skkn2010chuyen de phan loai bai toan ptdt khong gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (253.7 KB, 25 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Tên đề tài

“ Phân loại bài tốn viết phơng trình đờng

thẳng trong khụng gian

sơ yếu lý lịch

- Họ và tên: Hoàng Văn Tơi
- Ngày sinh: 23 / 07 / 1980

- Năm vào ngành: 2001

- Đơn vị công tác: Trung Tâm GDTX Mü §øc

- Trình độ chun mơn: Cử nhân s phạm Toán học
- Hệ đào tạo: Từ xa

- Bé môn giảng dạy: Môn Toán THPT

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

A. Lý do chọn đề tài

Bài tốn viết phơng trình đờng thẳng là dạng tốn hay và khơng q khó
trong chơng trình lớp 12 , để làm bài tốn dạng này địi hỏi phải nắm vững kiến
thức hình học khơng gian, mối quan hệ giữa đờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.
Mức độ t duy Lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lơ gíc. Những phát hiện lời
giải hay và hấp dẫn ngời học.

Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phơng pháp toạ độ không gian
trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng.

Là giáo viên giảng dạy ở TTGDTX tôi thấy nhìn chung đối tợng học sinh ở
mức trung bình yếu, mức độ t duy vừa phải , các em dễ nhầm lẫn khi giải bài
toán dạng này, để giúp học sinh khơng bị khó khăn khi gặp dạng tốn này tơi đa
ra phơng pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn
giản dễ nhớ và từng bớc giúp học sinh hình thành lối t duy giải quyết vấn đề.

Giúp các em hoàn thành tốt bài thi tốt nghiệp THPT, tiền đề để học sinh b ớc
tiếp vào tơng lai.

B. Phạm vi thực hiện đề tài

Đề tài này đợc thực hiện trong phạm vi lớp 12A, 12TD trung tâm GDTX Mỹ
Đức .

C. Thời gian thực hiện đề tài

Là những buổi ôn tập chuyên đề sau khi học song chơng phơng pháp toạ độ
trong không gian, các buổi ôn thi tốt nghiệp khối 12 năm học 2009 -2010

d. quá trình thực hiện đề tài
* Tr ớc khi thực hiện đề tài:

Tôi yêu cầu các em học sinh thực hiện lµm mét sè bµi tËp:

Bài tốn: Viết phơng trình tham số và phơng trình chính tắc của đờng thẳng d trong
các trờng hợp sau:

a/ d ®i qua ®iĨm M( 1; 2; 3 ) và có chỉ phơng là ud = ( 2; -4 ; 1)

b/ d đi qua điểm N(2; -1; 3) và song song với đờng thẳng d1: 3 1

2
2

1 y z

x








c/ d ®i qua M(2; -1; 3) và vuông góc (P): x + 2y - 3z + 1 = 0
d/ d ®i qua 2 ®iĨm A(2; -1; 3), B (4; 0; 1)

*/Số liệu cụ thể tr ớc khi thực hiện đề tài

KÕt qu¶ cđa líp 12A ( sÜ sè 53)

Làm đúng Làm sai Số h/s khơng có lời Lời giải

C©u a 12 33 8

C©u b 4 26 23

C©u c 4 21 28

C©u d 2 20 31

KÕt qu¶ cđa líp 12TD ( sÜ sè 35)

Số h/s làm đúng Số h/s làm sai Số h/s khơng có lời Lời giải

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

C©u b 2 18 15

C©u c 2 17 16

C©u d 2 10 23

Nh vậy với một bài tốn khá quen thuộc thì kết quả là rất thấp sau khi nêu
lên lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng
thú.

Nội dung thực hiện ti:

Phần I: nhắc lại kiến thức cơ bản cã liªn quan

1. Véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng

* u  0 và có giá song song hoặc trùng với đờng thẳng d thì u l ch phng

ca ng thng d.

* u là chỉ phơng của d thì k. u cũng là chỉ phơng của d ( k 0 )
2. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

* n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) thì n là pháp tuyến của ( )
* n là pháp tuyến của ( ) thì k. n cũng là pháp tuyến của ( ),( k 0 )

3. Phơng trình tổng quát của mặt phẳng

* Phơng trình tổng quát cđa ( ) cã d¹ng Ax + By + Cz + D = 0
( A2 + B2 + C20)

* Nếu ( ) có phơng trình Ax + By + Cz + D = 0 thì pháp tuyến của ( ) lµ
n( A;B;C)

* NÕu ( ) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận n(A;B;C) làm pháp tuyến thì

ph-ơng trình của ( ) lµ : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

* NÕu ( ) chøa hay song song víi gi¸ của hai véc tơ khác phơng a=(a1;a2;a3)

b(b1;b2;b3) thì pháp tuyến của ( ) là

n = [a, b] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)

* Nếu ( ) cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lợt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) thì (

) có phơng trình là : 1

c
z

b
y
a
x

; (a.b.c 0 )

( phơng trình trên gọi là phơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn )

4. Phng trỡnh ca ng thng

Nếu điểm M(x0; y0; z0)d và véc tơ chỉ phơng của d là u (a; b ; c ) th×

* phơng trình tham số của đờng thẳng d là:























ct

z

bt

y

at

x

0
0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

* Phơng trình tổng qt của đơng thẳng có dạng:















0 '

0 D

z

C

y

B

x

A

D

Cz

By

Ax

( Bản chất d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phơng trình lần lợt trong hệ)

5. Các kiến thức khác

* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB)

- vÐc t¬ AB= (xB-xA; yB-yA ; zB-zA)

- Toạ độ trung điểm I của AB là I= )

2
;
2
;
2

(xAxB yAyB zAzB

* a= (a1;a2;a3)

b= (b1;b2;b3)

- TÝch cã híng cđa a vµ blµ mét véc tơ ký hiệu là [a, b]
[a, b] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)
Chó ý:- [a, b]  a vµ [a, b]  b

- NÕu a vµ b cïng phơng thì

3
3
2
2
1
1

b
a
b

a
b
a

Quy c : Pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là n
Chỉ phơng của đờng thẳng ký hiệu là u

Phần 2: Nêu phơng pháp chung để giải tốn:

Trong bài tốn Viết phơng đờng thẳng d thì phơng pháp chung nhất là đi xác

định véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng ( gọi tắt là chỉ phơng) và toạ độ một điểm

mà đờng thẳng đi qua sau đó dựa vào công thức của định nghĩa ( trang 83

sgk hh12) để vit phng trỡnh ng thng.

Phần III: các dạng bài tập thêng gỈp

Dạng 1: Xác định toạ độ một điểm và toạ độ véc tơ chỉ phơng của một đờng
thẳng cho trớc .

Híng dÉn:

Dựa vào định nghĩa ( trang 83 sgk hh12).

Ví dụ: Xác định toạ độ điểm M và véc tơ chỉ phơng u của đờng thẳng d trong

các trờng hợp sau:

a/ d :























t

z

t

y

t

x

2

5

3

2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b/ d:

4
2

1
3

2 y z

x






c/ d:





















)2

(

0

3

2

3 )1(

0

1

3

2 z

y

x

z

y

x

(d lµ giao tuyÕn của hai mặt phẳng 1 và 2 )

Lời giải

a/ Ta có M(2;-3 ;5)d, chỉ phơng của d là u=(3; -1; -2)
b/ Ta cã M(2 ;-1 ;0)d, chØ ph¬ng cđa d lµ u=(3; 2; 4)
c/ Ta cã n1 = (2; 3; -1)

n2 = (3; -1; 2)

Véc tơ chỉ phơng của d là u=[n1, n2] = (5; -7 ; -11)

Cho x = 0 ta cã



















0

3

2

0

1

3 z

y

z

y

















2

1 z

y

VËy ®iĨm M(0; -1 ; -2)



Dạng 2 : Viết phơng trình tham số và phơng trình chính tắc của đờng thẳng
d biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có chỉ phơng u= (a; b; c).

Híng dÉn:

* phơng trình tham số của đờng thẳng d là:























ct

z

bt

y

at

x

0
0
0

;( t lµ tham số)

* phơng trình chính tắc của d là :

c
z
z
b

y
y
a

x

x 0 0  0







; (a.b.c 0 )

VÝ dô : Trong không gian Oxyz .Viết phơng trình tham số và phơng trình chính
tắc của d trong các trờng hợp sau:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a/ Ta có phơng trình tham sè cđa d lµ :























t

z

t

y

t

x

2

3

1

3

2

( t lµ tham số )

phơng trình chính tắc của d là:

2
3
1

1
3

y z
x

b/ phơng trình tham số của d là:

t

z

t

y

x

2

3

1

( t là tham số )

Không có phơng trình chính tắc .

c/ phơng trình tham số của d lµ















t

z

t

y

t

x

2

3

( t lµ tham sè )

phơng trình chính tắc của d lµ

2
1
3  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Dạng 3: Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d biết d đi qua hai điểm
A,B cho trớc.

Híng dÉn: - ChØ ph¬ng cđa d là AB

- Chọn điểm đi qua là A hoặc B

( Đa bài toán về dạng 2)

Ví dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của d trong các trờng
hợp sau:

a/ d đi qua A(2; 3; 5) và B(-1; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-2; 1; 3) và N (1; 1; -1)
c/ d đi qua M(-1; 2; 3) v gc to

Lời giải

a/ Do d đi qua A và B nên chỉ phơng của d là AB=(-3; -1; -5)

lấy A(2; 3; 5)

d . phơng trình tham sè cđa d lµ























t

z

t

y

t

x

5

3

2

( t là tham số )

b/ Do d đi qua M và N nên chỉ phơng của d là MN =(3; 0; -4)

ph¬ng trình tham số của d là:

t

z

y

t

x

4

3

1

3

2

( t là tham số )

c/ Do d đi qua M và O nên véc tơ chỉ phơng của d lµ OM =(-1; 2; 3)

phơng trình tham số của d là:

t

z

t

y

t

x

3

2

1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Dạng 4 : Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm M và vng góc với
mặt phẳng ( ) .

Hớng dẫn: - pháp tuyến của mặt phẳng ( )n là chỉ phơng của d

đa bài toán về dạng 2

Ví dụ : Trong không gian Oxyz . Viết phơng trình tham số của d trong các trờng
hợp sau :

a/ d i qua M(2; 3; 1) và vng góc với ( ): x + 2y – 3z + 1 = 0
b/ d đi qua gốc toạ độ và vng góc với ( ): 3x - 5y + 2z -2 = 0
c/ d đi qua M(2; -3; 1) và vng góc với mặt phẳng (Oxy)

d/ d đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz)

e/ d đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz)

Lời giải

a/ Do d ( ) nên chỉ phơng của d là u=(1; 2; -3)

phơng trình tham số của d là

t

z

t

y

t

x

3

1

2

3

2

( t lµ tham sè)

b/ Do d ( ) nên chỉ phơng của d là u=(3; -5; 2)

phơng trình tham số của d là

















t

z

t

y

t

x

2

5

3

( t lµ tham sè)

c/ Do d (Oxy) nên chỉ phơng của d là k =(0; 0; 1)

phơng trình tham số của d là



















t

z

y

x

1

3

2

( t lµ tham sè)

d/ Do d (Oxz) nên chỉ phơng của d là j=(0; 1; 0)

phơng trình tham số của d là



















1

3

2 z

t

y

x

( t lµ tham sè)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

phơng trình tham số của d là





















1

3

2 z

y

t

x

( t lµ tham sè)

Dạng 5: Đờng thẳng d đi qua điểm M và song song với đờng thẳng d .’

Híng dÉn: - chØ phơng của d chính là chỉ ph ơng của d

đa bài toán về dạng 2.

Vớ d : Trong khơng gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d trong
các trờng hợp sau:

a/ d ®i qua điểm M(2; 2; -1) và song song với d

t

z

t

y

t

x

3

1

2

3

2

( t là tham số)

b/ d đi qua điểm M(-1;2;3) vµ song song víi d : ’

4
2

1
3

2 y z

x






c/ d ®i qua ®iĨm M(0; 2; 1) vµ song song víi d

)2

(

0

3

2

3 )1(

0

1

3

2 z

y

x

z

y

x

d/ d đi qua điểm M(2; 3; 4) và song song víi trơc ox.
Lêi gi¶i

a/ Do d // d’  chØ ph¬ng cđa d lµ u = (1; 2; -3)

 phơng trình tham số của d là:

t

z

t

y

t

x

3

1

2

( t lµ tham sè)

b/ Do d // d’  chØ ph¬ng cđa d lµ u = (3; 2; 4)

 phơng trình tham số của d là:

t

z

t

y

t

x

4

3

2

3

1

( t lµ tham sè)

c/ Ta cã n1 = (2; 3; -1)

n2 = (3; -1; 2)

VÐc t¬ chØ ph¬ng cđa d’ lµ u’=[n1, n2] = (5; -7 ; -11)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

phơng trình tham sè cđa d lµ:



















t

z

t

y

t

x

11

1

7

2

5

( t lµ tham sè)

d/ Do d // trơc ox  chØ ph¬ng cđa d lµ i = (1; 0; 0)

phơng trình tham số của d là:

4

3

2 z

y

t

x

( t là tham số)

Dạng 6 : Đờng thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng (P) và (Q)

Hớng dẫn: - Chỉ phơng của d là u= [nP, nQ]

Đa bài toán về dạng 2.

Ví dụ1: Trong không gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của d biết d đi qua điểm
M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng

(P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 vµ (Q): x – 3y + z -2 = 0.
Lêi gi¶i .

Ta cã nP = (2; 3; -2)
nQ=(1; -3; 1)

Do d //(P) vµ d//(Q) nên chỉ phơng của d là u= [nP, nQ]= (-3; -4; -9)

phơng trình tham sè cđa d lµ:























t

z

t

y

t

x

9

5

4

1

3

( t là tham số)

Ví dụ2: Trong không gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của d biết d đi qua điểm
M(-2; 1; 5) và song song với hai mặt ph¼ng

(P): 3x + 2y - 4z +1 = 0 và mặt phẳng (Oxy)

Lời giải .

Ta có pháp tuyến của (P) là : nP = (3; 2; -4)
Pháp tuyến của (Oxy) là k=(0; 0; 1)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

phơng trình tham sè cđa d lµ:























5

3

1

2 z

t

y

t

x

( t lµ tham sè)

Dạng 7 : Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M, song song với mặt phẳng
(P) và vng góc với đờng thẳng d .( ’ d khơng vng góc với (P)’ )

Hớng dẫn: - Xác định pháp tuyến của (P) và chỉ phơng của d .( ’ nP và u’ )

- Chỉ phơng của d là u= [nP, u]

Đa bài toán vỊ d¹ng 2

Ví Dụ: Trong khơng gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d trong
các trờng hợp sau:

a/ d ®i qua ®iĨm M(2; 3; 0), song song (P): 3x 2y +z+1 = 0 và vuông gãc víi
d’:

4
3
3

1
2

1 





 y z
x

b/ d ®i qua ®iĨm M(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông gãc víi

d’:























t

z

t

y

t

x

2

4

2

3

1

( t là tham số )

Lời giải

a/ Ta có : - Pháp tuyến của (P) là nP = (3; -2; 1)

- Chỉ phơng của d là u= (2; 3; 4 )

Do d//(P) và dd chỉ phơng của d lµ u= [nP, u’] = (-11; -10; 13)

phơng trình tham số của d là:





















t

z

t

y

t

x

13

10

3

11

2

( t lµ tham sè)

b/ Ta có : - Pháp tuyến của (Oxz) là j = (0; 1; 0)
- Chỉ phơng của d là u= (3; -1; 2 )

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

 phơng trình tham số của d là:

t

z

y

t

x

3

1

2

( t lµ tham sè)

Dạng 8 : Đờng thẳng d đi qua điểm M và vng góc với hai ng thng d1 v d2

không cùng phơng.

Hng dn: -Xỏc định chỉ phơng của d1 và d2 (u1 và u2)

- Chỉ phơng của d là u= [u1, u2]

Đa bài toán vỊ d¹ng 2.

Ví Dụ: Trong khơng gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d trong
các trờng hợp sau:

a/ d đi qua điểm M(2; -3; 4) và vuông gãc víi d1:

























t

z

t

y

t

x

2

1

3

2

( t lµ tham sè )

d2:

3
3
5

1 



 y z
x

b/ d đi qua điểm M(1; 2; 3) vng góc với trục oy và đờng thẳng

d’























)

(

0

2

3

2 )

(

0

2

3 Q

z

y

x

P

z

y

x

Lêi gi¶i

a/ Ta có : Chỉ phơng của d1 là u1 = (-3; 1; 2)

Chỉ phơng của d2 là u2 = (2; 5; 3 )

Do d d1 vµ dd2  chỉ phơng của d là u=[u1, u2]= (-7; 13; -17)

phơng trình tham số cđa d lµ:

























t

z

t

y

t

x

17

4

13

3

7

2

( t lµ tham sè)

b/ Xét đờng thẳng d’ ta có :

- Pháp tuyến của (P) là nP = (1; 3; -2 )

- Pháp tuyến của (Q) là nQ = (2; -1; 3)

Chỉ phơng của d là u = [nP, nQ] = (7; -7; -7)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Do d d và doy chỉ phơng của d lµ u=[u’, j]= (1; 0; 1)

phơng trình tham số của d là:

t

z

y

t

x

3

2

1

( t lµ tham sè)

Dạng 9: Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt
phẳng (P) và (Q), ( (P) và (Q) không song song )

Hớng dẫn: - Xác định pháp tuyến của (P) và (Q) , (nP và nQ )

- ChØ ph¬ng cđa d lµ u = [nP, nQ]

-Xác định một điểm thuộc d: ( bằng cách giải hệ tạo bởi phơng trình 
 hai mặt phẳng và cho trớc giá trị một ẩn.)

Đa bài toán về dạng 2

Vớ D : Trong khụng gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là giao
tuyến của (P): x + y + z – 1 = 0

vµ (Q): 2x – 3y +z +3 = 0.

Lời giải

- Pháp tuyến của (P) là nP = (1; 1; 1 )

- Ph¸p tun cđa (Q) là nQ = (2; -3; 1)

Chỉ phơng của d lµ u = [nP, nQ] = (4; 1; -5)

Toạ độ điểm M



d thoả mãn hệ



















0

3

2

0

1 z

y

x

z

y

x

cho x = 0  y=1 vµ z = 0

 M(0; 1; 0 )

phơng trình tham số của d lµ



















t

z

t

y

t

x

5

1

4

( t lµ tham sè )

Nhận xét: Bài toán trên bản chất là bài toán chuyển từ phơng trình tổng quát của

đờng thẳng về dạng phơng trình tham số.

Dạng 10 : Đờng thẳng d song song và cách đều hai đờng thẳng song song d1 và

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 toạ độ trung điểm I ca MN

Đa bài toán về dạng 2.

Vớ d: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng

d1:

























t

z

t

y

t

x

2

4

3

2

( t lµ tham sè ) vµ d2:

2
1

1
3






 y z

x

Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2

đồng thời cách đều hai đờng thẳng đó.
Lời giải

Do d1//d2 và d cách đều d1, d2  chỉ phơng của d là u= (3; 1; -2)

Lấy M(2; -3; 4) d1 , N(4; -1; 0) d2  toạ độ trung điểm I ca MN l

I(3; -2; 2) d

phơng trình tham sè cđa d lµ

























t

z

t

y

t

x

2

3

( t lµ tham sè )

Nhận xét : - phơng trình của d và d1 chỉ khác nhau toạ độ của điểm đi qua.

- Giả sử d1 và d2 đợc thay bằng phơng trình tổng qt thì cách xác định

®iĨm ®i qua và véc t chỉ phơng tơng tự nh dạng 9.

Dạng 11 : Đờng thẳng d là phân giác của góc tạo bời d1 và d2 cắt nhau.

Hng dẫn :- Xác định toạ độ giao điểm I của d1 v d2

- Lấy điểm A d1 ( A khác I)

- Xác định Bd2 sao cho IA = IB ( tìm đợc hai điểm B1 và B2 thoả

m½n)

+ Víi ®iĨm B1  trung ®iĨm I1 cđa AB1  d đi qua I và I1

+ Với điểm B2 trung ®iĨm I2 cđa AB2  d ®i qua I và I2

Đa bài toán về dạng 3.

Vớ d: Trong khơng gian Oxyz . Viết phơng trình tham số của d là phân giác của góc
tạo bởi hai đờng thẳng

d1:

1
1

1
2






 y z

x

vµ d2:





















t

z

t

y

t

x

1

2

3

( t là tham số ).

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Phơng trình tham sè cđa d1 lµ:

























'

1 '

2

1 t

z

t

y

t

x

xÐt hƯ































'

1 '

1

2 '

2

1

3 t

 t=0 và t=1 thoả mÃn cả 3 phơng trình trong hệ.

d1 cắt d2 tại điểm I(3; 0; -1)

Ly A(1; -1; 0) d1. Bd2  toạ độ của B(3-t; 2t; -1+t)

IA = IB  t = 1 hc t = -1.

Vậy có hai điểm B thoả mÃn là B1(2; 2; 0) vµ B2(4; -2; -2)

* gäi I1 lµ trung điểm của AB1 I1=(

2
3

;

2
1

; 0)

phân giác thứ nhất đi qua I và I1 . II1=(

2
3

;

2
1

; 1) chỉ phơng của d là

u= (-3; 1; 2) phân giác thứ nhất là

t

z

t

y

t

x

2

1

0

3

( t là tham số )

* gọi I2 là trung điểm của AB2 I1=(

2
5

;

2
3

; -1)

phân giác thứ nhất đi qua I vµ I2 . II2 =(-2

;

2
3



; 0)  chØ phơng của d là

u= (-1; -3; 0) phân giác thø hai lµ

























t

z

t

y

t

x

2

1

0

3

( t lµ tham sè )

Dạng 12 : Đờng thẳng d là đờng vng góc chung của hai đờng thẳng d1 và d2

chÐo nhau.

Phân tích : giả sử d là đờng vng góc chung của d1 và d2 chéo nhau thì d là giao

tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

- (P) chứa d vµ d1

- (Q) chøa d vµ d2

Híng dÉn :

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- d lµ giao tuyÕn cđa (P) vµ (Q)

( Đa bài tốn về dạng 9 )
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho hai đờng thẳng chéo nhau:

d1:

1
5
3

1 





 y z
x

vµ d2:

2
1
2

2
3

1 





 y z
x

Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là đờng vng góc chung của d1

vµ d2.

Lời giải:

Ta có : chỉ phơng của d1 là: u1=(2; 3; 1)

Chỉ phơng của d2 là : u2= (3; 2; 2)

d là đờng vng góc chung của d1 và d2

 Chỉ phơng của d là u= [u1, u2] = (4; -1; -5)

Gọi (P) chứa d và d1 pháp tuyến của (P) là nP=[u1,u]=(-14; 14; -14)

Hay pháp tuyến của (P) là nP = (-1; 1; -1)

Điểm M(1; -1; 5)

(P)

phơng trình của (P) là: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0

 -x +y –z +7 = 0

Gäi (Q) chứa d và d2 pháp tuyến của (Q) là nQ=[u,u2]=(8; -23; 11)

§iĨm N(2; -1; -1)



(Q)

 phơng trình của (Q) là: 8(x-2) - 23(y+1) + 11(z+1) =0

 8x - 23y +11z - 43 = 0

XÐt hÖ

























0

43

11

23

8

0

7 z

y

x

z

y

x

( là phơng trình tổng quát của d )

Cho y = 1 x =

3
22

và z =

3
2

điểm A(

3
22

; 1;

3
2

)

Vậy phơng trình tham số của d lµ :















t
z

t
y

t
x

5
3
2

4
3
22

( t lµ tham sè )

Dạng 13 : Đờng thẳng d đi qua điểm M, vng góc với đờng thẳng d1 và cắt

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Phân tích: - do d cắt d2 tại N N



d2 vµ N



d

- Khi đó MN là chỉ phơng của d  MN.u1 = 0 to im N

- Đa bài toán vỊ d¹ng 3.

Hớng dẫn : - Xác định dạng toạ độ điểm N



d2

- Lập véc tơ MN =? , xác định chỉ phơng của d1

- do d d1  MN .u1 = 0  toạ độ điểm N

- d là đờng thẳng đi qua M và N đã biết ( dạng 3)

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz .Lập phơng trình đờng thẳng d đi qua M(2; 3; 3)

vu«ng gãc víi d1:

1
2

4
1

1 





 y z
x

và cắt d2 :

t

z

t

y

x

1

2

3

( t là tham số)

Lời giải:

Ta có: chỉ phơng của d1 là :u1 = (1; 3; 1)

Do d c¾t d2  N(-3; 2 - t; 1+ t ) d

 MN = (-5; -1 – t ; -2 + t ) là chỉ phơng của d

do d d1 MN.u1 = 0  t = -5  MN= (-5; 4; -7)

phơng trình tham số của d là :























t

z

t

y

t

x

7

3

4

3

5

2

( t lµ tham sè)

Dạng 14 : Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là hình chiếu ca d1 trờn

mặt phẳng (P).

Phân tích: d là hình chiếu của d1 trên (P) d là giao tuyến của (P) và mặt phẳng

(Q) ( mặt phẳng (Q) chứa d1 mà vuông góc với (P)) .

Phng pháp : - Xác định pháp tuyến nP của (P), chỉ phơng u1 của d1

- gäi (Q) là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với (P)

- Lập phơng trình (Q)

- d lµ giao tun cđa (P) vµ (Q) (D¹ng 9)

Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là hình

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Lêi gi¶i :

Ta cã : M(2 ; 1; 3 ) d1

Chỉ phơng của d1 là u1= (3; -1; 1)

Pháp tuyến của (P) là nP=(2; -3; 1)

Do d là hình chiếu của d1 trên (P) d là giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Q) chứa

d1 và vuông góc với (P).

pháp tuyến của (Q) là nQ=[u1, nP] = (2; -1; -7)

phơng trình của (Q) là : 2( x - 2) – (y – 1) – 7( z - 3) = 0

 2x –y -7z +18 = 0

chỉ phơng của d là : u=[nP, nQ] = ( 22; 16; 4 )

Hay chØ ph¬ng cđa d lµ u=(11; 8; 2)

XÐt hƯ:



















0

18

7

2

0

1

3

2 z

y

x

z

y

x

cho z=1  x=

-4
31

vµ y =

-2
9



A(-4

;-2
9

; 1)

phơng trình tham số của d là :























t
z

t
y

t
x

2
1

8
2
9

11
4
31

( t lµ tham sè )

Dạng 15 : Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d biết d vng góc với (P)
đồng thời cắt cả hai ng thng d1 v ng thng d2.

Phơng pháp:

- giả sử d cắt d1 và d2 tại M và N  dạng toạ độ của M và N  MN ?

- d vng góc (P)  pháp tuyến nP của (P) cùng phơng MN  to ca M,

N

( Đa bài toán về d¹ng 9)

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d . biết d
vuông góc với mặt phẳng

(P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai đờng thẳng d1:























t

z

t

y

t

x

2

1

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

d2:























'

2

4 '

3 '

2 t

z

t

y

t

x

( t vµ t’ lµ tham sè )

Lêi gi¶i:

Giả sử d cắt d1 tại M  toạ độ của M (3 + t; 2 + 3t; 1 - 2t)

d cắt d2 tại N  toạ độ của N (2- t’; 3 + t’; 4 + 2t’)
 MN =( -t’ – t – 1; t’ – 3t +1; 2t +2t +3)

Pháp tuyến của (P) là nP= (1; 2; 1)

Do d vuông góc với (P) MN và nP cïng ph¬ng.


3
2
'
2
2

1
3
'
1

'  








 t t t t t t

 t=

4
1

 vµ t’=

12
13



 M(

4
11

;

4
5

;

2
3

) d1 , MN=(

3
1

;

3
2

;

3
1

)  chỉ phơng của d là u=(1; 2; 1)

phơng trình tham sè cđa d lµ :














t

z

t
y

t
x

2
3

2
4
5
4
11

; ( t lµ tham sè )

Dạng 16 : Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d. biết d song song với hai
mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời cắt hai đờng thẳng d1 và d2 .

Phân tích:

- do d // (P) và d//(Q) chỉ phơng của d là tích có hớng của hai pháp tuyến

của (P) và (Q).

- do d ct d1 và d2 tại M và N  dạng toạ độ của M và M  MN cùng

ph-ơng với chỉ phph-ơng của d  toạ độ cụ thể của M  phơng trình tham số

cđa d

Híng dÉn:

- Xác định pháp tuyến của (P) và (Q) là nP và nQ

- Xác định chỉ phơng của d là u= [nP, nQ]

- Xác định dạng toạ độ giao điểm M,N của d với d1 và d2

- Lập MN, MN //u to ca M

phơng trình tham sè cña d

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

(Q): - x – y + 2z -2 = 0 đồng thời cắt hai đờng thng d1:

t

z

t

y

t

x

2

1

2

1

, d2:

'

2 '

2

1 '

3 t

z

t

y

t

x

Lời giải

Ta có: pháp tuyến của (P) là: nP= ( 1; 2; -1)

Pháp tuyến của (Q) lµ: nQ= (-1; -1; 2)

Do d //(P) vµ d//(Q)  chỉ phơng của d là u= [nP, nQ]= ( 3; -1; 1)

Giả sử d cắt d1 tại M  toạ độ của M là M(1+t; 2-t; 1+2t)



d cắt d2 tại N  toạ độ của N là N(3-t’; 1+2t’; 2-t’)



MN = (-t – t’+2; t +2t’ -1; -2t –t’ +1 )

MN //u 

1
1
'
2
1

1
'
2
3

'   











 t t t t t t

 t = t’ =

7
1

 M(

7
8

;

7
13

;

7
9

)

Vậy phơng trình tham số của d lµ:




















t
z

t
y

t
x

7
9

7
13

3
7
8

; ( t lµ tham sè )

Bµi tËp tù lun :

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3)
Viết phơng trình tham số của đờng thẳng AB.

( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2007)

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4)
Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng MN.

( đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)

Bài3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(1; 0; 2) và N(3; 1; 5)
Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua M và N.

( đề thi tốt nghiệp THPTphân ban lần 2 năm 2007)

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt phẳng (

 ) : x – 2y + 2z +5 = 0. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và vng góc với
( )

( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2008)

Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng (

 ) : 2x – 3y + 6z +35 = 0. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và vng góc
với ( )

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng (

 ): 2x – 2y + z - 1 = 0. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vng góc với (

 )

( đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008)

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4).
Viết phơng trình của đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vng
góc với mặt phẳng (OAB)

( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2007)

Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai mặt phẳng

(P): 2x +3y – 4z +5 =0 và (Q): 3x + y – z +4 = 0. Viết ph ơng trình tham số của
đờng thẳng d là giao tuyn ca (P) v (Q).

(Đề 16 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)

Bi 9: Lp phng trỡnh ng vuụng góc chung của hai đờng thẳng

d1:

1
3
3

3
1

3 





 y z
x

và d2:

t

z

t

y

t

x

8

2

(Đề 11 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)

Bi 10: Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng d:

t

z

t

y

t

x

3

8

1

4

Trên mặt phẳng (P): 3x + 2y +z 5 = 0.

(Đề 10 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)

Bi 11: Vit phng trình đờng thẳng d vng góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai

đờng thẳng d1:

























t

z

t

y

t

x

4

1

5

2

3 

R); d2:























'

6 '

2

4 '

2 t

z

t

y

t

x

(t’



R )

(Đề 14 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)

Bi 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đờng thẳng

d1:

1
2
1

1
2






y z
x

d2:























3

1

2

1 z

t

y

t

x

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A năm 2007)

Bài 13: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz. lập phơng trình đơng thẳng d song song
với với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + 8 = 0 và cắt
hai đờng thẳng d1:

3
1
3
4
2
4 





 y z
x

, d2:

4
2
3
2
4

y z
x

(Đề 17 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)

Bi 14: Lp phng trình đờng thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 3 )vng góc với đờng

th¼ng d1:

1
2
1
4
3
1 




 y z
x

và cắt đờng thẳng d2:























t

z

t

y

x

9

8

3

(Đề 7 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)

Bi 15: Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đờng
thẳng d1:

1
3
1
2
2
2 






 y z
x

, d2:

1
1
2
1
1
1 





 y z
x

Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua A vng góc với d1 và cắt d2.

( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2006)

Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đờng thẳng



























t

z

t

y

t

x

4

1

2

3

, viết phơng trình đờng thẳng d’ đi qua điểm A , cắt và vng góc với

đờng thẳng d.

( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B năm 2004)

Bài 17: Cho hai đờng thẳng d1:















t

z

y

x

1

0

( t



R), d2:



















0

1 '

2 z

y

t

x

(t’



Viết phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi d1 và d2.

Bài 18: Viết phơng trình đờng thẳng d song song , cách đều d1, d2 và thuộc mặt

phẳng chứa hai đờng thẳng d1, d2.

d1:

4
9
1
5
3
2 






 y z
x

; d2:

4
7
1
3
3




y z
x

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bµi 1 :



















t

z

t

y

t

x

2

1

3

2

; (tham sè t R)

Bµi 2 : 13 14 3 1






 y z
x

Bµi 3 :



















t

z

t

y

t

x

3

2

1

(tham sè t



Bµi 4 :

























t

z

t

y

t

x

2

3

2

1

(tham sè t R)

Bµi 5 :























t

z

t

y

t

x

6

3

2

1

(tham sè t



Bµi 6 :

























t

z

t

y

t

x

2

3

(tham sè t R)

Bµi 7 : 2 12 1 2



y z
x

Bµi 8 : d :

























t

z

t

y

t

x

7

10

1

(tham sè t R)

Bµi 9 : d :























t

z

t

y

t

x

5

7

2

3

(tham sè t



Bµi 10: 










t
y
t
x

40
167
13
9
13
34

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bµi 11:

















t

z

y

x

1

3

2

(tham sè t



Bµi 12:
4

1
1
7
2




 y z
x

Bµi 13 :

























t

z

t

y

t

x

4

2

3

8

2

(tham sè t R)

Bµi 14 :

8
3
7
3
5
2 





 y z
x

Bµi 15 :

5
3
3

2
1
1







 y z
x

Bµi 16 :

1
4
2
2
3
4






 y z
x

Bµi 17 : có hai phân giác là :

t

z

y

t

x

1

(t R ) vµ













t

z

y

t

x

1

(t  R)

Bµi 18 :

























t

z

t

y

t

x

4

1

3

1

(tham sè t



e- kÕt qu¶ thùc hiƯn

Là dạng tốn hay các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập. đó có thể coi là
một thành cơng của ngời giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em
học sinh lớp 12A và 12TD làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là các bài
tốn viết phơng trình mặt phẳng thuộc dạng có trong đề tài . Đồng thời lấy lớp
12A14 ( trờng THPT Mỹ Đức B) để làm lớp đối chứng cũng với đề kiểm tra đó.
Kết quả rất kh quan, c th nh sau:

Giỏi Khá Trung bình Yếu

Lớp 12A( Thùc nghiƯm) 13% 50% 30% 7%

Líp 12TD( Thùc nghiƯm) 11% 50% 31% 8%

Líp 12A14( §èi chøng) 0% 15% 45% 40%

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

khá vững phơng pháp làm và trình bầy bài giúp các em tự tin hơn trong häc tËp
cịng nh khi ®i thi .

f- kiến nghị sau quá trình thực hiện đề tài.

1/ Kiến nghị với Sở GD&ĐT phổ biến rộng rãi các đề tài đợc giải để các giáo viên
cùng tham khảo.

- Mở rộng khuyến khích việc mở các lớp chun đề, ơn luyện, kiểm tra đánh giá
việc ôn luyện của học sinh.

- Mong muốn lớn nhất của tôi khi thực hiện đề tài này là học hỏi, đồng thời giúp
các em học sinh trớc hết là bớt đi sự khó khăn khi gặp các bài tốn viết phơng trình
mặt phẳng, đồng thời ơn luyện lại cho học sinh về mối quan hệ của đờng thẳng, từ
đó các em say mê học tốn.

Đề tài của tơi chắc hẳn khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong q thầy cơ,
đồng nghiệp cùng đọc và đóng góp ý kiến cho tơi, để đề tài của tơi c hon
thin hn./.

Xin chân thành cảm ơn !

Nhn xột, ỏnh giám xếp loại của Mỹ Đức, ngày 29 tháng 5 năm 2010

Hội đồng khoa học cơ sở Ngời viết

</div>

skkn2010chuyen de phan loai bai toan ptdt khong gian

Tên đề tài

“ Phân loại bài tốn viết phơng trình đờng

thẳng trong khụng gian























<i>ct</i>

<i>z</i>

<i>z</i>

<i>bt</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>at</i>

<i>x</i>

<i>x</i>























0

'

'

'

'

0

<i>D</i>

<i>z</i>

<i>C</i>

<i>y</i>

<i>B</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>D</i>

<i>Cz</i>

<i>By</i>

<i>Ax</i>

























<i>t</i>

<i>z</i>

<i>t</i>

<i>y</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

2

5

3

3

2









