DapAnToan kinhte1 2016 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG CAO
NHÓM KIẾN THỨC KHOA HỌC CƠ BẢN

-------------------------

ĐỀ THI CUỐI KỲ HK1 NĂM HỌC 2016-2017
Mơn: TỐN KINH TẾ 1
Mã mơn học: MATH132201
Đề số: 1
Đề thi có 2 trang.
Thời gian: 90 phút.
Được phép sử dụng tài liệu.
1

Câu 1 (2,5 điểm): Sản lượng hàng ngày của một xí nghiệp là Q(L)  8L 4 (đơn vị tính là tấn) trong
đó L là lực lượng lao động (đơn vị tính là 100 giờ). Chi phí sản xuất là C(L)  wL (triệu đồng)
trong đó w = 2 (triệu đồng) là chi phí cho mỗi đơn vị lao động. Giá bán của mỗi đơn vị sản lượng
là P  8 (triệu đồng).
a. Tìm sản lượng biên tế theo lực lượng lao động. Nếu lực lượng lao động giảm 1 đơn vị từ
mức L  10 thì sản lượng thay đổi như thế nào?
b. Chứng minh sản lượng biên tế là hàm giảm.
c. Tìm lực lượng lao động để lợi nhuận hàng ngày của xí nghiệp đạt giá trị lớn nhất.
Tìm lợi nhuận lớn nhất khi đó.

 8

Câu 2 (2,5 điểm): Cho ma trận A  
 2

2
.
 5 

a. Chứng minh ma trận ( I – A) khả nghịch.
10

10

b. Chéo hóa ma trận A. Từ đó, tính A và det( A ).
c. Tìm hạng và xét dấu A.
Câu 3 (1,5 điểm): Trong một đợt tuyển sinh, một trường đại học tuyển được 7 ngàn sinh viên và
đào tạo tại hai cơ sở khác nhau.
Cơ sở 1: Nếu đào tạo x ngàn sinh viên thì chi phí đào tạo mỗi năm là

C1( x)  x2  5x  4 (tỷ đồng)
Cơ sở 2: Nếu đào tạo y ngàn sinh viên thì chi phí đào tạo mỗi năm là

C2 ( y)  2 y2  y 5 (tỷ đồng)
Lãnh đạo nhà trường nên phân bổ số lượng sinh viên ở mỗi cơ sở là bao nhiêu để tổng chi phí đào
tạo mỗi năm là thấp nhất?
Câu 4 (1,5 điểm): Xét một thị trường có ba loại sản phẩm với lượng cung và lượng cầu cho bởi:
Sản phẩm 1: QS1  12P1  P2  3P3  30

QD1  3P1  3P2  4P3  330

Sản phẩm 2: QS2  P1 11P2  P3  90

QD2  3P1  9P2  P3  400

Sản phẩm 3: QS3  2P1  3P2 16P3

QD3  2P1  4P2  5P3  70

Trong đó, P1, P2, P3 lần lượt là các mức giá của các sản phẩm 1, 2, 3.
Thị trường gọi là cân bằng khi lượng cung và lượng cầu của mỗi sản phẩm bằng nhau.
các mức giá P1, P2 , P3 làm cân bằng thị trường.

Hãy tìm


Câu 5 (1 điểm): Viết công thức khai triển Taylor của hàm số f ( x )  xe 2 x tại lân cận điểm x  0
đến lũy thừa bậc 4.
1

1

Câu 6 (1 điểm): Sản lượng hàng năm của một xí nghiệp là Q(K, L)  300K 4L 2 (đơn vị tính là
1000 sản phẩm) trong đó K là vốn (đơn vị tính là 100 tỷ đồng) và L là lực lượng lao động (đơn vị
tính là 1000 giờ). Giả sử tại mức vốn là 1600 tỷ đồng và lực lượng lao động là 25000 giờ, vốn đầu
tư tăng 10 tỷ đồng mỗi năm và lực lượng lao động tăng 200 giờ mỗi năm. Ước tính tốc độ thay đổi
của sản lượng.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)
[CĐR G1.2]: Hiểu được khái niệm biên tế, hệ số co giãn
[CĐR G2.1]: Tính được đạo hàm của hàm một biến. Khai
triển Taylor, Maclaurin. Tính được đạo hàm riêng của hàm
nhiều biến, đạo hàm hàm hợp
[CĐR G2.2]:Tìm được cực trị của hàm một biến và hàm
nhiều biến và áp dụng được trong kinh tế.

[CĐR G2.7]:Tìm được trị riêng và vectơ riêng của ma trận,
xác định được hạng và dấu của dạng tồn phương
[CĐR G2.4]: Giải được hệ phương trình tuyến tính
[CĐR G2.5]: Ứng dụng được hệ phương trình tuyến tính
vào mơ hình cân bằng thị trường, mơ hình input/output...

Nội dung kiểm tra
Câu 1a
Câu 1a, 1b
Câu 5
Câu 6
Câu 1c
Câu 3
Câu 2

Câu 4

Ngày 03 tháng 01 năm 2017
Thơng qua Trưởng nhóm
TS Lưu Việt Hùng


ĐÁP ÁN
Câu

Thang điểm

Đáp án
3/4

a. Sản lượng biên tế là Q ( L)  2 L
Khi lực lượng lao động giảm 1 đơn vị từ mức L =10 thì sản lượng giảm xấp xỉ
Q (10)  2.10 3/4  0,356 (tấn)

1
2,5đ

3
2

b.Vì Q ( L)   L7/4  0 L  0 nên sản lượng biên tế là hàm giảm.

0,5đ
0,5đ

0,5đ

c. Lợi nhuận hàng ngày của xí nghiệp là:

 ( L)  R( L )  C ( L)  PQ ( L )  wL  64 L1/4  2 L ( L  0)
   16L3/4  2 ,    0  L  16
   12 L7/4  0 L  0 . Do vậy khi lực lượng lao động là 1600 giờ thì lợi nhuận

0,5đ
0,5đ

hàng ngày của xí nghiệp đạt giá trị lớn nhất là 96 (triệu đồng) .

 9  2
, det( I  A)  50  0  Ma trận ( I  A) khả nghịch.

6 
 2

2

a. I  A  

0,5đ

b. Hai trị riêng của A là : 1  4, 2  9

0,5đ

1 
2

 2 

 1

Hai vectơ riêng tương ứng là : X 1    , X 2  

2,5đ

 4 0 

 0  9
410 4.910

5

5
10
2.4
2.910

5
5

Đặt P = (X1 X2), ta có P 1 AP  


2.410 2.910 


0  1 
 4
5
5
10

 ; det( A10 )  3610
A  P
P 

10
10
4.4
9



 0  9



5
5


c.Vì M 1  8  0, M 2  36  0 , hạng của A là 2 và A xác định âm.
Ta có: x  y  7  y  7  x .
10

0,5đ

0,5đ

0,5đ

Tổng chi phí đào tạo mỗi năm của nhà trường là :

3
1,5đ

C  C1 ( x )  C2 ( y )  x 2  5 x  4  2 y 2  y  5  3 x 2  24 x  114 ( 0  x  7)
C '( x )  6 x  24  0  x  4 .
C (0)  114, C (4)  66, C (7)  93
Vậy tổng chi phí đào tạo mỗi năm của nhà trường thấp nhất là 66 tỷ đồng khi nhà
trường phân bổ 4000 SV ở cơ sở 1 và 3000 SV ở cơ sở 2.

4

1,5đ

QS1  QD1
15P1  4 P2  P3  360


Thị trường cân bằng  QS2  QD2   2 P1  20 P2  2 P3  310

 4 P  P  21P  70

1
2
3
QS3  QD3

0,75đ
0,25đ
0,5đ

0,75đ



det[ A1 ] 89395
 P1  det[ A]  2994  29,858

det[ A2 ] 58325

  P2 


 19, 481
det[
A
]
2994


det[ A3 ] 29785

 9,948
 P3 
det[ A]
2994


5
1đ

0,75đ

Khai triển Taylor của f(x) tại lân cận x = 0 là:



(2 x )2 (2 x ) 3
f ( x )  xe2 x  x 1  (2 x ) 

 ...
2!
3!



4
 x  2 x 2  2 x 3  x 4  ...
3

0,5đ

0,5đ

Ta có QK  75 K 3/4 L1/2 , QL  150 K 1/4 L1/2 .

6
1đ

Tại K = 16, L = 25 thì QK  46,875 , QL  60

dK
dL
Tốc độ thay đổi của vốn và lực lượng lao động:
 0,1 ,
 0, 2
dt
dt

0,5đ

Tốc độ thay đổi của sản lượng:
0,5đ
dQ

dK
dL
 QK .
 QL .
 (46,875)(0,1)  60(0, 2)  16,6875 (ngàn sản phẩm/năm)
dt
dt
dt