De Thi HSG Toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phòng GD & ĐT Thọ xuân </b>Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Trờng THCS Xuân Lập Năm học: 2010 – 2011
Mơn: Tốn. Thời gian: 120 phút.
đề đề xuất

<b>Bài 1</b> (3.0đ) Biến đổi đơn giản các biẻu thức.
a. A =

81
34
2
.
25
14
2
.
16

1
3

b. B =

100
99

1
99

98
1

...

3
2

1
2

1
1

<b>Bài 2</b>: (4.0đ) Rút gọn và tính giá trị cđa biĨu thøc.
a. C =

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>ab</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>b</i>


 _: 1

Víi a =

2003
11

20 b =

2003
11
18

b. Tìm các căp số (x,y) nguyên dơng thỏa mÃn
x2 _{- y}2 _{= 2003}

<b>Câu 3 : ( 5điểm ) giải phương trình </b>

a) <i>_x</i> <i>x</i> <i>_x</i>





1

3

6

= 3 + 2 <i>_x</i> <i>_x</i>2



b)

4

2 4 2

2 2 2

1 1

3 3 2 5

3 1

<i>( x</i> <i>)</i>

<i>( x</i> <i>)</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>( x</i> <i>)</i> <i>( x</i> <i>)</i>



     

 

<b>Bài 4</b><i><b>: (3.0 điểm)</b></i>

Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa
đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH
cắt AB tại I

a. Tính góc CIF.

b. Chứng minh AE.AC + BF. BC khơng đổi khi EF di động trên nửa đường trịn.
c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó.

<b>Bài 5 ( 3 điểm)</b>

Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần
lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh :

AM BN CP+ +

OM ON OP  9

<b>Bài 6</b> (<i>2điểm</i>). Cho 3 số a, b, c thỏa m·n 0<i>a b c</i>, , 2 vµ a+b+c=3. Chøng
minh <i>_a</i>3 <i>_b</i>3 <i>_c</i>3 ₉

   .

<b>đáp án và thang im</b>

<b>Câu</b> <b>Đáp án</b> <b>Thang điểm</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b. 9 1.5 ®

<b>2</b>

a. Rút gọn : a - b
Tính đợc kết quả: 2
b. x2_{- y}2_{= 2003}

(x - y)(x + y)=2003

=> x -y vµ x+ y lµ íc cùng dấu của 2003
Mà Ư(2003) 1;2003

vì x, y dơng nên x+y> x-y
Ta xét hai trờng hợp

1001

1002

1

2003

1001

1002

2003

1

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>yx</i>

<i>yx</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>yx</i>

<i>yx</i>

1.0đ
1.0đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ

Vậy cặp số (x,y) nguyên dơng thảo mÃn x2_-y2_{= 2003}

là (x,y) = (1002,1002) 0.25đ

<b>3</b>

a) ĐK 0 < x < 1 vµ x 
2
1

Khử mẫu ở vế trái ta được phương trỡnh:

3( <i>x</i> 1 <i>x</i>) = 3 + 2 <i>x</i> <i>x</i>2

Đặt <i>x</i> 1 <i>x</i>= t  ®k : 0 < t < 2

Phương trình viết thành : t2_{- 3 t + 2 = 0}

Kết luận: x = 0 ; x = 1 là nghiệm của phương trình đã

cho

b)

điều kiện: 1

3

<i>x</i>
<i>x</i>










Đặt a =(x-1)2_{; b = x}2_{- 3}

Phươngtrình

4

2 4 2

2 2 2

1 1

3 3 2 5

3 1

<i>( x</i> <i>)</i>

<i>( x</i> <i>)</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>( x</i> <i>)</i> <i>( x</i> <i>)</i>



     

 

trở thành:

0,5®

0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®

0,5®

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>4</b>

<b>5</b>

2
4
2

2 2 4 2 2

4 2

2 2 2

1

2

1 1 1

1 2

1 1

<i>a</i>

<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>b</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>( a b</i> <i>)</i>

<i>Ta có : </i> <i>b</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a b</i>

   

 

          

 

Dấu = xãy ra khi

2 ₁

1

<i>a b</i>
<i>b</i>

  




 khi đó x = 2

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

- BE, AF là hai đường cao của ABC  CI là đường cao

thứ ba hay CIAB

- Tứ giác IHFB nội tiếp  HIF = HBF hay CIF =

EBF .

- EOF đều nên EOF = 600.

-  EF = 600CIF = EBF = 300.

- Chứng minh ACI đồng dạng với ABE

- được: <i>AC</i> <i>AE</i> <i>ABAI</i>

<i>AE</i>
<i>AI</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>

.

. 




- Tương tự BCI đồng dạng với BAE được:

<i>BI</i>
<i>BA</i>
<i>BF</i>
<i>BC</i>
<i>BF</i>

<i>BI</i>
<i>BA</i>
<i>BC</i>

.

. 




- Cộng được: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI

=AB(AI + IB) = AB2_{= const.}

- Chứng minh ABC đồng dạng với FEC.

- ₂ ₄1

2
2

















<i>R</i>
<i>R</i>
<i>AB</i>

<i>EF</i>
<i>S</i>

<i>S</i>

<i>ABC</i>
<i>FEC</i>

<i>ABC</i>

<i>ABFE</i> <i>S</i>

<i>S</i>

4
3



- Để <i>SABFE</i> lớn nhất  <i>SABC</i> lớn nhất  CI lớn nhất. C

0,5®

1®

1®

1®

A B

E

F
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>6</b>

chạy trên cung chứa góc 600_{vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi}

I  O CAB cân  EF // AB.

- Lúc đó

4
3
.
3
3

.
2

3
.
.

2 2

2 <i>_S</i> <i>R</i>

<i>R</i>
<i>R</i>

<i>R</i>

<i>SABC</i>    <i>ABFE</i> 

N
A

B C

O

K

H M

P

Từ A và O kẻ AH  BC

OK  BC (H, K  BC)

 AH // OK

Nên <i>OM</i> <i>OK</i>

<i>AM</i> <i>AH</i> (1)

1
.
2
1

.

2

<i>BOC</i>
<i>ABC</i>

<i>OK BC</i>

<i>S</i> <i>OK</i>

<i>S</i>  <i>_{AH BC}</i> <i>AH</i>

(2)

(1) , (2)  <i>BOC</i>

<i>ABC</i>

<i>S</i> <i>OM</i>
<i>S</i> <i>AM</i>

Tương tự : <i>AOC</i>

<i>ABC</i>

<i>S</i> <i>ON</i>
<i>S</i> <i>BN</i>

<i>AOB</i>
<i>ABC</i>

<i>S</i> <i>OP</i>
<i>S</i> <i>CP</i>

Nên <i>BOC</i> <i>AOC</i> <i>AOB</i> 1

<i>ABC</i> <i>ABC</i> <i>ABC</i>

<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>
<i>OM</i> <i>ON</i> <i>OP</i>

<i>AM</i> <i>BN</i> <i>CP</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>  (3)

Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được:

(a+ b + c) ( 1 1 1

<i>a b c</i>  )  9

Nên ( <i>OM</i> <i>ON</i> <i>OP AM</i>)( <i>BN</i> <i>CP</i>) 9

<i>AM</i> <i>BN</i> <i>CP OM</i> <i>ON</i> <i>OP</i>  (4)

Từ (3) ,(4) suy ra :

<i>AM</i> <i>BN</i> <i>CP</i> 9

<i>OM</i> <i>ON</i> <i>OP</i> (pcm)

Vì vai trò của a, b, c nh nhau, không mất tính tổng quát giả
sư: <i>a b c</i>  .

0,5đ
0,5đ

1đ

1đ

0,5®

0,5®

0,5®

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Khi đó vì 0<i>a b c</i>, , 2 và a+b+c=3 nên ta có 0 a1 

3

<i>a</i> <i>a</i>

1 c2 (c-1)(c-2)(c+3) 0 <i>_c</i>3 ₇<i>_c</i> ₆

 

<i>XÐt hai trêng hỵp cđa b</i>

+NÕu 0 b1 <i>_b</i>3 <i>_b</i>

 . Khi đó ta có

3 3 3 ₇ ₆

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>   <i>a b</i> <i>c</i>

Mµ a+b+7c-6 = (a+b+c)+6c-6 3+6.2-6=9 <i>_a</i>3 <i>_b</i>3 <i>_c</i>3 ₉

  

+ NÕu 1 b2 <i>_b</i>3 ₇<i>_b</i> ₆

  Khi đó ta có





3 3 3 ₇ _{6 7} _{6 7} ₆ _{12 9 6} ₉

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>  <i>a</i> <i>b</i>  <i>c</i>  <i>a b c</i>   <i>a</i>   <i>a</i> (v×
-6a0)

KÕt luËn <i>_a</i>3 <i>_b</i>3 <i>_c</i>3 ₉

</div>

<!--links-->