Cac dang bai tap va phuong phap giai phan ddch

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (129.58 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ 2:

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
 Các phương pháp chính để tính nguyên hàm, tích phân.

1. Phương pháp bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm tích phân.
2. Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm, tích phân.

3. Phương pháp tích phân từng phần trong các bài tốn nguyên hàm tích phân.
 Định nghĩa nguyên hàm:

- Giả sử f(x) là một hàm số liên tục / (a;b). Khi đó hàm số F(x) được gọi là một nguyên
hàm của f(x) /(a;b) khi và chỉ khi F’(x)=f(x) ,  x



a b;



.

- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) / (a;b) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) là
tập hợp I 



F x( )C C R; 



. Và họ các nguyên hàm của f(x) được kí hiệu:

( ) ( ) ;

f x dx F x C C R



 Vi phân:

( )

'( )

df x



f

x dx

 Các công thức cơ bản của nguyên hàm:

1. Nếu f(x) có ngun hàm thì





f x dx( )



'f x( ); d





f x dx( )



f x dx( )

2. Nếu f(x) có ngun hàm thì:



dF x( )F x

 

C
3. Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:





f x( )g x dx

 







f x dx( ) 



g x dx( )



k f x dx k f x dx. ( )  .



( ) , k R

 Định nghĩa tích phân:

giả sử f(x) /(a;b) có nguyên hàm là F(x) khi đó ta định nghĩa:

 

( )

b

b
a
a

f x dx F x F b  F a



Công thức trên thường gọi là cơng thức newton – leibnit
 Các tính chất cơ bản của tích phân:

1. ( )

 

( )

 

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

 



2. .

 

. ( )

b b

a a

k f x dx k f x dx



 

( )

b a

a b

f x dx f x dx



 

( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx



5. Nếu f x

 

g x

 

;  x



a b;



và f(x) và g(x) đều….. / ;



a b



thì:

 

b b

a a

f x dx g x dx

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phương pháp 1: Phương pháp bảng nguyên hàm.

“để sử dụng phương pháp bảng ngun hàm, khơng những địi hỏi phải sử dụng thành thạo
bảng nguyên hàm ngoài ra cịn phải nắm vững các phép tính vi phân, biến đổi các đẳng thức
và vi phân”

Ví dụ Chìa khố Lời giải

sinx+cosx
sinx-cosx

I 



dx d



s inx-cosx



cosx+sinx

1 3

0 1

x
dx
x 



2xdx dx 1 3 1 2 1 2 2

2 2 2

0 0 0

. 1

1 1 2 1

x x x x

dx dx dx

x   x   x 



2 2

sinx

os x cos 1dx

c x





 2

tan

os dx d x

c x 

1
2

tdt  dt





2 2

4 4

2
2

3 3

2 2

1 1

sinx

os x cos 1

tan t anx tan t anx

1 1 (1 tan )

1
cos

t 2

t t 1

2 2

dx

c x

xd xd

x
x

d
d

t t



 



 

 



 

 



1
x
01

dx
e





x x

e dx de 1 1



x x



x x

0 0

1 1

0 0

1 1

x

e e dx
dx

e e

de
dx

e

 


 

 





Ta đã sử dụng thêm bớt để quy
tích phân cần tính thành tổng,
hiệu các tích phân dễ quy về

bảng nguyên hàm.

2
0

sin2x

osx 1dx

c







sinx xd dcosx









2 2

0 0

2
0

2 2

0 0

2 2

0 0

sin2x sinx.cosx

osx 1 osx 1

sinx cosx+1 -sinx
2

osx 1
sinx
2 sinxdx-2

osx 1
d cosx+1
2 sinxdx-2

osx 1

dx dx

c c

dx

c

dx
c

c

 



 



 















</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>



 





 



x+b

ln x a dx

I x a x b

x a x b



 

  

   













 



ln ln

x a x b
dx
x b x a
d x a x b

 

 



 

 

 

    











 





 



ln ln

x a x b

I dx

x b x a
d x a x b

x a x b C

 

 

   

 

 

    

   



Phương pháp 2: phương pháp đổi biến số.

“Là phương pháp quan trọng nhất”

Chú ý: - khi đổi biến thì phải đổi cận

- về cơ bản, có 2 phép đổi biến:

+ x

 

t .

+ t

 

x

Ví dụ Chìa khố Lời giải

1. Phương pháp đổi
biến số: x

 

t loại

Khi hàm dưới dấu tích
phân có biểu thức dạng:

 

f x lúc đó, trong nhiều
trường hợp (chứ khơng
phải mọi trường hợp) ta có
thể sử dụng phép thay biến:

 

t f x
VD1:





ln 3

3
x

0 1

x

e dx
y

e







x 2 x

1 1

t e t e

tdt e dx

    

 

VD2:

ln 5 2
x

ln 2 1

x

e dx
y

e







x 2 x

1 1

t e t e

tdt e dx

    

 

VD3:

47 3

3 4

0 1 1

x dx
y

x



 



Phương pháp dùng bảng ngun hàm khơng thích hợp trong VD này.

VD4:

3 5 3

2
0

2
1

x x

y dx

x








VD5:

6 3 5

1 os inx.cos

y c xs xdx









2. Phương pháp đổi
biến số: x

 

t loại

Phép đổi biến: x=-t đặc
biệt có tác dụng với 2
dạng toán sau đây:
Biểu thức dưới dấu tích

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

phân là hàm chẵn hoặc lẻ
và tích phân cần tính có
dạng: f x

 

a

dx





ta sử
dụng kết quả sau đây:
- f(x) là hàm lẻ /[-a;a]

thì f x

 

a
a
dx





- f(x) là hàm
chẵn/[-a;a] thì

 

f x 2 f x

a a

a
dx dx





VD1:





2
1

ln x x 1 dx



 



Phải nhớ ví dụ này để làm mẫu.

Lưu ý:

- khi gặp dạng toán
trên, chỉ đổi biến I1

hoặc I2 (đổi biến 1

nửa). còn nếu đổi
biến ở cả I1 và I2 thì

sẽ quay trở lại đầu bài
ban đầu.

- Tích phân khơng phụ
thuộc vào biến.

- Hàm





ln 1

y x x  là
hàm lẻ.
Tvậy:























2
2 2
2
2
2

( ) ln 1

1 1

ln
1
1
ln
1
ln 1

f x x x
x x x x

x x
x x
x x
    
    

 

 
  













1
2
1
0 1
2 2
1 0
ln 1

ln 1 ln 1

I x x dx

x x dx x x dx



  
     



đặt:









0
2
1
1
1
2
2
0
ln 1
ln 1

I x x dx



  



có: đổi biến: t=-x suy ra dt=-dx







 







0
2
1
1
2 2
1
2
0
1 1
2
2
0 0
2
ln 1
1 1
ln

1
1

ln ln 1

I t t dt

t t t t

dt
t t

dt t t dt
t t
I
   
    

 
   
 




1 2 2 2 0

I I I I I

     
VD2:
2
2
2
osx
4-sin
x c
dx
x







2
2
2
0
4-sin
x
dx
x







vì là tích

phân của hàm lẻ.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2 2

0
2

osx osx

4-sin 4-sin

c c

dx dx

x x

 








Vì là tích phân của hàm
chẵn.

VD3:

1 4

x
1

2 1dx

 



Phép đổi biến x=-t còn áp dụng cho trường hợp
biểu thức tích phân dạng:

 

a
x

f x

k 1

a

dx







trong đó f(x) là
hàm chẵn /[-a;a].

Dễ dàng chứng minh được
kết quả:

 

a
x

f x

k 1

a

d f x dx








1 4 0 4 1 4

x x x

1 1 0

1 2

x x x

2 1dx 2 1dx 2 1dx

I I

 

 

  

 



Thực hiện đổi biến x=-t trên một nửa với
I1 ta có:





0 4 0 4

1 x -t

1 1

1 4 1 t 4

-t t

0 0

t 4 4

1
t
0

1 1 4 1

4 4

0 0 0

x t

2 1 2 1

t 2 t

2 1 2 1

2 +1 t

2 1

I dx dt

dt dt

t
dt
t

t dt dt t dt I



 

 

 

 






   





VD4:

2
x

sin

3 1

x
d










2
x

sin

sin x

3 1

x

d dx

 









3. Phương pháp đổi
biến số: x

 

t loại 3:

đổi biến: x=a-t

với các tích phân có cận
trên là a và biểu thức
dưới dấu tích phân

 

a

f x dx



là f(x) thường
có chứa các biểu thức
lượng giác và các biểu
thức này có liên quan đến
cận a ( theo nghĩa chúng
có mối liên hệ hàm số

lượng giác của góc liên
quan đặc biệt). Thơng
thường ;2 ;

a  

VD1: 2

.sinx
4-cos

x

dx
x





đổi biến: x  t

VD2: 2 3 3 3

sin x

sin x+cos xdx





đổi biến: x 2 t



 

VD3: 2

1 sinx
ln

1+cosx dx







đổi biến: x 2 t



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

VD4: 4





ln 1 t anx dx







đổi biến: x 4 t



  Trong trường hợp này cận
4

a là ví

dụ hiếm hoi gặp phải, thông thường
cận là ;

a  .
4. Phương pháp đổi

biến số: x

 

t loại 4:

Hàm dưới dấu tích phân
có chứa các biểu thức
dạng: a2 x a2, 0

  . Với

các tích phân này, người
ta có thể sử dụng phép
biến đổi sau: x=asint
hoặc x= acost.

VD1:





3
2
1

2 1

dx
x

 



đổi biến: x=sint hoặc
x=cost.

VD2:

2
2
2

2
1

x dx
x

 



đổi biến: x=sint hoặc
x=cost.

5. Phương pháp đổi
biến số: x

 

t loại 5

Hàm dưới dấu tích phân
có chứa các biểu thức
dạng:



1 x2



k

 Trong

trường hợp này ta có thể
sử dụng phép đổi biến:
x=tant hoặc x=cott
VD1:





3
2

3 1

dx
x

 



đổi biến: x=tant hoặc x=cott.

6. Phương pháp đổi
biến số: x

 

t loại 6

Hàm dưới dấu tích phân
có chứa các biểu thức
dạng: a2 x2, a 0

 

Trong trường hợp này ta

có thể sử dụng phép đổi
biến:

x
sint

a

 hoặc x
ost

a
c



VD1:

2
2
2

dx
x x 



đặt xsint1

7. Phương pháp đổi

biến số: t

 

x loại 1

Hàm dưới dấu tích phân
chứa các biểu thức bậc
nhất của sinx , cosx.
sử dụng phép đổi biến:

Sau đó sử dụng cơng thức:

2 2

2 1-t

sinx ; osx=

1 1

t
c

t t



 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>





t tan
2

1
2 os

2
1

1 tan

2 2

1
1 t
2

2
1

x

dx
dt

x
c

x
dx
dx
dt
dx

t



 

 

   

 

 

 



VD1:

sinx

dx



VD2: 2

01 sinx+cosx

dx







8. Phương pháp đổi
biến số: t

 

x loại 2

</div>

Cac dang bai tap va phuong phap giai phan ddch











( )

'( )

<i>df x</i>



<i>f</i>

<i>x dx</i>



<sub></sub>





<sub></sub>



<sub></sub>

 

<sub></sub>



 



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

 

 

 



 

 







 





 





 







 

 









 

 

<b>Phương pháp 1: Phương pháp bảng nguyên hàm.</b>

<sub></sub>













































