de thi hsg

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (99.69 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO

TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO

---ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG 3

NĂM HỌC 2009-2010
MƠN: TỐN 9

Thời gian:150 phút(Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: Giải các phương trình sau
a) 1 2 1



 x

x

b) 3 2 1 1





 x x

Câu 2:

a)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x,y thoả mãn:
5

3
1

5
3

1         

 x x y y y

x

b)Tìm tất cả các số dương x,y,z thoả mãn:
















3
9
4

1 12

z
y
x

Câu 3: Mỗi cơ gái trong nhóm 50 cơ gái có tóc nâu hay tóc vàng và mắt xanh
hay mắt nâu.Nếu có 14 cơ tóc nâu mắt xanh,31 cơ gái tóc vàng và 18 cơ gái mắt
nâu thì có bao nhiêu cơ gái tóc vàng mắt nâu.

Câu 4: For a, b, c are positive numbers satisfying: a + b + c = 3. Prove that:

2
3
2
2

2
2







 c a

c
c
b

b
b
a

a .

Câu 5: Qua đỉnh A của hình vng ABCD cạnh a vẽ một đường thẳng cắt cạnh
BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I.Chứng minh rằng 2 2 2

1
1
1

a
AI

AM  

Câu 6:

Một tam giác có số đo các đường cao là những số ngun và bán kính đường
trịn nội tiếp bằng 1.Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO

TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎIHƯỚNG DẪN CHẤM

NĂM HỌC 2009-2010
MƠN TỐN 9

Câu Nội dung trình bày Điểm

a 




































0
1
1
1
;
1
1
1
0

1
1

1 2 2 2

2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

 x1hoặc

2
5
1

x
0.75đ
b

ĐK:x1;Đặt








1
2
3
x
v
x
u

Khi đó ta có:



































3
2
0
1
1
0
1
1
2

3
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u

Trở lại cách đặt ta được:

1/ 






1
0
v
u
2
1
1
0
2

3









x
x
x

2/ 






0
1
v
u
1
0
1
1
2

3









x
x
x

3/ 







3
2
v
u
10
3
1
2

2
3










x
x
x
0.25
0.25
0.25
2 a ĐK:x1;y5

+)Nếu x+1>y-5 => x+3>y-3;x+5>y-1.Khi đó VT>VP
+)Nếu x+1<y-5 => x+3<y-3;x+5<y-1.Khi đó VT<VP
Từ đó ta suy ra x+1=y-5 hay x-y=-6 (1)

Nghiệm nguyên tổng quát của (1) có dạng t Z
t
y
t
x








;
6

với điều kiện x1;y5,để nghiệm của phương trình đã cho là

nghiệm ngun dương thì ta phải có t 1.Vậy nghiệm ngun dương

của phương trình đã cho có dạng ; , 1

6  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Từ giả thiết ta suy ra 6
4

9
4
1








 x y z

z
y

x (1)

Mặt khác ta có:

1
4
.
1
2
4
1




 x

x
x

x ; 4 2


 y

y ; 4 3
9



 z

z

Do đó ta có 6

4
9

4
1







 x y z

z

y

x (2)Do vậy để (1) xảy ra thì ta phải

có: 6

4
9

4
1







 x y z

z
y

x hay


























6
4
2

4
9

4
4 4
1

z
y
x
z
z

y
y

x
x

0.25

0.25
0.25

0.25

Mỗi cô gái trong 50 cơ gái phải thuộc 1 trong 4 nhóm sau:
1.tóc nâu mắt xanh

2.tóc nâu mắt nâu
3.tóc vàng mắt xanh
4.tóc vàng mắt nâu.

Gọi x,y,z,t là số cô gái thuộc các nhóm 1,2,3,4.Khi đó ta có hệ

phương trình

















18
31
14

t
y

t
z

x
t
z
y
x



 t

1.5

We have:

2
2

3 b

a
ab
ab
a
b
a

ab
a
b
a

a BCS










 .

Similarly we have.:

2
;

2 2 2

2
2

3 a

c
a
c

c
c

b
c
b

b









Thus we have.:

2
3
2
2

2
3

2
2












c
b
a
a
c

c
c
b

b
b
a

a

.
Sign "=" occurs if and only if a = b = c = 1.

0.5

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AM, đường thẳng này cắt DC
kéo dài tại K.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác AKI ta có:
2

2
2

1
1
1

AI
AK

AD   .

Mặt khác do AKDAMB (cạnh góc vng,góc nhọn) do đó suy ra
AM

AK  .

Do vậy ta có 2 2 2
1
1
1

AI
AM

a  

0.5
0.5
0.5
0.5

Gọi x,y,z lần lượt là các đường cao tương ứng vứi các cạnh a,b,c của
tam giác ABC.Ta có:SABC=1ax 1 1 1





2 2by2cz2 a b c r  .Thay r=1 ta

được ax=by=cz=a+b+c. (*)
Từ ax=a+b+c x a b c 1 b c 2

a a

  

     .Chứng minh tương tự ta

được y>2,z>2.Mặt khác từ:

1 1 1 1 1 1

1 1 1

by cz a b c
a b c a b c

a b c
x y z x y z

a b c
x y z a b c

    

 

      

 

    

 

Không mất tính tổng qt giả sử x y z.Khi đó

1 1 1 3

1 z 3

x y z z

      .Mà z>2 nên z=3.Thay z=3 vào hệ thức



 



1 1 1 1 1 2

1 2 3 2 3 9

3 x y

xyz   xy      .Vì x,y ngun nên ta có:

2 3 3 3

2 3 1 2

2 3 9 9

x x

y y

x x

y y

    

 

 

  

 

  

    

 

  

 

 

Trường hợp x=2;y=9 bị loại nên ta có x=y=z=3.Do đó a=b=c (theo *)
Vậy tam giác ABC đều.

0.25

0.25
0.25

0.25

</div>

de thi hsg



















 



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về