Phuong phap toa do trong khong gian tran si tung

TRẦN SĨ TÙNG
---- ›š & ›š ----

BÀI TẬP HÌNH HỌC 12
TẬP 3

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2009


PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng

CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghóa và các phép toán
· Định nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng.
· Lưu ý:
uuur uuur uuur
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC
uuur uuur uuur uuuur
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta coù: AB + AD + AA ' = AC '
+ Hêï thức trung điểm đoạ
thẳ

mr củuuu
arđoạnuur
thẳng AB, O tuỳ ý.
uur nuu
r nrg: Cho I là trung điểuuu
Ta có:
IA + IB = 0 ;
OA + OB = 2OI
+ Hệ thức trọng tâm tam
c:r Cho
c ABC,
Or tuỳ ý.
uuurgiáuuu
uuurG làr trọng tâm củ
uuuar tam
uuurgiáuuu
r
uuu
Ta có:
GA + GB + GC = 0;
OA + OB + OC = 3OG
+ Hệ thức trọng tâm tứuuu
diệ
: Cho
Gr là uuur
trọng tâm củuuu
a tứ
Or tuỳ uuu
ý.r
r nuuu

r uuu
r diệ
uuurn ABCD,
uuur uuu
r
Ta có:
GA + GB + GC + GD = 0;
OA + OB + OC + OD = 4OG
r
r
r
r r
r
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b cuứng phửụng (a ạ 0) $! k ẻ R : b = ka
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý.
uuur uuur
uuur
uuur
uuur OA - kOB
Ta coù:
MA = k MB;
OM =
1- k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
r
r r r
r
· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , trong đó a và b không cùng

r
r r r
r
r
phương. Khi đó: a, b , c đồng phẳng Û $! m, n Ỵ R: c = ma + nb
r r r
r
· Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý.
r
r
r
r
Khi đó:
$! m, n, p Ỵ R: x = ma + nb + pc
3. Tích vô hướng của hai vectơ
· Góc giữa hai vectơ trong không gian:
uuur r uuur r
r r
AB = u , AC = v Þ (u , v ) = ·
BAC (00 £ ·
BAC £ 1800 )
· Tích vô hướng của hai vectơ trong khoâng gian:
r r r
rr r r
r r
+ Cho u , v ¹ 0 . Khi đó:
u.v = u . v .cos(u , v )
r r
r r
rr

+ Với u = 0 hoặc v = 0 . Qui ước: u.v = 0
r r
rr
+ u ^ v Û u.v = 0
r
r
+ u = u2

Trang 26


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho
r r ba
r trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ
tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
r2 r 2 r 2
rr rr r r
Chú ý:
i = j = k = 1 vaø i. j = i.k = k . j = 0 .
2. Tọa độ của vectơ:r
r
r r r
a) Định nghóa: u = ( x; y; z ) Û u = xi + y j + zk

r
r
b) Tính chaát: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k Ỵ R
r r
· a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
r
· ka = (ka1; ka2 ; ka3 )
ìa1 = b1
r r
ï
· a = b Û ía2 = b2
ïa = b
3
ỵ 3
r
r
r
r
· 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1)
r r r
r
r
r
· a cùng phương b (b ¹ 0) Û a = kb (k Ỵ R)
ìa1 = kb1
a a
a
ï
Û ía2 = kb2
Û 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ¹ 0)

b1 b2 b3
ïa = kb
3
ỵ 3
r r
· a ^ b Û a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0
r
· a = a12 + a22 + a22

rr
· a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
r
· a 2 = a12 + a22 + a32
rr
a1b1 + a2 b2 + a3b3
a.b
r r
r r r
· cos(a , b ) = r r =
(với a, b ¹ 0 )
a.b
a 2 + a 2 + a2 . b 2 + b2 + b 2
1

2

3

1

2

3

3. Tọa độ của điểm:
uuur
a) Định nghóa: M ( x; y; z) Û OM = ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:

· M Ỵ (Oxy) Û z = 0; M Ỵ (Oyz) Û x = 0; M Ỵ (Oxz) Û y = 0
· M Ỵ Ox Û y = z = 0; M Ỵ Oy Û x = z = 0; M Ỵ Oz Û x = y = 0
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB )
uuur
· AB = ( xB - x A ; yB - y A ; zB - zA ) · AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 + ( zB - zA )2
æ x - kxB yA - kyB zA - kzB ư
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tổ soỏ k (k1): M ỗ A
;
;
ữ
1- k
1- k ø
è 1- k
æ x + x B y A + y B zA + zB ư
· Toạ độ trung ủieồm M cuỷa ủoaùn thaỳng AB: M ỗ A
;
;
ữ
ố
2
2

2 ứ
à Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
ỉ x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC ử
Gỗ A
;
;
ữ
3
3
3
ố
ứ
Trang 27


PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng

· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
ỉ x + xB + xC + x D y A + y B + yC + yD zA + zB + zC + zC ử
Gỗ A
;
;
ữ
ố
4
4
4
ứ

4. Tớch coự hửụựng cuỷa hai
r vectụ: (Chửụng
r trình nâng cao)
a) Định nghóa: Cho a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) .

r

r

ỉ a2

a1 a2 ư
÷ = ( a2 b3 - a3b2 ; a3b1 - a1b3 ; a1b2 - a2 b1 )
ỗb b
b3 b1 b1 b2 ữứ
3
ố 2
Chuự yự: Tớch có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
r r
r
r r
r
r
r r r
r r
r r
r
éë j , k ùû = i ;
[k , i ] = j

· éë i , j ùû = k ;
· [a, b] ^ a;
[a, b] ^ b
r r
r r
r
r r
r r
r r
· [a, b] = a . b .sin ( a, b )
· a, b cùng phương Û [a, b] = 0

[ ar , b ] = ar b = ỗ

a3

;

a3

a1

;

c) ệng duùng cuỷa tích có hướng:
r r
r r r
r
· Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng Û [a, b].c = 0
uuur uuur

· Diện tích hình bình hành ABCD:
SY ABCD = éë AB, AD ùû
1 uuur uuur
· Dieän tích tam giác ABC:
SD ABC = éë AB, AC ùû
2
uuur uuur uuur
· Thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢:
VABCD . A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ]. AA '

· Thể tích tứ diện ABCD:

VABCD =

1 uuur uuur uuur
[ AB, AC ]. AD
6

Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc,
tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích
khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng
minh các vectơ cùng phương.

r r
rr
a ^ brÛ a.b = 0
r
r r r

[
a và
b
cù
n
g
phương
Û
a
,b] = 0
r r r
r r r
a, b , c đồng phẳng Û [ a , b ] .c = 0
5. Phương trình mặt cầu:
· Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R 2
· Phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a2 + b 2 + c 2 - d > 0 là phương trình
mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =

a2 + b2 + c2 - d .

Trang 28


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.

– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau đây:
r
r
r
r
r r
r r
r
r
r
r
a = -2i + j ;
d = 3i - 4 j + 5k
b = 7i - 8k ;
c = -9k ;
r r r
Baøi 2. Viết dưới dạng xi + yj + zk mỗi vectơ sau đây:
r
r ỉ 1 1 ư
1 ư
r ỉ 1 ử
r ổ4
a = ỗ 0;
; 2 ữ ; b = (4; -5; 0) ;
c = ỗ ; 0;
;
d
= ỗp; ;

ữ
ữ
2 ø
3ø
è
è3
è 3 5ø
r
r
r
r
Baøi 3. Cho: a = ( 2; -5; 3) , b = ( 0; 2; -1) , c = (1; 7; 2 ) . Tìm toạ độ của các vectơ u với:
r r
r 2r
r
r 1r r
r
r r
a) u = 4a - b + 3c
b) u = a - 4b - 2c
c) u = -4b + c
2
3
r 1r 4r r
r r 3r 2r
r
r r r
e) u = a - b - 2c
f) u = a - b - c
d) u = 3a - b + 5c

2
3
4
3
r
Bài 4. Tìm tọa độ của vectơ x , biết rằng:
r
r
r r r
r r
r
a) a + x = 0 với a = (1; -2;1)
b) a + x = 4a với a = ( 0; -2;1)
r
r
r
r r
c) a + 2 x = b với a = ( 5; 4; -1) , b = ( 2; -5; 3)
r
Baøi 5. Cho a = (1; -3; 4) .
r
r
a) Tìm y và z để b = (2; y; z) cùng phương với a .
r
r
r
r
r
b) Tìm toạ độ của vectơ c , biết rằng a và c ngược hướng và c = 2 a .
r

r
r
Bài 6. Cho ba vectơ a = (1; -1;1) , b = ( 4; 0; -1) , c = ( 3; 2; -1) . Tìm:
r r r r r r
rr r
r rr
b) a 2 ( b .c )
c) a 2 b + b 2 c + c 2 a
a) ( a.b ) c
r
rr r r r
rr r
r
d) 3a - 2 ( a.b ) b + c 2 b
e) 4a.c + b 2 - 5c 2
r
r
Baøi 7. Tính góc giữa hai vectơ a và b :
r
r
r
r
b) a = ( 2; 5; 4 ) , b = ( 6; 0; -3)
a) a = ( 4; 3;1) , b = ( -1; 2; 3)
r
r
r
r
c) a = (2;1; -2), b = (0; - 2 ; 2 )
d) a = (3; 2; 2 3 ), b = ( 3; 2 3; -1)

r
r
r
r
e) a = (-4; 2; 4), b = (2 2; -2 2; 0)
f) a = (3; -2;1), b = (2;1; -1)
r
Bài 8. Tìm vectơ u , biết rằng:
r
r
r
r
r
r
ìa = (2; -1; 3), b = (r1; -3; 2), c = (3; 2; -4)
ìa = (2; 3; -1), b = (1; r-2; 3), c = (2; -1;1)
a) í r r
b)
r
rr
r
rr
ír r
u.b = -11,
u.c = 20
u ^ b,
u .c = -6
ỵa.u = -5,
ỵu ^ a ,
r

r
r
r
r
r
ìa = (2; 3;1), b = (r1; -2; -1), c = (-2; 4; 3)
ìa = (5; -3; 2), b =r (1; 4; -3), c = (-3; 2; 4)
c) í r r
d)
r
rr
r
rr
ír r
b .u = 4,
c .u = 2
b .u = 9,
c .u = -4
ỵa.u = 3,
ỵa.u = 16,
r
r
r
ìa = (7; 2; 3), b = r(4; 3; -5), c = (1;1; -1)
e) í r r
r
r r
b .u = -7,
c ^u
ỵa.u = -5,

r r
Bài 9. Cho hai vectơ a , b . Tìm m để:
r
r
r
ìar = (2;1; -2), b = (0; - 2 ; 2 )
ìa = (3; -2;1r), b = (2;1; -1) r
r
a) í r
b) í r
r
r
r
r
r
r r
ỵu = ma - 3b và v = 3a + 2mb vuông góc
ỵu = 2a + 3mb và v = ma - b vuông góc
r
r
ìa = (3; -2;1r), b = (2;1; -1) r
c) í r
r
r
r
ỵu = ma - 3b và v = 3a + 2mb cùng phương
Trang 29


PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng
r r
Bài 10. Cho hai vectơ a , b . Tính X, Y khi biết:
r
r
r
ì ar = 4, b = 6
ìar = (2; -1; -2), b = 6, ar - b = 4
b) í
a) í
r r
r r
ỵX = a - b
ỵY = a + b
r
r
r
r
0
ìr
ìr
(r )
(r ) 0
c) í a = 4r, br = 6, ar, b r= 120
d) ía = (2r; -1r; -2), br = 6r, a, b = 60
ỵX = a - b , Y = a + b
ỵX = a - b ,Y = a + b
r r r
r r r
Bài 11. Cho ba vectơ a, b , c . Tìm m, n để c = [ a, b ] :

r
r
r
a) a = ( 3; -1; -2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1; 7 )
r
r
r
b) a = ( 6; -2; m ) , b = ( 5; n; -3) , c = ( 6; 33;10 )
r
r
r
c) a = ( 2; 3;1) , b = ( 5; 6; 4 ) , c = ( m; n;1)
r r r
Bài 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a, b , c trong mỗi trường hợp sau đây:
r
r
r
r
r
r
a) a = (1; -1;1) , b = ( 0;1; 2 ) , c = ( 4; 2; 3)
b) a = ( 4; 3; 4 ) , b = ( 2; -1; 2 ) , c = (1; 2;1)
r
r
r
r
r
r
c) a = ( -3;1; -2 ) , b = (1;1;1) , c = ( -2; 2;1)
d) a = ( 4; 2; 5 ) , b = ( 3;1; 3) , c = ( 2; 0;1)

r
r
r
r
r
r
f) a = (5; 4; -8), b = (-2; 3; 0), c = (1; 7; -7)
e) a = (2; 3;1), b = (1; -2; 0), c = (3; -2; 4)
r
r
r
r
r
r
h) a = (2; -4; 3), b = (-1; 3; -2), c = (3; -2;1)
g) a = (2; -4; 3), b = (1; 2; -2), c = (3; -2;1)
r r r
Bài 13. Tìm m để 3 vectơ a, b , c đồng phẳng:
r
r
r
a) a = (1; m; 2 ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m - 2; 2 )
r
r
r
b) a = (2m + 1;1; 2m - 1); b = (m + 1; 2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2)
r
r
r
c) a = ( m + 1; m; m - 2 ) , b = ( m - 1; m + 2; m ) , c = (1; 2; 2 )

r
r
r
d) a = (1; -3; 2 ) , b = ( m + 1; m - 2;1 - m ) , c = ( 0; m - 2; 2 )
r r r r
r r r
Baøi 14. Cho các vectơ a, b , c , u . Chứng minh ba vectơ a, b , c không đồng phẳng. Biểu diễn
r
r r r
vectơ u theo các vectơ a, b , c :
r
r
ìar = ( 2;1; 0 ) , b = (1; -1; 2 ) , cr = ( 2; 2; -1)
ìar = (1; -7; 9 ) , b = ( 3; -6;1) , cr = ( 2;1; -7 )
a) í r
b) í r
ỵu = (3; 7; -7)
ỵu = (-4;13; -6)
r
r
ìar = (1; 0;1) , b = ( 0; -1;1) , cr = (1;1; 0 )
ìar = (1; 0; 2 ) , b = ( 2; -3; 0 ) , cr = ( 0; -3; 4 )
c) í r
d) í r
ỵu = (8; 9; -1)
ỵu = (-1; -6; 22)
r
r
ìar = ( 2; -3;1) , b = ( -1; 2; 5 ) , cr = ( 2; -2; 6 )
ìar = ( 2; -1;1) , b = (1; -3; 2 ) , cr = ( -3; 2; -2 )

e) í r
f) í r
ỵu = (3;1; 2)
ỵu = (4; 3; -5)
r
r
r r
Bài 15. Chứng tỏ bốn vectơ a, b , c , d đồng phẳng:
r
r
r
r
a) a = ( -2; -6;1) , b = ( 4; -3; -2 ) , c = ( -4; -2; 2 ) , d = (-2; -11;1)
r
r
r
r
b) a = ( 2; 6; -1) , b = ( 2;1; -1) , c = ( -4; 3; 2 ) , d = (2;11; -1)
r
r r r
Bài 16. Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng và vectơ d . Chứng minh bộ ba vectơ sau không
đồng phẳng:
r r r
r
r
r
r r r
r
a) b , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0)
b) a , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0)

r
r r r
r
r r r
r
r
r
r
c) a , b , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0)
d) b , c , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0)
r
r r r
r
r
e) a , c , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0)

Trang 30


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học.
Diện tích – Thể tích.
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
– Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
uuur uuur

uuur
uuur
uuur uuur
r
· A, B, C thẳng hàng Û AB, AC cùng phương Û AB = k AC Û éë AB, AC ùû = 0
uuur uuur
· ABCD là hình bình hành Û AB = DC
· Cho DABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của DABC
uuur
uuur AB uuur
AB uuur
trên BC. Ta coù:
EB = .EC ,
FB =
.FC
AC
AC
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
· A, B, C, D không đồng phẳng Û AB, AC , AD không đồng phẳng Û éë AB, AC ùû . AD ¹ 0

Bài 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
· Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz
· Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
b) M(3; -1; 2)
c) M(-1;1; -3)
d) M(1; 2; -1)
a) M(1; 2; 3)
e) M(2; -5; 7)
f) M(22; -15; 7)

g) M(11; -9;10)
h) M(3; 6; 7)
Bài 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M¢ đối xứng với điểm M:
· Qua gốc toạ độ
· Qua mp(Oxy)
· Qua trục Oy
b) M(3; -1; 2)
c) M(-1;1; -3)
a) M(1; 2; 3)
e) M(2; -5; 7)
f) M(22; -15; 7)
g) M(11; -9;10)

d) M(1; 2; -1)
h) M(3; 6; 7)

Bài 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:
b) A(1;1;1), B(-4; 3;1), C (-9; 5;1)
a) A(1; 3;1), B(0;1; 2), C (0; 0;1)
d) A(-1; 5; -10), B(5; -7; 8), C(2; 2; -7)
c) A(10; 9;12), B(-20; 3; 4), C (-50; -3; -4)
Bài 4. Cho ba điểm A, B, C.
· Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
· Tìm toạ độ trọng tâm G của DABC.
· Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
· Xác định toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của
DABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó.
· Tính số đo các góc trong DABC.
· Tính diện tích DABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của DABC.
b) A(0;13; 21), B(11; -23;17), C (1; 0;19)

a) A(1; 2; -3), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0)
c) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C (1; 2; -3)
d) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1), C (3; 8; 7)
e) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C (-1;1; -3)
f) A(4;1; 4), B(0; 7; -4), C (3;1; -2)
g) A (1; 0; 0 ) , B ( 0; 0;1) , C ( 2;1;1)

h) A(1; -2; 6), B(2; 5;1), C (-1; 8; 4)

Bài 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm:
a) A(3;1; 0) , B(-2; 4;1)
b) A(1; -2;1), B(11; 0; 7)
d) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1)
e) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2)
Baøi 6.
a)
c)
e)

c) A(4;1; 4), B(0; 7; -4)
f) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1)

Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm:
A(1;1;1), B(-1;1; 0), C (3;1; -1)
b) A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C (-5; 3; 3)
A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C (-1;1; -3)
d) A(0;13; 21), B(11; -23;17), C (1; 0;19)
A(1; 0; 2), B(-2;1;1), C (1; -3; -2)
f) A(1; -2; 6), B(2; 5;1), C (-1; 8; 4)
Trang 31

PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng

Bài 7. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M.
· Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ?
· Tìm tọa độ ñieåm M.
a) A ( 2; -1; 7 ) , B ( 4; 5; -2 )
b) A(4; 3; -2), B(2; -1;1)
c) A(10; 9;12), B(-20; 3; 4)
d) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1)
e) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2)
f) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1)
Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D.
· Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
· Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
· Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
· Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
· Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.
a) A(2; 5; -3), B(1; 0; 0), C (3; 0; -2), D (-3; -1; 2) b) A (1; 0; 0 ) , B ( 0;1; 0 ) , C ( 0; 0;1) , D ( -2;1; -1)
c) A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1)
e) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8)
g) A(2; 4;1), B(-1; 0;1), C (-1; 4; 2), D(1; -2;1)
i) A(3; 4; 8), B(-1; 2;1), C (5; 2; 6), D (-7; 4; 3)

Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
· Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
· Tính thể tích khối hộp.

a) A (1; 0;1) , B ( 2;1; 2 ) , D (1; -1;1) , C ' ( 4; 5; -5 )
c) A(0; 2;1), B(1; -1;1), D (0; 0; 0;), A '(-1;1; 0)

d)
f)
h)
k)

A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 )
A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0)
A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C (1; -2; 2), D(4; 2; 3)
A(-3; -2; 6), B(-2; 4; 4), C (9; 9; -1), D (0; 0;1)

b) A(2; 5; -3), B(1; 0; 0), C (3; 0; -2), A '(-3; -1; 2)
d) A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (-1;1;1), C '(1; -2; -1)

Bài 10. Cho bốn ñieåm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0).
a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB).
b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.
c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH.
Bài 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4).
a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB).
b) Goïi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều.
c) Vẽ SH ^ (ABC). Gọi S¢ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S¢ABC là tứ diện đều.
Bài 12. Cho hình hộp chữ nhậ
OABC.DEFG.
Gọi Iuuu
là
củra hình hộp.
uur t uuu

r
r tâ
uuum
r uuu
a) Phân tích các vectơ OI , AG theo các vectơ OA, OC , OD .
uur
uuur uuur uur
b) Phân tích vectơ BI theo các vectơ FE , FG , FI .
Bài 13. Cho hình lập phương
uuur ABCD.EFGH.
uuur uuur uuur
a) Phân tích vectơ AE theo các vectơ AC , AF , AH .
uuur uuur uuur
uuur
b) Phân tích vectơ AG theo các vectơ AC , AF , AH .
Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB¢. Chứng
minh rằng MN ^ A¢C.
Bài 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB¢, CD, A¢D¢ lần
lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC¢ vuông
góc với mặt phẳng (MNP).

Trang 32


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.

Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
(S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R 2
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A:
Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
x + xB
y +y
z +z
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: xI = A
; yI = A B ; zI = A B .
2
2
2
AB
– Bán kính R = IA =
.
2
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*).
– Thay laàn lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d Þ Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác định tâm J và bán kính R¢ của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt caàu (S):
x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

với a2 + b 2 + c 2 - d > 0

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =

a2 + b2 + c2 - d .

Bài 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a) x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 y + 1 = 0

b) x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 8y - 2 z - 4 = 0

c) x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 4 z = 0

d) x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2z - 86 = 0

e) x 2 + y 2 + z2 - 12 x + 4 y - 6 z + 24 = 0

f) x 2 + y 2 + z2 - 6 x - 12 y + 12 z + 72 = 0

g) x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 4 y + 2 z - 4 = 0

h) x 2 + y 2 + z2 - 3 x + 4 y = 0

i) 3 x 2 + 3y 2 + 3z2 + 6 x - 3y + 15z - 2 = 0

k) x 2 + y 2 + z2 - 6 x + 2 y - 2z + 10 = 0

Baøi 2. Xác định m, t, a, … để phương trình sau xác định một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của
các mặt cầu đó:
a) x 2 + y 2 + z2 - 2(m + 2) x + 4my - 2mz + 5m 2 + 9 = 0

b) x 2 + y 2 + z2 - 2(3 - m) x - 2(m + 1) y - 2mz + 2m 2 + 7 = 0
c) x 2 + y 2 + z2 + 2(cos a + 1) x - 4 y - 2 cos a .z + cos 2a + 7 = 0
d) x 2 + y 2 + z2 + 2(3 - 2 cos 2 a ) x + 4(sin 2 a - 1) y + 2 z + cos 4a + 8 = 0
e) x 2 + y 2 + z2 - 2 ln t.x + 2 y - 6 z + 3 ln t + 8 = 0
f) x 2 + y 2 + z2 + 2(2 - ln t ) x + 4 ln t.y + 2(ln t + 1)z + 5 ln 2 t + 8 = 0
Trang 33


PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng

Bài 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:
a) I (1; -3; 5), R = 3

b) I (5; -3; 7), R = 2 c) I (1; -3; 2), R = 5 d) I (2; 4; -3), R = 3

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A:
a) I (2; 4; -1), A(5; 2; 3)
b) I (0; 3; -2), A(0; 0; 0)
d) I (4; -4; -2), A(0; 0; 0)
e) I (4; -1; 2), A(1; -2; -4)
Bài 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:
b) A(0; 3; -2), B(2; 4; -1)
a) A(2; 4; -1), B(5; 2; 3)
d) A(4; -3; -3), B(2;1; 5)
e) A(2; -3; 5), B(4;1; -3)
Baøi 6.
a)
c)

e)

c) I (3; -2;1), A(2;1; -3)

c) A(3; -2;1), B(2;1; -3)
f) A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:
A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1)
b) A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 )
A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8)
d) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0)
A(6; -2; 3), B(0;1; 6), C (2; 0; -1), D(4;1; 0)
f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (-2; 2; 2), D(1; -1; 2)

Baøi 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P)
cho trước, với:
ì A(1; 2; 0), B(-1;1; 3), C (2; 0; -1)
ì A(2; 0;1), B(1; 3; 2), C (3; 2; 0)
a) í
b) í
P
Oxz
(
)
º
(
)
ỵ
ỵ( P ) º (Oxy )

Bài 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với:
ìI (-5;1;1)
ìI (-3; 2; 2)
b) í
a) í
2
2
2
2
2
2
ỵ(T ) : x + y + z - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0
ỵ(T ) : x + y + z - 2 x + 4 y - 8z + 5 = 0

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu
Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) và S2(I2, R2).
· I1I 2 < R1 - R2 Û (S1), (S2) trong nhau
· I1I 2 > R1 + R2 Û (S1), (S2) ngoaøi nhau

· I1I 2 = R1 - R2 Û (S1), (S2) tiếp xúc trong · I1I 2 = R1 + R2 Û (S1), (S2) tiếp xúc ngoài
· R1 - R2 < I1I 2 < R1 + R2 Û (S1), (S2) cắt nhau theo một đường tròn.
Bài 1. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu:
ïì x 2 + y 2 + z2 - 8 x + 4 y - 2 z - 4 = 0
a) í 2
2
2
ïỵ x + y + z + 4 x - 2 y - 4 z + 5 = 0

ìï( x + 1)2 + ( y - 2)2 + ( z - 3)2 = 9
b) í 2

2
2
ïỵ x + y + z - 6 x - 10 y - 6z - 21 = 0

ìï x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 4 y - 10 z + 5 = 0
c) í 2
2
2
ïỵ x + y + z - 4 x - 6 y + 2z - 2 = 0
ïì x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 6 y + 4z + 5 = 0
e) í 2
2
2
ïỵ x + y + z - 6 x + 2 y - 4z - 2 = 0

ìï x 2 + y 2 + z2 - 8 x + 4 y - 2z - 15 = 0
d) í 2
2
2
ïỵ x + y + z + 4 x - 12 y - 2 z + 25 = 0
ïì x 2 + y 2 + z2 + 4 x - 2 y + 2 z - 3 = 0
f) í 2
2
2
ïỵ x + y + z - 6 x + 4 y - 2z - 2 = 0

Bài 2. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu:
ìï( x - 3)2 + ( y + 2)2 + ( z + 1)2 = 81
ïì( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z + 3)2 = 64
a) í

b)
í
2
2
2
2
2
2
2
2
ïỵ( x - 4) + ( y + 2) + ( z - 3) = (m + 2)
ïỵ( x - 1) + ( y - 2) + ( z - 3) = (m - 3)
ìï( x + 2)2 + ( y - 2)2 + ( z - 1)2 = 25
c) í
2
2
2
2
ïỵ( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) = (m - 1)

ìï( x + 3)2 + ( y + 2)2 + (z + 1)2 = 16
d) í
2
2
2
2
ïỵ( x - 1) + ( y - 2) + ( z - 3) = (m + 3)

Trang 34

Trần Só Tùng
1.

PP Toạ độ trong không gian

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
Tập hợp điểm là mặt cầu
Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó.
– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M. Chẳng hạn có dạng:
( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R 2

2.

hoaëc: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
– Tìm giới hạn q tích (nếu có).
Tìm tập hợp tâm mặt cầu
ì x = f (t )
ï
– Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn: í y = g(t ) (*)
ïỵz = h(t )
– Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
– Tìm giới hạn q tích (nếu có).

Bài 1. Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
MA
a) MA 2 + MB 2 = 30
b)
=2
c) MA 2 + MB 2 = k 2 (k > 0)

MB
Bài 2. Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
MA
3
=
MB
2

c) ·
AMB = 900

a) MA 2 + MB 2 = 124

b)

d) MA = MB

e) MA 2 + MB 2 = 2(k 2 + 1) (k > 0)

Baøi 3. Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau khi m thay đổi:
a) x 2 + y 2 + z2 - 4 x - 6 y + 2(m - 3)z + 19 - 2m = 0
b) x 2 + y 2 + z 2 + 2(m - 2) x + 4 y - 2 z + 2m + 4 = 0
c) x 2 + y 2 + z2 + 2 x - 4 y + 2(m + 1)z + 2m 2 + 6 = 0
d) x 2 + y 2 + z2 - 4(2 + cos m) x - 2(5 + 2 sin m )y - 6 z + cos 2m + 1 = 0
e) x 2 + y 2 + z2 + 2(3 - 4 cos m) x - 2(4 sin m + 1)y - 4 z - 5 - 2 sin 2 m = 0

Trang 35


PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
r r
r
· Vectơ n ¹ 0 là VTPT của (a) nếu giá của n vuông góc với (a).
r r
· Hai vectơ a , b không cùng phương là cặp VTCP của (a) nếu các giá của chúng song song
hoặc nằm trên (a).
r
r
Chú ý:
· Nếu n là một VTPT của (a) thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của (a).
r r
r r r
· Nếu a , b là một cặp VTCP của (a) thì n = [ a , b ] là một VTPT của (a).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2 > 0
r
· Nếu (a) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì n = ( A; B; C ) là một VTPT của (a).
r
· Phương trình mặt phẳng đi qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một VTPT n = ( A; B; C ) laø:
A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
3. Các trường hợp riêng
Các hệ số
D=0
A=0
B=0

C=0
A=B=0
A=C=0
B=C=0
Chú ý:

Phương trình mặt phẳng (a)
Ax + By + Cz = 0
By + Cz + D = 0
Ax + Cz + D = 0
Ax + By + D = 0
Cz + D = 0
By + D = 0
Ax + D = 0

Tính chất mặt phẳng (a)
(a) đi qua gốc toạ độ O
(a) // Ox hoặc (a) É Ox
(a) // Oy hoaëc (a) É Oy
(a) // Oz hoaëc (a) É Oz
(a) // (Oxy) hoaëc (a) º (Oxy)
(a) // (Oxz) hoaëc (a) º (Oxz)
(a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz)

· Nếu trong phương trình của (a) không chứa ẩn nào thì (a) song song hoặc chứa
trục tương ứng.
x y z
· Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
+ + =1
a b c

(a) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình:

(a): A1 x + B1y + C1z + D1 = 0
(b): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

· (a), (b) caét nhau Û A1 : B1 : C1 ¹ A2 : B2 : C2
· (a) // (b) Û

A1 B1 C1 D1
=
=
¹
A2 B2 C2 D2

· (a) º (b) Û

A1 B1 C1 D1
=
=
=
A2 B2 C2 D2

· (a) ^ (b) Û A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0
5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d ( M0 ,(a ) ) =
A2 + B 2 + C 2

Trang 36


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (a) ta cần xác định một điểm thuộc (a) và một VTPT của nó.
r
Dạng 1: (a) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) coù VTPT n = ( A; B;C ) :
(a): A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
r r
Daïng 2: (a) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có cặp VTCP a , b :
r r r
Khi đó một VTPT của (a) là n = [ a , b ] .
Dạng 3: (a) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø song song với mặt phẳng (b): Ax + By + Cz + D = 0:
(a): A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
Dạng 4: (a) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

r uuur uuur
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (a) là: n = éë AB, AC ùû

Dạng 5: (a) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
r
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP u .
uuur
r
r

– Một VTPT của (a) là: n = éë AM , u ùû
Dạng 6: (a) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
r
VTCP u của đường thẳng (d) là một VTPT của (a).
Dạng 7: (a) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:
r r
– Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.
r r r
– Một VTPT của (a) là: n = [ a , b ] .
– Lấy một ủieồm M thuoọc d1 hoaởc d2 ị M ẻ (a).
Daùng 8: (a) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):
r r
– Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.
r r r
– Một VTPT của (a) là: n = [ a , b ] .
– Lấy một điểm M thuoọc d1 ị M ẻ (a).
Daùng 9: (a) ủi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:
r r
– Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.
r r r
– Một VTPT của (a) là: n = [ a , b ] .
Dạng 10: (a) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (b):
r
r
– Xác định VTCP u của (d) và VTPT nb của (b).
r
r r
– Một VTPT của (a) là: n = éë u , nb ùû .
– Lấy một điểm M thuộc d Þ M Ỵ (a).
Dạng 11: (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (b), (g):

r r
– Xác định các VTPT nb , ng của (b) và (g).
r
r r
– Một VTPT của (a) là: n = éëub , ng ùû .
Dạng 12: (a) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho
trước:
– Giả sử (a) có phương trình: Ax + By + Cz+D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ¹ 0 ) .
– Lấy 2 ủieồm A, B ẻ (d) ị A, B ẻ (a) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,(a )) = k , ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13: (a) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.
Trang 37


PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng
uur
r
– Một VTPT của (a) là: n = IH
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở
lớp 11.

r
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT n cho trước:
r
r
r

a) M ( 3;1;1) , n = ( -1;1;2 )
b) M ( -2;7; 0 ) , n = ( 3; 0;1) c) M ( 4; -1; -2 ) , n = ( 0;1;3 )
r
r
r
d) M ( 2;1; -2 ) , n = (1; 0; 0 )
e) M ( 3;4;5 ) , n = (1; -3; -7 ) f) M (10;1;9 ) , n = ( -7;10;1)
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với:
b) A(1; -1; -4), B(2; 0; 5)
c) A(2; 3; -4), B(4; -1; 0)
a) A(2;1;1), B(2; -1; -1)
1 ö
1 ử
ổ1
ử
ổ
ổ 2 1ử
ổ
d) A ỗ ; -1; 0 ữ , B ỗ 1; - ;5 ữ e) A ỗ 1; ; ữ , B ỗ -3; ;1 ữ f) A(2; -5; 6), B(-1; -3; 2)
2 ø
3 ø
è2
ø
è
è 3 2ø
è
r r
Baøi 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP a , b cho trước, với:
r
r

r
r
a) M (1; 2; -3), a = (2;1; 2), b = (3; 2; -1)
b) M (1; -2; 3), a = 3; -1; -2), b = (0; 3; 4)
r
r
r
r
d) M (-4; 0; 5), a = (6; -1; 3); b = (3; 2;1)
c) M (-1; 3; 4), a = (2; 7; 2), b = (3; 2; 4)
Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (b ) cho
trước, với:
a) M ( 2;1; 5 ) , ( b ) = (Oxy )

b) M (1; -2;1) , ( b ) : 2 x - y + 3 = 0

c) M ( -1;1; 0 ) , ( b ) : x - 2 y + z - 10 = 0

d) M ( 3; 6; -5) , ( b ) : - x + z - 1 = 0

e) M (2; -3; 5), ( b ) : x + 2 y - z + 5 = 0

f) M (1;1;1), ( b ) : 10 x - 10 y + 20z - 40 = 0

Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng
toạ độ, với:
a) M ( 2;1; 5 )
b) M (1; -2;1)
c) M ( -1;1; 0 )
d) M ( 3; 6; -5 )

e) M(2; -3; 5)
f) M(1;1;1)
g) M(-1;1; 0)
h) M(3; 6; -5)
Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước,
với:
b) A(0; 0; 0), B(-2; -1; 3), C (4; -2;1)
a) A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C (-2;1; -3)
c) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C (4; 5; 6)
d) A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C (0; -3; 7)
e) A(2; -4; 0), B(5;1; 7), C (-1; -1; -1)
f) A(3; 0; 0), B(0; -5; 0), C (0; 0; -7)
Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai
điểm B, C cho trước, với:
a) A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C (-2;1; -3)
b) A(0; 0; 0), B(-2; -1; 3), C (4; -2;1)
c) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C (4; 5; 6)
d) A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C (0; -3; 7)
e) A(2; -4; 0), B(5;1; 7), C (-1; -1; -1)
f) A(3; 0; 0), B(0; -5; 0), C (0; 0; -7)
Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (b)
cho trước, với:
ì A(3;1; -1), B(2; -1; 4)
ì A(-2; -1; 3), B(4; -2;1)
ì A(2; -1; 3), B(-4; 7; -9)
a) í
b) í
c) í
ỵ( b ) : 2 x - y + 3z - 1 = 0
ỵ( b ) : 2 x + 3y - 2 z + 5 = 0

ỵ( b ) : 3x + 4 y - 8z - 5 = 0
ì A(3; -1; -2), B(-3;1; 2)
d) í
ỵ( b ) : 2 x - 2 y - 2 z + 5 = 0
Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (b), (g)
cho trước, với:
a) M (-1; -2; 5), ( b ) : x + 2 y - 3z + 1 = 0, (g ) : 2 x - 3y + z + 1 = 0
Trang 38


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

b) M (1; 0; -2), ( b ) : 2 x + y - z - 2 = 0, ( g ) : x - y - z - 3 = 0
c) M (2; -4; 0), ( b ) : 2 x + 3y - 2z + 5 = 0, (g ) : 3 x + 4 y - 8z - 5 = 0
d) M (5;1; 7), ( b ) : 3x - 4 y + 3z + 6 = 0, (g ) : 3x - 2 y + 5z - 3 = 0

Bài 10. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P),
(Q) cho trước, với:
a) M (1; 2; -3) , ( P ) : 2 x - 3y + z - 5 = 0, ( Q ) : 3 x - 2 y + 5z - 1 = 0
b) M ( 2;1; -1) , ( P ) : x - y + z - 4 = 0, (Q ) : 3x - y + z - 1 = 0
c) M ( 3; 4;1) , ( P ) : 19 x - 6 y - 4z + 27 = 0, ( Q ) :42 x - 8y + 3z + 11 = 0
d) M ( 0; 0;1) , ( P ) : 5 x - 3y + 2 z - 5 = 0, (Q ) : 2 x - y - z - 1 = 0
Bài 11. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
song song với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a) ( P ) : y + 2z - 4 = 0, (Q ) : x + y - z - 3 = 0, ( R) : x + y + z - 2 = 0
b) ( P ) : x - 4 y + 2z - 5 = 0, (Q) : y + 4 z - 5 = 0, ( R) : 2 x - y + 19 = 0
c) ( P ) : 3x - y + z - 2 = 0, (Q ) : x + 4 y - 5 = 0, ( R) : 2 x - z + 7 = 0
Bài 12. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời

vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a) ( P ) : 2 x + 3y - 4 = 0, (Q ) : 2 y - 3z - 5 = 0, ( R) : 2 x + y - 3z - 2 = 0
b) ( P ) : y + 2z - 4 = 0, (Q ) : x + y - z + 3 = 0, ( R) : x + y + z - 2 = 0
c) ( P ) : x + 2 y - z - 4 = 0, (Q ) : 2 x + y + z + 5 = 0, ( R) : x - 2 y - 3z + 6 = 0
d) ( P ) : 3x - y + z - 2 = 0, (Q ) : x + 4 y - 5 = 0, ( R) : 2 x - z + 7 = 0
Bài 13. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với:
a) ( P ): x - y - 2 = 0, (Q ) : 5 x - 13y + 2 z = 0, M (1; 2; 3), k = 2

VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Bài 1. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
ì2 x + 3y - 2z + 5 = 0
ì3 x - 4 y + 3z + 6 = 0
b) í
a) í
ỵ3 x + 4 y - 8z - 5 = 0
ỵ3 x - 2 y + 5z - 3 = 0
ì2 x - 2 y - 4z + 5 = 0
ï
e) í
25
ïỵ5 x - 5y - 10z + 2 = 0
Bài 2. Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: · song song
ì3 x + my - 2 z - 7 = 0
ì5 x - 2 y + mz - 11 = 0
a) í
b) í
ỵ nx + 7 y - 6 z + 4 = 0
ỵ 3x + ny + z - 5 = 0
ì3 x - y + mz - 9 = 0

ì 2 x + y + 3z - 5 = 0
d) í
e) í
ỵ2 x + ny + 2 z - 3 = 0
ỵmx - 6 y - 6 z - 2 = 0
ì 6 x - 4 y - 6z + 5 = 0
d) í
ỵ12 x - 8y - 12z - 5 = 0

ì5 x + 5 y - 5z - 1 = 0
c) í
ỵ3 x + 3y - 3z + 7 = 0
ì3 x - 2 y - 6 z - 23 = 0
f) í
ỵ3 x - 2 y - 6 z + 33 = 0
· cắt nhau
· trùng nhau
ì2 x + my + 3z - 5 = 0
c) í
ỵnx - 6 y - 6 z + 2 = 0
ì3 x - 5y + mz - 3 = 0
f) í
ỵ 2 x + y - 3z + 1 = 0

ì x + my - z + 2 = 0
ì2 x - ny + 2z - 1 = 0
ì3 x - (m - 3) y + 2z - 5 = 0
g) í
h) í
i) í

ỵ2 x + y + 4nz - 3 = 0
ỵ3 x - y + mz - 2 = 0
ỵ(m + 2) x - 2 y + mz - 10 = 0
Bài 3. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau
ì2 x - 7 y + mz + 2 = 0
ì(2m - 1) x - 3my + 2 z + 3 = 0
a) í
b) í
ỵ 3x + y - 2 z + 15 = 0
ỵ mx + (m - 1)y + 4 z - 5 = 0
Trang 39


PP Toạ độ trong không gian
ìmx + 2 y + mz - 12 = 0
c) í
x + my + z + 7 = 0
ỵ
ì
4 x - 3y - 3z = 0
e) í
mx
+
2 y - 7z - 1 = 0
ỵ

Trần Só Tùng
ì3 x - (m - 3) y + 2z - 5 = 0
d) í
ỵ(m + 2) x - 2 y + mz - 10 = 0

ì3 x - 5y + mz - 3 = 0
f) í
ỵ x + 3y + 2 z + 5 = 0

VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
· Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phaúng (a): Ax + By + Cz + D = 0
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d ( M0 ,(a ) ) =
A2 + B 2 + C 2
· Khoaûng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
uuuur
ì MH , nr cùng phương
· Điểm H là hình chiếu của điểm M treõn (P) ớ
H ẻ (P)
uuuuurợ uuuur
à ẹieồm M ủoỏi xứng với điểm M qua (P) Û MM ¢ = 2 MH
Bài 1. Cho mặt phẳng (P) và điểm M.
· Tính khoảng cách từ M đến (P).
· Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên (P).
· Tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua (P).
a) ( P ) : 2 x - y + 2z - 6 = 0,
M (2; -3; 5)
b) ( P ) : x + y + 5z - 14 = 0,
M (1; -4; -2)
c) ( P ) : 6 x - 2 y + 3z + 12 = 0,
M (3;1; -2)

d) ( P ) : 2 x - 4 y + 4z + 3 = 0,
M (2; -3; 4)
e) ( P ) : x - y + z - 4 = 0,
M (2;1; -1)
f) ( P ) : 3x - y + z - 2 = 0,
M (1; 2; 4)
Bài 2. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng:
ì x - 2 y + 3z + 1 = 0
ì6 x - 2 y + z + 1 = 0
ì 2 x - y + 4z + 5 = 0
a) í
b) í
c) í
ỵ2 x - y + 3z + 5 = 0
ỵ6 x - 2 y + z - 3 = 0
ỵ3 x + 5y - z - 1 = 0
ì4 x - y + 8z + 1 = 0
ì 2 x - y + 4z + 5 = 0
ì3 x + 6 y - 3z + 7 = 0
d) í
e) í
f) í
4
x
y
+
8
z
+
5

=
0
3
x
+
5
y
z
1
=
0
ỵ
ỵ
ỵ x + 2y - z + 1 = 0
Bài 3. Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng bằng k cho trước:
b) 3 x - 2 y - 6z + 5 = 0, k = 4
a) 6 x - 3y + 2z - 7 = 0, k = 3
c) 6 x - 2 y + 3z + 12 = 0, k = 2
d) 2 x - 4 y + 4z - 14 = 0, k = 3
Bài 4. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
ì x - 2 y + 3z + 1 = 0
ì6 x - 2 y + z + 1 = 0
a) í
b) í
ỵ2 x - y + 3z + 5 = 0
ỵ6 x - 2 y + z - 3 = 0
d)
Baøi 5.
a)

Baøi 6.

ì 2 x - y + 4z + 5 = 0
c) í
ỵ3 x + 5y - z - 1 = 0
ì4 x - y + 8z + 1 = 0
ì 2 x - y + 4z + 5 = 0
ì3 x + 6 y - 3z + 7 = 0
e) í
f) í
í4 x - y + 8z + 5 = 0
3
x
+
5
y
z
1
=
0
ỵ
ỵ
ỵ x + 2y - z + 1 = 0
Tìm tập hợp các điểm có tỷ số các khoảng cách đến hai mặt phẳng bằng k cho trước:
ì x + 2 y - 2z - 10 = 0
ì6 x - 2 y + z + 1 = 0
ì6 x + 3 y - 2 z - 1 = 0
ïï2 x + 4 y - 4z + 3 = 0
ï
b) ï6 x - 2 y + z - 3 = 0

c) ïï2 x + 2 y - z + 6 = 0
í
í
í
ïk = 1
ïk = 2
ïk = 4
ïỵ
ïỵ
ïỵ
3
2
7
Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều điểm N và mặt phaúng (P):
Trang 40


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

a) ( P ) : 2 x + 2 y + z - 5 = 0, N (1; 2; -2)
c) ( P ) : 6 x - 2 y + 3z + 12 = 0, N (3;1; -2)
e) ( P ) : x - y + z - 4 = 0, N (2;1; -1)

b) ( P ) : x + y + 5z - 14 = 0, N (1; -4; -2)
d) ( P ) : 2 x - 4 y + 4 z + 3 = 0, N (2; -3; 4)
f) ( P ) : 3 x - y + z - 2 = 0, N (1; 2; 4)

Bài 7. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều hai mặt phẳng:

ìx + y - z +1 = 0
ì x + 2 y - 2z + 1 = 0
a) í
b) í
c)
ỵx - y + z - 5 = 0
ỵ2 x + 2 y + z - 5 = 0
ì4 x - y + 8z + 1 = 0
ì 2 x - y + 4z + 5 = 0
e) í
f)
d) í
ỵ4 x - y + 8z + 5 = 0
ỵ3 x + 5y - z - 1 = 0

ì 2 x - y + 4z + 5 = 0
í4 x + 2 y - z - 1 = 0
ỵ
ì3 x + 6 y - 3z + 7 = 0
í x + 2y - z + 1 = 0
ỵ

Bài 8. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng
(Q) cho trước. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q):
a) A (1; 2; –3) , (Q) : 2 x - 4 y - z + 4 = 0 .
b) A ( 3; 1; –2 ) , (Q ) : 6 x - 2 y + 3z + 12 = 0 .
Bài 9. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm
A một khoảng k cho trước:
b) (Q) : 2 x - 4 y + 4 z + 3 = 0, A(2; -3; 4), k = 3
a) (Q) : x + 2 y - 2 z + 5 = 0, A(2; -1; 4), k = 4

Bài 10. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k:
a) (Q) : 3 x - y + 2 z - 3 = 0, k = 14

b) (Q) : 4 x + 3y - 2z + 5 = 0, k = 29

VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình: (a): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(b): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
r r
Góc giữa (a), (b) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n1 , n2 .
r r
n1.n2
A1 A2 + B1B2 + C1C2
cos ( (a ),( b ) ) = r r =
n1 . n2
A12 + B12 + C12 . A22 + B22 + C22
Chú ý:

(

)

· 00 £ ·
(a ),( b ) £ 900 .

· (a ) ^ ( b ) Û A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0

Bài 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng:
ìx + y - z +1 = 0
ì x + 2 y - 2z + 1 = 0

ì 2 x - y + 4z + 5 = 0
a) í
b) í
c) í
x
y
+
z
5
=
0
2
x
+
2
y
+
z
5
=
0
ỵ
ỵ
ỵ4 x + 2 y - z - 1 = 0
ì2 x - y - 2 z + 3 = 0
ì
ì4 x + 4 y - 2z + 7 = 0
e) í
f) í 3 x - 3y + 3z + 2 = 0
d) í

ỵ2 x + 4 z - 5 = 0
ỵ 2 y + 2z + 12 = 0
ỵ4 x + 2 y + 4z - 9 = 0
Bài 2. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng a cho trước:
ì(2m - 1) x - 3my + 2 z + 3 = 0
ìmx + 2 y + mz - 12 = 0
ì(m + 2) x + 2my - mz + 5 = 0
ï
ï
ï
a) ímx + (m - 1) y + 4z - 5 = 0
b) í x + my + z + 7 = 0
c) ímx + (m - 3) y + 2z - 3 = 0
ïỵa = 900
ïỵa = 450
ïỵa = 900
ìmx - y + mz + 3 = 0
ï
d) í(2m + 1) x + (m - 1) y + (m - 1)z - 6 = 0
ïỵa = 300
Bài 3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
a , b , g lần lượt là các góc hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng
(ABC). Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn
b) cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1
Trang 41


PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R 2
· (a) và (S) không có điểm chung
Û d ( I ,(a )) > R
· (a) tiếp xúc với (S)
Û d ( I ,(a )) = R
(a) là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (a).
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (a).
H là tiếp điểm của (S) với (a).
· (a) cắt (S) theo một đường tròn
Û d ( I ,(a )) < R
Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (a).
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (a).
H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với (a).
Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r = R 2 - IH 2

Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
ì( P ) : 2 x + 2 y + z - 1 = 0
ì( P ) : 2 x - 3y + 6 z - 9 = 0
a) í
b) í
2
2
2

2
2
2
ỵ(S ) : x + y + z - 6 x - 2 y + 4z + 5 = 0
ỵ(S ) : ( x - 1) + ( y - 3) + ( z + 2) = 16
ì( P ) : x + y - 2 z - 11 = 0
c) í
2
2
2
ỵ(S ) : x + y + z + 2 x - 4 y - 2 z + 2 = 0
ì( P ) : x + 2 y + 2 z = 0
e) í
2
2
2
ỵ(S ) : x + y + z - 6 x + 2 y - 2 z + 10 = 0

ì( P ) : x - 2 y + 2z + 5 = 0
d) í
2
2
2
ỵ(S ) : x + y + z - 6 x - 4 y - 8z + 13 = 0
ì( P ) : z - 3 = 0
f) í
2
2
2
ỵ(S ) : x + y + z - 6 x + 2 y - 16 z + 22 = 0

Bài 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a) ( P ) : 2 x - 2 y - z - 4 = 0;

(S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2(m - 1) x + 4my + 4z + 8m = 0

b) ( P ) : 4 x - 2 y + 4 z - 5 = 0;

(S ) : ( x - 1)2 + ( y + 2)2 + (z - 3)2 = (m - 1)2

c) ( P ) : 3x + 2 y - 6z + 7 = 0;

(S ) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + (z + 1)2 = (m + 2)2

d) ( P ) : 2 x - 3y + 6z - 10 = 0;

(S ) : x 2 + y 2 + z2 + 4mx - 2(m + 1) y - 2z + +3m 2 + 5m - 4 = 0

Bài 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:
a) I (3; -5; -2), (P ) : 2 x - y - 3z + 1 = 0
b) I (1; 4; 7), ( P ) : 6 x + 6 y - 7 z + 42 = 0
c) I (1;1; 2), ( P ) : x + 2 y + 2z + 3 = 0
d) I (-2;1;1), ( P ) : x + 2 y - 2 z + 5 = 0
Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:
a) (S ) : ( x - 3)2 + ( y - 1)2 + ( z + 2)2 = 24 taïi M(-1; 3; 0)
b) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 6 x - 2 y + 4 z + 5 = 0 taïi M(4; 3; 0)
c) (S ) : ( x - 1)2 + ( y + 3)2 + (z - 2)2 = 49 taïi M(7; -1; 5)
d) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2z - 22 = 0 và song song với mặt phẳng 3 x - 2 y + 6z + 14 = 0 .
e) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y + 2z - 11 = 0 vaø song song với mặt phẳng 4 x + 3z - 17 = 0 .
f) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 4 z = 0 và song song với mặt phẳng x + 2 y + 2z + 5 = 0 .

g) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0 và chứa đường thẳng d : x = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1
Trang 42


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –
1), D(4; 1; 0).
i) Tiếp xúc với mặt cầu: x 2 + y 2 + z 2 - 10 x + 2 y + 26 z - 113 = 0 vaø song song với 2 đường
thẳng: d1 :

x + 5 y - 1 z + 13
x + 7 y +1 z - 8
=
=
, d1 :
=
=
.
-3
-2
2
2
3
0

Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng
Bài 1. Cho tứ diện ABCD.

· Viết phương trình các mặt của tứ diện.
· Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện.
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện.
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với (BCD).
· Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện.
· Tìm toạ độ các điểm A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C,
D qua các mặt đối diện.
· Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện.
· Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm I và bán kính R
của (S).
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện.
a) A ( 5;1; 3) , B (1; 6; 2 ) , C ( 5; 0; 4 ) , D ( 4; 0; 6 ) b) A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1)
c) A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 ) d) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8)
e) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0)
f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (-2; 2; 2), D(1; -1; 2)
Baøi 2. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0),
C(0; 0; –3) vaø E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1).
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q).
b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q).
Bài 3. Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3).
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều.
b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc.
c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) vaø (ABD), (BCD) vaø (ACD).

Trang 43

PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
· Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP
r
a = (a1; a2 ; a3 ) :
ì x = xo + a1t
ï
(d ) : í y = yo + a2 t
ïz = z + a t
3
o
ỵ
· Nếu a1a2 a3 ¹ 0 thì (d ) :

( t Ỵ R)

x - x0 y - y0 z - z0
=
=
đgl phương trình chính tắc của d.
a1
a2
a3

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d¢ có phương trình tham số lần lượt là:

ì x = x0 + ta1
ì x = x0¢ + t ¢a1¢
ï
ï
và
d : í y = y0 + ta2
d ¢ : í y = y0¢ + t ¢a2¢
ï z = z + ta
ï z = z¢ + t ÂaÂ
ợ
0
3
0
3
ợ
r r
ỡa, a cuứng phửụng
ù
ù ỡ x + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
· d // d¢ Û í ï 0
hệ y + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (aồn t , t Â) voõ nghieọm
ù ớ 0
ùợ ùợ z0 + ta3 = z0¢ + t ¢a3¢
r
r r
r r
ìï[ ar , ar¢] = 0
¢ cùng phương
ìa, auuuuuur
ìa, a¢ cùng phương

r
Û í
Û ír
Û í r uuuuuur
é a, M M ¢ ự ạ 0
Â
a
,
M
M
khoõ
n
g
cuứ
n
g
phửụng
ợ M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ẽ d Â
ù
0 0
ợ
0 0ỷ
ợở
ỡ x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
ï
· d º d¢ Û hệ í y0 + ta2 = y0¢ + t ¢a¢2 (ẩn t, t ¢) có vô số nghiệm
ï z + ta = z + tÂaÂ
ợ 0
3
0

3
r r
r r uuuuuur
ỡa, a cuứng phửụng
ớ
a, aÂ, M0 M0Â ủoõi moọt cuứng phửụng
ợ M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ẻ d Â
r
r r
r uuuuuur
Û [ a , a¢] = ëé a , M0 M0¢ ûù = 0
ì x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
ï
· d, d¢ cắt nhau Û hệ í y0 + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (ẩn t, tÂ) coự ủuựng moọt nghieọm
ù
ợz0 + ta3 = z0Â + t Âa3Â
r
r r
r r
ỡ
ỡa, a khoõ
[
Â
]
n
g
cuứ
n
g
phửụng

a
,
a
ạ
0
ù
ớ r r uuuuuur
ớ r r uuuuuur
Â
Â
a
,
a
,
M
M
ủo
n
g
phaỳ
n
g
ùợ[ a , aÂ] .M0 M0Â = 0
0 0
ợ
r r
ỡa, a khoõng cuứng phửụng
ùù ỡ x + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
· d, d¢ chéo nhau Û í ï 0
hệ y + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (ẩn t , t ¢) vô nghiệm

ï í 0
ùợ ùợ z0 + ta3 = z0Â + t Âa3Â
r r uuuuuur
r r uuuuuur
Û a, a¢, M0 M0¢ không đồng phaỳng [ a , aÂ] .M0 M0Â ạ 0
r r
rr
· d ^ d¢ Û a ^ a¢
Û a.a¢ = 0
Trang 44


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
ì x = x0 + ta1
ï
Cho mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: í y = y0 + ta2
ïz = z + ta
ỵ
0
3
Xét phương trình:

A( x0 + ta1 ) + B( y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 (aån t)

(*)

· d // (a) Û (*) vô nghiệm
· d cắt (a) Û (*) có đúng một nghiệm
· d Ì (a) Û (*) có vô số nghiệm
4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
ì x = x0 + ta1
ï
Cho đường thẳng d: í y = y0 + ta2 (1) và mặt cầu (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R 2 (2)
ïz = z + ta
ỵ
0
3

5.

6.

7.

8.

Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).
· d và (S) không có điểm chung Û (*) vô nghiệm
Û d(I, d) > R
· d tiếp xúc với (S) Û (*) có đúng một nghiệm
Û d(I, d) = R
· d cắt (S) tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt
Û d(I, d) < R
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
r
Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M.

uuuuur
é M M , ar ù
ë 0
û
d(M , d) =
r
a
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
r
r
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2
r r uuuuuur
éë a1 , a2 ùû . M1M2
d (d1, d2 ) =
r r
éë a1, a2 ùû
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với
mặt phẳng (a) chứa d2 và song song với d1.
Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (a) song song với nó bằng khoảng cách từ
một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (a).
Góc giữa hai đường thẳng
r r
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1 , a2 .
r r
Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1 , a2 .
r r
a1.a2
r r

cos ( a1, a2 ) = r r
a1 . a2

9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
r
r
Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng (a) có VTPT n = ( A; B; C ) .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d¢ của
nó trên (a).
Aa1 + Ba2 + Ca3
sin ·
d ,(a ) =
A2 + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a32

(

)

Trang 45


PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
r
Dạng 1: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) :
ì x = xo + a1t

ï
(d ) : í y = yo + a2 t
ùz = z + a t
3
o
ợ

( t ẻ R)

Daùng 2: d đi qua hai điểuuu
mrA, B:
Một VTCP của d là AB .
Dạng 3: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng D cho trước:
Vì d // D nên VTCP của D cũng là VTCP của d.
Dạng 4: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d ^ (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):
· Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
ì( P)
– Tìm toạ độ một điểm A Ỵ d: bằng cách giải hệ phương trình í
(với việc chọn giá trị
ỵ(Q)
cho một ẩn)
r
r r
– Tìm một VTCP của d: a = éë nP , nQ ùû
· Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2:
r
r r

Vì d ^ d1, d ^ d2 nên một VTCP của d là: a = é ad , ad ù
ë 1 2û
Daïng 7: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng D.

· Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 treõn ủửụứng thaỳng D.
ỡH
ẻD
ớuuuuur r
ợ M0 H ^ uV

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H.
· Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và
chứa d. Khi đó d = (P) Ç (Q)
Dạng 8: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2:

· Cách 1: Gọi M1 Ỵ d1, M2 Ỵ d2. Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm được M1, M2. Từ
đó suy ra phương trình đường thẳng d.
· Cách 2: Gọi (P) = ( M0 , d1 ) , (Q) = ( M0 , d2 ) . Khi đó d = (P) Ç (Q). Do đó, một VTCP của d
r
r r
có thể chọn là a = éë nP , nQ ùû .
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Tìm các giao điểm A = d1 Ç (P), B = d2 Ç (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Dạng 10: d song song với D và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D và d1, mặt phẳng (Q) chứa D và d2.
Khi đó d = (P) Ç (Q).
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:
ì MN ^ d1
· Cách 1: Gọi M Ỵ d1, N Ỵ d2. Từ điều kiện í
, ta tìm được M, N.

ỵ MN ^ d2
Khi đó, d là đường thẳng MN.
Trang 46


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

· Cách 2:
r
r r
– Vì d ^ d1 và d ^ d2 nên một VTCP của d có thể là: a = é ad , ad ù .
ë 1 2û
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1.
r
r r
+ Một VTPT của (P) có thể là: nP = é a , ad ù .
ë
1û
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d2.
Khi đó d = (P) Ç (Q).
Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng D lên mặt phẳng (P):
· Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M Ỵ D.
r
r r
– Vì (Q) chứa D và vuông góc với (P) nên nQ = éë aD , nP ùû .
Khi đó d = (P) Ç (Q).

Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2:
· Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện MN ^ d1, ta tìm được N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
· Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1.
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2.
Khi đó d = (P) Ç (Q).

r
Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP a cho trước:
r
r
r
a) M (1; 2; -3), a = (-1;3; 5)
b) M (0; -2; 5), a = (0;1; 4)
c) M (1;3; -1), a = (1; 2; -1)
r
r
r
d) M (3; -1; -3), a = (1; -2; 0)
e) M (3; -2; 5), a = (-2; 0; 4) f) M (4;3; -2), a = (-3; 0; 0)
Baøi 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
a) A ( 2; 3; -1) , B (1; 2; 4 )
b) A (1; -1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )
c) A ( 3;1; -5 ) , B ( 2;1; -1)
d) A ( 2;1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )

e) A (1; 2; -7 ) , B (1; 2; 4 )

f) A ( -2;1; 3) , B ( 4; 2; -2 )

Bài 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng
D cho trước:
a) A ( 3; 2; -4 ) , D º Ox
b) A ( 2; -5; 3) , D ñi qua M (5; 3; 2), N (2;1; -2)
ì x = 2 - 3t
ï
c) A(2; -5; 3), D : í y = 3 + 4t
ïỵz = 5 - 2t

d) A(4; -2; 2), D :

x + 2 y -5 z- 2
=
=
4
2
3

ì x = 3 + 4t
ï
e) A(1; -3; 2), D : í y = 2 - 2t
ïỵ z = 3t - 1

f) A(5; 2; -3), D :

x + 3 y -1 z + 2
=
=
2

3
4

Bài 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng
(P) cho trước:
b) A (1; -1; 0 ) , ( P ) : các mp toạ độ
a) A ( -2; 4; 3) , (P) : 2 x - 3y + 6z + 19 = 0
c) A ( 3; 2;1) , ( P) : 2 x - 5y + 4 = 0

d) A(2; -3; 6), ( P ) : 2 x - 3y + 6z + 19 = 0

Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)
cho trước:
ì( P ) : 6 x + 2 y + 2z + 3 = 0
ì( P ) : 2 x - 3y + 3z - 4 = 0
ì( P ) : 3 x + 3y - 4 z + 7 = 0
a) í
b) í
c) í
(
Q
)
:
3
x
5
y
2
z
1

=
0
(
Q
)
:
x
+
2
y
z
+
3
=
0
ỵ
ỵ
ỵ(Q) : x + 6 y + 2 z - 6 = 0
Trang 47


PP Toạ độ trong không gian

Trần Só Tùng

ì( P ) : 2 x + y - z + 3 = 0
ì( P ) : x + z - 1 = 0
ì( P ) : 2 x + y + z - 1 = 0
d) í
e) í

f) í
ỵ(Q) : x + y + z - 1 = 0
ỵ(Q) : y - 2 = 0
ỵ(Q) : x + z - 1 = 0
Bài 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường
thẳng d1, d2 cho trước:
ì x = 1 + 2t
ìx = 1- t
ìx = 1+ t
ì x = 1 + 3t
ï
ï
ï
ï
a) A(1; 0; 5), d1 : í y = 3 - 2t , d2 : í y = 2 + t
b) A(2; -1;1), d1 : í y = -2 + t , d2 : í y = -2 + t
ïỵ z = 1 + t
ïỵ z = 1 - 3t
ïỵ z = 3
ïỵ z = 3 + t
ìx = 1- t
ìx = 1
ì x = -7 + 3t
ìx = 1+ t
ï
ï
ï
ï
c) A(1; -2; 3), d1 : í y = -2 - 2t , d2 : í y = -2 + t d) A(4;1; 4), d1 : í y = 4 - 2t , d2 : í y = -9 + 2t
ïỵ z = 3 - 3t

ïỵz = 3 + t
ïỵz = 4 + 3t
ïỵ z = -12 - t
ì x = 1 + 3t
ì x = 2t
ìx = t
ìx = t
ï
ï
ï
ï
e) A(2; -1; -3), d1 : í y = 1 + t , d 2 : í y = -3 + 4t f) A(3;1; -4), d1 : í y = 1 - t , d2 : í y = 1 - 2t
ïỵ z = -2 + 2t
ïỵ z = 2 - t
ïỵ z = -2t
ïỵ z = 0
Bài 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường
thẳng D cho trước:
ìx = t
ì x = -3 + 2t
ï
ï
a) A(1; 2; -2), D : í y = 1 - t
b) A(-4; -2; 4), d : í y = 1 - t
ïỵ z = 2t
ïỵz = -1 + 4t
ì x = 1 + 3t
ï
c) A(2; -1; -3), D : í y = 1 + t
ïỵ z = -2 + 2t

ìx = t
ï
d) A(3;1; -4), D : í y = 1 - t
ïỵ z = -2t

ìx = 1- t
ï
e) A(1; -2; 3), D : í y = -2 - 2t
ïỵ z = 3 - 3t

ìx = 1+ t
ï
f) A(2; -1;1), D : í y = -2 + t
ïỵ z = 3

Bài 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1,
d2 cho trước:
ì x = 1 + 2t
ìx = 1- t
ìx = 1+ t
ì x = 1 + 3t
ï
ï
ï
ï
a) A(1; 0; 5), d1 : í y = 3 - 2t , d2 : í y = 2 + t
b) A(2; -1;1), d1 : í y = -2 + t , d2 : í y = -2 + t
ïỵ z = 1 + t
ïỵ z = 1 - 3t

ïỵ z = 3
ïỵ z = 3 + t
ì x = -1 + 3t
ì x = 2 + 2t
ì x = 1 + 3t
ì x = -t
ï
ï
ï
ï
c) A(-4; -5; 3), d1 : í y = -3 - 2t , d2 : í y = -1 + 3t d) A(2;1; -1), d1 : í y = -2 + 4t , d2 : í y = t
ïỵ z = 2 - t
ïỵ z = 1 - 5t
ïỵ z = -3 + 5t
ïỵ z = 2t
ìx = 2 + t
ì x = -4 + 3t
ì x = -3 + 3t
ì x = 3 + 2t
ï
ï
ï
ï
e) A(2; 3; -1), d1 : í y = 1 - 2t , d2 : í y = 1 + t
f) A(3; -2; 5), d1 : í y = 1 + 4t , d2 : í y = 1 - t
ïỵ z = 1 + 3t
ïỵz = -2 + 3t
ïỵ z = 2 + 2t
ïỵ z = 2 - 3t
Bài 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai

đường thẳng d1, d2 cho trước:
ì( P ) : y + 2 z = 0
ì( P ) : 6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0
ïï
ïï ì x = 1 + 2t
ìx = 2 - t
ìx = 1- t
a) í
b) í ï
ï
ï
x -1 y z
ïd1 : -1 = 1 = 4 , d2 : í y = 4 + 2t
ïd1 : í y = 3 - 2t , d2 : í y = 2 + t
ïỵ z = 1
ïỵ z = 1 - 3t
ïỵ
ỵï ïỵ z = 1 + t
ì( P ) : 2 x - 3y + 3z - 4 = 0
ì( P ) : 3x + 3y - 4 z + 7 = 0
ïï
ïï ì x = 1 - t
ì x = -7 + 3t
ìx = 1+ t
ìx = 1
c) í
d) í ï
ï
ï
ï

ï d1 : í y = 4 - 2t , d2 : í y = -9 + 2t
ïd1 : í y = -2 - 2t , d2 : í y = -2 + t
ïỵ z = 4 + 3t
ïỵ z = -12 - t
ïỵ z = 3 + t
ỵï
ỵï ïỵ z = 3 - 3t
Trang 48


Trần Só Tùng

PP Toạ độ trong không gian

Bài 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng D và cắt cả hai
đường thẳng d1, d2 cho trước:
ì x y -1 z - 5
ì x y -1 z - 1
ï D : 3 = -1 = 1
ïD : 2 = -1 = 2
ïï
ïï
x + 1 y z -1
x -1 y + 2 z - 2
a) íd1 :
=
=
= =
b) íd1 :
1

2 -1
1
4
3
ï
ï
x
2
y
+
1
z
+
3
+
+
x
4
y
7
z
ïd :
ïd :
=
=
=
=
ïỵ 2 5
ïỵ 2
3

2
1
9
1
ì x -1 y + 2 z - 2
ì x +1 y + 3 z - 2
ïD : 1 = 4 = 3
ï D : 3 = -2 = -1
ï
ïï
x - 2 y + 2 z -1
x -1 y + 2 z - 2
ï
c) íd1 :
d) íd1 :
=
=
=
=
3
4
1
1
4
3
ï
ï
x
7
y

3
z
-9
ï
x+4 y+7 z
ï
=
=
d2 :
d
:
=
=
ï
2
ï
ỵ
1
2
-1
5
9
1
ỵ
Bài 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau d1, d2 cho trước:
ì x = 3 - 2t
ì x = 2 + 3t
ì x = 1 + 2t
ì x = -2 + 3t

ï
ï
ï
ï
b) d1 : í y = -3 + t , d2 : í y = 1 + 2t
a) d1 : í y = 1 + 4t , d2 : í y = 4 - t
ïỵ z = -2 + 4t
ïỵ z = 1 - 2t
ïỵ z = 2 + 3t
ïỵ z = -4 + 4t
ì x = 2 + 2t
ìx = 1+ t
ï
ï
c) d1 : í y = 1 + t , d2 : í y = 3 + t
ïỵ z = 3 - t
ïỵ z = 1 + 2t

ì x = 2 + 3t
ì x = -1 + 2t
ï
ï
d) d1 : í y = -3 - t , d2 : í y = 1 - 2t
ïỵ z = 1 + 2t
ïỵ z = 2 + t

Bài 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng D trên mặt
phẳng (P) cho trước:
ì x + 2 y - 3 z -1
ì x -3 y-2 z+2

ïD :
ï
=
=
a) í
b) íD : -1 = 2 = 3
2
3
-1
ïỵ( P ) : 2 x - y + 2z + 3 = 0
ïỵ( P ) : 3 x + 4 y - 2z + 3 = 0
ì x +1 y -1 z - 3
ì
x y z -1
ïD :
ïD :
=
=
c) í
d) í -2 = 1 = 1
1
2
-2
ïỵ( P ) : 2 x - 2 y + z - 3 = 0
ïỵ( P ) : x + y - z + 1 = 0
ì x - 2 y + 2 z -1
ì x -1 y - 2 z
ïD :
ï
=

=
e) í
f) íD : 1 = -2 = -1
3
4
1
ïỵ( P ) : 2 x - y - 3z + 5 = 0
ỵï( P ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0
ì ì5 x - 4 y - 2 z - 5 = 0
ì ìx - y - z -1 = 0
ïD : í
ïD :
h) í íỵ x + 2z - 2 = 0
g) í ỵ x + 2z - 2 = 0
ïỵ( P ) : 2 x - y + z - 1 = 0
ïỵ( P ) : x + 2 y - z - 1 = 0
Bài 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng
d1 và cắt đường thẳng d2 cho trước:
ì x = -1
ï
x -1 y - 2 z
a) A(0;1;1), d1 :
=
= , d2 : í y = t
3
1
1
ïỵ z = 1 + t
ìx = 2
ï

x -1 y + 1 z
b) A(1;1;1), d1 :
=
= , d2 : í y = 1 + 2t
2
-1 1
ïỵz = -1 - t
x +1 y - 4 z
x -1 y +1 z - 3
c) A(-1; 2; -3), d1 :
=
= , d2 :
=
=
6
-2
-3
3
2
-5
Trang 49