Áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá trong việc giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐOÀN VĂN AN

ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ,
TƢƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC
GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐOÀN VĂN AN

ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ,
TƢƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC
GIẢI TỐN SƠ CẤP

Chun ngành: Phƣơng pháp tốn sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC TUẤN

ĐÀ NẴNG - NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự
hướng dẫn của TS. Phan Đức Tuấn. Các kết quả của luận văn là trung thực
và chưa từng được ai công bố trên bất kì cơng trình nào khác.

Tác giả

Đồn Văn An


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ..................................................................2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................2
5. Đóng góp của đề tài ........................................................................................2
6. Cấu trúc luận văn ............................................................................................3
CHƢƠNG 1. KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƢƠNG TỰ HOÁ ...........4
1.1. CÁC KHÁI NIỆM ...............................................................................................4
1.1.1. Khái quát hóa ............................................................................................4
1.1.2. Đặc biệt hóa ..............................................................................................6
1.1.3. Tƣơng tự hóa. ..........................................................................................8
1.2. VAI TRỊ CỦA KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƢƠNG TỰ HOÁ
TRONG VIỆC GIẢI BÀI TỐN SƠ CẤP ..............................................................10
1.2.1. Vai trị khái qt hóa, đặt biệt hóa, tƣơng tự hóa trong việc giải tốn sơ
cấp. ............................................................................................................................10
1.2.2. Các ví dụ minh họa .................................................................................12

CHƢƠNG 2. ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƢƠNG TỰ
HOÁ TRONG VIỆC GIẢI TOÁN SƠ CẤP .........................................................26
2.1. MỘT SỐ VẬN DỤNG TRONG ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC. .....26
2.1.1. Giới thiệu tóm tắt lý thuyết về bất đẳng thức. .......................................26
2.1.2. Một số vận dụng trong đẳng thức và bất đẳng thức ...............................28
2.2. MỘT SỐ VẬN DỤNG TRONG LƢỢNG GIÁC ..............................................47
2.2.1. Giới thiệu một số công thức lƣợng giác .................................................47
2.2.2. Một số vận dụng trong lƣợng giác. ........................................................49
2.2.3. Vận dụng đặc biệt hoá để chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác trong
tam giác .....................................................................................................................60


2.3. MỘT SỐ VẬN DỤNG TRONG HÌNH HỌC ...................................................65
2.4. MỘT SỐ BÀI TỐN THƢỜNG GẶP TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ
THƠNG (SỐ HỌC)...................................................................................................75
KẾT LUẬN ..............................................................................................................89
TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải toán sơ cấp ở bậc học phổ thông là một hoạt động quan trọng.
Chúng ta biết rằng khơng phải bài tốn nào cũng có thể giải đƣợc một cách dễ
dàng. Khi gặp một bài tốn mà giải trực tiếp nó gặp nhiều khó khăn thì ta nên
xét các trƣờng hợp đặc biệt, các trƣờng hợp tƣơng tự hay tổng qt của nó vì
có thể xét bài tốn theo các khía cạnh đó lại dễ hơn và từ các trƣờng hợp đó ta

suy ra cách giải bài tốn ban đầu.
Khái qt hóa, đặc biệt hóa và tƣơng tự hóa, đó là những thao tác tƣ duy
có vai trị rất quan trọng trong q trình dạy học tốn ở trƣờng phổ thơng.
Khái qt hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự hóa là phƣơng pháp giúp chúng ta mị
mẫm, dự đốn để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hoá
kiến thức và góp phần quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí
tuệ cho học sinh.Tuy nhiên, khái qt hố, đặc biệt hố và tƣơng tự hóa hiện
nay chƣa đƣợc rèn luyện đúng mức trong dạy học ở trƣờng phổ thông.
Việc áp dụng trong lƣợng giác; trong hình học; chứng minh đẳng thức và
bất đẳng thức; ... vào việc giải toán sơ cấp ngày càng phát triển, tạo hứng thú
cho các em trong q trình học tốn, vận dụng tốn vào cuộc sống, tạo hứng
thú đối với những học sinh yêu thích tốn học, đam mê sự sáng tạo, tìm tịi
cho mơn tốn.
Vì những lý do đó, tơi chọn đề tài: “Áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá,
tương tự hoá trong việc giải toán sơ cấp” cho luận văn Thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu vai trị của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự trong dạy
học toán và dạy học trong lƣợng giác, trong hình học chứng minh bất đẳng
thức.


2
Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và
tƣơng tự cho học sinh vào giải tốn trong lƣợng giác; trong hình học; chứng
minh đẳng thức và bất đẳng thức; một số dạng toán khác hay gặp trong bậc
phổ phổ thông.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Việc áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự hoá để giải bài tốn
sơ cấp ở phổ thơng.

- Một số bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức (Đại số).
- Một số bài toán về lƣợng giác.
- Một số bài tốn về hình học.
- Một số bài tốn thƣờng gặp trong chƣơng trình phổ thơng (Số học).
Trong mỗi phần sẽ đƣa vào các ví dụ và bài tập áp dụng cụ thể.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Tìm hiểu khả năng khái qt hố, đặc biệt hố, tƣơng tự hóa của học sinh
phổ thơng thơng qua các bài tốn trong lƣợng giác; trong hình học; chứng
minh đẳng thức và bất đẳng thức; một vài dạng tốn hay gặp ở bậc phổ thơng.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tổng hợp từ sách, báo, tài liệu có đề cập đến khái qt hố,
đặc biệt hố, tƣơng tự hóa, lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo,
sách giáo viên, tạp chí giáo dục, ...
5. Đóng góp của đề tài
ây dựng, hệ thống đề xuất một số biện pháp nhằm áp dụng khái quát
hoá, đặc biệt hố và tƣơng tự hóa cho học sinh phổ thơng chứng minh về một
số dạng tốn về đẳng thức và bất đẳng thức, lƣợng giác và hình học, một số
dạng tốn thƣờng gặp ở bậc phổ thơng (số học).


3
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, hai chƣơng và danh mục tài liệu
tham khảo.
Chƣơng 1. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự hoá.
Chƣơng 2. Áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự hoá trong việc
giải toán sơ cấp vào chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, lƣợng giác, hình
học và các dạng thƣờng gặp khác bậc phổ thông (số học).

4
CHƢƠNG 1

KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƢƠNG TỰ HOÁ
1.1. CÁC KHÁI NIỆM
1.1.1. Khái qt hóa
Theo G. Pơlya, “Khái qt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tƣợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp
ban đầu” 3, tr.21 .
Trong “Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn”, các tác giả Nguyễn Bá Kim,
Vũ Dƣơng Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tƣợng
sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong
các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” 7, tr.31 .
Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa, khi chuyển từ việc nghiên cứu tam
giác sang về nghiên cứu tứ giác, rồi đa giác bất kỳ với số cạnh bất kỳ. Từ hệ
thức lƣợng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lƣợng trong tam
giác thƣờng. Chúng ta có thể chuyển việc nghiên cứu bất đẳng thức cho hai số
sang bất đẳng cho n số tùy ý, ...
Trong các ví dụ này cho thấy chúng ta khái quát hóa chuyển từ chỗ chỉ xét
một đối tƣợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tƣợng đó.
Xét ví dụ: Ở lớp 9 ta có định lí sau: "Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một
dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn".
Ta có ba trƣờng hợp:
B

O

C

O

B

B

A
Hình 1a

x

A
Hình 1b

x

O

A
Hình 1c

x


5
Hình 1a: Tâm O nằm bên ngồi góc
Hình 1b: Tâm O nằm trên cạnh góc
Hình 1c: Tâm O nằm bên trong góc
Trong ba trƣờng hợp trên ta đều chứng minh đƣợc góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng
chắn một cung do đó cũng bằng một nửa số đo của cung bị chắn. Từ đó bằng

khái quát hóa chúng ta đi đến quy luật phổ biến đối với mọi góc tạo bởi tia
tiếp tuyến và dây cung qua tiếp điểm đều bằng một nửa số đo của cung bị
chắn. Nhƣ vậy trên cơ sở nghiên cứu ba trƣờng hợp riêng lẻ có thể xảy ra (và
chỉ có thể xảy ra một trong ba trƣờng hợp mà thơi) ta đã khái qt hóa vấn đề
đặt ra.
Những dạng khái qt hóa thƣờng gặp trong mơn tốn có thể biểu diễn
theo sơ đồ sau:
Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái riêng

Khái quát hóa từ cái tổng

lẻ đến cái tổng quát

quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hóa tới cái tổng

Khái quát hóa tới cái tổng

quát đã biết

quát chƣa biết

Nhƣ vậy có hai con đƣờng khái quát hóa: con đƣờng thứ nhất trên cơ sở
so sánh những trƣờng hợp riêng lẻ, con đƣờng thứ hai không dựa trên sự so
sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tƣợng trong hàng loạt hiện tƣợng
giống nhau.

6
1.1.2. Đặc biệt hóa
Theo G. Pơlya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tƣợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập
hợp đã cho” [7, tr22].
Có thể hiểu đặc biệt hóa là q trình ngƣợc lại của khái qt hóa.
Chẳng hạn chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ nghiên cứu một đa giác
sang nghiên cứu một tam giác (là một đa giác đặc biệt có số cạnh bằng 3), ta
tiếp tục đặc biệt hóa khi chuyển từ tam giác sang tam giác đều (là một tam
giác đặc biệt có ba cạnh bằng nhau).
Trong hai bƣớc đặc biệt hóa trên đã tiến hành theo các bƣớc sau. Trong
lần đầu (từ đa giác sang tam giác) ta thay một biến bởi một hằng số cụ thể

n

 3 ; trong lần thứ hai (từ tam giác bất kỳ sang tam giác đều) chúng ta

quy định những điều hạn chế (tam giác phải có ba cạnh bằng nhau).
Ta dùng đặc biệt hóa để minh họa, giải thích những khái niệm, định lí
tổng quát bằng những trƣờng hợp riêng lẻ, cụ thể. Đặc biệt hóa thƣờng đƣợc
sử dụng trong các bài tốn dựng hình, tìm quỹ tích, phƣơng pháp này giúp ta
mị mẫm, dự đốn quỹ tích trên cơ sở đó hình thành phƣơng pháp chứng minh
cho tồn bộ bài tốn.
Ta xét ví dụ sau: "Dựng tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn".
Ta chỉ xét hai đƣờng trịn khơng cắt nhau có bán kính R2  R1 . Nếu giải
bài tốn này rất khó khăn, ta xét trƣờng hợp đƣờng trịn  O1; R1  là đƣờng
trịn điểm. Lúc đó cách dựng nhƣ sau: dựng đƣờng tròn đƣờng O1O2 , đƣờng
tròn này cắt  O2  tại A và B thì O1 A và O1B là hai tiếp tuyến của đƣờng tròn

 O2  qua điểm O1 (hình 2a).


7

A

O1

O2

B
Hình 2a

Trở lại bài tốn ban đầu, ta vận dụng bài toán bằng cách dựng tiếp tuyến
từ O1 đến đƣờng trịn  O2 ; R2 – R1 . Sau đó dựng hai đƣờng thẳng lần lƣợt
song song với hai tiếp tuyến vừa dựng đƣợc, ta dựng đƣợc tiếp tuyến ngoài
chung của hai đƣờng tròn. Tƣơng tự ta dựng hai tiếp tuyến trong bằng cách
dựng tiếp tuyến từ tâm O1 đến đƣờng tròn  O2 ; R2  R1  rồi cũng dựng hai
đƣờng thẳng lần lƣợt song song với hai đƣờng thẳng đó, đó chính là hai tiếp
tuyến chung trong hai đƣờng trịn.
Những dạng đặc biệt hóa thƣờng gặp trong mơn tốn có thể đƣợc biểu
diễn theo sơ đồ sau:
Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa từ cái tổng

Đặc biệt hóa từ cái riêng

quát đến cái riêng lẻ

đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa tới cái riêng

Đặc biệt hóa tới cái riêng

lẻ đã biết

lẻ chƣa biết


8
Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác
sang việc nghiên cứu đa giác đều. Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc
biệt hóa để nghiên cứu tam giác đều. Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái
riêng hơn.
Đặc biệt hóa là q trình đi từ cái chung đến cái riêng, là q trình minh
họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trƣờng hợp riêng lẻ,
cụ thể.
Đặc biệt hóa thƣờng đƣợc sử dụng trong việc trình bày các khái niệm,
chứng minh các định lí, bài tập…Trong bài tốn quỹ tích hoặc tìm điểm cố
định đặc biệt hóa thƣờng đƣợc sử dụng để mị mẫm, dự đốn quỹ tích, dự
đốn điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài tốn.
1.1.3. Tƣơng tự hóa
Theo G. Pôlya: “Hai hệ là tƣơng tự nếu chúng phù hợp với nhau trong
mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tƣơng ứng” [3, tr23].
Theo Giáo sƣ Hoàng Chúng: “Tƣơng tự thƣờng có nghĩa giống nhau”.
Ngƣời ta thƣờng xét vấn đề tƣơng tự trong toán học trong các khía cạnh sau:
- Hai phép chứng minh là tƣơng tự nếu đƣờng lối, phƣơng pháp chứng

minh giống nhau.
- Hai hình là tƣơng tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau, nếu vai
trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó hoặc nếu giữa các vấn đề
tƣơng ứng của chúng giống nhau.
- Hai tính chất là tƣơng tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc
tính của hai hình tƣơng tự.
Chẳng hạn đƣờng thẳng, tam giác, đƣờng trịn trong hình học phẳng
tƣơng tự nhƣ mặt phẳng, tứ diện, mặt cầu trong hình học khơng gian.
Ví dụ trong hình học phẳng ta có bài tốn: "Chứng minh rằng tổng các
khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của một tam giác đều tới ba cạnh của nó là


9
khơng đổi". Ta có bài tốn tƣơng tự trong khơng gian: "Chứng minh rằng tổng
các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của tứ diện đều tới bốn mặt của nó là
khơng đổi".
Ngƣời ta cũng thƣờng xem những trƣờng hợp đặt biệt của cùng một vấn
đề là tƣơng tự nhau. Chẳng hạn tam giác và tứ giác là tƣơng tự nhau – đều là
trƣờng hợp đặc biệt của đa giác.
Kết luận dựa theo sự tƣơng tự có thể mơ tả nhƣ sau:
A có tính chất a, b, c
B có tính chất a, b
------------------------------------Thế thì B có thể có tính chất c
Tƣơng tự là nguồn gốc của nhiều phát minh. Bên cạnh đó cũng giống
nhƣ khái quát hóa, tƣơng tự thuộc về những suy luận có lý, do đó cần lƣu ý
với học sinh những kết luận rút ra từ tƣơng tự có thể dẫn đến những kết luận
sai.
Chẳng hạn, trong mọi tam giác các đƣờng cao đồng quy tại trực tâm.
Nếu cho rằng, tƣơng tự, mọi tứ diện có các đƣờng cao đồng quy tại trực tâm
là sai, vì điều đó chỉ đúng với tứ diện có các cặp cạnh đối diện vng góc với

nhau mà thơi (gọi là tứ diện trực tâm).
Tóm lại cùng một yếu tố hay một đối tƣợng có thể xác lập những tƣơng
tự khác nhau tùy thuộc vào vấn đề ta nghiên cứu.
Nhƣ vậy ta chú ý rằng một hình có thể tƣơng tự với nhiều hình khác
nhau tùy theo ta xét tính chất của hình, mối quan hệ giữa các phần tử của nó
về phƣơng diện nào đó. Có khi trong vấn đề này ta xét hai đối tƣợng nào đó là
tƣơng tự nhƣng ở chỗ khác phải biết xem đối tƣợng này là trƣờng hợp đặc
biệt của đối tƣợng kia. Điều đó địi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo
các phƣơng pháp giải tốn khái qt hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa.


10
1.2. VAI TRỊ CỦA KHÁI QT HỐ, ĐẶC BIỆT HỐ, TƢƠNG TỰ
HOÁ TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN SƠ CẤP
1.2.1. Vai trị khái qt hóa, đặt biệt hóa, tƣơng tự hóa trong việc
giải tốn sơ cấp
Trong tốn học, khái qt hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự hóa trở thành một
phƣơng pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trong
toán học sơ cấp cũng nhƣ trong toán học cao cấp. Khái quát hóa, đặc biệt hóa,
tƣơng tự hóa có thể vận dụng để mị mẫm dự đốn kết quả bài tốn, tìm
phƣơng hƣớng giải bài tốn, để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức.
Khi giải một bài tốn, phƣơng pháp chung là đƣa nó về một bài toán đơn
giản hơn sao cho khi giải bài tốn này thì có thể giải đƣợc bài tốn đã cho.
Khi đó các phƣơng pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự hóa có nhiều
tác dụng.
Trong lịch sử tốn học, có những bài tốn mà suốt hàng chục năm, thậm
chí hàng trăm năm biết bao thế hệ các nhà tốn học trên thế giới với bao cơng
sức chỉ mới giải đƣợc một số trƣờng hợp đặc biệt.
Chẳng hạn bài tốn nổi tiếng: “Chứng minh rằng phương trình
x n  y n  z n khơng có nghiệm ngun dương khi n  3 ”. Đây gọi là định lý

Fetmat do nhà toán học Fetmat đề ra khoảng năm 1630 (thế kỉ XVII). Lời
giải chỉ có sau hơn 300 năm, đã tốn không biết bao nhiêu thời gian và trí tuệ
của hàng trăm nhà tốn học lớn khắp thế giới.
Chính Fetmat đã chứng minh cho trƣờng hợp đặc biệt n  4 . Năm
1770. Euler đã chứng minh với n  3 . A. Legende (1725 – 1833) và Dirichet
đã chứng minh với n = 5 (1825). Khi n = 6 quy về n = 3 và tổng quát chỉ cần
chỉ cần chứng minh định lí cho số mũ nguyên tố. Năm 1839, nhà toán học
ngƣời Pháp G. Lame (1795 – 1870) đã chứng minh cho n = 7, kết quả đáng kể
nhất là của nhà toán học ngƣời Đức E. Kummer (1810 – 1893) đã chứng định


11
lí với mọi n < 100. Đầu năm 1960, với sự giúp đỡ của máy tính điện tử ngƣời
ta đã chứng minh đƣợc định lý với mọi n < 2521. Đến những năm 1970, 1980
của thế kỷ

, định lí đƣợc chứng minh cho các con số n < 100 000, nhƣng

nhƣ vậy định lí mới chỉ chứng minh cho một số lớn các trƣờng hợp đặc biệt.
Nhà toán học Hà Lan G. Faltings đã có cơng đóng góp lớn với việc
chứng minh rằng phƣơng trình x n  y n  z n với n > 2 nếu có nghiệm ngun
thì chỉ có hữu hạn nghiệm mà thơi.
Năm 1993 nhà tốn học ngƣời Anh là Andrew Wiles đã cơng bố chứng
minh định lí lớn Fermat. Tuy nhiên đến tháng 9/1993 các trung tâm toán học
tại Hoa Kỳ và Pháp đã phát hiện ra lỗ hổng trong chứng minh. Hơn một năm
sau, tháng 10/1994, Andrew Wiles và học trò là R. Taylor trình bày lời giải
thật hồn chỉnh chỉ có 25 trang. Định lí lớn của Fermat đã đƣợc chứng minh.
Nhƣ vậy suốt hơn 300 năm con ngƣời đã tìm tịi, mị mẫn để chứng
minh định lí từ những trƣờng hợp đặc biệt đến chứng minh trƣờng hợp tổng

quát cho định lí.
Đặc biệt trong các bài tốn dựng hình và tìm quỹ tích thì cái khó đầu tiên
là phải biết dự đốn kết quả, sau đó dùng đặc biệt hóa để kiểm tra lại kết quả.
Đối với nhà trƣờng phổ thông khái quát hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự đã
thâm nhập vào mọi khâu của quá trình dạy học. Trong dạy học tốn ở bậc phổ
thơng: khái qt hóa, đặc biệt hóa và tƣơng tự là con đƣờng giúp chúng ta
hình thành các tri thức lí thuyết, là phƣơng pháp suy nghĩ giúp chúng ta mị
mẫm, dự đốn để tìm lời giải của bài toán, mở rộng đào sâu và hệ thống hóa
kiến thức.
Từ những kiến thức bài tốn đã cho chúng ta có thể vận dụng khái quát
hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự hóa để hình thành những tri thức mới, đề xuất và
giải những bài toán mới. Trên cơ sở đó chúng ta sẽ đào sâu và hiểu rõ các khái
niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức của mình. Từ đó sẽ tạo cho


12
chúng ta hiểu rõ hơn bản chất và các quy luật của các sự kiện toán học, xác lập
mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng ta tiếp nhận đƣợc.
1.2.2. Các bài toán minh họa
Bài toán minh họa 1:
Trong chƣơng trình hình học ở bậc phổ thơng, chúng ta đã biết những
tính chất đặc điểm của ba đƣờng cao; đƣờng trung tuyến; đƣờng phân giác
trong một tam giác. Một đặc điểm mà ai cũng biết là ba đƣờng cùng loại xuất
phát từ ba đỉnh của tam giác, đồng quy tại một điểm lần lƣợt đƣợc gọi là trực
tâm, trọng tâm, tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác. Suy ra chúng có điều gì đó
chung. Sau đây ta xét các trƣờng hợp đặc biệt đó.
a. Xét giao điểm ba đường trung tuyến
A

B1

C1

B

C

A1

A1B B1C C1 A
.
.
1
AC
B1 A C1B
1

Ta ln có

(1.1)

b. Xét giao điểm ba đường phân giác
A

B1
C1

B

A1

C


13
A1B AB B1C BC C1 A CA

;

;

AC
AC B1 A BA C1B CB
1

Suy ra:

A1B B1C C1 A AB BC CA
.
.

.
.
1
AC
B1 A C1B AC BA CB
1

Vậy ta cũng có

A1B B1C C1 A
.
.
1
AC
B
A
C
B
1
1
1

- Nhận xét:
Hai trƣờng hợp trên ta dễ dàng chứng minh (1.1) đúng, bây giờ ta xem
(1.1) có đúng đối với ba đƣờng cao không?
c. Xét giao điểm ba đường cao
Xét các cặp tam giác đồng dạng sau:
A

B1
C1

B

A1

C

AA1B đồng dạng với CC1B 

A1B AB

C1B CB

AAC
1 đồng dạng với BB1C 

B1C BC

A1C AC

BB1 A đồng dạng với CC1 A 

C1 A CA

B1 A BA

Suy ra:

A1B B1C C1 A AB BC CA
.
.

.
.
1
C1B AC
B1 A CB AC BA
1

Vậy (1.1) cũng đúng với trƣờng hợp ba đƣờng cao.


14
d. Bài toán tổng quát
Từ 3 trƣờng hợp trên ta có bài tốn tổng qt hơn nhƣ sau :
- Bài toán tổng quát : Nếu A1, B1, C1 là ba điểm lần lƣợt thuộc ba cạnh
BC, CA, AB của tam giác ABC sao cho AA1, BB1, CC1 đồng quy thì:
A1B B1C C1 A
.
.
1
AC
B
A
C
B
1
1
1

(1.2)

- Hướng dẫn chứng minh bài toán tổng quát (1.2) như sau:
Dựng đƣờng thẳng d qua A và song song với BC.
Gọi C '  CC1  d ; B'  BB1  d
Dựa vào tính chất của tam giác đồng dạng ta có:
A1B AC
A1B AB '

1



AB ' AC '
AC
AC '
1

Tƣơng tự ta có:


B1C BC C1 A C ' A

;

B1 A AB ' C1B BC
A1B B1C C1 A AB ' BC C ' A
.
.

. '.
1
'
AC
B
A
C
B
AC

AB
BC
1
1
1


A1B B1C C1 A
.
.
1
AC
B
A
C
B
1
1
1

Tóm lại, từ các trƣờng hợp đặc biệt nhƣ đƣờng trung tuyến, phân giác,
đƣờng cao ta đã đƣa ra trƣờng hợp tổng quát cho ba đƣờng thẳng đồng quy
bất kỳ.
Việc tổng quát hóa này giúp cho ta rất nhiều trong một số bài tốn
chứng minh đồng quy.
e. Mở rộng, nâng cao
Khơng dừng lại ở đó, ta xét tiếp. Nếu A1 BC ; B1  CA ; C1 AB và
AA1, BB1, CC1 khơng đồng quy thì tỉ số trên nhƣ thế nào ?

15
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ACC1 và tam giác BCC1 ta có:
A

B1

C1

B

A1

C

AC1 sin ACC1
CC1
sin B
C A sin B sin ACC1
và
. Suy ra 1 


CC1
sin A
C1B sin C1CB
C1B sin A sin BCC1

Tƣơng tự ta có:
A1B sin C sin BAA1 B1C sin A sin CAB1
;



AC
sin B sin CAA1 B1 A sin C sin ABB1
1

Vậy

A1B B1C C1 A sin BAA1 sin CBB1 sin ACC1
.
.

.
.
AC
B
A
C
B
sin
CAA
sin
ABB
1
1
1
1
1 sin BCC1

Từ những kiến thức, bài tốn có những tính chất đặt biệt ta có thể vận

dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự hóa để hình thành nên bài tốn
tổng qt. Trên cơ sở đó chúng ta mở rộng, đào sâu kiến thức của bài toán và
mở rộng vốn kiến thức của mình. Từ đó sẽ tạo cho chúng ta hiểu rõ hơn bản
chất và các quy luật của toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất giữa các
tri thức mà chúng ta tiếp nhận đƣợc. Có thể thấy phát triển tƣ duy về toán theo
phƣơng pháp này làm cho mỗi chúng ta hứng thú hơn.
Bài toán minh họa 2:
Từ ví dụ 1, ta suy nghĩ đến bài tốn sau:
Xét bài toán :
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC .


16
A
B’
C’

H

B
A’

C

Ta có:

AH BH CH
AA'  A' H BB '  B ' H CC '  C ' H






A' H B ' H C ' H
A' H
B'H
C 'H
AA' BB ' CC '
 '  '  ' -3
AH B H C H
S ABC S ABC S ABC


- 3.
S BHC S AHC S AHB



(1.3)

Mặt khác
 S ABC S ABC S ABC  S BHC S AHC S AHB 






  9.
 S BHC S AHC S AHB  S ABC S ABC S ABC 

Vì SBHC +SAHC +SAHB = SABC .


S ABC S ABC S ABC


 9.
S BHC S AHC S AHB

Từ (1.3) và (1.4) ta có:

AH BH CH


 6.
A' H B ' H C ' H

(1.4)
(1.5)

a. Ta xét bài toán H là giao điểm của 3 đường trung tuyến tam giác
ABC
Dễ thấy hệ thức (1.5) vẫn đúng nếu AA' , BB' , CC ' là các đƣờng trung
tuyến.
b. Ta xét bài toán H là giao điểm của 3 đường phân giác tam giác ABC
Hệ thức (1.5) liệu còn đúng nếu AA' , BB' , CC ' là các đƣờng phân giác
của tam giác ABC ?

17
A

C’

B

B’
I

A’

C

Theo tính chất đƣờng phân giác ta có:
AI
AB
AC
AB  AC
AB  AC




.
'
'
A' I
A' B
AC

A' B  AC
BC

Tƣơng tự
BI
AB  BC

.
B' I
AC
CI
AC  BC

.
C 'I
AB

Suy ra
AI BI CI
AB  AC AB  BC AC  BC
 '  ' 


.
'
AI B I C I
BC
AC
AB

Mặt khác
AB  AC AB  BC AC  BC
 AB BC   AC BC   AB AC 


 





6
BC
AC
AB
 BC AB   BC AC   AC AB 



AI BI CI


 6.
A' I B ' I C ' I

(1.6)

Nhƣ vậy hệ thức trên vẫn đúng nếu AA' , BB' , CC' là các đƣờng phân
giác.
c. Bài toán tổng quát

Các đƣờng cao, trung tuyến, phân giác của một tam giác có tính chất
đồng quy tại một điểm. Từ đó ta có thể đề xuất một bài toán tổng quát hơn.
+ Bài toán tổng quát: Cho tam giác ABC , O là một điểm tùy ý trong


18
tam giác. Kéo dài AO, BO, CO cắt các cạnh đối diện tại A' , B' , C' . Khi đó
ta có:
AO BO CO
 '  '  6.
'
AO
BO CO

(1.7)

+ Hướng dẫn chứng minh:

Từ O kẻ OM  BC , Từ A kẻ AH  BC . Ta có
AA'
AH
S ABC
AO  OA'
S



 ABC .
'
'

OA
OM
SOBC
OA
SOBC


OA
S ABC

-1.
OA'
SOBC

Tƣơng tự
OB
S
OC
S
 ABC -1 ,
 ABC -1.
'
'
OB
S AOC
OC
S AOB


Vì

AO BO CO
S
S
S
 '  '  ABC  ABC  ABC - 3.
'
AO B O C O
SOBC S AOC S AOB

(1.8)

 S ABC S ABC S ABC  SOBC S AOC S AOB 






9
 SOBC S AOC S AOB  S ABC S ABC S ABC 

do SOBC  SOAC  SOAB  S ABC.


S ABC S ABC S ABC


 9.
SOBC S AOC S AOB

(1.9)


19

Từ (1.8) và (1.9) suy ra bất đẳng thức (1.7) là:

AO BO CO
 '  ' 6
'
AO
BO CO

(đpcm).
e. Mở rộng, nâng cao
Đến đây, bằng phép tương tự ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên cho tứ
diện ABCD .
+ Bài toán mới:
Cho tứ diện ABCD , O là một điểm trong tứ diện. Các đƣờng thẳng

AO, BO, CO, DO cắt các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D lần lƣợt tại
A' , B' , C ' , D' . Khi đó ta có:
AO BO CO BO
 '  '  '  12.
'
AO
BO CO BO

(1.10)

Với ý nghĩa là các phƣơng pháp suy nghĩ sáng tạo, khái qt hóa, đặc
biệt hóa và tƣơng tự đóng vai trị quan trọng trong việc hình thành những
phẩm chất trí tuệ cho học sinh. Giải một bài toán với nhiều cách giải khác
nhau từ đó tìm đƣợc cách giải hay cũng đã góp phần phát triển tính độc lập,
sáng tạo. Đề xuất và giải quyết các bài toán mới từ những bài tốn đã biết
khơng những là sáng tạo mà cịn tăng thêm niềm vui trong q trình giải
tốn.
Bài tốn minh họa 3:
+ Xét bài toán sau:
Cho a, b  0 . Chứng minh rằng: a 3 +b3  a 2b+b2a.

(1.11)

Chúng ta có thể giải bài tốn này theo 2 cách sau:
Cách 1
Ta có a3  b3 - a 2b - b2a  a 2  a - b  - b2  a - b    a - b   a  b   0.
2

 a3  b3  a 2b  b2a.


20
Cách 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a 3  a 3  b3  3

3

a6b3  3a 2b  2a3  b3  3a 2b.

Tƣơng tự 2b3  a3  3ab2 .
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đƣợc điều phải chứng minh.
a. Bài toán tương tự hóa, ta có bài tốn
Nhìn theo góc độ số mũ của hai vế của bất đẳng thức (1.11):
Xét riêng a 3 và a 2b ta thấy trong số hạng a 3 số mũ của a là 3, trong số
hạng a 2b thì số mũ của a là 2, số mũ của b là 1. Nhƣ vậy số mũ của a đã
giảm đi 1 đơn vị nhƣng tổng số mũ của a và b trong số hạng a 2b bằng số mũ
của a trong a 3 .
Từ đó ta có những bài tốn bất đẳng thức tƣơng tự sau:
Cho a, b  0 . Chứng minh rằng:
a4  b4  a3b  b3a.

(1.11.1)

a5  b5  a 4b  b4a.

(1.11.2)

Theo hướng khai thác đó ta có thể khái quát hóa bài tốn tổng qt như
sau:
Cho a, b  0 .
Chứng minh rằng: a n  bn  a n-1b  bn-1a  n  *.

(1.11.3)

Cũng nhìn theo góc độ số mũ của từng số hạng ở hai vế, ta thử mở rộng
bằng cách thay a n-1b bởi a mbn-m có nghĩa là chỉ cần tổng số mũ của a và b
bằng n là đủ. Nhƣ vậy bài toán trên lại đƣợc khái quát hóa nhƣ sau:
Cho a, b  0 . Chứng minh rằng:

a n  bn  a mbn-m  bma n-m  m, n  , n  m .

(1.11.4)