Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải tích biến phân cho bài toán Fermat – Torricelli suy rộng

B ăGIỄOăD CăVÀă ÀOăT O
TR
NGă IăH CăTH NGăLONG

NGUY NăTH ăGIANG

PH

NGăPHỄPăGI IăTÍCHăBI NăPHÂNăCHOăBÀIăTOỄNă
FERMAT – TORRICELLIăSUYăR NG

TĨMăT TăLU NăV NăTH CăS ăTOỄNăH C

Chuyên ngành: Ph ng pháp toán s c p
Mã s : 8 46 01 13

HÀăN I,ă2018


Cơngătrìnhăđ căhồnăthànhăt i:
Tr ngăđ iăh căTh ngăLong

NG

IăH

NGăD NăKHOAăH C

PGS.TS.ă

ăV NăL U

Ph năbi nă1: TS. Nguy n

t

ng

Ph năbi nă2: TS. Nguy n Công S

Lu n v n đ

c b o v tr
Tr

c H i đ ng ch m lu n v n t i:

ng đ i h c Th ng Long

Vào h i 14 gi 00 ngày 28 tháng 12 n m 2018



Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Vào đầu thế kỷ 17, nhà toán học Pháp Pierre de Fermat (1601-1665)
đã đặt ra toán sau đây:" Cho trước ba điểm trên mặt phẳng .Tìm một
điểm thứ tư sao cho tổng khoảng cách Euclid từ điểm này tới ba điểm
đã cho là nhỏ nhất." Bài toán của Fermat đã được Evangelista Torricelli
(1608-1646) giải và từ đó bài tốn được gọi là bài tốn Fermat - Torricelli.
Lời giải của Torricelli cho bài toán Fermat - Torricelli như sau: Nếu

các góc trong của tam giác nhỏ hơn 120o thì điểm cần tìm là điểm trong
tam giác nhìn các cạnh của tam giác dưới một góc 1200 . Nếu một trong
các góc trong của tam giác khơng nhỏ hơn 120o thì đỉnh của góc lớn nhất
chính là lời giải của bài toán. Điểm này được gọi là điểm Fermat-Torricelli.
Torricelli đã giải bài toán bằng phương pháp hình học như sau (Hình 1):
Ba điểm cho trước là A, B, C. Ta dựng các tam giác đều ∆ABD, ∆BCE,
∆ACF phía ngồi ∆ABC. Dựng các đường trịn ngoại tiếp các tam giác
∆ABD, ∆BCE, ∆ACF . Ba đường tròn này cắt nhau tại điểm P . Điểm
P là điểm Fermat - Torricelli.

2


Hình 1: Cách dựng điểm Torricelli

Vào thế kỷ 19 Jakob Steiner đã mở rộng bài toán này cho một số hữu
hạn điểm trên mặt phẳng. N. M. Nam, N. Hoang và N.T. An [5] đã sử
dụng dưới vi phân hàm lồi để nghiên cứu bài toán Fermat - Torricelli suy
rộng, trong đó các điểm được thay thế bằng các hình cầu Euclid. Như
vậy, bài toán được xét trong [5] gồm một số hữu hạn tập lồi và công cụ
sử dụng là dưới vi phân hàm lồi. Luận văn cao học của H.T.T. Linh [2]
đã trình bày cách giải bài tốn Fermat - Torricelli với hữu hạn hình cầu
Euclid bằng cơng cụ dưới vi phân hàm lồi. Chú ý rằng các hình cầu Euclid
là các tập lồi.
B. Mordukhovich và N. M. Nam [3] đã sử dụng dưới vi phân Mordukhovich để nghiên cứu bài toán Fermat - Torricelli suy rộng, trong đó
thay thế các điểm bằng các tập đóng, bằng phương pháp giải tích biến
phân. Như vậy, bài tốn được xét trong [3] gồm hữu hạn tập đóng khơng
nhất thiết lồi, công cụ được sử dụng là dưới vi phân Mordukhovich. B.
Mordukhovich và N. M. Nam [3] đã nghiên cứu thiết lập các điều kiện
tối ưu bài toán Fermat - Torricelli và sử dụng các kết quả đó để xác định

điểm Fermat - Torricelli bằng thuật toán dưới gradient. Bài toán Fermat
3


- Torricelli giải bằng cơng cụ giải tích biến phân hiện đại và dưới vi phân
Mordukhovich là đề tài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trong
toán sơ cấp. Chính vì vậy tơi chọn đề tài "Phương pháp giải tích biến
phân cho bài tốn Fermat - Torricelli suy rộng"
2. Nội dung đề tài
Luận văn trình bày các kết quả của B. Mordukhovich và N. M. Nam
[3] đăng trên tạp chí J. Optim. Theory Appl. 148 (2011), 431-454, giải bài
tốn Fermat - Torricelli suy rộng cho hữu hạn tập đóng về điều kiện tối
ưu cho điểm Fermat - Torricelli suy rộng và từ đó xây dựng thuật tốn
dưới gradient để xác định điểm Fermat - Torricelli.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.

4


Chương 1

Giải tích biến phân
Chương 1 trình bày bài tốn Fermat - Torricelli suy rộng với hữu hạn
tập đóng và một số kiến thức cơ bản về giải tích biến phân bao gồm
dưới vi phân hàm lồi, ǫ-dưới vi phân, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân
Mordukhovich của hàm thời gian tối thiểu.

1.1.

Phát biểu bài toán Fermat - Torricelli suy rộng với hữu
hạn tập đóng

Chúng ta phát biểu bài tốn Fermat - Torricelli suy rộng. Xét hàm thời
gian tối thiểu (minimal time function):
TΩF (x) := inf{t ≥ 0| Ω ∩ (x + tF ) = ∅}.

(1.1)

với hệ động lực x˙ ∈ F được mơ tả bởi một tập lồi đóng bị chặn khác rỗng
(F = ∅) của không gian Banach X, với tập mục tiêu đóng Ω = ∅ trong
X. Khi F là hình cầu đơn vị đơn vị đóng B của X thì hàm thời gian tối
thiểu trở thành hàm khoảng cách thông thường:
d(x; Ω) := inf{ x − ω , ω ∈ Ω}

(1.2)

sinh bởi chuẩn · trong X.
Bây giờ ta cho một số bất kỳ các tập đóng Ωi = ∅, i = 1, . . . , n, của X.

5


Khi đó, bài tốn Fermat - Torricelli suy rộng được phát biểu như sau:
n

min T (x) :=
i=1

TΩFi (x), x ∈ X.

(1.3)

Nếu F = B (hình cầu đơn vị đóng của X) trong (1.3), bài toán Fermat Torricelli suy rộng trở thành
n

(1.4)

d(x; Ωi ).

min D(x) :=
i=1

Bài toán này quy về bài toán mở rộng kiểu Steiner của bài toán FermatTorricelli trong không gian Banach khi các tập Ωi (i = 1, · · · , n) có một
phần tử.
Chú ý rằng, ngay cả trường hợp cổ điển thì bài tốn tối ưu (1.3) và đặc
biệt hóa (1.4) của nó đều là các bài tốn khơng trơn. Như vậy, một cách
tư nhiên dẫn đến việc nghiên cứu bài toán Fermat - Torricelli suy rộng
bằng cơng cụ giải tích biến phân.
Giả sử X là một không gian Banach, X ∗ là không gian đối ngẫu tô
pô của X. Cho ánh xạ đa trị G : X ⇉ X ∗ . Giới hạn trên dãy PainlevéKuratowski khi x → x được xác định bởi
ω∗

Limsupx→x G(x) := x∗ ∈ X ∗ | tồn tại các dãy xk → x, x∗k → x∗ khi k → ∞
sao cho x∗k ∈ G(xk ) với mọi k ∈ N∗ := {1, 2, . . . } ,
Ω

trong đó ω ∗ kí hiệu tơ pơ yếu của X ∗ . Với tập Ω ⊂ X, kí hiệu x → x
nghĩa là x → x với x ∈ Ω. Nếu ϕ : X → R := (−∞; +∞]là một hàm
ϕ

giá trị thực mở rộng, hưũ hạn tại x, kí hiệu x → x nghĩa là x → x với
ϕ(x) → ϕ(x).

1.2.

Giải tích biến phân

Cho hàm lồi ϕ : X → R, x ∈ domϕ := {x ∈ X|ϕ(x) < ∞}. Dưới vi
phân của ϕ tại x theo nghĩa giải tích lồi là tập
∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x ≤ ϕ(x) − ϕ(x), ∀x ∈ X}.
6

(1.5)


Từ định nghĩa (1.5) ta có quy tắc Fermat cho hàm lồi như sau :
x là cực tiểu của ϕ nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂ϕ(x).

(1.6)

Định lí 1.1 (Quy tắc tổng dưới vi phân cho hàm lồi)
Giả sử ϕi : X → R ,(i = 1, . . . , m) là các hàm lồi nửa liên tục dưới trên
không gian Banach X .Giả sử tồn tại một điểm x ∈ ∩ni=1 domϕi sao cho
tất cả các hàm ϕ1 , . . . , ϕm là liên tục (có thể trừ ra một hàm) . Khi đó ta
có đẳng thức
m

m

∂ϕi (x)

ϕi )(x) =

∂(

i=1

i=1

Cho một tập lồi Ω ⊂ X và x ∈ Ω nón pháp tuyến của Ω tại x được xác
định bởi
N (x, Ω) := {x∗ ∈ X| < x∗ , x − x >≤ 0, ∀x ∈ X}.

(1.7)

Đây chính là dưới vi phân (1.5) của hàm chỉ δ(x, Ω) tại x

0, nếu x ∈ Ω,
δ(x, Ω) :=
∞, nếu x ∈
/ Ω.

Cấu trúc lồi thích hợp cho bài toán Fermat - Torricelli suy rộng trong
trường hợp các tập Ωi lồi. Ta sẽ nghiên cứu bài toán Fermat - Torricelli
suy rộng với các tập Ωi không lồi.
Cho hàm giá trị thực mở rộng ϕ : X → R hữu hạn tại x và ǫ ≥ 0.
ǫ-Dưới vi phân của ϕ tại x được xác định bởi
ϕ(x) − ϕ(x)− < x∗ , x − x >
∂ǫ ϕ(x) := x ∈ X | lim inf
≥ −ǫ .

x→x
x−x
∗

∗

(1.8)

Với ǫ = 0 thì ∂ϕ(x) := ∂0 ϕ(x) là dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x. Dưới
vi phân Fréchet quy về gradient cổ điển {∇ϕ(x)} khi ϕ khả vi Fréchet tại
điểm này và quy về dưới vi phân (1.5) khi ϕ là hàm lồi. ∂ϕ(x) có thể bằng
rỗng và cơng thưc tương tự cho quy tắc tổng của Định lý 1.1 không đúng
cho ∂ϕ(x) khi ǫ ≥ 0; chẳng hạn ϕ1 (x) = |x| và ϕ2 (x) = −|x|.
Ta định nghĩa dưới vi phân Mordukhovich của ϕ tại x như sau:
ϕ
∂ϕ(x) := Limsupx−−
→x ∂ǫ ϕ(x).
ε↓0

7

(1.9)


Ta cũng có thể định nghĩa tương đương bằng cách đặt ǫ = 0 trong (1.9),
nếu ϕ là nửa liên tục dưới trong một lân cận của x và không gian X là
không gian Asplund, tức là mỗi không gian con tách được thì cũng có đối
ngẫu tách được. Chú ý rằng trong trường hợp hàm lồi, hàm dưới vi phân
Mordukhovich và dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi là trùng nhau. Vì
vậy, trong trường hợp lồi ta đều ký hiệu các dưới vi phân là ∂.

Nón pháp tuyến Mordukhovich của tâp Ω trong X tại x ∈ Ω có thể xác
định qua dưới vi phân (1.9) của hàm chỉ
N (x, Ω) = ∂δ(x; Ω).
Nón pháp tuyến Mordukhovich quy về nón pháp tuyến (1.7) cho các tập
lồi. Định nghĩa nón pháp tuyến Mordukhovich có thể viết tương đương
dưới dạng:
(1.10)
N (x; Ω) := lim sup Nǫ (x; Ω)
ϕ
x−
−
→x
ε↓0
trong đó với ǫ ≥ 0, các tập ǫ-pháp tuyến Nǫ (·; Ω) được xác định bởi
Nǫ (x; Ω) := {x∗ ∈ X ∗ | lim sup
Ω

x→x

< x∗ , x − x >
≤ ǫ}, x ∈ Ω.
x−x

(1.11)

/ Ω. Khi tập Ω đóng địa phương ở gần
Chú ý rằng Nǫ (x; Ω) = ∅ nếu x ∈
điểm x và không gian X là Asplund, ta có thể thay thế tương đương bởi
Nǫ (·; Ω) trong (1.10) bằng nón pháp tuyến Fréchet N (·; Ω) := N0 (·; Ω).
Hơn nữa, trong trường hợp X = Rn , nón pháp tuyến (1.10) có dạng

N (x; Ω) = Limsupx→x [cone(x − Π(x; Ω)],

(1.12)

trong đó Π(x; Ω) là phép chiếu Ơclit điểm x ∈ Rn lên tập đóng Ω, coneΩ
là tập của các tia sinh ra trên Ω .
Mặc dù các dưới vi phân (1.9) và nón pháp tuyến (1.10) khơng lồi, nhưng
ta cúng có các qui tắc tính tốt, đặc biệt là trong khơng gian Asplund. Qui
tắc tổng sau đây cho dưới vi phân (1.9) được sử dụng trong luận văn.
Định lí 1.2 (Quy tắc tổng dưới vi phân Mordukhovich cho các hàm không
lồi)
8


Giả sử ϕi : X → R (i = 1, . . . , m) là các hàm nửa liên tục dưới trên
không gian Asplund X . Giả sử tất cả các hàm là Lipschtz địa phương (có
thể trừ một hàm) tại x ∈ ∩m
i=1 domϕi . Khi đó, ta có bao hàm thức
n

∂(
i=1

n

ϕi )(x) ⊂

∂ϕi (x).
i=1

Các ví dụ sau đây minh họa cho các dưới vi phân Fréchet và dưới vi
phân Mordukhovich.
Ví dụ 1.1
a) Cho hàm f (x) = −|x|. Ta có ∂f (0) = ∅, ∂f (0) = [−1, 1].
b) Cho hàm f (x) = −|x|3/2 . Khi đó, ∂f (0) = ∂f (0) = {∇f (0)} = {0}.
Ví dụ 1.2


x2 sin 1 , nếu x = 0,
x
f (x) =
0, nếu x = 0.

Khi đó, ∂f (0) = {∇f (0)} = {0}, ∂f (0) = [−1, 1].

1.3.

Dưới vi phân Mordukhovich của hàm thời gian tối thiểu

Phần này sẽ trình bày một số kết quả về dưới vi phân Mordukhovich
trong [4] dùng cho bài toán Fecmat-Torricelli suy rộng (1.3). Ta sẽ trình
bày kết quả của dưới vi phân Mordukhovich cho cả hai trường hợp lồi và
khơng lồi.
Ta nói x ∈ X là một điểm trong tập (in-set point) của hàm thời gian
tối thiểu (1.1) nếu x ∈ Ω và x là một điểm ngoài tập (out-of-set point) của
/ Ω .Kết quả cho mối quan hệ cho dưới vi phân Mordukhovich
(1.1) nếu x ∈
của hàm thời gian tối thiểu và nón pháp tuyến Mordukhovich tại các điểm
trong tập.
Định lí 1.3 (Dưới vi phân Mordukhovich của hàm thời gian tối thiểu và

nón pháp tuyến Mordukhovich tại các điểm trong tập)
9


Giả sử x ∈ Ω với hàm thơì gian tối thiểu (1.1) trên không gian Banach
X và tập mức tựa C ∗ ⊂ X ∗ được xác định như sau:
C ∗ := {x∗ ∈ X ∗ |σF (−x∗ ) ≤ 1}

(1.13)

qua hàm tựa của hệ động được cho bởi
σF (x∗ ) := sup < x∗ , x >, x∗ ∈ X ∗ .

(1.14)

x∈F

Khi đó, ta có ước lượng trên dưới vi phân
∂TΩF (x) ⊂ N (x; Ω) ∩ C ∗ .

(1.15)

Hơn nữa, (1.15) trở thành đẳng thức
∂TΩF (x) = N (x; Ω) ∩ C ∗

(1.16)

nếu tập mục tiêu Ω lồi.
Kết quả tiếp theo cho một ước lượng trên của dưới vi phân Mordukhovich của hàm thời gian tối thiểu không lồi tại các điểm ngoài tập
qua dưới vi phân Mordukhovich của hàm cỡ Minkowski:

ρF (x) := inf{t ≥ 0|x ∈ tF }, x ∈ X

(1.17)

với hệ động F và qua nón pháp tuyến Mordukhovich của hàm mục tiêu Ω
/ Ω được xác
tại các điểm thuộc vào hình chiếu thời gian tối thiểu của x ∈
định bởi
ΠFΩ (x) := (x + TΩF (x)F ) ∩ Ω.
(1.18)

Dễ thấy rằng phép chiếu suy rộng (1.18) qui về phép chiếu mêtric thông
thường khi F = B, tức là khi (1.1) trở thành hàm khoảng cách (1.2).
Nhắc lại rằng hàm thời gian tối thiểu (1.1) được gọi là đặt chỉnh tại
x∈
/ Ω với TΩF (x < ∞ nếu với bất kỳ dãy xk → x với TΩF (xk ) → TΩF (x) khi
k → ∞, tồn tại dãy điểm hình chiếu ωk ∈ ΠFΩ (xk ) chứa một dãy con hội
tụ .
Các điều kiện sau đây là điều kiện đủ cho tính đặt chỉnh:
• Mục tiêu Ω là tập con compact của X;
• Khơng gian X hữu hạn chiều và Ω là tập con đóng của X;
10


• X là phản xạ ,Ω ⊂ X lồi đóng và hàm cỡ Minkowski sinh ra một
chuẩn Kadec trên X, tức là sao cho sự hội tụ yếu và sự hội tụ chuẩn
là như nhau trên biên của hình cầu đơn vị của X.
Sau đây là một kết quả về ước lượng trên [4, Định lý 6.3].
Định lí 1.4 ()
Giả sử x ∈

/ Ω với TΩF (x) < ∞, và hàm thời gian tối thiểu (1.1) đặt
chỉnh tại x. Khi đó, ta có ước lượng trên
∂TΩF (x) ⊂

ω∈ΠF
Ω (x)

[−∂ρF (ω − x) ∩ N (ω; Ω)].

(1.19)

Trong trường hợp hàm thời gian tối thiểu (1.1) là lồi, tính lồi của hàm
thời gian tối thiểu tương đương với tính lồi của tập mục tiêu Ω (xem [4],
Mệnh đề 3.6). Đặc biệt trong trường hợp lồi, ta thiết lập được mối quan
hệ của dưới vi phân Mordukhovich và nón pháp tuyến của tập mục tiêu
mở rộng:
(1.20)
Ωr := {x ∈ X|TΩF (x) ≤ r}, r > 0
/ Ω. Kết quả sau đây (xem [4], Định lý 7.3) cần
tại các điểm ngoài tập x ∈
cho việc áp dụng bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng.

Định lí 1.5 (Dưới vi phân của hàm thời gian tối thiểu lồi tại các điểm
ngoài tập)
Giả sử hàm thời gian tối thiểu lồi, x ∈
/ Ω thỏa mãn ΠFΩ (x) = φ với
r = TΩF (x) < ∞ trong (1.20). Khi đó, với bất kỳ ω ∈ ΠFΩ (x), ta có các
quan hệ sau đây:
∂TΩF (x) = N (x; Ωr ) ∩ [−∂ρF (ω − x)]
⊂ N (ω; Ω) ∩ [−∂ρF (ω − x)]

(1.21)

Hơn nữa, nếu 0 ∈ F thì bao hàm thức (1.21) có dấu bằng, và ta có
∂TΩF (x) = N (ω; Ω) ∩ [−∂ρF (ω − x)].

11

(1.22)


Chương 2

Điều kiện tối ưu và thuật toán giải
bài toán Fermat-Torricelli
Chương 2 trình bày các điều kiện tối ưu cho điểm Fermat - Torricelli,
thuật toán dưới gradient giải bài toán Fermat - Torricelli suy rộng với các
tập đóng, một số trường hợp đặc biệt của thuật toán dưới gradient. Các
kiến thức trình bày trong chương này được được tham khảo trong [3].

2.1.

Điều kiện tối ưu cho bài toán Fermat-Torricelli suy rộng

Phần này trình bày các kết quả về điều kiện cần và đủ cho nghiệm của
bài toán Fermat-Torricelli suy rộng trong các trường hợp lồi và không lồi.
Các kết quả đó cho phép chỉ ra cách tìm các điểm Fermat-Torricelli suy
rộng.
Mệnh đề 2.1 (Sự tồn tại nghiệm tối ưu của bài toán Fermat-Torricelli
suy rộng )

Gỉa sử F = ∅ lồi đóng bị chặn, Ω1 , . . . , Ωn đóng. Giả thiết thêm rằng ít
nhất một trong các tập Ω1 , . . . , Ωn trong (1.3) bị chặn và inf x∈X T (x) < ∞.
Khi đó, bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng (1.3) có nghiệm tối ưu trong
các trường hợp sau:
(i) X là không gian hữu hạn chiều.
(ii) Không gian X là phản xạ và các tập Ωi , i = 1, . . . , n là lồi.
12


Ta có thể cho ví dụ minh họa các giả thiết trong Mệnh đề 2.1 là cốt
yếu cho sự tồn tại tối ưu của (1.3).
Ví dụ 2.1
Xét trường hợp đặc biệt của (1.4) với X = R2 , n = 2, Ω1 := {(x, y) ∈
R2 |y ≥ ex }, và Ω2 := R × {0}. Rõ ràng bài tốn này khơng có nghiệm tối
ưu.
Bây giờ ta dẫn các điều kiện tối ưu dẫn cho bài toán Fermat-Torricelli
suy rộng (1.3). Định nghĩa tập
Ai (x) :=
ω∈ΠF
Ωi (x)

[−∂ρF (ω − x) ∩ N (ω; Ωi )], x ∈ X

(2.1)

trong đó ΠFΩi (x) = φ. Như trong chứng minh Mệnh đề 2.1 (không cần tính
bị chặn của tập mục tiêu Ω và với các giả thiết về hệ động F), ta có thể
/ Ω trong
suy ra từ phép chiếu suy rộng (1.18) rằng ΠFΩ (x) = ∅ với mọi x ∈
hai trường hợp sau:

• X là khơng gian hữu hạn chiều và Ω đóng;

• X là khơng gian phản xạ, Ω là lồi và đóng.
Hơn nữa , dễ thấy từ (2.1) rằng

Ai (x) = N (x; Ωi ) ∩ C ∗ , x ∈ Ωi , i = 1, . . . , n

(2.2)

cho các tập lồi đóng Ωi , trong đó tập mức tựa C ∗ được xác định như trong
(1.13). Mối quan hệ giữa Ai (x) và dưới vi phân ∂TΩFi (x) trong trường hợp
ngoài tập x ∈ Ωi suy ra từ Định lý 1.4 và Định lý 1.5 cho các tập mục
tiêu Ωi lồi và không lồi. Các quan hệ này được sử dụng rộng rãi sau này .
Trước hết ta thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bài tốn khơng lồi
tổng qt (1.3) trong trường hợp vơ hạn chiều .
Để đơn giản, ta giả sử 0 ∈ intF . Điều đó đảm bảo tính liên tục Lipschitz
của hàm thời gian tối thiểu TΩFi (·) cho tất cả các tập Ωi , i = 1, . . . , n trong
(1.3) và khả năng áp dụng quy tắc tổng của Định lý 1.4. Cách tiếp cận
của chúng ta cho phép xử lý trường hợp không Lipschitz khi intF = ∅
bằng cách sử dụng công thức dưới vi phân cho hàm thời gian tối thiểu
đã có trong [4] và qui tắc tổng dưới vi phân cơ bản cho các hàm không
Lipschitz.
13


Định lí 2.1 (Điều kiện cần tối ưu cho bài tốn Fermat - Torricelli suy
rộng)
Giả xử X là khơng gian Asplund, và 0 ∈ intF . Nếu x ∈ X là một
nghiệm tối ưu địa phương của bài toán Fermat - Toricelli suy rộng (1.3)
sao cho với mỗi i = 1, . . . , n, hàm thời gian tối thiểu TΩFi (·) đặt chỉnh tại

x khi x ∈
/ Ωi , thì
n

0∈

Ai (x),

(2.3)

i=1

với các tập Ai (x), i = 1, . . . , n xác định như trong (2.1)
Với trường hợp (1.4) của bài tốn (1.3) trong khơng gian Hilbert, một
dạng đặc biệt hơn của (2.3) đúng và nó cho ta một điều kiện cần tối ưu
cho mở rộng kiểu Steiner (1.4) của bài tốn Fermat - Torricelli.
Định lí 2.2 ( Điều kiện cần tối ưu cho mở rộng kiểu Steiner của bài tốn
Fermat - Torricelli trong khơng gian Hilbert )
Giả xử X là không gian Hilbert và x ∈ X là nghiệm tối ưu của bài toán
(1.4) sao cho với i = 1, . . . , n hàm khoảng cách d(·; Ωi ) đặt chỉnh tại x khi
x∈
/ Ωi . Khi đó, (2.3) là điều kiện cần tối ưu của x trong (1.4), trong đó
tập Ai (x) có dạng

x − Π(x; Ωi )


/ Ωi ,
, nếu x ∈



 d(x; Ωi )
Ai (x) = N (x; Ω ) ∩ B, nếu x ∈ Ω ,
(2.6)
i
i




với mọi i = 1, . . . , n.

Để ý rằng giả thiết đặt chỉnh của Định lý 2.2 thỏa mãn một cách tầm
thường khi X là hữu hạn chiều hoặc tập Ωi lồi. Hơn nữa, ta có Π(x; Ωi ) = ∅.
Tiếp theo ta sử dụng Định lý 2.2 để đặc biệt hóa nghiệm tối ưu của
(1.4) với n = 3. Chú ý rằng điều kiện < u, v >≤ −1/2 nhận được dưới đây
có nghĩa là góc giữa hai véc tơ đó lớn hơn hoặc bằng 120o . Đó là trường
hợp quan trọng trong bài toán Fermat - Torricelli cổ điển.
Hệ quả 2.1 (Điều kiện cần cho bài toán Fermat - Torricelli suy rộng với
ba tập không lồi trong không gian Hilbert)
14


Giả sử n = 3 trong Định lý 4.2, trong đó Ω1 , Ω2 , Ω3 là khơng tương giao
từng đôi một của X. Các phát biểu sau đúng luân phiên cho nghiệm tối
ưu địa phương x ∈ X với các tập Ai (x) xác định bởi (2.6):

(i) Điểm x thuộc một trong các tập Ωi , chẳng hạn Ω1 , và khơng thuộc vào
2 tập kia. Khi đó, ∃a2 ∈ A2 (x) và ∃a3 ∈ A3 (x) sao cho
1

< a2 , a3 >≤ − và − a2 − a3 ∈ N (x; Ω1 );
2

(2.8)

(ii) Điểm x không thuộc tất cả 3 tập Ω1 , Ω2 và Ω3 . Khi đó, tồn tại ai ∈ Ai (x)
với i = 1, 2, 3 sao cho
< ai , aj >=

−1
, khi i = j với i, j ∈ 1, 2, 3.
2

(2.9)

Ví dụ sau đây minh họa Hệ quả 2.1 cho bài toán trên mặt phẳng với 2
tập lồi và một tập không lồi.
Ví dụ 2.2 (Bài tốn Fermat - Torricelli suy rộng khơng lồi trên mặt
phẳng)
Giả sử Ω1 là hình cầu tâm c1 := (0; −2) với bán kính r = 1, Ω2 là hình
cầu tâm c2 := (0; −6) với bán kính r = 1, Ω3 là tập khơng lồi được xác
định bởi
(2.12)
Ω3 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x2 ≥ −|x1 |}

như trong hình 2.1. Theo Mệnh đề 2.1, tồn tại một nghiệm tối ưu của
bài toán này. Bởi vì tất cả các giả thiết của Hệ quả 2.1 thỏa mãn, ta áp
dụng Hệ quả 2.1 tìm được 2 điểm nằm trên biên Ω1 và kí hiệu là u và v
sao cho [c1 , u] là đường phân giác của góc hình thành bởi 2 đường thẳng
uc2 vàupu , trong đó pu là hình chiếu của u trên Ω3 , cịn [v, c1 ] là đường

phân giác của góc hình thành bởi vc2 và vpv . Hai điểm u, v thỏa mãn điều
kiện (i) của Hệ quả 2.1 và nó là nghiệm tối ưu của bài tốn. Ta tìm được
u = (−0.8706, −2.4920) và v = (0.8706, −2.4920) với 5 chữ số có nghĩa,
và giá trị tối ưu của bài toán là 3.7609.

15


Hình 2.1: Bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng khơng lồi

Bây giờ ta xét bài toán Fermat - Torricelli suy rộng (1.3) với các tập
mục tiêu lồi Ωi , i = 1, . . . , n trong không gian Banach. Trong trường hợp
này, ta dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho điểm Fermat - Torricelli.
Từ các Định lý 1.3 và 1.5 ta suy ra trong trường hợp các tập Ωi , i =
1, . . . , n là lồi, với ΠFΩi (x; Ωi ) = ∅ khi x ∈
/ Ωi và 0 ∈ F , ta có đẳng thức
sau:
Ai (x) = −∂ρF (ω − x) ∩ N (ω; Ωi ) với bất kỳ x ∈ X và ω ∈ ΠFΩi (x; Ωi )
(2.13)
với các tập Ai (x) xác định bởi (2.1), trong đó nón pháp tuyến và dưới vi
phân được xác định bởi công (1.7) và (1.5) của giải tích lồi. Dưới đây là
một đặc trưng cổ điển của điểm Fermat - Torricelli cho bài toán lồi.
Định lí 2.3 (Điều kiện cần và đủ cho điểm Fermat - Torricelli suy rộng
của bài tốn lồi trong khơng gian Banach)
Giả sử các tập mục tiêu Ωi là lồi; 0 ∈ intF cho bài tốn (1.3) trong
khơng gian Banach X. Giả sử x ∈ X thỏa mãn ΠFΩi = ∅ khi x ∈
/ Ωi với
i = 1, . . . , n. Khi đó, điều kiện (2.3) với tập Ai (x) được xác định bởi (2.13)
16

là điều kiện cần và đủ tối ưu của x trong bài toán này.
Hệ quả 2.2 (Đặc trưng của nghiệm tối ưu cho mở rộng kiểu Steiner lồi
của bài toán Fermat -Torricelli trong không Hilbert)
Giả sử X là không gian là không gian Hilbert và tất cả các tập Ωi trong
(1.4) là lồi. Khi đó, điều kiện (2.3) với Ai (x) được tính bởi (2.6) là điều
kiện cần và đủ tối ưu cho x của bài tốn (1.4).
Ví dụ 2.3
Xét trường hợp Ω1 = {(−1; 0)}, Ω2 = {(0; 1)} và Ω3 = {(1; 0)} trong
√
mặt phẳng R2 . Khi đó, Hệ quả 2.2 cho ta nghiệm tối ưu duy nhất (0, 1/ 3)
của bài toán (1.4) với F = [−1, 1] × [−1, 1] và tập Ωi , i = 1, 2, 3, ta có
nghiệm tối ưu duy nhất (0, 1) cho bài toán Fermat -Torricelli (1.3) với tâp
F và Ωi .
Ta trình bày một áp dụng đơn giản của Hệ quả 2.2 cho bài toán FermatTorricelli suy rộng (1.4) có một số hữu hạn khoảng đóng của đường thẳng
thực rời nhau.
Mệnh đề 2.2 (Bài toán Fermat - Torricelli cho các khoảng đóng của
đường thẳng thực)
Xét bài tốn (1.4) với các tập Ωi được cho bởi n khoảng đóng rời nhau
[ai , bi ] ⊂ R, i = 1, . . . , n, trong đó a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2 < . . . < an ≤ bn . Các
khẳng định sau đây đúng:
(i) Nếu n = 2k + 1 thì điểm bất kỳ của khoảng [ak+1 , bk+1 ] là nghiệm tối ưu
của bài toán;
(ii) Nếu n = 2k thì điểm bất kỳ của khơng gian [bk , ak+1 ] là nghiệm tối ưu
của bài toán.
Áp dụng khác của Hệ quả 2.2 cho ta đặc trưng đầy đủ của điểm Fermat
-Torricelli trong bài toán lồi (1.4) với n = 3 trong không gian Hilbert. Chú
ý rằng do tính duy nhất của hình chiếu ta có
Ai (x) = ai =

x − Π(x; Ωi )
d(x; Ωi )

với Ai (x) xác định bởi (2.6).
17

, nếu x ∈
/ Ωi ,

(2.15)


Hình 2.2: Bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng lồi

Mệnh đề 2.3 (Đặc trưng của điểm Fermat - Torricelli suy rộng cho ba
tập lồi trong không gian Hilbert)
Giả sử X là một không gian Hilbert và Ω1 , Ω2 , Ω3 là các tập lồi không
giao nhau từng đôi một trong X. Khi đó, x ∈ X là nghiệm tối ưu của bài
toán (1.4) sinh ra bởi các tập này nếu và chỉ nếu và chỉ nếu các điều kiện
(i) và (ii) của Hệ quả 2.1 thỏa mãn trong đó các véc tơ ai , i = 1, 2, 3 được
xác định trong (2.15) và nón pháp tuyến N (x, Ω1 ) trong (2.8) được tính
bởi (1.7).
Ví dụ 2.4 (Bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng lồi trên mặt phẳng)
Giả sử các tập Ω1 , Ω2 , Ω3 trong bài toán (1.4) là các hình cầu đóng
trong R2 với bán kính r = 1, tâm là các điểm (0, 2), (−2, 0), (2, 0) (xem
hình 2.2). Dễ dàng thấy rằng điểm (0, 1) ∈ Ω1 thỏa mãn tất cả các điều
kiện trong mệnh đề 2.3 (i), và do đó, nó là nghiệm tối ưu (thực ra là
nghiệm duy nhất) của bài tốn này.
Ví dụ 2.5
18

Tổng quát hơn, ta xét bài toán (1.4) trong R2 sinh ra bởi ba đĩa Ωi với
i = 1, 2, 3 không giao nhau từng đôi một. Giả sử c1 , c2 , c3 là tâm các đĩa
này. Giả sử đoạn [c2 , c3 ] ⊂ R2 cắt Ω1 , hoặc [c1 , c3 ] cắt Ω2 , hoặc [c1 , c2 ] cắt
Ω3 . Dễ kiểm tra điểm cắt bất kỳ (chẳng hạn Ω1 và [c2 , c3 ]) là nghiệm tối
ưu của bài tốn, bởi vì nó thỏa mãn điều kiện tối ưu cần và đủ của Mệnh
đề 2.3(i) .
Thật vậy, nếu x là điêm như vậy thì a2 , a3 trong (2.15) là các véc tơ
đơn vị với < a2 , a3 >= −1 và −a2 − a3 = 0 ∈ N (x; Ω1 ).
Nếu các giả thiết tương giao trên bị vi phạm, chúng ta xác định 3 điểm
q1 , q2 , q3 như sau. Giả sử u và v là giao của [c1 , c2 ] và [c1 , c3 ] với biên của
đĩa tâm là c1 . Khi đó, ta có thể thấy rằng tồn tại một điểm duy nhất q1
trên đường cong nhỏ sinh bởi u và v sao cho số đo của góc c1 q1 c2 và c1 q1 c3
là bằng nhau. Các điểm q2 và q3 được xác định tương tự. Mệnh đề 2.3 chỉ
ra khi góc c2 q1 c3 hoặc c1 q2 c3 hoặc c2 q3 c1 lớn hơn hoặc bằng 120o (chẳng
hạn góc c2 q1 c3 ) thì tại điểm x := q1 là một nghiệm tối ưu của bài toán.
Thật vậy, trong trường hợp này a2 và a3 trong (2.15) là vec tơ đơn vị thỏa
mãn < a2 , a3 >≤ −1/2 và −a2 − a3 ∈ N (x; Ω1 ), bởi vì véc tơ −a2 − a3 là
trực giao với Ω1 .
Nếu một trong các góc này lớn hơn hoặc bằng 1200 thì tồn tại điểm
q ∈
/ Ωi , i = 1, 2, 3 sao cho các góc c1 qc2 = c2 qc3 = c3 qc1 = 120o , và q là
một nghiệm tối ưu của bài toán. Chú ý rằng trong trường hợp này điểm
q cũng là nghiệm tối ưu duy nhất của bài toán Fecmat - Torricelli cổ điển
xác định bởi các điểm c1 , c2 và c3 .

2.2.

Thuật toán dưới gradient giải bài toán Fermat - Torricelli

suy rộng

Phần này trình bày thuật tốn giải bài toán Fecmat - Torricelli suy rộng
(1.3) và trường hợp n tập mục tiêu lồi trong không gian hữu hạn chiều.
Dựa trên phương pháp dưới gradient trong tối ưu lồi và các kết quả của
phép tính dưới vi phân trong các phần trước, chúng tơi trình bày thuật
tốn cấp 1 để giải bài toán lồi tổng quát (1.3) và một số dạng đặc biệt
khác.
19


Định lí 2.4 (Thuật tốn dưới gradient cho bài tốn Fecmat - Torricelli
suy rộng )
Giả sử Ωi , i = 1, . . . , n là các tập con lồi của không gian Euclid hữu hạn
chiều X, 0 ∈ intF và S = ∅ là tập các nghiệm tối ưu của bài toán (1.3).
Lấy dãy {αk }, k ∈ N (tập tất cả các số dương) và điểm xuất phát x1 ∈ X.
Ta xét thuật toán:
n

xk+1 = xk − αk

vik , k = 1, 2, . . . ,

(2.16)

i=1

với cách chọn tùy ý các véc tơ
vik ∈ −∂ρ(ωik − xk ) ∩ N (ωik ; Ωi )nếu ωik ∈ ΠFΩi (xk )nếu , xk ∈
/ Ωi (2.17)

và vik = 0 trong các trường hợp khác. Giả sử rằng
∞
i=1

2

αk = ∞ và ℓ :=

∞
i=1

αk2 < ∞

(2.18)

Khi đó, dãy lặp {xk } trong (2.17) hội tụ tối ưu của bài toán (1.3) và dãy
giá trị
(2.19)
Vk := min {T (xj )/j = 1, . . . , k}
hội tụ đến giá trị tối ưu V của bài tốn. Hơn nữa, ta có ước lượng
d(x1 ; S)2 + L2 ℓ2
Vk − V ≤
2 ni=1 αk
trong đó 0 ≤ L < ∞ là hằng số Lipschitz của hàm T (·) trong (1.3) trên
X.
Chú ý rằng sử dụng lý luận trên ta có thể áp dụng phương pháp dưới
gradient cho bài toán Fermat - Torricelli suy rộng trong các trường hợp
khác với việc thay thế điều kiện hội tụ (2.18).

2.3.

Một số trường hợp đặc biệt của thuật tốn dưới gradient

Ta trình bày một hệ quả của Định lí 2.4 theo cách đặt (1.3) khi hàm
cỡ Minkowski (1.17) là khả vi khắp nơi trừ điểm gốc. Điều này đúng cho
20


hàm khoảng cách (1.2). Ký hiệu

∇ρ (x), nếu x = 0,
F
gF (x) :=
0, nếu x = 0,

(2.22)

Hệ quả 2.3 (Thuật toán dưới gradient với các giả thiết trơn)
Với các giả thiết của Định lí 2.4, ta giả thiết thêm rằng hàm cỡ Minkowski
ρF (·) là khả vi tại mọi điểm X \ {0}. Lấy dãy số dương {αk } thỏa mãn
điều kiện (2.18) và cho một điểm xuất phát x1 ∈ X, ta xây dựng thuật
toán:
n
xk+1 = xk + αk
i=1

gF (ωki − xk ),

(2.23)

trong đó ωik ∈ ΠFΩi (xk ) là véc tơ chiếu bất kỳ. Khi đó, tất cả kết quả của
Định lí 2.4 đúng cho thuật tốn (2.23).
Ta trình bày một đặc biệt hóa khác của thuật tốn (2.23).
Hệ quả 2.4 (Thuật toán dưới gradient cho mở rộng kiểu Steiner lồi)
Xét bài toán (1.4) với các tập lồi Ωi , i = 1, . . . , n trong không gian Euclid
hữu hạn chiều X. Cho dãy {αk } gồm các số dương thỏa mãn (2.18) và
điểm xuất phát x1 ∈ X và xây dựng thuật toán (2.23) với gF (·) được xác
định bởi


 Π(xk ; Ωi ) − xk , nếu xk ∈
/ Ωi ,
d(xk ; Ωi )
(2.24)
gF (ωki − xk ) =

0,
nếu xk ∈ Ωi .
Khi đó, các kết luận của Định lí 2.4 thỏa mãn cho thuật tốn này.

Bây giờ ta xét một vài ví dụ thử nghiệm thuật tốn dưới gradient tìm
nghiệm số của các dạng đặc biệt của bài toán Fermat - Torricelli suy rộng.
Ví dụ 2.6 (Bài tốn Fermat - Torricelli cho đĩa)
Xét bài toán kiểu Steiner mở rộng (1.4) của bài toán Fermat - Torricelli
cho trường hợp đĩa trong R2 . Giả sử ci = (ai , bi ) và ri , i = 1, . . . , n là các
tâm và bán kính của đĩa. Thuật tốn dưới gradient của Hệ quả 2.4 trong
21


trường hợp này như sau:

n

xk+1 = xk − αk

qik ,

(2.25)

i=1

trong đó qik được cho bởi


0, nếu xk − ci ≤ ri ,
qik =
xk − ci

, nếu xk − ci > ri .

xk − ci

Các đại lượng Vk được tính bằng công thức (2.19)
T (xj ) =

n
i=1,xj ∈Ω
/ i(

xj − ci − ri ).

Khi viết chương trình MATLAB, ta có thể tính các biểu diễn trên các giá
trị xk và Vk cho số bất kỳ các đĩa và bước lặp. Ta có thể kiểm tra sự hội
tụ của thuật tốn.
Bảng 1: Kết quả số của bài toán Fermat-Torricellci suy rộng cho 3 đĩa
Kết quả MATLAB
k
xk
vk
10
100

(0.7093,1.2370) 2.8078
(0.0559,0.9973) 2.4741

1,000

(0.0047,0.9994) 2.4721

10,000
100,000

(0.0004,0.9999) 2.4721
(0.0000,1.0000) 2.4721

1,000,000 (0.0000,1.0000) 2.4721
Bảng 1 chỉ ra kết quả từ cách tính tốn cho 3 đĩa với tâm là (−2, 0), (0, 2)
và (2, 0) và cùng bán kính r = 1. Tính tốn đã trình bày cho ta dãy
αk = 1/k thỏa mãn (2.18) và điểm xuất phát x1 = (5, 7). Chú ý rằng
các kết quả số nhận được trong phần này tương thích với lý thuyết trong
Mệnh đề 2.3.

Với 4 đĩa tâm là (0, 0), (2, 2), (1, 0) và (2, −2) và cùng có bán kính r =
1/4, chương trình MATLAB cho điểm tối ưu (0.8453, 0.0000) và giá trị
tối ưu là 4.7141. Cho 5 đĩa tâm là (−1, 0), (−1, 1), (0, 2), (1, 1) và (1, 0) với
22


Hình 2.3: Bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng cho 5 hình vng

bán kính r = 1/2, ta nhận được nghiệm tối ưu (0.0000, 0.8505) và giá trị
tối ưu là 3.2973.
Bây giờ áp dụng thuật toán dưới gadient (2.23) cho mở rộng Steiner
(1.4) của bài tốn Fermat - Torricelli cho các hình vng Ωi . Bài tốn này
có ý nghĩa khác với trường hợp đĩa của Ví dụ 2.6.
Ví dụ 2.7 (Bài tốn Fecmat-Torricelli cho hình vng)
Xét bài tốn (1.4) với các hình vng Ωi , i = 1, . . . , n ở vị trí đúng,
tức là cạnh của hình vuông song song với trục x hoặc trục y (xem hình
2.3). Tâm của hình vng là giao của hai đường chéo và bán kính bằng
một nửa độ dài cạnh. Giả sử ci = (ai , bi ) và ri , i = 1, . . . , n lần lượt là
tâm và bán kính của các hình vng. Khi đó, các đỉnh của hình vng
thứ i được ký hiệu là v1i = (ai + ri , bi + ri ) , v2i = (ai − ri , bi + ri ),
v3i = (ai − ri , bi − ri ),v4i = (ai + ri , bi − ri ).
Cho điểm xuất phát x1 và một dãy {αk } thỏa màn điều kiện (2.18).
Thuật toán dưới gradient của Hệ quả 2.4 có thể viết dưới dạng (2.25),
trong đó xk = (x1k , x2k ) và qik được tính như sau:
23