thể thoả thuận về việc giữ gìn hệ thống sinh thái
đảm bảo sự sống trên trái đất. Vì vậy đây là vấn đề mang tính tồn cầu. Tổ chức các
quốc gia thống nhất kêu gọi lập ra thoả hiệp về việc sử dụng thiên nhiên ở mọi quốc
gia, trong sự quan tâm của toàn nhân loại. Thiên nhiên là nguồn của cải chính của
con người và khi điều đó được tất cả mọi người cơng nhận, họ có thể sẽ có những
phương pháp hành động để giải quyết được những vấn đề đã nêu trên, tạo điều kiện
phát triển nền văn minh, gìn giữ và làm tăng thêm sự phong phú của thiên nhiên.
Ở phương diện toán học, nhiệm vụ chủ yếu để giải quyết những vấn đề này là
xây dựng được những mơ hình tốn học phản ánh đúng đắn bản chất tự nhiên khách
quan của hiện tượng, tìm ra các mối quan hệ biện chứng về định tính, định lượng và
phương pháp hữu hiệu nhằm giải quyết bài toán đặt ra để từ đó định ra chiến lược bảo
vệ chất lượng môi trường sống (xem [1]- [3], [6]-[9], [11, 12]). Nội dung đề tài này,
học viên trình bày những phương trình liên hợp được phân tích dựa trên các phương
trình cơ bản đã được thừa nhận, các điều kiện biên, điều kiện ban đầu, và phương pháp
giải các bài toán để thu được kết quả cuối cùng mà nhờ chúng có thể đánh giá được
mức độ tác động của thực trạng ô nhiễm trong môi trường của một vùng lãnh thổ (xem
[5, 10]).
Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn tôi đã chọn đề tài: “Nghiên cứu phương
pháp phân rã và xây dựng phần mềm giải bài toán ơ nhiễm khí quyển” làm luận văn tốt

nghiệp của mình. Mục tiêu chính của luận văn là tìm hiểu về phương pháp phân rã giải
bài tốn khơng dừng và xây dựng ứng dụng bài tồn ơ nghiễm khí quyển.


3

2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Nội dung chính của luận văn đặt vấn đề nghiên cứu 3 vấn đề cơ bản:
- Các mơ hình tốn học trong vấn đề môi trường;
- Phương pháp phân rã giải bài tốn khơng dừng;
- Xây dựng ứng dụng phương pháp phân rã trong bài tốn ơ nhiễm khí quyển.
3. Phƣơng pháp luận nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Tổng hợp, nghiên cứu các tài liệu về
các mô hình tốn học trong vấn đề mơi trường
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Sau khi nghiên cứu lý thuyết,
luận văn sẽ tập trung vào xây dựng chương trình giải bài tốn ơ nhiễm khí trên mơi
trường Matlab; Đánh giá kết quả sau khi thử nghiệm
- Phương pháp trao đổi khoa học: Thảo luận, xemina, lấy ý kiến chuyên gia.
4. Nội dung và bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và hướng phát triển, luận văn được bố cục
thành ba chương chính như sau:
Chương 1 phân tích các mơ hình tốn học khác nhau của vấn đề ô nhiễm môi
trường. Các phương trình cơ bản được rút ra từ những quy luật bảo toàn (bảo toàn
khối lượng và động lượng). Mỗi bài toán cơ bản đều xây dựng được một bài toán
liên hợp tương ứng nhờ đẳng thức tích phân Lagrange. Tính duy nhất nghiệm của
các bài toán cơ bản và bài toán liên hợp đối với những mơ hình chính được chứng
minh một cách chặt chẽ nhờ đẳng thức đối ngẫu.
Chương 2 xây dựng phương pháp giải các bài toán đặt ra ở chương 1. Do độ
phức tạp của phương trình, với những giả thiết về điều kiện biên, giá trị ban đầu
chặt chẽ người ta mới nhận được nghiệm chính xác của bài tốn. Thực tế cho thấy

các bài toán đặt ra thường rộng hơn, phức tạp hơn. Do đó, việc tìm các phương pháp
giải số cho lớp các bài toán trên là một trong những phương pháp hữu hiệu được sử
dụng. Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp số cũng gặp nhiều khó khăn như số
chiều lớn, miền phức tạp v.v... Rất nhiều nhà cơ học, kỹ sư đã đã đưa ra nhiều
phương pháp sai phân cho những bài tốn ơ nhiễm mơi trường. Tuy nhiên do thiếu


4

những nền tảng toán học, một số phương pháp sai phân này cho lời giải không phù
hợp với thực tiễn. Để khắc phục hạn chế này ta phân rã phương trình khuyếch tán
truyền tải bằng quá trình vật lý: Tại mỗi bước thời gian giải phương trình truyền tải
bởi phương pháp đặc trưng, và tiếp theo giải bài toán khuyếch tán bởi phương pháp
phân rã. Nội dung chương này trình bày khá chi tiết về sự ổn định, cấp chính xác
của phương pháp phân rã trong bài toán tiến hoá thuần nhất và bài tốn khơng thuần
nhất, phân tích nhược điểm của phương pháp khi toán tử của bài toán là tổng của
hai tốn tử khơng giao hốn. Để khắc phục nhược điểm này chúng tôi đưa ra
phương pháp phân rã cho bài toán và chứng minh khá chi tiết tính ổn định vơ điều
kiện và cấp chính xác 2 theo thời gian. Tiếp theo sẽ trình bày cho trường hợp tổng
quát khi toán tử của bài toán là tổng của nhiều toán tử nửa xác định dương.
Chương 3 xấp xỉ toán tử vi phân của bài toán khuyếch tán đặt ra ở Chương 1
bằng toán tử sai phân với cấp chính xác hai theo các biến khơng gian và thoả mãn
tính khơng âm. Cuối cùng đưa ra lược đồ phân rã theo thời gian và cài đặt thuật toán
để cho kết quả số của bài toán sai phân xấp xỉ nghiệm của bài toán vi phân đã xây
dựng ở Chương 1.


5

CHƢƠNG 1

CÁC MƠ HÌNH TỐN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MƠI TRƢỜNG
1.1. Phƣơng trình truyền tải vật chất trong khí quyển, tính duy nhất nghiệm
Giả sử  ( x, y, z, t ) là cường độ của chất thải nào đó, di chuyển cùng với
dịng khơng khí trong khí quyển. Ta sẽ xác định nghiệm của bài toán trong một
miền trụ G , với bề mặt S .
S    0   H

trong đó,  là mặt bên (hay mặt xung quanh) của hình trụ G ,
 0 là mặt đáy dưới (khi z  0 )

 H là mặt đáy trên (khi






zH)

  



Gọi V  ui  vj  wk (trong đó i , j , k là các vec tơ đơn vị chỉ phương của các
trục x, y, z tương ứng) – là vec tơ vận tốc của các phần tử khơng khí, được coi như là
hàm của x, y, z, t . Sự dịch chuyển của các thực thể vật chất dọc theo quỹ đạo của các
hạt khơng khí, với sự bảo tồn cường độ của nó được mơ tả bởi phương trình:
d
0
dt

hay





u
v
w
0
t
x
y
z

(1.1.1)

(1.1.2)

Do ở lớp dưới của khí quyển (lớp tiếp giáp với mặt đất), với độ chính xác
khá cao, có thể xem khơng khí là chất khơng nén được, thể hiện bằng phương trình
liên tục
u v w
 
0
x y z

(1.1.3)

Từ (1.1.2) ta đi đến phương trình


 divV  0
t

(1.1.4)


Về sau, nếu khơng nói gì thêm, thì ta ln xem divV  0 . Ta giả thiết:
w  0 khi z  0 hoặc z  H

(1.1.5)


6

Để có được (1.1.4) ta đã sử dụng đẳng thức (1.1.3) với điều kiện khả vi của

 và V :
u






v
w
 divV  divV

x
y
z

(1.1.6)

Với giả thiết (1.1.3) số hạng cuối cùng trong đẳng thức (1.1.6) bị triệt tiêu
và có dạng:
u





v
w
 divV
x
y
z

(1.1.7)

Đối với phương trình (1.1.4) ta đưa vào điều kiện ban đầu:

   0 khi t  0

(1.1.8)

và điều kiện biên trên S của miền trụ G

   S trên S khi u n  0

(1.1.9)


trong đó  0 và  S là các hàm cho trước và u n là hình chiếu của vec tơ V lên pháp
tuyến ngoài đối với mặt S . Đẳng thức (1.1.9) là giá trị của nghiệm trên phần biên
của S , tại đó khối lượng khơng khí cùng với các chất đang nghiên cứu đi vào miền
G . Để tìm nghiệm  ( x, y, z, t ) của bài toán (1.1.4) thoả mãn các điều kiện (1.1.8) ,
(1.1.9) ta giả thiết rằng u, v, w là những hàm đã biết. Nếu như các thông tin về các

thành phần véc tơ vận tốc chưa đầy đủ thì cần phải sử dụng một cách tỉ mỉ các xấp
xỉ khác nhau mà ta sẽ trình bày sau đây.
Phương trình (1.1.4) có thể được khái qt hố. Nếu trong q trình dịch
chuyển, thành phần vật chất đang xét có tham gia phản ứng với mơi trường hay là bị
phân giải, thì q trình này có thể được xem như sự hấp thụ vật chất tỷ lệ với đại
lượng  . Khi đó trong phương trình (1.1.4) xuất hiện thêm số hạng mới  , biểu
thị sự gia tăng thành phần  trong khơng khí:


 divV    0
t

(1.1.10)

Đại lượng   0 , tỷ lệ nghịch với khoảng thời gian xem xét. ý nghĩa của đại
lượng này sẽ được hiểu một cách cụ thể; nếu trong (1.1.10) ta đặt u  v  w  0 . Khi
đó (1.1.10) có dạng.

7


   0
t

(1.1.11)

Nghiệm của (1.1.11) :
   0 e  t

(1.1.12)

Lấy logarit cả hai vế của (1.1.12) ta được:
ln   ln  0  t ln e
 t  ln  0  ln 

t  ln

0


Gỉa sử t  T là khoảng thời gian làm biến đổi thành phần đang xét từ  0 đến
 thì khi đó
 

1 0
ln
T



Hiển nhiên,  có giá trị tỷ lệ nghịch với khoảng thời gian để cường độ của
vật chất tại thời điểm cuối so với cường độ ban đầu bị giảm xuống e lần.
Nếu trong miền xác định nghiệm G có các nguồn vật chất làm thay đổi
cường độ  của thành phần khơng khí đang xét và được mô tả bằng hàm f ( x, y, z, t )
, thì phương trình (1.1.10) có dạng:


 divV    f
t

(1.1.13)

Ta xét bài toán (1.1.13) cùng với các điều kiện:

   0 khi t  0

   S trên S khi un  0
w0

khi z  0 hoặc z  H

Nhân cả hai vế của (1.1.13) với  ta được:




 divV   2  f
t

(1.1.14)

Lấy tích phân hai vế (1.1.14) theo cả khơng gian và thời gian, tức là trên
miền G[0,T ] ta được:


8





G[ 0,T ]



dtdG    divVdtdG    2 dt dG   f dt dG
t
G[ 0,T ]
G[ 0,T ]
G[ 0,T ]

hay:
T

 dG  
G

0

T
T
T


dt   dt   divVdG    dt   2 dG   dt  f dG
t
0
G
0
G
0
G

(1.1.15)

Ta có nhận xét:
(i ) 

 1  2
. Như vậy:

t
2 t 2
t T


1  2
2

2
dG

dt

dG
dt

dG

 0 t G 2 0 t 2 G 2
2
G
G
t 0

V 2
  u 2    v 2    w 2 
 
 

(ii ) div
 
2
x  2  y  2  z  2 
T

T



t T

2
2
G

dG  

dG
t 0





(u )   (v )   ( w )   divV
x
z
z

Như vậy:

T

V 2
0 dt G  divVdG  0 dt G div 2 dG

T

Với nhận xét này thì phương trình (1.1.15) sẽ trở thành


G

2
2

t T

dG  
G


T
T
V 2
2
dG   dt  div
dG    dt   dG   dt  fdG
2 t 0
2
0
G
0
G
0
G

2

T

(1.1.16)

Theo công thức Ostrogradski-Gauss ta có

u n 2
V 2
div
dG

G
S 2 dS
2

(1.1.17)

Ta nhận thấy rằng, do điều kiện (1.1.15) un  0 khi z  0 hoặc z  H , nên
việc lấy tích phân theo S ở vế phải của (1.1.17) thực chất chỉ còn là lấy tích phân theo
mặt bên  của hình trụ G . Tuy nhiên, để khơng làm mất tính tổng qt, ta vẫn ký hiệu
tích phân đó được lấy trên S , cho dù có xuất hiện điều kiện (1.1.15) . Với giả thiết:
   0 khi t  0

   S trên S khi un  0

(1.1.18)


9

trong đó  0 , S là những hàm cho trước, ta đưa những hàm này vào (1.1.16) thì
đẳng thức sẽ như sau:
T
T
T
T
u n 2
 T2
02
un S2
2
 2 dG  0 dt S 2 dS   0 dt G  dG  G 2 dG  0 dt S 2 dS  0 dt G fdG (1.1.19)
G

trong đó,

u n
u n  
0

un  0
un  0

un  un  un

(trong (1.1.19) , để cho gọn ta đã ký hiệu    T khi t  T ).
Đẳng thức (1.1.19) chính là đẳng thức tích phân cơ bản để chứng minh tính
duy nhất nghiệm của bài tốn (1.1.13), (1.1.18) .
Thật vậy, giả sử bài tốn (1.1.13), (1.1.18) có hai nghiệm phân biệt 1 ,  2 . Khi

đó, vì 1 và  2 là các nghiệm của bài toán nên ta có:

  1
 t  divV 1   1  f

t0
 1   0
  
( x, y , z )  S , u n  0
S
 1


(I )

và

  2

div
V
 2   2  f
 t

t0
 2   0
  
( x, y , z )  S , u n  0
S
 2



(II )

Lấy (I ) trừ (II ) và đặt   1   2 , ta có:


 divV    0
t

(1.1.20)

  0 khi t  0

 0

( x, y, z)  S , un  0

Đối với hàm  thì đẳng thức (1.1.19) có dạng:

(1.1.21)


10

T
T
T2
un 2
2

dG

dt
dS


G 2
0 S 2
0 dt G  dG  0

(1.1.22)

Tất cả các số hạng trong (1.1.22) là dương. Vậy đẳng thức này xảy ra khi và
chỉ khi   0 , tức là 1   2 . Như vậy, tính duy nhất nghiệm của bài tốn hồn tồn
được chứng minh.
Bài toán:


 divV    f
t

(1.1.23)

   0 khi t  0

   S trên S khi un  0

(1.1.24)

Có nghiệm duy nhất trong lớp hàm  ( x, y, z, t ) liên tục, khả vi theo tất cả các biến

với điều kiện đầu  0 ( x, y, z ) và điều kiện biên  S ( x, y, z, t ) là các hàm liên tục với


các hệ số u( x, y, z, t ) liên tục và khả vi, thoả mãn điều kiện divV  0 và hàm  là
hàm liên tục từng khúc. Từ nay về sau, ta giả thiết rằng tất cả các điều kiện này
được thoả mãn.
Phương trình (1.1.23) có thể được viết dưới dạng:

 A  f
t

(1.1.25)

trong đó:

A  divV  

Có thể giả thiết rằng tốn tử A tác động trong không gian Hilbert thực L2 (G)
với miền xác định D( A) , là tập hợp của các hàm khả vi liên tục theo các biến x, y, z
1.2. Phƣơng trình truyền tải dừng
Trong phần này ta tiến hành mơ tả q trình dừng của bài tốn truyền tải vật
chất (1.1.23), (1.1.24) . Nếu như các hệ số u, v, w cùng với những yếu tố cho trước
khác của bài tốn như f và  , khơng phụ thuộc vào thời gian, thì ta có bài tốn
dừng tương ứng với bài toán (1.1.23), (1.1.24) được phát biểu rất đơn giản như sau:

divV    f

(1.2.1)

11

   S trên S khi un  0

(1.2.2)

Dễ dàng thấy rằng đẳng thức tương ứng với (1.1.19) có dạng:
u n 2
u n S2
2
S 2 dS   G  dG  S 2 dS  G fdG

(1.2.3)

Bằng phương pháp mà ta đã trình bày trong mục (1.1) , có thể thấy rằng bài
tốn (1.2.1), (1.2.2) có nghiệm duy nhất.
Như vậy, bài tốn (1.2.1), (1.2.2) mơ tả một q trình truyền tải vật chất riêng,
với những dữ kiện cho trước không thay đổi theo thời gian. Tuy vậy, bộ nghiệm

tương ứng với những V , f ,  S khác nhau của các bài tốn dừng riêng biệt, có thể
được sử dụng cả trong việc mơ tả những tình huống vật lý phức tạp hơn trong ứng
dụng thực tế. Để chứng minh được điều này ta giả sử rằng trong từng giai đoạn khác
nhau của thời gian, sự chuyển động của khối lượng khơng khí cho trước dù ở trạng
thái này hay trạng thái khác, trong vùng đang xét, có thể được cho là dừng. Sau mỗi
khoảng thời gian như vậy, sự chuyển động của khối lượng vật chất lại có thay đổi và
bắt đầu sang một trạng thái dừng mới. Sự thay đổi này diễn ra trong thời gian ngắn
hơn khoảng thời gian tồn tại của dạng chuyển động trong bài tốn dừng, có thể xem
như sự thay đổi của chuyển động đó diễn ra rất nhanh. Giả sử có n khoảng thời gian
làm xuất hiện bài tốn dừng. Bằng cách này ta đi đến một hệ phương trình độc lập:


divVi i   i  f
(1.2.4)

 i   iS trên S khi uin  0, i  1,2,..., n

(1.2.5)

Bài tốn (1.2.4) , (1.2.5) , trong đó  iS là giá trị của hàm  i trên biên S , uin là
hình chiếu của véc tơ vận tốc gió loại i trên pháp tuyến ngồi đối với biên, tương
ứng với mỗi khoảng thời gian ti  t  ti1 có độ dài là ti .
Giả sử, tất cả các bài toán (1.2.4) , (1.2.5) giải được. Khi đó nghiệm của bài
n

tốn trung bình trong thời gian T   t i của sự phân bố các chất pha trộn được
i 1

biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính như sau:


12

~ 

1 n
 i ti
T i 1

(1.2.6)

Có thể gọi bài tốn (1.2.4) - (1.2.6) là mơ hình thống kê.

Nghiệm của các bài toán dừng dạng (1.2.1), (1.2.2) và (1.2.4) , (1.2.5) có nhiều
điểm chung với nghiệm của bài tốn trung bình trong khoảng thời gian T nào đó
của sự phân bố các chất của bài tốn khơng dừng.
Thật vậy, xét bài tốn khơng dừng:


 divV    f
t

(1.2.7)

   S trên S khi un  0
 (r, T )   (r,0), r  ( x, y, z)  G

(1.2.8)


Cũng như trong (1.2.1), (1.2.2) , ta giả sử là các hàm V và  không phụ thuộc
vào t .
Tính duy nhất nghiệm của bài tốn (1.2.7) , (1.2.8) với các giả thiết tương
ứng về độ trơn của các hàm được thiết lập như trong mục 1.1.
Lấy tích phân hai vế phương trình (1.2.7) trong đoạn [0,T ] , ta nhận được
phương trình:
T
T
T


0 t dt  0 divVdt  0  dt  0 fdt

T

(1.2.8' )

Chia cả hai vế của (1.2.8' ) cho T rồi biến đổi ta được:
T

1
divu    f ,    dt
T 0

(1.2.9)

Từ phương trình này, với tính duy nhất nghiệm của bài toán (1.2.1), (1.2.2) , ta
đi đến kết luận: Nghiệm trung bình trong chu kỳ T của bài tốn (1.2.7) , (1.2.8)
trùng với nghiệm của bài toán (1.2.1), (1.2.2) .


Ta xét một trường hợp phức tạp hơn. giả sử hàm V đủ trơn trên đoạn [0,T ]
và trong khoảng ti    t  ti1 , (i  1,2,..., n  1) không phụ thuộc vào thời gian và

trùng với Vi từ (1.2.4) . Khoảng thời gian làm thay đổi lưu số  được xem là rất nhỏ
so với ti :


13

 << ti

(1.2.10)

Ta tiến hành giải bài tốn khơng dừng (1.2.7) , (1.2.8) , tương ứng với véc tơ

V

đã được xác định trên:



 divV    f , divV  0
t

(1.2.11)

   S trên S khi un  0

(1.2.12)



trong đó  S liên quan với  iS từ (1.2.5) cũng như là V với Vi từ (1.2.4) . Tiếp theo,


ta giả sử V và  S là các hàm tuần hồn với chu kỳ T , ví dụ bằng một năm. Ta xét
bài toán (1.2.11) , (1.2.12) với điều kiện:
 (r, T )   (r,0), r  ( x, y, z)

(1.2.13)

Khi đó giải bài tốn (1.2.11) - (1.2.13) , ta xác định được sự phân bố vật chất

trung bình hàng năm dưới dạng:



T

1
dt
T 0

(1.2.14)

Dễ dàng nhận thấy rằng có mối liên hệ chặt chẽ giữa cách đặt bài tốn khơng
dừng (1.2.11) - (1.2.13) với bài tốn (1.2.4) , (1.2.5) đã được xét ở trên.
Xét trong khoảng ti   , ti1  phương trình (1.2.11) :


 divVi    f
t

(1.2.15)

với điều kiện (1.2.12) :

   S trên S khi uin  0

(1.2.16)

Giả sử vào thời điểm t  ti   hàm A2  0 nhận giá trị:
 (ti   )   0

(1.2.17)

Ta ký hiệu hàm  i ở dạng:

i     i

(1.2.18)

trong đó  i là nghiệm của bài tốn (1.2.4) , (1.2.5) . Hàm  i này là nghiệm của bài
toán sau đối với t  ti   , ti1  :


14


 i
 divVi i   i  0
t

i  0

( x, y, z)  S , uin  0

(1.2.19)

i (ti   )   0   i

Nhân phương trình đầu ở (1.1.19) với  i rồi lấy tích phân kết quả đó theo
miền G . Ta nhận được:

 2u 
d

 i    i    i in dS  0
 dt
 S 2

i 

(1.2.20)

trong đó:
1


2
     2 dG 
G


Từ (1.2.20) dẫn đến bất đẳng thức:
i  exp   (t  ti     0   i

(1.2.21)

Bằng cách xây dựng này, nghiệm của bài toán (1.2.11) - (1.2.13) trên mỗi
khoảng ti  t  ti1 , bắt đầu từ một thời điểm nào đó, sẽ là nghiệm đủ nhỏ phân biệt
với nghiệm tương ứng của bài toán (1.2.4) , (1.2.5) . Nói chung mức độ khác nhau
của các hàm này phụ thuộc chủ yếu vào giá trị ti . Khoảng thời gian xét lớp các bài
toán với giá trị ti (i  1,2,..., n) là khoảng mà trên đó hàm  và  i có sự khác biệt

khơng đáng kể, thực sự lớn hơn hẳn sự bổ xung của nó đến ti . Khi tính đến điều
kiện này, ta đưa vào khảo sát đại lượng  và sẽ cho rằng sự phân bố mật độ  1 và

 2 của các chất nhiễm bẩn là trùng nhau, nếu:
1  2  

(1.2.22)

Ta ký hiệu  i là thời gian cần thiết để thiết lập được, theo nghĩa xác định
(1.2.22) , quá trình phân bố các chất  trong khoảng ti   , ti 1  . Khi đó:

i 

1



ln

 0  i


 ti

(1.2.23)


15

Thực hiện động một cách tương tự như đã trình bày ở trên, với việc tính đến

bất đẳng thức (1.2.21) , ta nhận được sự đánh giá đối với hàm  trong khoảng

ti , ti   :
  e  t t    i 1    
i

f



1  e

 t ti 



(1.2.24)

Xét giá trị trung bình năm của chất  :
t  

t

1
1 n
1 n1 i 1
1 n
1 n1 i i
   dt   i ti     i dt   i    i     dt
T0

T i 1
T i 1 ti   i
T i 1
T i  0 ti
T

(1.2.25)

Từ đây, do hệ thức (1.2.21) - (1.2.24) dẫn đến, hiệu giữa nghiệm của bài toán
(1.2.4) , (1.2.5) và bài toán (1.2.11) - (1.2.13) được lấy trung bình theo khoảng [0, T ]

thoả mãn bất đẳng thức:
 3 f
  ~  1 




   2



(1.2.26)

Bằng phương pháp này, nghiệm của bài tốn trung bình với chu kỳ T , về sự
phân bố vật chất theo mơ hình thống kê và bài tốn khơng dừng (1.2.11) - (1.2.13)
với các giả thiết đã nêu đủ gần với nhau.
Như vậy, ta thấy rằng khi giải bài toán (1.2.4) , (1.2.5) hay (1.2.11) - (1.2.13)
và lấy trung bình các kết quả theo (1.2.6) hay (1.2.14) một cách tương ứng, có tính
đến q trình khuếch tán của vật chất mà ta còn gọi là các nhiễu nhỏ của đầu vào.

1.3. Bài toán truyền tải và khuếch tán vật chất, tính duy nhất nghiệm
Ta bắt đầu phân tích từ bài toán truyền tải vật chất đã biết trong 1.1:


 divV    f
t

(1.3.1)

   0 khi t  0

(1.3.2)

Vì trong thực tế, cùng với quá trình truyền tải, các thành phần vật chất còn
chịu ảnh hưởng của sự khuếch tán, nên ta có thể xem hàm  như là:
   

(1.3.3)


16

trong đó  là giá trị trung bình xấp xỉ bằng  , nghĩa là:



t T

1
dt

T t
t T

1
và   là thành phần bổ xung, có giá trị rất nhỏ và có thể coi    dt
T t
Cũng lý do đó ta xem:
  
V  V V 


(1.3.4)




trong đó, V là giá trị trung bình xấp xỉ V ; V  là thành phần nhiễu.
Lấy tích phân (1.3.1) từ t đến t  T rồi chia kết quả đó cho T , ta được:
t T
t T
 (t  T )   (t ) 1 t T 
1
 div  Vdt    dt   fdt
T
T
T t
t
t

(1.3.5)

Nếu bài tốn (1.3.1) , (1.3.2) khơng có nguồn ( f  0 ) thì tương ứng với
(1.3.5) sẽ là:
t T
 (t  T )   (t ) 1 t T 
1
 div  Vdt    dt  0
T
T
T t
t

(1.3.6)

Thay (1.3.3) , (1.3.4) vào (1.3.6) ta được:
 (t  T )   (t )  (t  T )   (t )


T


T

T

1
 div
T

t T



 
(V  V )(   )dt 

t

t T

(1.3.7)

 (   )dt  0
t



 (t  T )   (t )
T
t T

t T 
 t T 

1
 div   V  dt   V  dt  
T
t
t


t T



 (t  T )   (t )
   dt    dt  
T t
T t
T


 (t  T )   (t )
T



 (t  T )   (t )
 divV   divV      
T

(1.3.8)

(1.3.9)

Ta giả sử:

  A,    a

(1.3.10)

17

Trong đó  và  là những đại lượng cùng cấp. Theo giả thiết    
nên ký hiệu

a
  . Khi đó thay (1.3.10) vào (1.3.9) ta đi đến phương trình tương
A

đương sau:


 (t  T )   (t )

 divV   divV     O(1)
T
T

(1.3.11)

trong đó O(1) là đại lượng cấp  . Vế phải của phương trình (1.3.11) là đại lượng
bậc


T

đủ nhỏ, nên có thể bỏ qua và phương trình có dạng:



 (t  T )   (t )
 divV   divV      0
T

(1.3.12)

Nếu T là khoảng thời gian trong đó hàm  (t ) biến đổi khơng lớn, thì
 (t  T )   (t )
có thể thay bằng đạo hàm  và kết quả ta đi đến phương trình
T
t

cho thành phần trung bình:



 divV   divV      0
t

Số hạng thứ ba ở vế trái của phương trình này biểu thị thành phần khuếch tán
của quá trình dịch chuyển các thực thể vật chất trong khí quyển. Véc tơ vận tốc rối

V   có thể thay bằng biểu thức thực nghiệm qua trường trung bình như sau:




V   =  
, v'     
, w'    

y
z
x

(1.3.13)

ở đây   0,   0 là hệ số khuếch tán theo phương nằm ngang và thẳng
đứng. Nó được xác định nhờ thực nghiệm đo đạc và là các đại lượng cho trước
trong các bài toán về khuếch tán.
Thế các biểu thức (1.3.13) vào (1.3.12) ta đi đến phương trình truyền tải và
khuếch tán vật chất trong khí quyển như sau:


 divV     K
t

trong đó:

(1.3.14)


18

K 

       

 
 
x x y y z z

(1.3.15)

Nếu thành phần nằm ngang của hệ số khuếch tán là hằng số (   const , điều
này thường hay xảy ra) thì:
K   

 

z z

(1.3.15)

trong đó  là tốn tử Laplace hai chiều.
Cùng với phương trình (1.3.14) cần phải thoả mãn đẳng thức biểu thị tính
khơng nén được của mơi trường.

divV  0

(1.3.16)

   0 khi t  0

(1.3.17)

và cho trước điều kiện đầu:

Đối với các điều kiện biên của bài toán chúng ta cần phát biểu (lựa chọn) sao
cho bài tốn có nghiệm duy nhất.
Nếu trong mơi trường có nguồn thì cần bổ xung vào phương trình (1.3.14)

hàm nguồn f ( x, y, z, t ) và ví dụ điều kiện biên cho ở dạng:
   S trên S khi un  0

(1.3.18)

thì quá trình truyền tải và khuếch tán vật chất trong khí quyển có thể được phát biểu
bằng mơ hình tốn học sau (khơng làm mất tính tổng quát, ta sẽ dùng hàm  trong
các bài toán sau):


 
 divV    
   f
t
z z

   0 khi t  0
   S trên S khi un  0
Ta chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài tốn (1.3.19) .
Giả sử bài tốn có hai nghiệm 1 ,  2 . Khi đó:

1
 1
 divV1   1  
 1  f
t
z z

(1.3.19)

19

   0 khi t  0

(1.3.20)

1   S trên S khi un  0
và

 2
  2
 divV 2   2  
  2  f
t
z z

 2   0 khi t  0

(1.3.21)

 2   S trên S khi un  0
Lấy (1.3.20) trừ (1.3.21) và đặt    2  1 ta nhận được bài toán mới đối với
hàm  :


 
 divV    
   0
t

z z

  0 khi t  0

 0

(1.3.22)

trên S khi un  0

Sau khi nhân phương trình (1.3.22) với  rồi lấy tích phân kết quả đó theo cả
khơng gian và thời gian, ta nhận được phương trình:


G

2
2
2
T

u n 2
           

    
dG   dt 
dS   dt   
  
 dG 
2

2
x   y    z  
0
G
0
G

 

(1.3.23)

 T2

T

T

   dt   2 dG  0
0

G

Ta nhận thấy rằng tất cả các số hạng ở vế trái của (1.3.23) là khơng âm, do
đó đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   0 hay 1   2 . Điều này chứng tỏ rằng bài
toán (1.3.19) có nghiệm duy nhất.
Tóm lại, với tất cả các yếu tố đã được phân tích và trình bày ở trên, thì bài
tốn truyền tải và khuếch tán vật chất được xét trên miền trụ có biên
S     0   H (trong đó,  là mặt bên (hay mặt xung quanh) của hình trụ G ,  0

là mặt đáy dưới (khi z  0 ),  H là mặt đáy trên (khi z  H )) có dạng:



 divV    K  f
t