TOA DO TRONG K G

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b>Lưu Phi Hoàng Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian</b></i>

<b>Chủ đề 7: TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN</b>

<b>I) BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ</b>
<i><b>Định lí: Trong KG Oxyz, cho:</b></i>

<i>a</i>( ; ; ),<i>a a a</i>_{1 2 3} <i>b</i>( ; ; )<i>b b b</i>_{1 2 3} <i>. </i>

<i>a b</i>(<i>a b a</i>₁ _{1 2}; <i>b a</i>_{2 3}; <i>b</i>₃) <i>a b</i> (<i>a b a</i>₁ _{1 2};  <i>b a</i>_{2 3};  <i>b</i>₃)
<i>ka k a a a</i> ( ; ; ) ( ;_{1 2 3}  <i>ka ka ka</i>₁ ₂; ₃) <i>(k  R)</i>

<i><b>Hệ quả: </b></i>

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i>
1 1
2 2
3 3
 

  _ 
 _




<i>  Với b</i>0<i>: </i>

 

   _ 
 _

<i>a</i> <i>kb</i>
<i>a b cùng phương</i> <i>k R a</i> <i>kb</i>
<i>a</i> <i>kb</i>
1 1
2 2
3 3
, :


<i>  Cho A x y z B x y z</i>( ; ; ), ( ; ; )<i>_{A A A}</i> <i>_{B B B}</i> <i> AB</i>(<i>x_B</i>  <i>x y_A</i>; <i>_B</i> <i>y z_{A B}</i>;  <i>z_A</i>)

<i></i>

<i> *M là trung điểm của đoạn AB: M</i> <i>xA</i> <i>x yB</i>; <i>A</i> <i>y zB</i>; <i>A</i> <i>zB</i>

2 2 2

    

 

 

<b>II) TÍCH VƠ HƯỚNG</b>

<b>1. Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng</b>

<i><b>Định lí: Trong KG Oxyz, cho: </b>a</i>( ; ; ),<i>a a a</i>_{1 2 3} <i>b</i>( ; ; )<i>b b b</i>_{1 2 3} <i> </i>
<i> * a b a b a b</i>. _{1 1} _{2 2}<i>a b</i>_{3 3}

<b>2. Ứng dụng</b>

 <i>a</i>  <i>a</i>₁2<i>a</i>₂2<i>a</i>₃2 <i>  AB</i> (<i>x x_B</i> <i>_A</i>) (2<i>y y_B</i> <i>_A</i>) (2 <i>z z_{B A}</i> )2<i>  </i>

<i>a b a b a b</i>
<i>a b</i>

<i>a a a b b b</i>

1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3

cos( , )

.
 

   



<i>*a b</i> <i>a b a b</i>_{1 1} _{2 2} <i>a b</i>_{3 3}0

<b>VD1: Trong KG Oxyz, cho A(1;1;1), B(–1;2;3), C(0;4;–2).</b>

a) Tìm toạ độ các vectơ <i>_AB</i>, <i>_AC</i>, <i>_BC</i> , <i>_AM</i> (M là trung điểm của BC).

b) Tìm toạ độ của vectơ: <i>_AC</i>₃<i>_AB</i>

 

, <i>_AB</i> ₂<i>_AC</i>

<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>
<i></i> <i></i>

c) Tính các tích vơ hướng:  <i>_{AB AC}</i>_. , <i>_AB</i>_{. 2}



 <i>_AC</i>



<b>III)PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU</b>

<i><b>1.Định lí: Trong KG Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính r có phương trình:</b></i>
<i> </i>(<i>x a</i> )2(<i>y b</i> )2(<i>z c</i> )2 <i>r</i>2

<b>VD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; –2; 3) và bán kính r = 5.</b>

Giải: (<i>x</i>1)2(<i>y</i>2)2( 3)<i>z</i> 2 25

<i><b>2.Nhận xét: Phương trình:</b></i>
<i>x y z</i>2 2 22<i>ax by cz d</i>2 2  0

<i>với _a</i>2<i>_b</i>2<i>_c</i>2 <i>_d</i>₀<i> là phương trình mặt cầu có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính r</i> <i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>2 <i>d.</i>
<b>VD3: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:</b>

a)(<i>x</i> 2)2(<i>y</i>1)2(<i>z</i>3)2 64 b)(<i>x</i>1)2(<i>y</i> 2)2(<i>z</i> 3)29

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>Lưu Phi Hoàng Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian</b></i>
1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:

a) <i>x</i>2<i>y</i>2<i>z</i>2 8<i>x</i> 2<i>y</i> 1 0 b) <i>x y z</i>2 2 24 8 2 4 0<i>x y z</i>   

c) <i>x y z</i>2 2 2 8 4 2 4 0<i>x y z</i>    d) 3<i>x</i>23<i>y</i>23<i>z</i>2 6<i>x</i>8<i>y</i>15 3 0<i>z</i> 
<b>2.. Lập phương trình mặt cầu:</b>

a) Có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3).
b) Đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm C(3; –3; 1).
c)Đi qua A,B và có tâm nằm trên trục ox,oy,oz
d) Đi qua bốn điểm O(0,0,0),A,B,C.

<b>IV) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG</b>
<b>1. Véc tơ Pháp tuyến của mặt phẳng</b>

<i><b>Định nghĩa: Cho mp (P). Nếu vectơ </b>n</i><i>  </i>₀<i> và có giá vng góc với (P) thì n</i><i> đgl vectơ pháp tuyến của (P).</i>

<i><b>Chú ý: Nếu </b>n</i><i> là VTPT của (P) thì kn</i><i> (k  0) cũng là VTPT của (P).</i>

<i><b>Bài toán</b><b> :</b><b> Trong KG, cho mp (P) và hai vectơ không cùng phương </b>a</i>( ; ; )<i>a a a</i>_{1 2 3} , <i>b</i>( ; ; )<i>b b b</i>_{1 2 3} có giá song
song hoặc nằm trong (P). Chứng minh rằng (P) nhận vectơ sau làm VTPT:

<i>a</i> <i>a a</i> <i>a a a</i>
<i>n</i>

<i>b</i> <i>b b</i> <i>b b b</i>

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

; ;

 

 

 

 



Vectơ <i>n</i> xác định như trên đgl tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ <i>a</i> và <i>b</i>.Kí hiệu:





<i>n</i> <i>a b</i>, hoặc <i>n a b</i>  .

<b>Nhận xét: </b>

 Tích có hướng của hai vectơ cũng là một vectơ.
 Cặp vectơ <i>a</i>, <i>_b</i>ở trên đgl cặp VTCP của (P).

2.Phương trình tham số : có <i>a a a a b b b b</i>r( , , ), ( , , )₁ ₂ ₃ r _{1 2} ₃ là Cặp VTCP và<i>M x y z</i>( , , )₀ _{0 0} <i>mp</i>( ) _{khi đó}

PTTS có dạng

   



  



   



<i>x x</i> <i>a t</i> <i>b t</i>
<i>y y</i> <i>a t</i> <i>b t</i>
<i>z z</i> <i>a t</i> <i>b t</i>

0 1 1 1 2
0 2 1 2 2
0 3 1 3 2

<i><b> Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng đi qua M(x</b><b>0</b><b>;y</b><b>0</b><b>;z</b><b>0</b><b>) và có VTPT </b>n A B C</i>( , , )



<i><b> có phương trình là:</b></i>

A(x- x0)+B(y- y0)+C(z-z0)=0

Dạng 2: Viết Phương Trình Mặt Phẳng đi qua M(x<i><b>0</b><b>;y</b><b>0</b><b>;z</b><b>0</b><b>) và Song Song Với MP:Ax+By+Cz+D=0</b></i>

<i><b> VTPT </b>n A B C</i>( , , )<i><b> làm VTPT có phương trình là: A(x- x</b></i>0)+B(y- y0)+C(z-z0)=0

Dạng 3: Viết phương trình của mp(Q) đi qua A(1,2,1),B(0,1,2) và vng góc với mp(P): x-2y+z+3=0
  

<i>AB</i> ( 1, 1,1)

uuur

là 1 VTCP của mp(Q) vì<i>mp Q</i>( )<i>mp P</i>( )_{nên nhận VTPT của mp(P) làm VTCP vậy VTPT của}

mp(Q) là  

 

 

r uuur uur
<i>P</i>

<i>n</i> <i>AB n</i>,

2.Cách chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng phương trình tham số:

Phương trình tổng qt của mp có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 để chuyển sang dạng tham số, ta thực hiện các
bước sau:

B1: Chọn 3 điểm thuộc mp đó bằng cách

- cho y=z=0 tìm x=? ta có điểm A(….)

- cho x=z=0 tìm y=? ta có điểm B(….)

- cho x=y=0 tìm z=? ta có điểm C(….)

B2: Kiểm tra lại uuur uuur<i>_{AB AC}</i>_, có cùng phương hay không

B3: viết PTTS của mp qua A và nhận uuur uuur<i>_{AB AC}</i>_, làm VTCP

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>Lưu Phi Hoàng Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian</b></i>
b) Qua A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2).

c) Mặt phẳng (Oxy).
d) Mặt phẳng (Oyz).

VD2: viết phương trình tổng quát của mp(P) trong các trường hợp sau
a) đi qua 3 điểm A(2; –1; 3), B(4; 0; 1), C(–10; 5; 3)

b) đi qua điểm A(1,1,1) và chứa trục Oz

c) đi qua M(-2,1,3) và song song với mp: 2x+3y-5z+1=0

d) đi qua A(3; –1; 2), B(-2; 3; 1) và vng góc với mặt phẳng: x-3y+2z-5=0
e) đi qua N(2,3,5) và song song với mặt phẳng (Oxy)

<b>Bài 2 : Cho tứ diện ABCD với </b><i>A</i>6; 2;3 ,   <i>B</i>0;1;6 ,  <i>C</i>2;0; 1 ,   <i>D</i>4;1;0

<b>a) Viết PT của các mặt phẳng (ABC); (BCD).</b>
<b>b) Viết PT mp() chứa AB và song song CD.</b>

<b>c) Viết PT đt  qua A & vng góc với (BCD).Tìm tọa độ giao điểm của chúng.</b>
<b>Bài 1: Trong không gian Oxyz cho</b><i>A</i>0;0;3 , 1;1;5 ,  <i>B</i>  <i>C</i>3;0;0 ,  <i>D</i>0; 3;0 

<b>a) Tính diện tích tam giác ADC.</b>

<b>b) CMR : 4 điểm A; B; C; D đồng phẳng.</b>

<b>Bài 3: Trong KG hệ tọa độ Oxyz; cho (S):</b><i>_x</i>2_<i>_y</i>2_<i>_z</i>2_ ₂<i>_x</i>_ ₄<i>_y</i>_₆<i>_z</i>_₀
<b>a) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính (S).</b>

<b>b) Xét vị trí tương đối của (S) và mp(): x + y − z + k = 0 tuỳ theo k.</b>

<b>c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) với  đi qua </b><i>M</i>1;1;1 ,  <i>N</i>2; 1;5 . Viết PT mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao

điểm đó.
<b>BÀI 4: </b>

Trong khơng gian Oxyz cho A(3;2;6);B(3; −1; 0); C(0;−7;0); D(−2; 1; −1).
a/ Viết phưong trình măt phẳng (ABC).

b/ Tính góc giữa đường thẳng (d) đi qua hai điểm A; D và mp(ABC)
<b>BÀI 5(TN 05+06)</b>

Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu (S): 2 2 2 ₂ ₂ ₄ _{3 0}

      

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> _{và hai đthẳng}

1 2

2

1

( ) : 1 ; ( ) :

1 1 1







 _     

 

 _



<i>x</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>y</i> <i>t</i>

<i>z t</i>

1.Chứng minh: (1) và (2) chéo nhau.

2.Viết pt tiếp diện của mặt cầu (S); biết tiếp diện đó song song với (1) và (2)

B. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

 Cho A(3;−2;−2) ; B(3;2;0) ; C(0;2;1) ; D( −1;1;2)

1/. Viết phương trình mp(BCD) . Suy ra ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.
<i><b>Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z −7 = 0</b></i>

2/. Viết ptmp  qua A và   // (BCD). <i><b>Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0</b></i>

3/. Viết pt mp   <b> qua A và </b>  <b> vng góc với BC</b> <i><b>Đáp số : −3x + z + 11= 0</b></i>

 Cho A(5;1;3) ; B(1;6;2) ;C(5;0;4) ; D(4;0;6)

1/. Viết pt mp   qua A ; B và   // CD. <i><b>Đáp số :10x+9y+5z−74=0</b></i>

2/. Viết ptmp trung trực   <b>_{của CD ; tìm toạ độ giao điểm E của}</b>_{ } _{với Ox.}

<i><b>Đáp số :−2x+4z−11=0 ; E(−11/2 ; 0 ;0)</b></i>

3/. Viết ptmp   qua A và   // (Oxy) <i><b>Đáp số :Z – 3= 0</b></i>

 Cho A(4;−1;1) ; B(3;1;−1)

1/. Viết phương trình mp   qua A và   chứa trục Oy. Đáp số : x−4z=0

2/. Viết ptmp   <b>_{qua A và}</b>_{ } <b>_{vng góc với trục Oy. Đáp số : y+1=0}</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>Lưu Phi Hoàng Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian</b></i>

4/. Viết pt mp (P) qua B ; (P)    ; (P) <b> (Oxz) </b> <i><b>Đáp số :</b></i> 4x+z−11=0

 Cho A(−1;6;0) ; B(3;0;−8) ; C(2;−3;0)

1/. Viết ptmp  qua A ; B ;C. <i><b>Đáp số :</b></i> 12x+4y+3z−12=0

2/.   _{cắt Ox ; Oy ; Oz lần lượt tại M ; N; P . Tính thể tích khối chóp OMNP . Viết ptmp (MNP).}

<i><b>Đáp số :</b></i> V= 2 ; (MNP) : 12x+4y+3z−12=0

 Lập phương trình mp qua G( 2 ; −1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A ; B ;C sao cho G là trọng tâm của
tam giác ABC.

 Lập phương trình mp qua H( 1 ; −1 ; −3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A; B ; C sao cho H là trực tâm của
tam giác ABC.

 Xác định n và m để các cặp mp sau song song nhau :

1/. Cho   : 2x + ny + 3z −5 =0;   <b> : mx −6y −6z +2 =0</b> <i><b>Đáp số :</b></i> m =4 ; n =3

2/. Cho   _{: 3x − y + nz −9 =0;} _{ } <b>_{: 2x +my +2z −3 =0}</b> <i><b>_{Đáp số :}</b></i> _{m = −2/3 ; n = 3}

 Cho 2 mp : (1): 2x – y + 3z + 1 = 0; (`2): x + y – z + 5 = 0

1/. Viết pt mp (P) qua giao tuyến của (1), (2) và (P)  (3): 3x – y + 1 = 0

<i><b>Đáp số :</b></i> −3x−9y+13z−33=0

2/. Viết pt mp (Q) qua giao tuyến của (1), (2) và (Q) song song với đường thẳng

</div>

<!--links-->