100 câu trắc nghiệm về Phương trình lượng giác lớp 11 có đáp án chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.33 MB, 43 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

100 CÂU TRẮC NGHIỆM VỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC LỚP 11

CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1. Giải phương trình sin 2 0

3 3

x

A. x k k . B. 2 3 .

3 2

k

x k C. .

x k k D. 3 .

2 2

k

x k

Lời giải 
Phương trình sin 2 0 2

3 3 3 3

x x k

2 3

3 3 2 2

x k

k x k

Chọn D

Câu 2. Số nghiệm của phương trình sin 2 400 3
2

x với 1800 x 1800 là?

A. 2. B. 4. C. 6. D. 7.

Lời giải 
Phương trình sin 2 400 3 sin 2 400 sin 600

x x

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

2 40 60 360 2 100 360 50 180

2 40 180 60 360 2 160 360 80 180

x k x k x k

 Xét nghiệm x 500 k180 .0 Vì 1800 x 1800 1800 500 k1800 1800
0

1 130

23 13 .

18 18 0 50

k k x

k

k x

 Xét nghiệm x 800 k180 .0 Vì 1800 x 1800 1800 800 k1800 1800
0

1 100

13 5

9 9 0 80

k k x

k

k x

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài tốn.
Chọn B

Cách 2 (CASIO). Ta có 1800 x 1800 3600 2x 360 .0

Chuyển máy về chế độ DEG, dùng chức năng TABLE nhập hàm sin 2 40 3
2

f X X với các

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu 3. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2 1

3 2

x trên đường tròn lượng giác là?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.

Lời giải

Phương trình

2 2

3 6 12

sin 2 sin .

3 6 2 2

3 6 4

x k x k

x k

x k x k

Biểu diễn nghiệm

x k trên đường trịn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1).

Biểu diễn nghiệm

x k trên đường trịn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2).

Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình.
Chọn C

Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng x k2

n số vị trí biểu diễn trên đường trịn lượng giác là n

 Xét 2

12 12 2

x k x k có 2 vị trí biểu diễn.

 Xét 2

4 4 2

x k x k có 2 vị trí biểu diễn.

Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí có thể trùng nhau.

Câu 4. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y sin3x và y sinx bằng nhau?

A.

.
2

x k

k

x k B. .

4 2

x k

k

x k C. x k4 k . D. x k2 k .

Lời giải

Xét phương trình hồnh độ giao điểm: sin3x sinx

Hình 1

O

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3 2

4 2

x k

x x k

k

x x k x k

Chọn B

Câu 5. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos 2 0
1 sin 2

x

x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. x0 0;4 . B. x0 4 2; . C. 0

3
; .
2 4

x D. 0

3
; .
4

x

Lời giải 
Điều kiện: 1 sin2x 0 sin2x 1.

Phương trình 2 cos 2 sin 22 cos 22 1 sin 2 1

0 cos 2 0

1 sin 2 sin 2 1

x x x

x x

x x

loại
thỏa mãn

sin 2 1 2 2 .

2 4

x x k x k k

Cho 0 1

4 k k 4.

Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với 1 3 3 ; .

4 4

k x

Chọn D

Câu 6. Hỏi trên đoạn 2017;2017 , phương trình sinx 1 sinx 2 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.

Lời giải

Phương trình sin 1 sin 1 2 .

2
sin 2 vo nghiem

x

x x k k

x

Theo giả thiết

2017 2017

2 2

2017 2 2017

2 k 2 k 2

xap xi 320,765 k 321,265 k k 320; 319;...;321 .

Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn u cầu bài tốn.
Chọn D

Câu 7. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3 3

4 2

x bằng:

A.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ta có

3 2

3 4 3

sin 3 sin 3 sin

4 2 4 3 3 2

4 3
x k
x x
x k
7 2
7

3 2
36 3
12 .

11 11 2

3 2

12 36 3

k
x

x k

k
k

x k x

TH1. Với
min
Cho
max
7 7
0 0

7 2 24 36 .

7 17

36 3 0 1

24 36

x k k x

k
x

x k k x

TH2. Với
min
Cho
max
11 11
0 0

11 2 24 36 .

11 13

36 3 0 1

24 36

x k k x

k

x

x k k x

So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là 13

x và nghiệm dương nhỏ nhất là 7

x .

Khi đó tổng hai nghiệm này bằng 13 7

36 36 6.

Chọn B

Câu 8. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của phương trình 0

3
cos 5 45

x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 0 0

0 30 ;0

x . B. 0 0

0 45 ; 30

x . C. 0 0

0 60 ; 45

x . D. 0 0

0 90 ; 60

x .

Lời giải 
Ta có

0 0 0

5 45 30 360

cos 5 45 cos 5 45 cos30

2 5 45 30 360

x k

x x

x k

0 0 0 0

5 75 360 15 72

5 15 360 3 72

x k x k

k

x k x k

TH1. Với 0 0 max 0

15 72 0 1 57 .

x k k k x

TH2. Với 0 0 max 0

3 72 0 1 69 .

x k k k x

So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x 57 .0
Chọn C

Câu 9. Hỏi trên đoạn ;2

2 , phương trình

13
cos

x có bao nhiêu nghiệm?

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Lời giải 
Phương trình cos 13 arccos13 2 .

14 14

x x k k

 Với arccos13 2
14

x k . Vì ;2 arccos13 2 2

2 2 14

x k

CASIO
xapxi

0,3105 0,9394 0 arccos .

14
k

k k x

 Với arccos13 2 .
14

x k Vì ;2 arccos13 2 2

2 2 14

x k

CASIO
xapxi

13 13

0,1894 1,0605 0;1 arccos ; arccos 2 .

14 14

k

k k x k

Vậy có tất cả 3 nghiệm thỏa mãn.
Chọn B

Cách 2 (CASIO). Dùng chức năng TABLE nhập hàm cos 13
14

f X X với các thiết lập

Start , End 2 , Step

2 7. Ta thấy f X đổi dấu 3 lần nên có 3 nghiệm.

Cách 3. Dùng đường tròn lượng giác

Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn cung từ

2 đến 2 . Tiếp theo ta kẻ đường thẳng
13
14

x . Nhìn
hình vẽ ta thấy đường thẳng 13

x cắt cung lượng giác vừa vẽ tại 3 điểm.

Câu 10. Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 150 sin .

x

x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 2900 X. B. 200 X. C. 2200 X. D. 2400 X.

Lời giải 
Ta có cos 150 sin cos 150 cos 900

2 2

x x x x

O

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

0 0 0

0 0

0 0 0

15 90 360 50 240

2 .

210 720

15 90 360

x x k

x k

k

x x k x k

Nhận thấy 2900 X (do ứng với k 1 của nghiệm x 500 k2400). 
Chọn A

Câu 11. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin 2x cosx 0 trên 0;2 .

A. T 3 . B. 5 .

T C. T 2 . D. T .

Lời giải 
Ta có sin 2 cos 0 sin 2 cos sin 2 sin

x x x x x x

2 2

2 6 3

2 2 2

2 2

k

x x k x

x x k x k

Vì x 0;2 , suy ra

2 1 11

0 2 0;1;2

6 3 4 4 .

1 3

0 2 2

4 4

k

k k

k

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn 0;2 là ;5 ;3 ; 3 .

6 6 2 2 T

Chọn A

Câu 12. Trên khoảng ;2

2 , phương trình cos 6 2x sinx có bao nhiêu nghiệm?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.

Lời giải 
Ta có cos 2 sin cos 2 cos

6 x x 6 x 2 x

2 2 2

6 2 3 .

2 2

6 2 9 3

x x k x k

k
k

x x k x

Vì ;2

x , suy ra

7 5

2 2 1

2 3 6 12 .

2 2 2 8 5 2; 1

2 9 3 3 12

k
k

k k k

k

k k

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chọn A

Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình tan 2x 150 1 trên khoảng 90 ;900 0 bằng:

A. 0 .0 B. 30 .0 C. 30 .0 D. 60 .0

Lời giải

Ta có tan 2x 150 1 2x 150 450 k1800 x 300 k90 0 k .
Do 90 ;900 0 900 300 900 900 4 2

3 3

x k k

0 0 0

1 60

60 30 30 .

0 30

k k x

k x

Chọn B

Câu 14. Giải phương trình cot 3x 1 3.

A. 1 5 .

3 18 3

x k k B. 1 .

3 18 3

x k k C. 5 .

18 3

x k k

D. 1 .

3 6

x k k

Lời giải 
Ta có cot 3 1 3 cot 3 1 cot

x x

1 1 5

3 1 .

6 3 18 3 3 18

k

x k x k k x

Chọn A

Câu 15. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số tan
4

y x và y tan 2x bằng nhau?

A. .

4 2

x k k B. .

12 3

x k k

C. .

x k k D. 3 1; , .

12 3 2

m

x k k k m

Lời giải

Điều kiện: cos 4 0 4 .

4 2

cos 2 0

4 2

x m

x

x m

x

Xét phương trình hồnh độ giao điểm: tan 2 tan
4

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2 .

4 12 3

x x k x k k

Đối chiếu điều kiện, ta cần có 3 1 , .

12 3 4 2 2

m

k m k k m

Vậy phương trình có nghiệm 3 1; , .

12 3 2

m

x k k k m

Chọn D

Câu 16. Số nghiệm của phương trình tan tan3
11

x trên khoảng ;2
4 là?

A. 1 B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Ta có tan tan3 3 .

11 11

x x k k

Do CASIO

xap xi

;2 2 0,027 1,72 0;1 .

4 4 11

k

x k k k

Chọn B

Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình tan5x tanx 0 trên nửa khoảng 0; bằng:

A. . B. 3

2 . C. 2 . D.

5
2 .
Lời giải

Ta có tan 5 tan 0 tan 5 tan 5 .

k

x x x x x x k x k

Vì x 0; , suy ra 0 0 4 0;1;2;3

k

k k k

Suy ra các nghiệm của phương trình trên 0; là 0; ; ;3 .
4 2 4

Suy ra 0 3 3 .

4 2 4 2

Chọn B

Câu 18. Giải phương trìnhtan3 .cot 2x x 1.

A. .

x k k B. .

4 2

x k k C. x k k . D. Vô nghiệm.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Điều kiện: cos3 0 6 3 .
sin 2 0

x k

x

k
x

x k

Phương trình tan 3 1 tan 3 tan 2 3 2 .

cot 2

x x x x x k x k k

x

Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x k không thỏa mãn .
2

x k

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Chọn D

Câu 19. Cho tan 1 0
2

x . Tính sin 2

x .

A. sin 2 1.

6 2

x B. sin 2 3.

6 2

x C. sin 2 3.

6 2

x D. sin 2 1.

6 2

x

Lời giải 
Phương trình tan 1 0 tan 1

2 2

x x

2 4 4

x k x k k

Suy ra 2 2 2 2 2 .

2 6 3

x k x k k

Do đó sin 2 sin 2 2 sin 2 3.

6 3 3 2

x k

Chọn C

Câu 20. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx 1?
A. sin 2

x . B. cos 2

x . C. cotx 1. D. cot2x 1.

Lời giải

Ta có tan 1 .

x x k k

Xét đáp án C, ta có cot 1 .
4

x x k k

Chọn C

Cách 2. Ta có đẳng thức cot 1 .
tan

x

x Kết hợp với giả thiết tanx 1, ta được cotx 1. Vậy hai

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

A. .
2

x k k B. x 2 k k .

x k

C. x 4 k2 k .

x k

D. .

x k k

Lời giải

Điều kiện: cos 0 .

x x k k

Phương trình cos 2 tan 0 cos 2 0

tan 0

x

x x

x
2

4 2

2 x k

x k

k

x k

thỏa mãn
thỏa mãn
Chọn C

Câu 22. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình sinx m có nghiệm.

A. m 1. B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1.

Lời giải 
Với mọi x , ta ln có 1 sinx 1.

Do đó, phương trình sinx m có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 1.

Chọn C

Câu 23. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cosx m 0 vơ nghiệm.

A. m ; 1 1; . B. m 1; . C. m 1;1 . D. m ; 1 .

Lời giải 
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx a.
 Phương trình có nghiệm khi a 1.

 Phương trình vơ nghiệm khi a 1.
Phương trình cosx m 0 cosx m.

Do đó, phương trình cosx m vơ nghiệm 1 1.
1
m
m

m
Chọn A

Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx m 1 có nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 Phương trình có nghiệm khi a 1.
 Phương trình vơ nghiệm khi a 1.

Do đó, phương trình cosx m 1 có nghiệm khi và chỉ khi m 1 1

1 m 1 1 2 m 0 m m 2; 1;0 .

Chọn C

Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2 2

x m có

nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

A. T 6. B. T 3. C. T 2. D. T 6.

Lời giải

Phương trình cos 2 2 cos 2 2.

3 3

x m x m

Phương trình có nghiệm 1 m 2 1 3 m 1

3; 2; 1 3 2 1 6.

m S T

Chọn D

Câu 26. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2cosx 3 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 5 .

6 S B.

11 .

6 S C.

13 .

6 S D.

13 .

6 S

Lời giải

Ta có

2
6

2 cos 3 0 cos cos .

6 2

x k

x x k

x k

Nhận thấy với nghiệm 2 1 11 .

6 6

k

x k x S

Chọn B

Câu 27. Hỏi 7

x là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 2sinx 3 0. B. 2sinx 3 0. C. 2cosx 3 0. D. 2cosx 3 0.

Lời giải

Với 7

x , suy ra

7 3

sin sin 2 sin 3 0

3 2

7 1 2 cos 1 0

cos cos

3 2

x x

x
x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Chọn A

Cách 2. Thử 7

x lần lượt vào từng phương trình.

Câu 28. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 sin 4 1 0.
3

x

A. .
4

x B. 7 .

x C. .

x D. .

x

Lời giải 
Ta có 2 sin 4 1 0 sin 4 1 sin 4 sin

3 3 2 3 6

x x x

4 2 4 2

3 6 2 8 2 .

7 7

4 2

3 6 24 2

k

x k x k x

k
k

x k

x k x

TH1. Với Cho 0

min

0 0 .

8 2 8 2 4 8

k k

x k k x

TH2. Với Cho 0

min

7 7 7 7

0 0 .

24 2 24 2 12 24

k k

x k k x

So sánh hai nghiệm ta được

x là nghiệm dương nhỏ nhất.
Chọn C

Câu 29. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình tan 2 3 0
3

x trên đường trịn lượng giác
là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải

Ta có tan 2 3 0 tan 2 3 tan 2 tan

3 3 3 3

x x x

2 2 .

3 3 2

k

x k x k x k

O

C

D

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường trịn lượng giác là
A, B, C,D.

Chọn A

Cách trắc nghiệm. Ta có 2

2 4

k

x k có 4 vị trí biểu diễn.

Câu 30. Hỏi trên đoạn 0;2018 , phương trình 3 cotx 3 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018.

Lời giải

Ta có cot 3 cot cot .

6 6

x x x k k

Theo giả thiết, ta có 0 2018 xap xi 1 2017,833

6 k 6 k

3 k k 0;1;...;2017 . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa

mãn yêu cầu bài tốn.
Chọn D

Câu 31. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2cos2x 1? 
A. sin 2.

x B. 2sinx 2 0. C. tanx 1. D. tan2x 1.

Lời giải 
Ta có 2 cos2 1 cos2 1

x x . Mà sin2 cos2 1 sin2 1.
2

x x x

Do đó 2 2

sin

tan 1

cos

x
x

x . Vậy

2 2

2cos x 1 tan x 1.

Chọn D

Câu 32. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan2x 3
?
A. cos 1.

x B. 4 cos2x 1. C. cot 1 .

x D. cot 1 .

x

Lời giải 
Ta có

2 2 2

sin

tan 3 3 sin 3cos

cos

x

x x x

x

2 2 2

1 cos x 3cos x 4cos x 1. Vậy tan2x 3 4 cos2x 1.
Chọn B

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

A.

3 , .

2
3

x k

k

x k

B.

3 , .

2 2

x k

k

x k

C. 3 3 , .
3

k
x

k
k

D. 3 , .

k
x

k
k

Lời giải 
Ta có 4 sin2 3 sin2 3 sin 3

4 2

x x x .

 Với

3 3

sin sin sin .

2 3 2

x k

x x k

x k

 Với

3 3

sin sin sin .

2 3 2

x k

x x k

x k

Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường trịn lượng giác (hình vẽ).

Nếu tính ln hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm này thành một
họ nghiệm, đó là

x k .

Suy ra nghiệm của phương trình 3 3 , .
3

k

x k x

k
k

k l

Chọn D

Câu 34. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 3sin2x cos2x? 
A. sin 1.

x B. cos 3.

x C. sin2 3.

x D. cot2x 3.

Lời giải 
Ta có 3sin2x cos2x. Chi hai vế phương trình cho sin ,2x

ta được cot2x 3. 
Chọn D

O

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 35. Với x thuộc 0;1 , hỏi phương trình cos 62 3

x có bao nhiêu nghiệm?

A. 8. B. 10. C. 11. D. 12.

Lời giải 
Phương trình cos 62 3 cos 6 3.

4 2

x x

 Với cos 6 3 cos 6 cos 6 2

2 6 6

x x x k .

1 1 35

0;1 0;1;2

36 3 12 12

1 0;1 1 37 1;2;3

36 3 12 12

k
k
k

x k k

k

x k k

có 6 nghiệm.

 Với cos 6 3 cos 6 cos5 6 5 2

2 6 6

x x x k .

5 0;1 5 31

0;1;2

36 3 12 12

5 5 41

0;1 1;2;3

36 3 12 12

k
k
k

x k k

k

x k k

có 6 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm.
Chọn D

Câu 36. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cosx m 1 0 có nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải 
Ta có 3 cos 1 0 cos 1

m

x m x .

Phương trình có nghiệm 1 1 1 1 3 1 3 0;1;2 .

m

m m

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m.
Chọn C

Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2108;2018 để phương trình

cos 1 0

m x có nghiệm?

A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4038.

Lời giải 
Ta có mcosx 1 0 cosx 1.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Phương trình có nghiệm 1 1 1 1 2018;2018m 1;2;3;...;2018
m

m m

m .

Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của tham số m.
Chọn A

Câu13. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình m 2 sin 2x m 1 nhận

x làm nghiệm.

A. m 2. B. 2 3 1 .

3 2

m C. m 4. D. m 1.

Lời giải 
Vì

x là một nghiệm của phương trình m 2 sin 2x m 1 nên ta có:

2 2

2 .sin 1 1 2 2 2 4

12 2

m

m m m m m m .

Vậy m 4 là giá trị cần tìm.
Chọn C

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m 1 sinx 2 m 0 có nghiệm.

A. m 1. B. 1.

m C. 1 1.

m D. m 1.

Lời giải

Phương trình 1 sin 2 0 1 sin 2 sin 2.

m

m x m m x m x

m

Để phương trình có nghiệm 1 2 1
1

m
m

2 2 1

0 1 0

2 1

1 1

2 3 2

1 0 0

1 1 1

m m m

m
m

m m m

là giá trị cần tìm.

Chọn B

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m 2 sin 2x m 1 vơ nghiệm.
A. 1;2 .

m B. ;1 2; .

m C. 1;2 2; .

m D. 1; .

m

Lời giải

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

TH2. Với m 2, phương trình 2 sin 2 1 sin 2 1.
2

m

m x m x

m

Để phương trình vơ nghiệm

1 2

1 1;1 2 .

1
1

2 1 2

2
2

m m

m m

m

m m

m
Kết hợp hai trường hợp, ta được 1

m là giá trị cần tìm.
Chọn D

Câu 40. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos2x sin 2x 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .

4 S B. 2 S. C.

3
.

4 S D.

5
.
4 S
Lời giải

Phương trình 2 cos 2 1 cos 2 1

4 4 2

x x

2 2

4 4

cos 2 cos , .

4 4 2 2

4 4

x k

Xét nghiệm

x k , với k 1 ta được 3 .
4

x

Chọn C

Câu 41. Số nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos2x 3 trên khoảng 0;

2 là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải 
Phương trình 1sin 2 3cos 2 3 sin 2 3

2 x 2 x 2 x 3 2

2 2

3 3

sin 2 sin , .

3 3 2 2

3 3

x k

 0 0 1

2 2

k

k k khơng có giá trị k thỏa mãn.

 0 1 1 0 .

6 2 6 3 6

k

k k k x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

A. 7 .
8

T B. 21 .

T C. 11 .

T D. 3 .

T

Lời giải 
Phương trình cos2x sin2x sin 2x 2 cos2x sin 2x 2

cos 2 1 2 2 .

4 4 8

x x k x k k

7
1

1 17 8

0 2 0 2

8 8 8 2

8
k

k x

x k k

k x

7 15 11

8 8 4

T

Chọn C

Câu 43. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của

3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3 .x

A. x0 2. B. x0 18. C. x0 24. D. x0 54.
Lời giải

Phương trình 3sin3x 4sin 33 x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos9x 1

1sin 9 3cos 9 1 sin 9 1

2 x 2 x 2 x 3 2

9 2

3 6 18 9

sin 9 sin

7 2

3 6 9 2

3 6 54 9

k

x k x

x

k

x k x

min
Cho 0

min

2 0 1 0

18 9 4 18 .

7 2 7 7

0 0

54 9 12 54

k
k
k

k k x

k k k x

So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là .
18

x

Chọn B

Cách trắc nghiệm. Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào thỏa mãn
phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn.

Câu 44. Số nghiệm của phương trình sin5x 3 cos5x 2sin7x trên khoảng 0;

2 là?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Phương trình 1sin 5 3cos5 sin7 sin 5 sin7

2 x 2 x x x 3 x

7 5 2

3 6

sin7 sin 5 .

3 7 5 2

3 18 6

x x k x k

x x k

k

x x k x

 0 1 1 0 .

6 2 6 3 6

k

k k k x



1 8 2

0 1 .

18 6 2 3 3 9

7
2

18
k

k x

k k k x

k x

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.
Chọn D

Câu 45. Giải phương trình 3 cos sin 2 sin 2 .

2 2

x x x

A.

5 2

6 , .

18 3

x k

k

x k

B.

7 2

6 , .

18 3

x k

k

x k

C.

5 2

6 , .

7
2
6

x k

k

x k

D.

18 3 , .

18 3

x k

k

x k

Lời giải 
Ta có cos sin

x x và sin cos

x x.

Do đó phương trình 3 sinx cosx 2sin 2x 3 sinx cosx 2sin 2x

3 1

sin cos sin 2 sin sin 2 sin sin 2

2 x 2 x x x 6 x x 6 x

2 2

6 18 3 .

2 2 2

6 6

x x k x k

k

x x k x k

Xét nghiệm 1 '

, '

5 7

2 ' 2

6 6

k k

x k x k .

Vậy phương trình có nghiệm 2 , 7 ' 2 , ' .

18 3 6

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Chọn B

Câu 46. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin9x 3 cos7x sin7x 3 cos9x. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?

A. 0 ;0 .
12

x B. 0 ; .

6 12

x C. 0 ; .

3 6

x D. 0 ; .

2 3

x

Lời giải 
Phương trình sin 9x 3 cos9x sin7x 3 cos7x

9 7 2

3 3

sin 9 sin 7 5

3 3 9 7 2

48 8

3 3

x x k x k

x x k

x

x x k

max
Cho 0

max

0 0 1

5 5

0 1

48 8 6 48

k

k k k x

k k k x So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn

nhất của phương trình là ;0 .

48 12

x

Chọn A

Câu 47. Biến đổi phương trình cos3x sinx 3 cosx sin3x về dạng sin ax b sin cx d với b, d

thuộc khoảng ;

2 2 . Tính b d.

A. .

b d B. .

b d C. .

b d D. .

b d

Lời giải 
Phương trình 3 sin3x cos3x sinx 3 cosx

3sin 3 1cos3 1sin 3cos sin 3 sin .

2 x 2 x 2 x 2 x x 6 x 3

Suy ra .

6 3 2

b d

Chọn D

Câu 48. Giải phương trình cos 3 sin 0.
1

sin
2

x x

x

A. , .

x k k B. 2 , .

x k k C. 7 2 , .

x k k D. 7 , .

x k k

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Điều kiện sin 1 0 sin 1 sin sin 6 2 .
5

2 2 6 2

x k

x x x k

x k

Điều kiện bài toán tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường trịn lượng giác (Hình 1).
Phương trình cosx 3 sinx 0 cosx 3 sinx

cot 3 cot cot .

6 6

x x x l l

Biểu diễn nghiệm

x l trên đường trịn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2.

Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm 2
6

x k . Do đó phương trình có nghiệm 7 2 .
6

x l l

Chọn C

Câu 49. Hàm số 2 sin 2 cos 2

sin 2 cos 2 3

x x

y

x x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải 
Ta có 2sin 2 cos 2 2 sin 2 1 cos 2 3 .

sin 2 cos 2 3

x x

y y x y x y

x x

Điều kiện để phương trình có nghiệm y 22 y 12 3y 2 7y2 2y 5 0

O

Hình 1

O

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

1 1;0

7
y

y y nên có 2 giá trị nguyên.
Chọn B

Câu 50. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos2x 3 sin2x 3 sinx cosx 2. Mệnh đề nào sau đây
là đúng?

A. x0 0;12 . B. x0 12 6; . C. x0 6 3; . D. x0 3 2; .

Lời giải

Phương trình 1cos 2 3sin 2 3sin 1cos 1

2 x 2 x 2 x 2 x

sin 2 sin 1

6 x x 6 .

Đặt 2 2 2 2 .

6 6 3 6 2

t x x t x t x t

Phương trình trở thành sin 2 sin 1 cos 2 sin 1
2

t t t t

2sin t sint 0 sin 2sint t 1 0.

 sin 0 0 1 min 0 .

6 6 6

k

t t k x k k k x

 min

min

2 2 0 0 .

1 6 3 6 3

sin

5 1

2 2 2 0 0 .

6 2

k
k

t k x k k k x

t

t k x k k k x

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là ; .
6 12 6

x

Chọn B

Câu 51. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình

sin 3 cos 2

3 3

x x m vơ nghiệm.

A. 21. B. 20. C. 18. D. 9.

Lời giải

Phương trình vơ nghiệm 12 3 2 2 2 4 2 4 0 1

m

m m

m

10;10 10; 9; 8;...; 2;2;...;8;9;10

m

m m có 18 giá trị.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cosx sinx 2 m2 1 vô nghiệm.

A. m ; 1 1; . B. m 1;1 . C. m ; D.

;0 0; .

m

Lời giải 
Phương trình vơ nghiệm 12 12 2 m2 1 2

4 2 2 0 2 2 2 0 2 0 0.

m m m m m m

Chọn D

Câu 53. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình

1 sin cos 1

m x m x m có nghiệm.

A. 21. B. 20. C. 18. D. 11.

Lời giải

Phương trình có nghiệm 12 2 1 2 2 4 0 0

4
m

m m m m m

m
10;10 10; 9; 8;...; 4;0;1;2;...;8;9;10

m

m m có 18 giá trị.

Chọn C

Câu 54. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2018;2018 để phương trình
2

1 sin sin 2 cos2 0

m x x x có nghiệm.

A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020.

Lời giải 
Phương trình 1 1 cos 2 sin 2 cos 2 0

x

m x x

2sin 2x 1 m cos2x m 1.

Phương trình có nghiệm 2 2 2

2 1 m m 1 4m 4 m 1

2018;2018 2018; 2017;...;0;1

m

m m có 2020 giá trị.

Chọn D

Câu 55. Hỏi trên 0;

2 , phương trình

2sin x 3sinx 1 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Phương trình 2

1
sin

2 sin 3sin 1 0 2

sin 1

x

x x

x

2
6

sin sin 5

2 .

6
sin 1

2
2

x k

x

x k k

x

x k

Theo giả thiết

1 1

0 2 0

6 2 12 6 6

5 5 1

0 0 2 .

2 6 2 12 12

0 2

2 2

k
k
k

k k k x

x k k k

k k

k

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên 0;
2 .

Chọn A

Câu 56. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2cos2x 5cosx 3 0 trên đường trịn lượng 
giác là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải 
Phương trình 2

cos 1

2 cos 5cos 3 0 3

cos
2

x

x x

x loại

cosx 1 x k2 k .

Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác.
Chọn A

Câu 57. Cho phương trình cot 32 x 3cot 3x 2 0.

Đặt t cot 3x, ta được phương trình nào sau đây?

A. t2 3t 2 0. B. 3t2 9t 2 0. C. t2 9t 2 0. D. t2 6t 2 0.
Lời giải

Chọn A

Câu 58. Số nghiệm của phương trình 4 sin 22 x 2 1 2 sin 2x 2 0 trên 0; là?

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Phương trình 2

2
sin 2

4 sin 2 2 1 2 sin 2 2 0 .

1
sin 2

x

x x

x



2 2

2 4 8 8

sin 2 sin .

3 3 3

2 4 2 2

4 8 8

x k x

x k

x

x k x k x



2 2

1 6 12 12

sin 2 sin .

5 5 5

2 6 2 2

6 12 12

x k x k x

x

x k x k x

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn.
Chọn B

Câu 59. Số nghiệm của phương trình sin 22 x cos2x 1 0 trên đoạn ;4 là?

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải 
Phương trình sin 22 x cos2x 1 0 cos 22 x cos2x 2 0

cos 2 1

cos 2 1 2 2 , .

cos 2 2

x

x x k x k k

x loại

Do x ;4 k 4 1 k 4 k k 1;0;1;2;3;4 .

Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn.
Chọn C

Câu 60. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 sin2 3cos 0

4 4

x x

trên đoạn 0;8 .

A. T 0. B. T 8 . C. T 16 . D. T 4 .

Lời giải 
Phương trình 2 sin2 3cos 0 2 1 cos2 3cos 0

4 4 4 4

x x x x

1
cos

4 2

2 cos 3cos 2 0 cos cos cos

4 4 cos 2 4 2 4 3

4
x

x x x x

x

loại

0;8

4 4

2 8

4 20

4 3 3 3 8 .

4 20 3 3

2 8

4 3 3 3

x
x

x k x k x

T
x

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Chọn B

Câu 61. Số nghiệm của phương trình 12 3 1 cot 3 1 0

sin x x trên 0; là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải 
Điều kiện: sinx 0 x k k .

Phương trình 1 cot2x 3 1 cotx 3 1 0 cot2x 3 1 cotx 3 0

3
cot cot

cot 1 4 4 4

cot 3

cot cot

6 6

x
x

x x k x

x

x x k x

x

thỏa mãn
thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn.

Chọn B

Câu 62. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos2x 2cosx 2 0 trên đoạn 0;3 .

A. 17 .
4

T B. T 2 . C. T 4 . D. T 6 .

Lời giải

Phương trình 2cos2x 2cosx 2 0 2 2cos2x 1 2cosx 2 0

cos 2

4 cos 2 cos 2 2 0 cos

2
2 1

cos

x

x x x

x loại
0;3

0;3

2 ;

9 7 17

4 4 4 .

7 4 4 4 4

4 4

x
x

x k x x

T

x k x

Chọn A

Câu 63. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos2x 3sinx 4 0 trên đường trịn lượng giác
là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Phương trình 1 2sin2x 3sinx 4 0 2sin2x 3sinx 5 0

sin 1

sin 1 2 .

5 2

sin
2

x

x x k k

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Suy ra có duy nhất 1 vị trí đường trịn lượng giác biểu diễn nghiệm.
Chọn A

Câu 64. Cho phương trình cos cos 1 0
2

x

x . Nếu đặt cos

x

t , ta được phương trình nào sau đây?

A. 2t2 t 0. B. 2t2 t 1 0. C. 2t2 t 1 0. D. 2t2 t 0.
Lời giải

Ta có cos 2 cos2 1.

x
x

Do đó phương trình 2 cos2 1 cos 1 0 2 cos2 cos 0.

2 2 2 2

x x x x

Đặt cos
2

x

t , phương trình trở thành 2t2 t 0.
Chọn A

Câu 65. Số nghiệm của phương trình cos 2 4 cos 5

3 6 2

x x thuộc 0;2 là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải 
Ta có cos 2 1 2 sin2 1 2 cos2

3 3 6

x x x .

Do đó phương trình 2 cos2 4 cos 3 0

6 x 6 x 2

cos 2

6 2 cos 1 2 6 ,

6 2 6 3

3 2

cos

6 2

x x k

x x k k

x k

x loại

Ta có 2 0;2 11

6 6

x

x k x ; 2 0;2

2 2

x

x k x .

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn.
Chọn B

Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanx mcotx 8 có nghiệm.

A. m 16. B. m 16. C. m 16. D. m 16.

Lời giải

Phương trình tan cot 8 tan 8 tan2 8tan 0

tan

m

x m x x x x m

x .

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Chọn D

Câu 67. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos2x 2m 1 cosx m 1 0 có
nghiệm trên khoảng ;3

2 2 .

A. 1 m 0. B. 1 m 0. C. 1 m 0. D. 1 1

m .

Lời giải 
Phương trình 2

1
cos

2 cos 2 1 cos 0 2.

cos

x

x m x m

x m

Nhận thấy phương trình cos 1
2

x khơng có nghiệm trên khoảng ;3

2 2 (Hình vẽ). Do đó u cầu bài

tốn cosx m có nghiệm thuộc khoảng ;3 1 0

2 2 m .

Chọn B

Câu 68. Biết rằng khi m m0 thì phương trình 2sin2x 5m 1 sinx 2m2 2m 0 có đúng 5 nghiệm 
phân biệt thuộc khoảng ;3

2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m 3. B. 1

m . C. 0

3 7
; .
5 10

m D. 0

3 2
; .
5 5

m

Lời giải 
Đặt t sin x 1 t 1 .

Phương trình trở thành 2t2 5m 1 2m2 2m 0. *

O

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Yêu cầu bài toán tương đương với:

 TH1: Phương trình * có một nghiệm t1 1 (có một nghiệm x) và một nghiệm 0 t2 1 (có bốn
nghiệm x) (Hình 1).

 Do 2

1 1 2

c

t t m m

a .

 Thay t1 1 vào phương trình * , ta được

3 6 0;1

1 1 0;1

2 4

m t

loại
thỏa

 TH2: Phương trình * có một nghiệm t1 1 (có hai nghiệm x) và một nghiệm 1 t2 0 (có ba
nghiệm x) (Hình 2).

 Do 2

1 1 2

c

t t m m

a .

 Thay t1 1 vào phương trình * , ta được 2
2

1 2 1;0

1 3

1;0

2 4

m t

loại
loại

Vậy 1

m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do 1 3; 2 .

2 5 5

m

Chọn D

Câu 69. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2cos 32 x 3 2m cos3x m 2 0 có
đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; .

6 3

A. 1 m 1. B. 1 m 2. C. 1 m 2. D. 1 m 2.

Lời giải

Đặt t cos x 1 t 1 . Phương trình trở thành 2t2 3 2m t m 2 0.

Ta có 2m 52. Suy ra phương trình có hai nghiệm 1
2

1
.
2

t

t m

O

Hình 1 Hình 2

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Ta thấy ứng với một nghiệm 1

1
2

t thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng ; .

6 3 Do đó yêu cầu bài

toán 1 t2 0 1 m 2 0 1 m 2.
Chọn B

Cách 2. Yêu cầu bài tốn tương đươn với phương trình 2t2 3 2m t m 2 0 có hai nghiệm t t1, 2

thỏa mãn 2 1

1 0 1 . 1 0 .

. 1 0

P

t t a f

a f

Câu 70. Giải phương trình sin2x 3 1 sin cosx x 3 cos2x 0.

A. 2 .

x k k B. .

x k k C.

3 .

2
4

x k

k

x k

D. 3 .

x k

k

x k

Lời giải 
Phương trình tan2 3 1 tan 3 0 tan 1

tanx 3

x x x

4 .

x k

k

x k

Chọn D

Câu 71. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin2x 3 3 sin cosx x cos2x 2. Khẳng định nào sau
đây là đúng?

A. ; .

3 S B. 6 2; S. C.

; .

4 12 S D.

; .

2 6 S

Lời giải 
Phương trình 2sin2x 3 3 sin cosx x cos2x 2 sin2x cos2x

O

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

3 3 sin cosx x 3cos x 0 3cosx 3 sinx cosx 0.

 cos 0 0 .

2 2

k

x x k k x

 3 sinx cosx 0 3 sinx cosx

tan tan tan .

6 6 6

k

x x x k k x

Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm

6 và 2 .

Chọn B

Câu 72. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

2 2

sin x 3 1 sin cosx x 3 cos x 3.

A. sinx 0. B. sin 1

x .

C. cos 1 tan 3 1 0

1 3

x x . D. tanx 2 3 cos2x 1 0.

Lời giải

Phương trình sin2x 3 1 sin cosx x 3 cos2x 3 sin2x cos2x
2

1 3 sin x 3 1 sin cosx x 0 sinx 1 3 sinx 3 1 cosx 0.

 sinx 0 cos2x 1 cos2x 1 0.

 1 3 sinx 3 1 cosx 0 1 3 sinx 3 1 cosx

3 1

tan tan 2 3 tan 2 3 0.

1 3

x x x

Vậy phương trình đã cho tương đương với tanx 2 3 cos2x 1 0.
Chọn D

Câu 73. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 
2

sin x 3 sin cosx x 1?

A. cosx cot2x 3 0. B. sin . tan 2 3 0

2 4

x x .

C. cos2 1 . tan 3 0

x x . D. sinx 1 cotx 3 0.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

3 sin cosx x cos x 0 cosx 3 sinx cosx 0.

 cos 0 sin 0.

x x

 3 sin cos 0 tan 1 .
3

x x x

Ta có

1
1

tan tan

3
4

tan 2 3 tan 2 3 0.

4 1 tan .tan 1 .1 4

4 3

x

x x

x

Vậy phương trình đã cho tương đương vớisin . tan 2 3 0

2 4

x x .

Chọn B

Câu 74. Cho phương trình cos2x 3sin cosx x 1 0

. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. x k khơng là nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos2x thì ta được phương trình tan2x 3tanx 2 0.

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin2x thì ta được phương trình 2cot2x 3cotx 1 0.
D. Phương trình đã cho tương đương với cos2x 3sin 2x 3 0.

Lời giải

 Với sin 0 sin2 0 .

cos 1 cos 1

x
x

x k

x x Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.

 Phương trình cos2x 3sin cosx x sin2x cos2x 0

2 2 2

sin x 3sin cosx x 2cos x 0 tan x 3tanx 2 0. Vậy B đúng.

 Phương trình cos2x 3sin cosx x sin2x cos2x 0

2 2 2

2cos x 3sin cosx x sin x 0 2cot x 3cotx 1 0. Vậy C sai.

Chọn C

 Phương trình 1 cos 2 3sin 2 1 0 cos 2 3sin 2 3 0.

2 2

x x x x

Vậy D đúng.

Câu 75. Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình sin2x 4sin cosx x 4cos2x 5 trên đường tròn 
lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải 
Phương trình sin2x 4 sin cosx x 4 cos2x 5 sin2x cos2x

2 2

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

1
tan

x có 2 vị trí biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng gác.
Chọn C

Câu 76. Số nghiệm của phương trình cos2x 3sin cosx x 2sin2x 0 trên 2 ;2 ?

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải

Phương trình 2

tan 1

1 3tan 2 tan 0 1 .

tan arctan

2 2

x x k

x x

x x k

 Vì 2 ;2 2 2 9 7 2; 1;0;1

4 4 4

k

x k k k .

 Vì 2 ;2 2 arctan1 2

x k

CASIO

xapxi 28,565 24,565 28; 27; 26; 25

k

k k .

Vậy có tất cả 8 nghiệm.
Chọn D

Câu 77. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 4 sin2x 3 3 sin 2x 2cos2x 4 là: 
A.

12. B. 6. C. 4. D. 3.

Lời giải 
Phương trình 4 sin2x 3 3 sin 2x 2cos2x 4 sin2x cos2x

cos 0
3 3 sin 2 6 cos 0 6 cos 3 sin cos 0 tan 1

x

x x x x x

x

min

Cho 0

min

0 0

2 2 2 2 .

0 0

6 6 6 6

k
k

x k k k k x

So sánh hai nghiệm ta được

x là nghiệm dương nhỏ nhất.
Chọn B

Câu 78. Cho phương trình 2 1 sin2x sin 2x 2 1 cos2x 2 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề 
nào sai?

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos2x thì ta được phương trình tan2x 2 tanx 1 0.
C. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin2x thì ta được phương trình cot2x 2cotx 1 0.

D. Phương trình đã cho tương đương với cos2x sin 2x 1.
Lời giải 
Chọn D

Câu 79. Giải phương trình 2sin2x 1 3 sin cosx x 1 3 cos2x 1.

A.

6. B. 4. C.

3 . D. 12.

Lời giải

Phương trình 2sin2x 1 3 sin cosx x 1 3 cos2x sin2x cos2x

2 2

sin x 1 3 sin cosx x 3 cos x 0

2 tan

tan an 1 4

tan 3

1 3 t 3 0

x k

x

x x

x x k

max
Cho 0

max

0 0

4 4 4 .

1 2

0 1

3 3 3

k
k

k k k x

So sánh hai nghiệm ta được

x là nghiệm âm lớn nhất.
Chọn B

Câu 80. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình

2 2

11sin x m 2 sin 2x 3cos x 2 có nghiệm?

A. 16. B. 21. C. 15. D. 6.

Lời giải 
Phương trình 9sin2x m 2 sin 2x cos2x 0

1 cos 2 1 cos 2

9. 2 sin 2 0 2 sin 2 4 cos 2 5.

2 2

x m x x m x x

Phương trình có nghiệm 2 2 5

2 16 25 2 9

1
m

m m

m
10;10 10; 9;...; 1;5;6;...;10

m

m m có 16 giá trị nguyên.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

2 2

sin x 2 m 1 sin cosx x m 1 cos x m có nghiệm?

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải

Phương trình 1 m sin2x 2 m 1 sin cosx x 2m 1 cos2x 0

1 cos 2 1 cos 2

1 . 1 sin 2 2 1 . 0

2 2

x x

m m x m

2 m 1 sin 2x mcos2x 2 3 .m

Phương trình có nghiệm 2 2 2 2

4 m 1 m 2 3m 4m 4m 0 0 m 1

0;1

m m

có 2 giá trị nguyên.
Chọn A

Câu 82. Tìm điều kiện để phương trình asin2x asin cosx x bcos2x 0 với a 0 có nghiệm. 
A. a 4b. B. a 4b. C. 4b 1

a . D.

4
1

b

a .

Lời giải 
Phương trình atan2x atanx b 0

Phương trình có nghiệm a2 4ab 0 a a 4b 0

4 4

4 0 b a 0 b 1.

a b a

a a

Chọn C

Câu 83. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin2x msin 2x 2m vô nghiệm.
A. 0 4

m . B. m 0, 4

m . C. 0 4

m . D. 4

m , m 0.

Lời giải

Phương trình 2.1 cos 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 1.
2

x m x m m x x m

Phương trình vơ nghiệm 2 2 2

1 2 1 3 4 0 4.

m

m m m m

m

Chọn B

Câu 84. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 3;3 để phương trình
2 2 cos2 2 sin 2 1 0

m x m x có nghiệm.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Lời giải 
Phương trình 2 2 .1 cos 2 2 sin 2 1 0

x

m m x

2 2

4 sin 2m x m 2 cos2x m 4.

Phương trình có nghiệm 16m2 m2 22 m2 4 2 12m2 12 m2 1 m 1

3;3 3; 2; 1;1;2;3

m

m m có 6 giá trị nguyên.

Chọn C

Câu 85. Giải phương trìnhsin cosx x 2 sinx cosx 2.

A. x 2 k , k .

x k

B. 2 2 , .
2

x k

k

x k

C. 2 2 , .
2

x k

k

x k

D. x 2 k , k .

x k

Lời giải 
Đặt sin cos 2 sin

t x x x . Vì sin 1;1 2; 2

x t .

Ta có

2
2

2 sin cos sin2 cos2 2sin cos sin cos 1

t

t x x x x x x x x .

Khi đó, phương trình đã cho trở thành 2 1 2 2 2 4 5 0 1 .

5
2

t

t t t t

t loại
Với t 1, ta được sin cos 1 sin 1 sin sin

4 2 4 4

x x x x .

2
4 4

4 4

x k

2
,
2
2

x k

k

x k .

Chọn B

Câu 86. Cho phương trình 3 2 sinx cosx 2sin 2x 4 0. Đặt t sinx cosx, ta được phương trình
nào dưới đây?

A. 2t2 3 2t 2 0. B. 4t2 3 2t 4 0. C. 2t2 3 2t 2 0. D. 4t2 3 2t 4 0.
Lời giải

Đặt t sinx cosx sin 2x t2 1.

Phương trình đã cho trở thành 3 2t 2 t2 1 4 0 2t2 3 2t 2 0.
Chọn A

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

A. sin 2.

4 2

x B. cos 3.

4 2

x C. tanx 1. D. 1 tan2x 0.

Lời giải 
Đặt sin cos 2 sin

t x x x . Điều kiện 2 t 2.

Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2.sin .cosx x sin 2x t2 1.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành 5 t2 1 t 6 0 5t2 t 1 0: vô nghiệm. 
Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vơ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 1 tan2x 0.

Chọn D

Câu 88. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin cos 1 1sin 2
2

x x x là:

A. .

2 B. . C.

3
.

2 D. 2 .

Lời giải 
Đặt sin cos 2 sin

t x x x . Điều kiện 2 t 2.

Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x t2 1.
Phương trình đã cho trở thành 1 2 1 2 2 3 0 1 .

3
2

t
t

t t t

t loại
Với t 1, ta được 2 sin 1 sin 1 sin sin

4 4 2 4 4

x x x

2
2

4 4 ,

2 2

4 4

x k

k

x k

TH1. Với x k2 0 k 0 k kmax 1 x 2 .

TH2. Với max

1 3

2 0 1 .

2 4 2

k

x k k k x

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là 3

x .

Chọn C

Câu 89. Cho x thỏa mãn phương trình sin2x sinx cosx 1. Tính sin .
4

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

A. sin 0
4

x hoặc sin 1

x . B. sin 0

x hoặc sin 2

4 2

x .

C. sin 2

4 2

x . D. sin 0

x hoặc sin 2

4 2

x .

Lời giải 
Đặt sin cos 2 sin

t x x x . Điều kiện 2 t 2.

Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x 1 t2.

Phương trình đã cho trở thành 1 2 1 2 0 0

1
t

t t t t

t .

Với t 1, ta được 2 sin 1 sin 1 .

4 4 2

x x

Với t 0, ta được 2 sin 0 sin 0.

4 4

x x

Chọn B

Câu 90. Từ phương trình 5sin 2x 16 sinx cosx 16 0, ta tìm được sin
4

x có giá trị bằng:

A. 2.

2 B.

2.

2 C. 1. D.

2.
2
Lời giải

Đặt sin cos 2 sin

t x x x . Điều kiện 2 t 2.

Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2.sin cosx x sin 2x 1 t2.

Phương trình đã cho trở thành 2

5 1 16 16 0 21 .

t

t t

t loại
Với t 1 sinx cosx 1.

Mặt khác sinx cosx 2 sinx cosx 2 2, kết hợp với suy ra

2 2

sin cos 1 2 sin cos 1 sin

4 2

x x x x x .

Chọn D

Câu 91. Cho x thỏa mãn 6 sinx cosx sin cosx x 6 0. Tính cos .
4

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

A. cos 1.
4

x B. cos 1.

x C. cos 1 .

4 2

x D. cos 1 .

4 2

x

Lời giải 
Đặt sin cos 2 sin

t x x x . Điều kiện 2 t 2.

Ta có

2
2

2 sin cos sin2 cos2 2 sin cos sin cos 1 .

t

t x x x x x x x x

Phương trình đã cho trở thành 6 1 2 6 0 1
13
2

t
t

t

t loại

1 1

2 sin 1 sin sin

4 4 2 4 2

x x x

1 1

cos cos .

2 4 x 2 x 4 2

Chọn C

Câu 92. Từ phương trình 1 3 cosx sinx 2sin cosx x 3 1 0, nếu ta đặt t cosx sinx thì giá trị
của t nhận được là:

A. t 1 hoặc t 2. B. t 1 hoặc t 3. C. t 1. D. t 3.
Lời giải

Đặt sin cos 2 2 sin cos 1 2.

t

t x x t x x

Phương trình trở thành 1 3 t t2 1 3 1 0

2 1 3 3 0 1 1.

t

t t t

t loại
Chọn C

Câu 93. Nếu 1 5 sinx cosx sin 2x 1 5 0 thì sinx bằng bao nhiêu?

A. sin 2
2

x . B. sin 2

x hoặc sin 2
2

x .

C. sinx 1 hoặc sinx 0. D. sinx 0 hoặc sinx 1.
Lời giải

Đặt sin cos 2 2 sin cos 1 2.

t

t x x t x x

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

2 1 5 5 0 1

t

t t

t loại

sinx cosx 1 cosx sinx 1.

Mặt khác sin2 cos2 1 sin2 sin 12 1 sin 0.

sin 1

x

x x x x

x
Chọn D

Câu 94. Nếu 1 sinx 1 cosx 2 thì cos
4

x bằng bao nhiêu?

A. 1. B. 1. C. 2.

2 D.

2.
2
Lời giải

Ta có 1 sinx 1 cosx 2 1 sinx cosx sin .cosx x 2
sinx cosx sin .cosx x 1 2 sinx cosx 2.sin .cosx x 2.

Đặt sin cos 2 2 sin cos 2 1.

t

t x x t x x

Khi đó trở thành 2 2 1 2 2 2 3 0 1

t

t t t t

t loại

sinx cosx 1.

Ta có cos cos cos sin sin 2 cos sin 2.

4 4 4 2 2

x x x x x

Chọn C

Câu 95. Cho x thỏa mãn 2sin 2x 3 6 sinx cosx 8 0. Tính sin 2 .x

A. sin 2 1.
2

x B. sin 2 2.

x C. sin 2 1.

x D. sin 2 2.

x

Lời giải 
Đặt sin cos 2 sin

t x x x . Vì sin 1;1 0; 2

x t .

Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x t2 1.

Phương trình đã cho trở thành 2

2 1 3 6 8 0 2

6
t

t t

t loại

2 1

sin 2 1 .

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Chọn C

Câu 96. Hỏi trên đoạn 0;2018 , phương trình sinx cosx 4 sin 2x 1 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4037. B. 4036. C. 2018. D. 2019.

Lời giải 
Đặt sin cos 2 sin

t x x x . Vì sin 1;1 0; 2

x t .

Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x 1 t2.

Phương trình đã cho trở thành 2

4 1 1 3 .

t

t t

t loại

Với t 1, ta được sin 2 0 2 ,
2

k

x x k x k .

Theo giả thiết 0;2018 0 2018 0 4046
2

k

x k

0;1;2;3;...;4036

k k

có 4037 giá trị của k nê có 4037 nghiệm.
Chọn A

Câu 97. Từ phương trình 2 sinx cosx tanx cotx, ta tìm được cosx có giá trị bằng:

A. 1. B. 2.

2 C.

2.

2 D. 1.

Lời giải 
Điều kiện sin 0 sin 2 0

cos 0

x

x .

Ta có 2 sin cos tan cot 2 sin cos sin cos
cos sin

x x

x x x x x x

x x

2 2

sin cos

2 sin cos 2 sin cos . 2 sin cos 2.

sin cos

x x

x x x x x x

x x

Đặt sin cos 2 2 sin cos 2 1.

t

t x x t x x

Phương trình trở thành 2t t2 1 2 t3 t 2 0 t 2

sinx cosx 2 sinx 2 cos .x

Mà sin2x cos2x 1 cos2x 2 cosx 2 1 2cos2x 2 2 cosx 1 0

2 1

2 cos 1 0 cos
2

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Chọn C

Câu 98. Từ phương trình 1 sin3 cos3 3sin 2

x x x, ta tìm được cos
4

x có giá trị bằng:

A. 1. B. 2.

2 C.

2.

2 D.

2.
2
Lời giải

Phương trình 1 sin cos 1 sin co 3sin 2
2
s

x x x x x

2 sinx cosx 2 sin 2x 3sin 2 .x

Đặt sin cos 2 2 sin cos 2 1.

t

t x x t x x

Phương trình trở thành 2 t 2 t2 1 3 t2 1

3 32 3 5 0 1 .

1 6

t

t t t

t loại

Với t 1, ta được sin cos 1 sin 1

4 2

x x x .

Mà sin2 cos2 1 cos2 1 cos 2.

4 4 4 2 4 2

x x x x

Chọn D

Câu 99. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin cosx x sinx cosx m 0 có
nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Đặt sin cos 2 2 sin cos 2 1.

t

t x x t x x

Phương trình trở thành 2 1 0 2 2 2 1 12 2 2

t

t m m t t t m .

Do 2 t 2 2 1 t 1 2 1 0 t 12 3 2 2.

Vậy để phương trình có nghiệm 0 2 2 3 2 2 1 2 2 1
2

m m

1;0;1 .

m m

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên 
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng 
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh
Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các 
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức 
Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS 
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành 
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.

Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng

đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả 
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi 
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.