Bài giảng phương trình vô tỉ (LTĐH)

Trng THPT Trn Phỳ Trn Hựng Quõn
Phơng trình phân thức hữu tỉ.
Một số cách biến đổi dấn tới cách đặt ẩn phụ.
1. Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x.
Ta thờng dùng phơng pháp trên đối với các phơng trình dạng sau:
a/ Dạng 1:

2 2
mx nx
p
ax bx c ax dx c
+ =
+ + + +
b/ Dạng 2:

2 2
2 2
0
ax mx c ax nx c
ax bx c ax bx c
+ + + +
+ =
+ + + +
c/ Dạng 3:

2
2 2
0
ax mx c px
ax nx c ax qx c
+ +

+ =
+ + + +
2. Thêm bớt cùng một biểu thức vào hai về để tạo thành bình ph ơng đúng.
3. Đặt hai ẩn phụ.
Bài tập.
1/
2 2
3 7
4
3 1 1
x x
x x x x
+ =
+ + +
2/
2
2 2
10 15 4
6 15 12 15
x x x
x x x x
+
=
+ +
3/
2 2
2 2
3 5 5 5 1
4 5 6 5 4
x x x x

x x x x
+ +
=
+ +
4/
( )
2
2
2
81
40
9
x
x
x
+ =
+
5/
( )
2
2
2
15
1
x
x
x
+ =
+
6/

2 2
1 1 40
2 9
x x
x x


+ =
ữ ữ


7/
2 2
2
2
2 2 5 4
0
1 1 2 1
x x x
x x x
+

+ =
ữ ữ
+

8/
8 8
15
1 1

x x
x x
x x


=
ữ


9/
4 2
2 4
2 1
2
2 1
x x
x x
+
+ =
+
10/
1 1 1 1 1 1 1 1
2 5 7 1 3 4 6x x x x x x x x
+ + + = + + +
+ + + + + + +
Ph ơng trình đại số bậc cao.
I.Ph ơng trình hồi qui .
1. Dạng:
( )
4 3 2 2

0 0ax bx cx kbx k a ka+ + + =
(1)
2. Cách giải:
Thấy rằng phơng trình không có nghiệm x=0 nên chia cả hai vế cho
2
0x
,
ta có:

( )
2
2 2
2
1 0
b b
ax bx c k k
x x
+ + + =
Phng trỡnh i s Trang 1
Trng THPT Trn Phỳ Trn Hựng Quõn

2
2
2
0
k k
a x b x c
x x

+ + + =
ữ
ữ


(2)
Đặt
k
t x
x
=
, khi đó
2
2 2
2
2
k
t x k
x
= +
2
2 2
2
2
k
x t k
x
+ =
. Phơng trình (2) trở
thành

2
2 0.at bt c k+ + =
Tiếp tục giảI phơng trình này theo k. rồi suy ra giá trị của x.
Bài tập:
1/
4 3 2
2 3 16 3 2 0x x x x+ + + =
2/
4 3 2
3 2 6 4 0x x x x + + =
3/
4 3 2
6 4 12 4 0x x x x+ + + =
4/
4 3 2
6 2 4 0x x x x+ + =
5/
4 3 2
10 26 10 1 0x x x x + + =
6/
4 3 2
3 14 6 4 0x x x x+ + =
7/
4 3
3 3 1 0x x x + + =
Dạng 2:
Phơng trình:
( ) ( )
2 2 3 2
' ' ' 0; . . ' 0ax bx ka a x b x ka px qx kpx k a a+ + + + + + + =

Cách giải:
Chia cả hai về cho
2
0x
, rồi đặt.
Bài tập:
1/
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 4 8 70x x x x x =
2/
2 2 2
1 1
3 12
4 4
x x x x x

+ + + =
ữ ữ

3/
( ) ( )
2 2 3 2
2 3 18 3 2 27 41 10 369x x x x x x x + = +
4/
3 2
2
2
7 101 42
11 6

2 12
x x x
x x
x x
+
= +
+ +
5/
3
2
1
2
x x
x x
+
+ =
6/
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 5 6 10 12 3x x x x x+ + + + =
Một số bài toán khác:
1/
( ) ( ) ( )
1 1 2 3x x x x + + =
2/
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 7 8 144x x x x+ + =
3/
( ) ( ) ( ) ( )
5 6 8 9 40x x x x+ + + + =

4/
( ) ( ) ( )
2
6 5 3 2 1 35x x x+ + + =
5/
( ) ( ) ( )
3 5 6 7 8x x x x+ + + =
6/
4 2
2 8 3x x x= + +
7/
( ) ( )
4 4
2 8 272x x+ + + =
8/
( ) ( )
6 6
2 4 64x x + =
9/
( )
( )
4 2
1 5 6 6 0x x x x+ =
10/
( )
( )
( )
2
2 2
1 2 3 4 5 0x x x x+ + + =

11/
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1 2 1x x x x x + = +
12/
( )
4 3
9 5 3x x x+ =
Phng trỡnh i s Trang 2
Trng THPT Trn Phỳ Trn Hựng Quõn
Bài tập phần ph ơng trình vô tỉ.
Dạng 2: Phơng trình đối xứng đối với
( )
P x
và
( )
Q x
Bài tập:
1/
( )
2
3 2 3 1x x x x+ =
2/
2
2 3 1 3 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + +
3/
( ) ( )

1 8 1 8 3x x x x
+ + + + =
4/
( ) ( )
1 4 1 4 5x x x x+ + + + =
5/
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x + = + +
6/
2
4 3 2 1 6 2 8 10 3 16x x x x+ + + = + + +
7/
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + + + =
8/
( ) ( )
3 6 3 3 6x x x x
+ + = + +
Dạng 3: Phơng trình đẳng cấp đối với
( )
P x
và
( )
Q x
Bài tập:
1/
2 3
2 5 1 7 1x x x+ =
2/
2 4 2

3
3 1 1
3
x x x x

+ = + +
3/
( )
3 2
2 1 2 2x x+ = +
4/
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + = +
5/
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + = + +
6/
( )
2 3
2 5 2 4 2 21 20x x x x + =
7/
( )
2 3
2 3 2 3 8x x x + = +
8/
2 3
2 4 3 4x x x x+ + = +
Một số bài toán dạng khác, đặt ẩn phụ
1/
2

35
12
1
x
x
x
+ =

2/
2
2 2
1
x
x
x
+ =

3/
4 3 10 3 2x x =
4/
2
7 7x x+ + =
5/
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ =

6/
3 3 5 2 4x x x =
7/
2
8 6 1 4 1 0x x x + + =
8/
4 1 5
2x x x
x x x
+ = +
9/
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + + =
10/
4 2 2 2
2 2 16 2 6 20 0x x x x x x + + + =
11/
( )
2
2
4
1 1
x
x
x
=
+ +
Phng trỡnh i s Trang 3
Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân
Mét sè bµi to¸n ph ¬ng tr×nh v« tØ.

Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1/
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +
2/
2 2
4
2 6 2x x x x x
x
+ + + + + = +
3/
2
1
2 3 1x x x x
x
+ − = +
4/
32 4 2
2 1x x x x+ − = +
5/
2 2 2
4 3 3 4 1x x x x x x+ + + + = + +
6/
3 3 3
10 8x x x+ − = −
7/
2 2
1 1 2x x x x− + + + + =
8/
2 2
2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +

9/
2 2
2 1 1 3x x x x x+ + + − + =
10/
2 2
1 2 1x x x x x+ + = + − +
11/
3 3 3
1 3 2x x x+ + + = +
11/
3 3
1 2 1x x x+ + = +
13/
2
1
4 4 3x x x x
x
− + = +
14/
32 4 2
4 3 4x x x x− − = −
15/
4 5 3 1 2 7 3x x x x+ + + = + + +
16/
2 2
2 1 1x x x x x+ + = + + −
17/
2 2 2
1 2 2 3x x x x x− + + − = + −
18/

2
1 1x x x x+ + + + =
19/
2
2 3x x x+ + + =
20/
2
1 1 2 1 4x x x− + + + − =
21/
2
2 2 1x x x x x+ + + + =
22/
2
2 3 2 3 9x x x x x+ + + + + =
23/
2 2 2
2 3 2 3 9x x x x x+ + + + + =
24/
2
3 7 8
8
4 2
x x
x
x
+ +
+ =
+
25/
2

2
3 3 2
2
3 1
x x
x x
x
+ +
+ + =
+
26/
( )
(
)
2 2
3 1 4 3 2x x x x x x+ − + + + + =
27/
2
4 3 1x x x+ − − =
28/
2
2 1 3 2 3x x x x x+ + + − = +
29/
2
4 1 2 3 1 3 1x x x x x+ + − + = +
30/
( )
2 2
10 3 1 3 1 6x x x x+ + = + +
31/

( )
2 2
3 2 3 3 1 3x x x x+ + = + +
32/
( )
2 2
4 1 1 2 2 1x x x x− + = + +
33/
( )
2
15 2 1 2 2 5x x x x+ + + = −
34/
( )
2 2
3 4 3 2x x x x x+ + = + + +
35/
( )
2
2 6 2 3 4 3x x x x x+ + + = + +
36/
( )
2
2 2 4 3 2x x x x− + = + −
Phương trình đại số Trang 4
Trng THPT Trn Phỳ Trn Hựng Quõn
37/
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
38/
4

3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
39/
3
4 3 1 4x x
x
+ = + +
40/
2
2 3 9 4x x x+ =
41/
12 2 1 3 9x x x+ = +
42/
4 3 1 7x x x+ = +
Một số bài tập cơ bản
1/
2 2
2 5 3 2 3x x x x+ + > + +
2/
( ) ( )
2
2 6 3 2 1x x x x + >
3/
( ) ( )
2

3 12 8 4 1 3x x x x >
4/
( )
( ) ( )
2 1 4 6 1 4 6x x x x+ + = +
5/
( )
2
5 3 4 4 3 3x x x x x+ + = + + +
6/
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
+ < + +
7/
2 2
2 2
2
1 5 1
2 0
1 2
1
x x x
x x x
x

+ + + + >
ữ
ữ




8/
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x + = +
Đ/S: x=2.
9/
( )
2 2
3 4 3 7 6x x x x+ = +
đ/s: x=0
10/
2
3 2 1
3 2
x
x x
x
=

đ/s: x=1 hoặc x=6.
11/
2
1 1

2
2
x
x
+ =

đ/s:
1
1 3
2
x
x
=




=


12/
2 2
4 1 3
x
x x x x x x
=
+ + +
đ/s:
9
16

1
x
x

=


=

13/
2 2 2 2
5 7 1 2 4 5 4 8 2 2 1x x x x x x x x+ + + = + + + +
đ/s: x=3.
14/
( ) ( )
2
1 4 5 5 28x x x x+ + = + +
đ/s:
2x =
15/
2 2
2 2
12 12
12 x x
x x
=
đ/s: x=

2.
16/

2 2
4
15 . 15 2x x x x+ + =
đ/s:x=1.
17/
3 3
21 15 6x x+ + =
đ/s: x=-21, 6, -85.
18/
( ) ( )
1 3 5 1 3 2x x x x+ + + =
đ/s: x=-1 hoặc x=3.
19/
( ) ( )
2
5 2 3 3x x x x+ = +
đ/s: x=1, x=-4.
20/
2
2
1 1
3
x x x x+ = +
đ/s: x=0, x=1.
Phng trỡnh i s Trang 5