thao giang : he truc toa do trong khong gian (NC)

Câu 1: Nêu cách dựng hệ trục toạ độ trong mặt phẳng ?

y

Đáp án :

ru
r
Câu 1: Hệ trục toạ độ (O; i, j ) hay Oxy gồm
hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc nhau
Trong đó: O là gốc
Ox là r
trục hoành, Oy là trục tung
r
Các véc tơ
Ox và Oy và

i, vµ j

là các véc tơ đơn vị trên trục

r
ì r2
ï i = j2 =1
ï
ï
í ur
ï r
ï i.j = 0
ï

ỵ

r
j
O

r
i

x


Nội dung chương gồm
1. Hệ toạ độ trong không gian
2. Phương trình mặt phẳng
3. Phương trình đường thẳng


hình học
12


z

1.Hệ trc toạ độ trong không gian

Cho 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với

nhau. Gọi i , j , k là các vectơ đơn vị tương
ứng trên c¸c trơc Ox, Oy, Oz.

Định nghĩa: Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz
đơi một vng góc được gọi là hệ trục toạ
độ vng góc trong khơng gian
Các thuật ngữ và ký hiu:

k

O

r ri r
*) Hệ toạ độ trong gian kí hiệu là: Oxyz, hoặc (O;i, j , k )
*) Trục Ox gäi lµ trơc hoµnh.
x
Trơc Oy gäi lµ trơc tung.

j

Trơc Oz gäi lµ trơc cao.
ĐiĨm O gäi lµ gèc cđa hệ toạ độ.
*) Cỏc mt phng to (Oxy); (Oyz); (Oxz)
*) Khi khơng gian đã có hệ trục toạ độ Oxyz thì nó được gọi là khơng
gian hệ toạ độ Oxyz hay đơn giản là khơng gian Oxyz

Chó ý:

i

. j

=

2
i =

j

j

. k =

2

= k

k . i

2

= 0

=1

y


z

Vịnh hạ long (di sản
thiên nhiên thế giới)

Em hãy nêu cách hiểu của mình
vế hệ trục toạ độ trong khơng gian?
Lấy ví dụ về hệ trục ?

O
y

x


z

y

O

x


Ví dụ
z
A’

Cho hình lập phương
Thay hình lập phương
ABCDA’B’C’D’ chọn một hệ chữ
ABCDA’B’C’D’ thành hình hộptrục
như hình vẽ có một khơng? Vì
nhật thì việc chọnđượchệ trục như
sao?

hình vẽ có được khơng? Vì sao?
B’

D’

z
D’

C’

B’

C’

A’

A
B
D
y

C
Hình 1

x

C

D

B
O
A
Hình 2

x

y


y

A2

r
j

r
Trong hệ trục toạ độ Oxy mọi u
ru
r
đều biểu diễn theo các vectơ i, j

r
u

r
O i

A1

x

r uu uu
ur
uu
r
r
r
u = OA1 + OA2 = xi + y j

r
Định nghĩa toạ độ cña u =(x;y)

Nêu định nghĩa toạ độ của
vectơ trong mặt phẳng?


2. Toạ độ của vectơ đối với hệ toạ độ
r u u u u u ur
ur uu u u
r
Ta cã u = OA = OA ' + A ' A
u u u u u ur
u kh«ng u u
Trongur u ur gian hệ trục toạ độ Oxyz
= OA1 + OA2 + OA3
r
r
r r r

cho=vÐct¬j + zk ·y biĨu diĨn vÐc t¬ u theo
xi + y u h

z
A3

r
u

ru r
r
( x = OA1 , y = OA2 ,đơn vị và bộ k ? (x;y;z) là
các véctơ z = OA3 i, j , ba số

k

duy nhất)
r
r
r
Định nghĩa: Bộ ba số (x; y; z) sao cho u = xi + y j + zk
r
goị là toạ độ của véc tơ u đối với hệ trục Oxyz
r
r
KÝ hiƯu: u = ( x; y; z) hc u ( x; y; z)
x
r
r
r r r

VËy: u = ( x; y; z) ⇔ u( x; y; z) ⇔ u = xi + y j + zk

Từ đó ta có:
1)

i

A

O

j

A2
y

A1

i

A’
r

Tìm toạ độ của; y; z)
Cho vect¬ u ( x
véctơ đơn vị ? u
rr r r r r

tÝnh u .i; u . j ; u.k ?

= (1; 0; 0) ;

j

= (0; 1; 0) ;

k = (0; 0; 1)

r
ur
r
rr
rr
2) NÕu u = ( x; y; z)đối với hệ trục Oxyz thì x =u. i ; y = u. j ; z = u.k


Ví dụ

z

Trong kh«ng gian hƯ trơc Oxyz cho
K
r ur r ur
u
u
các điểm I, J, K sao cho i = OI, j = OJ ,
r u ur
uu
k = OK , M là trung điểm của IJ,G là trọng
tâm tam giác IJK

uu
uu
r
a)X ác định toạ độ của vectơ OM
uu
uu
r
.G
b)X ác định toạ ®é cđa vect¬ MG
O
u u 1 ur u u 1 r r
uu
r
u u
r
Đáp án:
a) Tacã: OM = (OI + OJ ) = (i + j )
2
2
M
r
uu 1 1
uu
r
1r 1 r
= i + j + 0k ⇒ OM ( ; ;0)
2
2
2 2
J

b) Tacã:
y
u u u u u u 1 ur u u u u 1 ur u u
u u ur u u
r
r
u u ur
r
u u
r
MG = OG − OM = (OI + OJ + OK ) − ( OI + OJ )
3
2
u
u
r
ur
1 ur 1 u u 1 u u
1r 1 r 1 r
= − OI − OJ + OK = − i − j + k
6
6
3
6 6
3
uu
uu
r
1 1 1
⇒ MG = (− ; − ; )

6 6 3

I

x


Có thể suy ra kết luận tương tự đối với h Oxyz khụng ?
u
r
r
u
r
Trong mặt phẳng Oxy cho u = (x1 ; y1 ), v = ( x2 ; y2 ),
Trong mặt phẳng Oxyz cho u = (x1 ; y1 ; z1 ),
r
kỴ R
v = ( x2 ; y2 ; z2 ), k Ỵ R
Ta cã
Ta
ì x1 = x2
ï
u r
r
ì x1 = x2
ï
ï
u r
r
ï

ï
1) u = v Û í
1) u = v Û ï y1 = y2
ï y1 = y2
í
ï
ỵ
ï
ïz =y
u r
r
ï 1
2
ï
ỵ
2) u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 )
u r
r
u r
r
2) u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 )
3) u - v = ( x1 - x2 ; y1 - y2 )
u r
r
u
r
3) u - v = ( x1 - x2 ; y1 - y2 ; z1 - z2 )
4) k u = (kx1 ; ky1 )
u
r

ur
r
4) k u = (kx1 ; ky1 ; kz1 )
5) u .v = x1 x2 + y1 y2
ur
r
r
2
2
6) u = x1 + y1
5) u .v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
r
u r
r
x1 x2 + y1 y2
6) u = x12 + y12 + z12
7) cos ( u , v) =
2
2
x12 + y12 . x2 + y2
u r
r
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
u r r r
r
7) cos ( u , v) =
2
2
(víi u ¹ 0, v ¹ 0)
x12 + y12 + z12 . x2 + y2 + z2 2

u r r r
r
u r
r
ur
r
(víi u ¹ 0, v ¹ 0)
8) u ^ v Û u .v = 0 Û x1 x2 + y1 y2 = 0
u r
r
ur
r
8) u ^ v Û u .v = 0 Û x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0


3. Tớnh cht

u
r
Trong mặt phẳng Oxyz cho u = (x1 ; y1 ; z1 ),
r
v = ( x2 ; y2 ; z2 ), k Ỵ R
Ta cã:
u
r
r
1) u = v
2)
3)
4)

5)
6)

ì x1 = x2
ï
ï
ï
Û ï y1 = y2
í
ï
ïz =y
ï 1
2
ï
ỵ

u r
r
u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 )
u r
r
u - v = ( x1 - x2 ; y1 - y2 ; z1 - z2 )
u
r
k u = ( kx1 ; ky1 ; kz1 )
ur
r
u .v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
r
2

2
u = x1 + y1 + z12

u r
r
7) cos ( u , v) =

x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

2
2
2
2
x1 + y1 + z12 . x2 + y2 + z2 2
u
r r r r
(víi u ¹ 0, v ¹ 0)
u r
r
ur
r
8) u ^ v Û u .v = 0 Û x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0


4) Các ví dụ củng cố
Bài 1:Cho biết toạ độ của mỗi véc tơ sau:

r r r
a) u = 5i + 3 j − 4 k
r r

b) u = 5i − 7k
r r
c) u = j − 4 k
Bài 2

Kết quả

r
a) u = (5;3; − 4)
r
b) u = (5;0; −7)
r
c) u = (0;1; 4)

r
r
r r
r
Cho các vectơ u = (3; 2;1), v = (9;0; 7). Toạ độ củavectơ a =2u 3v
là kết quả nào dưới đây?
r
r
A) a = (−3;3; 2)
B ) a = ( −3;3; 5)
r
r
C) a = (−21; −4;23)
D) a = ( −21; −4;2)

5. Củng cố bài học

Nội dung tiết học hôm nay các em cần nhớ:
1) Khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian, toạ
độ của vectơ trong không gian
2) Biểu thức toạ độ của phép tốn véc tơ trong khơng gian
3) Về nhà ôn lại lý thuyết và làm bài tập 29 dến 33 SGK trang 80; 81
4) Đọc trước nội dung tiết học tiếp theo


GIỜ HỌC KẾT THÚC
Kính chúc các thầy cơ và các em mạnh
khoẻ

08/06/13


Bi 3

r
r
Cho c ác vectơ u = (3; 2;1), v = (9;0; −7)
r
r
a) TÝnh cosin cđa gãc hai vect¬ u vµ v
r
r
b) TÝnh 2u − 3v