Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số thực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠIăH CăĐÀăN NG

NGUYỄNăHẠăVYă

PH

NGăPHÁPăGIẢIă

VÀ SÁNGăTẠOăCÁCăBÀIăTOÁNă
VỀăDÃYăS ăTHỰC

LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH C

ĐƠăN ngă- N mă2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠIăH CăĐÀăN NG

NGUYỄNăHẠăVYă

PH

NGăPHÁPăGIẢIă

VÀ SÁNGăTẠOăCÁCăBÀIăTOÁNă
VỀăDÃYăS ăTHỰC

ChuyênăngƠnh:ăăPh ngăphápăToán s ăcấp
Mƣăs :ăă60.46.01.13

LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH C

Ng

iăh

ngăd năkhoaăh c:ăăTS.ăPHẠMăQUÝăM

ĐƠăN ngă- N mă2016

Iă


LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

NGUYỄN HẠ VY


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . .
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu . . . .
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . .
4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . .

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
6. Cấu trúc của luận văn . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ THỰC
1.1. DÃY SỐ, DÃY ĐƠN ĐIỆU, DÃY BỊ CHẶN . . . .
1.2. GIỚI HẠN DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN . . . . . . . .
1.4. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN . . .
1.4.1. Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . .
1.4.3. Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất .
1.4.4. Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

1
1
2
2
2
2
3

.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
5
7
8
8
10
11
11

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG
PHÁP GIẢI
2.1. TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . .
2.1.1. Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt và chứng minh bằng
phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Sử dụng phương trình sai phân để tìm số hạng tổng quát . .
2.1.3. Sử dụng dãy số phụ để tìm số hạng tổng quát . . . . . . . .
2.2. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ . . . . . . .
2.2.1. Sử dụng phương pháp quy nạp để xét tính đơn điệu, tính bị
chặn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Dựa vào số hạng tổng quát để xét tính đơn điệu, tính bị chặn
của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
14
14
20
26
31
32
34


2.2.3. Sử dụng phương pháp hàm số để xét tính đơn điệu, tính bị
chặn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. CHỨNG MINH SỰ HỘI TỤ VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
2.3.1. Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Dựa vào số hạng tổng quát để tính giới hạn của dãy số . . .
2.3.3. Sử dụng định lý Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SÁNG TẠO CÁC

BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
3.1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT HÓA . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp một . . . . . . . .
3.1.2. Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp hai . . . . . . . . .
3.2. PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT HÓA . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT DÃY SỐ PHỤ . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Từ cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Từ bài tốn có cơng thức truy hồi cấp một có dạng lượng giác
3.3.3. Một số ví dụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ax + b
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Từ hàm số f (x) =
cx + d
√
3.4.2. Từ hàm số f (x) = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Từ hàm số f (x) = ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4. Từ hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d . . . . . . . . . . .

37
39
39
42
45
53
53
53
56
59
65

65
68
74
76
76
80
83
85

KẾT LUẬN

90

TÀI LIỆU THAM KHẢO

91

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình tốn ở trường trung học phổ thông, dãy số được đưa
vào cuối học kì 1 lớp 11 với thời lượng 12 tiết bao gồm các kiến thức: phương
pháp chứng minh quy nạp, các khái niệm cơ bản về dãy số, tính đơn điệu,
tính bị chặn của dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân, giới hạn dãy số. Vì thời
lượng quá ít ỏi nên các dạng bài tập về dãy số chỉ dừng ở mức độ áp dụng
các tính chất để tính giới hạn dãy số. Các bài tập về tính đơn điệu, tính bị

chặn chỉ đưa ra vài ví dụ để minh họa, chưa đi sâu vào phương pháp.
Ở bậc cao đẳng, đại học, dãy số được đưa vào học phần giải tích 1. Ở
đây, dãy số được nghiên cứu sâu hơn, cả lý thuyết và hệ thống các bài tập
phong phú và đa dạng hơn. Mặc dù vậy, do cùng một lúc phải học nhiều môn
khác nhau nên thời gian để sinh viên nghiên cứu tìm hiểu sâu về lý thuyết
dãy số thực cũng như rèn luyên kỹ năng giải và nắm bắt các dạng bài tập
khác nhau vẫn còn rất hạn chế.
Dãy số là một phần cơ bản của giải tích tốn học, các vấn đề cơ bản về
dãy số bao gồm: khảo sát sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy, tính đơn điệu
và tính bị chặn của dãy. Từ đó, các dạng bài tập cũng tập trung vào các vấn
đề này: tìm số hạng tổng quát của dãy số, khảo sát tính đơn điệu, tính bị
chặn, chứng minh sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy số. Vì thế một nghiên
cứu chuyên sâu về dãy số bao gồm lý thuyết cơ bản, các dạng bài tập và các
phương pháp giải bài toán về dãy số là nhu cầu cấp thiết của giáo viên phổ
thông. Đây là một trong những lí do mà tơi chọn đề tài nghiên cứu về dãy
số.
Hơn nữa, trong các đề thi (đặc biệt là các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh,
quốc gia, quốc tế) một trong những yêu cầu của đề thi là các câu hỏi trong
đề thi phải mới, không được lấy ở bất kỳ nguồn tài liệu nào. Điều này địi
hỏi người ra đề phải có kỹ năng sáng tạo ra các bài toán mới. Các đề thi học
sinh giỏi cũng thường có các câu hỏi, bài tốn về dãy số. Vì thế, bên cạnh
kiến thức về dãy số và kỹ năng giải các bài toán về dãy số, kỹ năng sáng tạo
các bài toán mới về dãy số cũng là một yêu cầu không thể thiếu đối với giáo
viên. Đây cũng là lí do để tơi chọn đề tài nghiên cứu cho mình.
Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ năng giải và sáng tạo các bài
tốn về dãy số của bản thân, tơi quyết định chọn đề tài : “Phương pháp giải


2

và sáng tạo các bài toán về dãy số thực” cho luận văn thạc sĩ của mình.
Luận văn nhắm vào việc hệ thống lại kiến thức về dãy số, phân loại dạng và
phương pháp giải các bài toán về dãy số. Luận văn cũng trình bày một số
cách để sáng tạo ra các bài toán mới về dãy số.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trên cơ sở hệ thống lại các kiến thức về dãy số và các phương pháp giải
trong các tài liệu tham khảo khác nhau, luận văn trình bày, tổng hợp, sắp
xếp lại lý thuyết về dãy số và các phương pháp giải các bài toán về dãy số.
Luận văn cũng tập trung vào nghiên cứu một số cách thức sáng tạo ra các
bài toán về dãy số.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Lý thuyết dãy số thực.
- Các phương pháp giải các bài toán về dãy số thực.
- Các phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới về dãy số thực.
- Nghiên cứu lý thuyết dãy số thực, các phương pháp giải và sáng tạo
các bài toán về dãy số thực.

4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Với đề tài: “Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số thực” tôi
đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau :
+ Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp.
+ Áp dụng các phương pháp giải đã có trong bài tốn về dãy.
+ Sáng tạo ra các bài toán mới dựa trên bài toán gốc.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn.
Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành

tốn, giáo viên phổ thơng giảng dạy toán và các đối tượng quan tâm đến các
bài toán dãy số.


3

6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành 3 chương, trong đó:
Chương 1. TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ THỰC
Trình bày sơ lược các kiến thức bổ trợ về dãy số, tính đơn diệu của dãy
số, tính bị chặn của dãy số, sự hội tụ của dãy số, các định lý liên quan đến
sự hội tụ của dãy, khái niệm về sai phân, phương trình sai phân.
Chương 2. CÁC BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trình bày các phương pháp giải các bài tốn tìm số hạng tổng qt của
dãy, các bài tốn về tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số, các bài tốn
chứng minh sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy số.
Chương 3. SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ
Trình bày một số phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới như: phương
pháp đặc biệt hóa từ bài tốn tổng qt, phương pháp tổng qt hóa từ một
bài tốn cụ thể, từ đó đặc biệt hóa bài tốn tổng qt để tạo ra các bài toán
khác nhau, từ một bài toán đơn giản sử dụng phương pháp đặt dãy số phụ
để sáng tạo ra các bài toán mới phức tạp hơn, phương pháp khảo sát tính
đơn điệu của hàm số để xây dựng các dãy số mới.
Cùng với sự hướng dẫn của Thầy giáo TS. Phạm Quý Mười, tôi đã chọn
đề tài "PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY
SỐ THỰC" cho luận văn thạc sĩ của mình.


4

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ THỰC
Trong chương này, trình bày các khái niệm cơ bản về dãy số, dãy đơn
điệu, dãy bị chặn, giới hạn của dãy, các tính chất liên quan đến giới hạn dãy
số, một số dãy đặc biệt và sơ lược về phương trình sai phân.
Các khái niệm, định lý trong phần này có thể tìm thấy trong các tài liệu
tham khảo ([1], [2], [5]).

1.1. DÃY SỐ, DÃY ĐƠN ĐIỆU, DÃY BỊ CHẶN
Định nghĩa 1.1. (Dãy số thực)
Dãy số là một ánh xạ từ N vào R :

u:N→R
n → u(n) = un .
Kí hiệu: un n∈N hay un n 0 hay un n .
Với mỗi n ∈ N, un được gọi là số hạng thứ n của dãy.

Định nghĩa 1.2. (Dãy con)
1) Ta gọi mọi ánh xạ tăng σ : N → N là một hàm trích.
2) Với một dãy un n∈N cho trước, một dãy uσ(n) n∈N , với σ(n) là một
hàm trích gọi là một dãy con của un n∈N .
Định nghĩa 1.3. (Dãy số bị chặn)
1) Dãy un n∈N được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực A sao cho
∀n ∈ N, un A. Khi đó, A gọi là một chặn trên của dãy un n∈N .
2) Dãy un n∈N được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực A sao cho
∀n ∈ N, un A. Khi đó, A gọi là một chặn dưới của dãy un n∈N .
3) Dãy un n∈N được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị
chăn dưới, nghĩa là tồn tại số thực A sao cho ∀n ∈ N, | un | A.

Định nghĩa 1.4. (Dãy số đơn điệu)
Cho un n∈N là một dãy số thực.
1) Dãy un n∈N được gọi là dãy tăng nếu un un+1 , ∀n ∈ N.
2) Dãy un n∈N được gọi là dãy giảm nếu un un+1 , ∀n ∈ N.
3) Dãy un n∈N được gọi là dãy tăng ngặt nếu un < un+1 , ∀n ∈ N.
4) Dãy un n∈N được gọi là dãy giảm ngặt nếu un > un+1 , ∀n ∈ N.


5

Định lý 1.1. Cho f : I → I là một ánh xạ, xét dãy số un+1 =
f (un ) , n ∈ N.
1) Trường hợp f tăng trên I
- Nếu u0 u1 thì un n∈N là dãy tăng, nếu u0 u1 thì un n∈N là dãy
giảm.
2) Trường hợp f giảm trên I
- Nếu u0 u2 thì u2n n∈N là dãy tăng, nếu u0 u2 thì u2n n∈N là dãy
giảm.
- Nếu u1 u3 thì u2n+1 n∈N là dãy tăng, nếu u1 u3 thì u2n+1 n∈N
là dãy giảm.
Chứng minh
1) Trường hợp f tăng trên I
- Nếu u0 u1 ⇒ f (u0 ) f (u1 ) hay u1 u2 .
Suy ra f (u1 ) f (u2 ) hay u2 u3 , quy nạp ta có: un
Vậy un n∈N là dãy tăng.
- Nếu u0 u1 ⇒ f (u0 ) f (u1 ) hay u1 u2 .
Suy ra f (u1 ) f (u2 ) hay u2 u3 , quy nạp ta có: un
Vậy un n∈N là dãy giảm.
2) Trường hợp f giảm trên I
Vì f giảm trên I nên ánh xạ f ◦ f tăng trên I.

- Nếu u0 u2 ⇒ f (f (u0 )) f (f (u2 )) hay u2
Suy ra f (f (u2 )) f (f (u4 )) hay u4 u6 .
Quy nạp ta có: u2n u2n+2 , ∀n ∈ N∗ . Vậy u2n n∈N là
- Nếu u0 u2 ⇒ f (f (u0 )) f (f (u2 )) hay u2
Suy ra f (f (u2 )) f (f (u4 )) hay u4 u6 .
Quy nạp ta có: u2n u2n+2 , ∀n ∈ N∗ . Vậy u2n n∈N là
- Tương tự ta có:
Dãy u2n+1 n∈N là dãy tăng nếu u1 u3 .
Dãy u2n+1 n∈N là dãy giảm nếu u1 u3 .

un+1 , ∀n ∈ N∗ .
un+1 , ∀n ∈ N∗ .

u4 .
dãy tăng.
u4 .
dãy giảm.

1.2. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Định nghĩa 1.5. (Giới hạn hữu hạn)
Dãy un n∈N được gọi là hội tụ nếu tồn tại số thực l sao cho

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n

n0 ⇒| un − l |

Khi đó, dãy un n∈N được gọi là hội tụ đến l.
−−−→ l.
Kí hiệu: lim un = l hoặc un −
n→+∞

n→+∞

ε.


6

Định nghĩa 1.6. (Giới hạn vô cực)
1) Dãy un n∈N tiến tới +∞ (hoặc nhận +∞ làm giới hạn) nếu:

∀A > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n n0 ⇒ un A.
−−−→ +∞ hoặc lim un = +∞.
Khi đó, ta kí hiệu: un −
n→+∞
n→+∞

2) Dãy un

n∈N

tiến tới −∞ (hoặc nhận −∞ làm giới hạn) nếu:

∀B < 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n n0 ⇒ un B.
−−−→ −∞ hoặc lim un = −∞.
Khi đó, ta kí hiệu: un −
n→+∞
n→+∞

Chú ý: Tất cả các dãy thực có giới hạn là +∞ hoặc −∞ đều gọi là dãy
không hội tụ.

Liên quan đến giới hạn dãy số, các kết quả sau thường được sử dụng
trong luận văn.
Định lý 1.2. Cho dãy số un n∈N . Khi đó,
1) Nếu un n∈N hội tụ đến l1 và hội tụ đến l2 thì l1 = l2 .
2) Nếu un n∈N hội tụ đến l thì mọi dãy con trích từ un n∈N cũng hội
tụ đến l.
3) Dãy un n∈N hội tụ đến l khi và chỉ khi u2n n∈N và u2n+1 n∈N hội
tụ đến l.
Định lý 1.3. (Định lý Weierstrass)
1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Định lý 1.4. Cho (un )n , (vn )n , (wn )n là ba dãy số thực sao cho:

lim un = l, lim wn = l
n→+∞
N, ∀n ∈ N, n n0 ⇒ un

n→+∞
∃n0 ∈

vn

wn

.

Khi đó lim vn = l.
n→+∞

Định lý 1.5. Cho lim un = l1 ; lim vn = l2 , l1 , l2 ∈ R. Khi đó ta có:
n→+∞

1) lim (un + vn ) = l1 + l2 .

n→+∞

n→+∞

2) lim (un − vn ) = l1 − l2 .
n→+∞

3) lim (un .vn ) = l1 .l2 .
n→+∞

l1
un
= , (l2 = 0).
n→+∞ vn
√ l2
√
un = l1 , un , 0, ∀n ∈ N, l1
5) lim
4) lim

n→+∞

0.

7

Định lý 1.6. Cho (un )n , (vn )n là 2 dãy thực.

lim un = +∞

n→+∞




lim vn = +∞
n→+∞
thì lim (un + vn ) = +∞.
1) Nếu

n→+∞

lim vn = l



 n→+∞
vn ≥ A, ∀n ∈ N

lim un = +∞

n→+∞




 ∃C ∈ R∗ , ∃n ∈ N, ∀n ∈ N, n
0
+
2) Nếu

lim
v
=
+∞

 n→+∞ n



lim vn = l ∈ R∗+

n 0 ⇒ vn

C

n→+∞

thì lim (un .vn ) = +∞.
n→+∞

1
= 0.
n→+∞ un

3) Nếu lim un = +∞ thì lim
n→+∞

4) Nếu

lim un = 0
N, ∀n ∈ N, n

n→+∞
∃n0 ∈

n 0 ⇒ un > 0

1
= +∞.
n→+∞ un

thì lim

Nhận xét
Cho dãy số un+1 = f (un ) , n ∈ N. Nếu f liên tục trên I và lim un = l thì
n→+∞

f (l) = l.

1.3. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Hai dãy số đặc biệt thường sử dụng nhất là cấp số cộng và cấp số nhân.
Định nghĩa 1.7. (Cấp số cộng)
Dãy số u1 , u2 , u3 , ... được gọi là một cấp số cộng với công sai d nếu bắt
đầu từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước

nó và số khơng đổi d.
Ta có:

un = un−1 + d, ∀n

Định lý 1.7. Cho un
1) Số hạng tổng quát:

n∈N

2, n ∈ N.

là cấp số cộng với cơng sai d. Khi đó, ta có:

un = u1 + (n − 1) d, ∀n 2, n ∈ N.
uk−1 + uk+1
2) uk =
, ∀k 2, k ∈ N.
2
3) Tổng của n số hạng đầu tiên:
n
n
2u1 + (n − 1) d , n ∈ N∗ .
Sn = u1 + u2 + ... + un = (u1 + un ) =
2
2


8

Định nghĩa 1.8. (Cấp số nhân)
Dãy số u1 , u2 , u3 , ... được gọi là một cấp số nhân với công bội q nếu
bắt đầu từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay
trước nó và số khơng đổi q.
Ta có:

un = un−1 .q, ∀n

Định lý 1.8. Cho un
1) Số hạng tổng quát:

n∈N

2, n ∈ N.

là cấp số nhân với công bội q. Khi đó, ta có:

un = u1 .q n−1 , ∀n

2, n ∈ N.

2) uk 2 = uk−1 .uk+1 , ∀k 2, k ∈ N.
3) Tổng của n số hạng đầu tiên:

1 − qn
Sn = u1 + u2 + ... + un = u1
, n ∈ N∗ .
1−q
1.4. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
1.4.1. Sai phân

Định nghĩa 1.9. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R,
xk = x0 + k.h, (k ∈ N∗ ), với x0 ∈ R, h ∈ R cho trước.
Gọi yk = f (xk ) là giá trị của hàm số f tại x = xk . Khi đó,
∆yk := yk+1 − yk , k ∈ N∗ được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f(x).
∆2 yk = ∆yk+1 − ∆yk = ∆ (∆yk ) , k ∈ N∗ được gọi là sai phân cấp 2 của hàm
số y = f(x).
Tổng quát:

∆i yk = ∆i−1 yk+1 − ∆i−1 yk = ∆ ∆i−1 yk , k ∈ N∗
được gọi là sai phân cấp i của hàm số y = f(x), (i=1,2,3...).
Định lý 1.9. Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của
hàm số.
y0 , y1 , ..., yn , ...
Chứng minh
Ta chứng minh: ∆n yk =
Thật vậy:

n
i=0

(−1)n−i Cni yk+i .
1

∆yk = yk+1 − yk =

i=0

(−1)1−i C1i yk+i , k ∈ N∗ .

9

2
2

∆ yk = ∆yk+1 − ∆yk = yk − 2yk+1 + yk+2 =
Giả sử: ∆n−1 yk =

n−1
i=0

i=0

(−1)2−i C2i yk+i , k ∈ N∗ .

(−1)n−1−i Cni yk+i .

Ta chứng minh: ∆ yk =
n

n
i=0

Ta có:

(−1)n−i Cni yk+i .
n−1

n

∆ yk = ∆ ∆

n−1

i
(−1)n−1−i Cn−1
yk+i

yk = ∆
i=0

n−1

n−1

(−1)

=

n−1−i

i
∆yk+i
Cn−1

=
i=0
n−1

i=0

n−1

=
i=0

i
yk+i+1 −
(−1)n−1−i Cn−1

i
(yk+i+1 − yk+i )
(−1)n−1−i Cn−1
i
∆yk+i
(−1)n−1−i Cn−1

i=0

n−2
n−1
= Cn−1
(−1)0 yk+n +

i
yk+i+1
(−1)n−1−i Cn−1
i=0

n−1
0

i
∆yk
∆yk+i − (−1)n−1 Cn−1
(−1)n−1−i Cn−1

−

i=1

=

Cnn (−1)0 yk+n

n−1
j−1
(−1)n−j Cn−1
yk+j

+
j=1

n−1
j
(−1)n−1−j Cn−1
∆yk+j + (−1)n Cn0 ∆yk

−

j=1

=

Cnn (−1)0 yk+n

n−1
j−1
j
(−1)n−j yk+j Cn−1
+ Cn−1
+ (−1)n Cn0 ∆yk

+
j=1
n−1

=

Cnn (−1)0 yk+n

(−1)n−j Cnj yk+j + (−1)n Cn0 ∆yk

+
j=1

n

n

(−1)

=
j=0

n−1−j

Cnj yk+j

(−1)n−1−i Cni yk+i .

=
i=0

Định lý 1.10. Sai phân mọi cấp là một tốn tử tuyến tính trên tập các
hàm số. Tức là:

∀α, β ∈ R, ∀yk , zk : R → R,


10

ta ln có:

∆n (αyk + βzk ) = α∆n yk + β∆n zk , n, k ∈ N∗ .

Chứng minh
Thật vậy, ta có:

n
n

∆ (αyk + βzk ) =
i=0

(−1)n−i Cni (αyk+i + βzk+i ), n, k ∈ N∗
n

n

(−1)

=α
i=0
n

n−i

Cni yk+i

+β

n

i=0
∗

(−1)n−i Cni zk+i , n, k ∈ N∗

= α∆ yk + β∆ zk , n, k ∈ N .

1.4.2. Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 1.10. Phương trình sai phân tuyến tính cấp k là một hệ
thức tuyến tính chứa sai phân các cấp tới k.

f yn , ∆yn , ∆2 yn ...∆k yn = 0.

(1.1)

Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của hàm số nên (1.1)
có dạng:
a0 yn+k + a1 yn+k−1 + ... + ak yn = f (n) ,
(1.2)
trong đó a0 , a1 , ..., ak , f (n) đã biết, yn , yn+1 , ..., yn+k là các giá trị chưa biết.
Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k.
Nếu f(n) = 0 thì phương trình (1.2) có dạng:

a0 yn+k + a1 yn+k−1 + ... + ak yn = 0

(1.3)

Phương trình (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
cấp k.
Nếu f (n) = 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính khơng
thuần nhất.
Nghiệm của phương trình sai phân

• Hàm số yn biến n thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương trình
sai phân tuyến tính (1.2).
• Hàm số yn phụ thuộc vào k tham số thỏa mãn (1.3) được gọi là nghiệm
tổng quát của (1.3).
• Một nghiệm yn∗ thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm riêng của phương

trình (1.2).


11

1.4.3. Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất
Định nghĩa 1.11. Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất là phương
trình sai phân dạng:

u1 = α, aun+1 + bun = f (n) , n ∈ N∗ ,

(1.4)

trong đó α, a = 0, b = 0 là các hằng số và f(n) là biểu thức của n cho trước.
Phương pháp giải
- Giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng.

• Giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 tìm λ.

• Nghiệm của phương trình aun+1 + bun = 0 là un = c.λn , c là hằng số.

- Tìm nghiệm riêng u∗n của phương trình khơng thuần nhất.
- Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) là un = u∗n + un .
Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến
tính bậc nhất khơng thuần nhất khi vế phải f (n) có dạng đặc biệt

• Trường hợp 1: Nếu f (n) = Pm (n) là đa thức bậc m đối với n. Khi đó,
– Nếu λ = 1 thì u∗n = Qm (n) , n ∈ N∗ .

– Nếu λ = 1 thì u∗n = n.Qm (n) , n ∈ N∗ .

Trong đó Qm (n) là đa thức bậc m đối với n.

• Trường hợp 2: Nếu f (n) = Pm (n) .β n , (β = 0). Khi đó,
– Nếu λ = β thì u∗n = Qm (n) .β n , n ∈ N∗ .

– Nếu λ = β thì u∗n = n.Qm (n) .β n , n ∈ N∗ .

Trong đó Qm (n) là đa thức bậc m đối với n.

1.4.4. Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai
Định nghĩa 1.12. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 là phương
trình sai phân dạng:

u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = f (n) , n ∈ N∗ ,

(1.5)

trong đó a, b, c, λ, β là các hằng số, a = 0, c = 0 và f (n) là biểu thức của n
cho trước.


12

Phương pháp giải
- Giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng.
- Tìm nghiệm riêng u∗n của phương trình khơng thuần nhất.
- Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) là un = u∗n + un .
Phương pháp giải phương trình thuần nhất tương ứng

u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = 0, n ∈ N∗ .

(1.6)

- Giải phương trình đặc trưng: aλ2 + bλ + c = 0 (∗) tìm λ.
- Tìm nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất tương ứng.

• Trường hợp 1: Nếu (*) có 2 nghiệm thực phân biệt λ = λ1 , λ = λ2 thì
un = A.λ1 n + B.λ2 n .
• Trường hợp 2: Nếu (*) có nghiệm kép λ1 = λ2 = λ thì
un = (An + B) λn .
• Trường hợp 3: Nếu (*) có nghiệm phức λ = x + iy thì đặt
r = |λ| =

x2 + y 2 , tan ϕ =

π π
y
,ϕ ∈ − ,
.
x
2 2

Lúc đó λ = r (cos ϕ + i sin ϕ) và un = rn (A.cosnϕ + B.sinnϕ) ,
A, B được xác định khi biết u1 , u2
Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến
tính bậc hai khơng thuần nhất khi vế phải f(n) có dạng đặc biệt

• Trường hợp 1: Nếu f (n) = Pm (n) là đa thức bậc m đối với n. Khi đó,
– Nếu phương trình (*) khơng có nghiệm λ = 1 thì:

u∗n = Qm (n) , n ∈ N∗ .
– Nếu phương trình (*) có nghiệm đơn λ = 1 thì:

u∗n = n.Qm (n) , n ∈ N∗ .
– Nếu phương trình (*) có nghiệm kép λ = 1 thì:

u∗n = n2 .Qm (n) , n ∈ N∗ .
Trong đó Qm (n) là đa thức bậc m đối với n.

• Trường hợp 2: Nếu f (n) = Pm (n) .β n , (β = 0). Khi đó,


13

– Nếu β khơng là nghiệm của phương trình (*) thì:

u∗n = Qm (n) .β n , n ∈ N∗ .
– Nếu β là nghiệm đơn của phương trình (*) thì:

u∗n = n.Qm (n) .β n , n ∈ N∗ .
– Nếu β là nghiệm kép của phương trình (*) thì:

u∗n = n2 .Qm (n) .β n .n ∈ N∗ .


14

CHƯƠNG 2

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Các bài toán liên quan đến dãy số thường tập trung vào việc xét tính
đơn điệu, tính bị chặn, tìm số hạng tổng quát, chứng minh sự hội tụ và tìm
giới hạn của dãy số. Vì vây nội dung chủ yếu của chương này là giới thiệu
một số phương pháp giải các bài toán về dãy số, hệ thống lại các dạng bài tập
tìm số hạng tổng quát của dãy số một cách khoa học, trình bày các phương
pháp xét tính đơn điệu, tính bị chặn, chứng minh sự hội tụ và tìm giới hạn
của dãy số.

2.1. TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Để tìm số hạng tổng quát, chúng ta thường dùng ba phương pháp sau:
1. Dự đoán và chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp.
2. Sử dụng phương trình sai phân để tìm số hạng tổng quát.
3. Sử dụng dãy số phụ để đưa về các bài tốn quen thuộc để tìm số hạng
tổng quát.
Mỗi phương pháp trên sẽ được trình bày chi tiết hơn trong các phần tiếp
theo của mục này.

2.1.1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh
bằng phương pháp quy nạp
Một trong những phương pháp tìm số hạng tổng qt là dự đốn cơng
thức số hạng tổng qt và sau đó chứng minh cơng thức bằng phương pháp
quy nạp.
Chú ý rằng:
Để dự đốn được cơng thức số hạng tổng quát ta tính vài số hạng đầu
để nhận ra quy luật, từ đó dự đốn cơng thức và chứng minh công thức bằng
phương pháp quy nạp.
Để chứng minh một mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số nguyên
dương n bằng phương pháp quy nạp, ta thực hiện 3 bước sau:

+ Bước 1: Kiểm tra A(n) đúng khi n= 1.
+ Bước 2: Giả sử mệnh đề A(n) đúng tới n=k,k ∈ N, k 1.
+ Bước 3: Chứng minh A(n) đúng với n =k+1.


15

Kết luận mệnh đề A(n) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 2.1.1. Tìm số hạng tổng qt của dãy (un ), biết

u1 = −5,
un = 2un−1 − 3, n ∈ N, n

2.

Giải
Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát
Ta có: u1 = −5, u2 = 2 (−5) − 3, u3 = 22 (−5) − 2.3 − 3.
Dự đoán:

un = 2n−1 (−5) − 3 2n−2 + 2n−3 + ... + 2 + 1 = −8.2n−1 + 3, n ∈ N∗ .

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

(2.1)

un = −8.2n−1 + 3, n ∈ N∗ .

Với n =1: ta có u1 = −5, suy ra (2.1) đúng với n = 1.
Giả sử (2.1) đúng tới n = k, k ∈ N, k 1, tức là ta có:

uk = −8.2k−1 + 3, k ∈ N, k

1.

Ta chứng minh uk+1 = −8.2k + 3, thật vậy:

uk+1 = 2 −8.2k−1 + 3 − 3 = −8.2k + 3.

Vậy un = −8.2n−1 + 3, n ∈ N∗ .
Ví dụ 2.1.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ), biết:

1
u1 = ,
2
un = 2u2n−1 − 1, n ∈ N, n

2.

Giải
Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt
Thơng thường để giải một số bài tốn, ta hay sử dụng các hằng đẳng thức
biết trước. Ở đây ta thấy cơng thức truy hồi có dạng cos 2α = 2cos2 α − 1,
hơn nữa u1 ∈ (−1; 1)
2π
22 π
π
.
Nên ta nghĩ đến việc đặt: u1 = cos , ta có: u2 = cos , u3 = cos
3

3
3
Dự đoán:
2n−1 π
un = cos
, n ∈ N∗ .
3
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

un = cos

2n−1 π
, n ∈ N∗ .
3

(2.2)


16

π
Với n =1: ta có u1 = cos , suy ra (2.2) đúng với n = 1.
3
Giả sử (2.2) đúng tới n = k, k ∈ N, k 1, tức là ta có:

Ta chứng minh uk+1

uk+1 =

2k−1 π

uk = cos
, k ∈ N, k
3
2k π
, thật vậy:
= cos
3
2u2k

1.

2

2k−1 π
− 1 = 2 cos
3

− 1 = cos

2k π
.
3

2n−1 π
Vậy un = cos
, n ∈ N∗ .
3
Ví dụ 2.1.3. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ), biết:
u1 = 2,
un = 2u2n−1 − 1, n ∈ N, n

2.

Giải
Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát
1
1 2
1
1
1 22
1
a+
, ta có: u2 =
a + 2 , u3 =
a + 22 .
Đặt u1 =
2
a
2
a
2
a
Dự đoán:
1 2n−1
1
un =
a
+ 2n−1 , n ∈ N∗ ,
2
a

1
1
với a là nghiệm của phương trình 2 =
a+
.
2
a
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

un =
Với a = 2 +

√

1
1 2n−1
+ 2n−1
a
2
a

(2.3)

, n ∈ N∗ .

3.

1
1
a+

= 2, suy ra (2.3) đúng với n = 1.
2
a
Giả sử (2.3) đúng tới n = k, k ∈ N, k 1, tức là ta có:

Với n =1: ta có u1 =

1
1 2k−1
a
+ 2k−1 , k ∈ N, k
2
a
1 2k
1
a + 2k , thật vậy:
=
2
a

uk =
Ta chứng minh uk+1

uk+1 =

2u2k

1
1
k−1

− 1 = 2 a2 + 2k−1
4
a

2

−1=

1.

1
1 2k
a + 2k
2
a

.


17

√ 2n−1
√
1
1 2n−1
1
Vậy un =
2+ 3
a
+ 2n−1 =

+ 2− 3
2
2
a
Ví dụ 2.1.4. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ), biết:
u1 = 3,
un = 4u3n−1 − 3un−1 , n ∈ N, n

2n−1

2.

Giải
Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt
1
1 3
1
1
1 32
1
a+
, ta có: u2 =
a + 3 , u3 =
a + 32
Đặt u1 =
2
a
2
a
2

a
Dự đoán:
1
1 3n−1
a
+ 3n−1 , n ∈ N∗
un =
2
a
1
1
với a là nghiệm của phương trình 3 =
a+
.
2
a
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

un =
√
với a = 3 + 2 2.

1
1 3n−1
+ 3n−1
a
2
a

1

1
a+
= 3, suy ra (2.4) đúng với n = 1.
2
a
Giả sử (2.4) đúng tới n = k, k ∈ N, k 1, tức là ta có:
1
1 3k−1
a
+ 3k−1 , k ∈ N, k
2
a
1
1 3k
a + 3k . Thật vậy:
=
2
a

Ta chứng minh uk+1

.

(2.4)

, n ∈ N∗ ,

Với n =1: ta có u1 =

uk =

, n ∈ N∗ .

1.

uk+1 = 4u3k − 3uk
3
1 3k−1
1
1
1 3k−1
=4 a
+ 3k−1 − 3
+ 3k−1
a
8
2
a
a
1
1 3k
a + 3k .
=
2
a
√ 3n−1
√ 3n−1
1
Vậy un =
3+2 2

, n ∈ N∗ .
+ 3−2 2
2
Ví dụ 2.1.5. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ), biết:

√

3
,
u1 =
2

un = 4u3n−1 − 3un−1 , n ∈ N, n 2.


18

Giải
Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt
π
3π
32 π
33 π
, u4 = cos
.
Ta có u1 = cos , ta có: u2 = cos , u3 = cos
6
6
6
6

3n−1 π
Dự đoán: un = cos
, n ∈ N∗ .
6
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

un = cos

3n−1 π
, n ∈ N∗ , n ∈ N∗ .
6

(2.5)

π
Với n =1: ta có u1 = cos , suy ra (2.5) đúng với n = 1.
6
Giả sử (2.5) đúng tới n = k, k ∈ N, k 1, tức là ta có:
uk = cos
Ta chứng minh uk+1

uk+1 =

4u3k

3k−1 π
, k ∈ N, k
6

1.

3k π
, thật vậy:
= cos
6

3k−1 π
− 3uk = 4 cos
6

3

− 3 cos

3k π
3k−1 π
= cos
.
6
6

3n−1 π
, n ∈ N∗ .
Vậy un = cos
6
Ví dụ 2.1.6. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ), biết:
1
u1 = ,
2
un = 4u3n−1 + 3un−1 , n ∈ N, n

2.

Giải
Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt
1 32
1
1 3
1
1
1
a−
, ta có: u2 =
a − 3 , u3 =
a − 32
Đặt u1 =
2
a
2
a
2
a
Dự đoán:
1 3n−1
1
un =
− 3n−1 , n ∈ N∗ .
a
2
a

1 1
1
Với a là nghiệm của phương trình: =
a−
.
2 2
a
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

un =

1
1 3n−1
a
− 3n−1
2
a

, n ∈ N∗

.

(2.6)


19

√

5+1

.
2
1
1
1
Với n =1: ta có u1 =
a−
= , suy ra (2.6) đúng với n = 1.
2
a
2
Giả sử (2.6) đúng tới n = k, k ∈ N, k 1, tức là ta có:
với a =

uk =
Ta chứng minh uk+1 =

1 3k−1
1
− 3k−1
a
2
a

1
1 3k
a − 3k
2
a

uk+1 = 4u3k + 3uk
1
1
k−1
= 4 a3 − 3k−1
8
a
1
1 3k
a − 3k .
=
2
a
Vậy

un =

1 3n−1
1
− 3n−1
a
2
a

, k ∈ N, k

1.

, thật vậy:

3

 √
1
5+1
= 
2
2

+3

1
1 3k−1
− 3k−1
a
2
a

3n−1

−

√

5−1
2

Ví dụ 2.1.7. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ), biết:

 u1 = 1

√
un−1 + 3
√
, n ∈ N, n 2.
 un =
1 − 3un−1

3n−1



 , n ∈ N∗ .

Giải
Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt
π √
π
Để ý: 1 = tan , 3 = tan .
4
3
Theo đề ta có:
π π
π
tan
+
+
tan
π π
4 3
3 = tan π + 2π .

+
, u3 =
u2 = tan
π π
π
4 3
4
3
+
1 − tan
tan
4 3
3
π
π
+ (n − 1)
Dự đoán: un = tan
, n ∈ N∗ .
4
3
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:
π
π
un = tan
+ (n − 1)
, n ∈ N∗ .
(2.7)
4
3

20

π
= 1, suy ra (2.7) đúng với n = 1.
4
Giả sử (2.7) đúng tới n = k, k ∈ N, k 1, tức là ta có:

Với n =1, ta có u1 = tan

π
π
+ (k − 1)
, k ∈ N, k 1.
4
3
π
π
+k
, thật vậy:
Ta chứng minh uk+1 = tan
4
3
π
π
π
+ (k − 1)
tan
+ tan
4

3
3
uk+1 =
π
π
π
1 − tan
tan
+ (k − 1)
4
3
3
π
π
.
+k
= tan
4
3
π
π
Vậy un = tan
+ (n − 1)
,n ∈ N∗ .
4
3
uk = tan

2.1.2. Sử dụng phương trình sai phân để tìm số hạng tổng
quát

Lý thuyết phương trình sai phân được áp dụng rất nhiều trong việc đi
tìm số hạng tổng quát của dãy số. Trong phần này chỉ trình bày phương
pháp sử dụng lý thuyết phương trình sai phân cấp một, cấp hai để tìm số
hạng tổng qt.
Bài tốn 2.1.1. Sử dụng phương pháp giải phương trình sai phân cấp một
để tìm số hạng tổng quát của dãy số được cho bởi công thức.

u1
un+1 = λun + f (n) , n ∈ N∗ .
Phương pháp giải

• Trường hợp 1: Nếu f (n) = Pm (n) là đa thức bậc m đối với n. Khi đó:
– Nếu λ = 1 thì un = cλn + Qm (n) , n ∈ N∗ .
– Nếu λ = 1 thì un = c + n.Qm (n) , n ∈ N∗ .

• Trường hợp 2: Nếu f (n) = Pm (n) .β n , (β = 0). Khi đó:

– Nếu λ = β thì chọn un = cλn + Qm (n) .β n , n ∈ N∗ .

– Nếu λ = β thì chọn un = cλn + n.Qm (n) .β n , n ∈ N∗ .