DE THI HSG VINH PHUC 2012 Hot

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC</b>
<b>——————</b>

<b>ĐỀ CHÍNH THỨC</b>

<b>KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012</b>
<b>ĐỀ THI MƠN: TỐN</b>

<i>Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề</i>

————————————
<b>Câu 1 (3,0 điểm).</b>

1. Cho

 

3
2

1 3 3

<i>x</i>
<i>f x</i>

<i>x</i> <i>x</i>


  . Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

1 2 2010 2011

...

2012 2012 2012 2012

<i>A</i><i>f</i> _ _ <i>f</i> _ _  <i>f</i>_ _<i>f</i> _ _

       

2. Cho biểu thức 2 1 1 2₂ 2

1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>P</i>

<i>x x</i> <i>x x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

  

   

Tìm tất cả các giá trị của <i>x</i>_{sao cho giá trị của}<i>_P</i>_{là một số nguyên.}

<b>Câu 2 (1,5 điểm).</b>

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương



<i>x y</i>;



_{thỏa mãn}

_

<i>x y</i>

_

3 

_

<i>x y</i>  6

_

2.

<b>Câu 3 (1,5 điểm).</b>

Cho <i>a b c d</i>, , , _{là các số thực thỏa mãn điều kiện:}

2012
<i>abc bcd cda dab a b c d</i>       

Chứng minh rằng:



<i>_a</i>2 ₁

 

<i>_b</i>2 ₁

 

<i>_c</i>2 ₁

 

<i>_d</i>2 ₁



₂₀₁₂

     .

<b>Câu 4 (3,0 điểm).</b>

Cho ba đường tròn

  

<i>O</i>1 , <i>O</i>2



và

 

<i>O</i> (kí hiệu

 

<i>X</i> chỉ đường trịn có tâm là điểm <i>X</i>). Giả sử

  

<i>O</i>1 , <i>O</i>2



tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm <i>I</i> và

  

<i>O</i>1 , <i>O</i>2



lần lượt tiếp xúc trong với

 

<i>O</i> tại

1, 2

<i>M M</i> _{. Tiếp tuyến của đường tròn}

_{ }

<i>O</i>₁ _{tại điểm}<i>_I</i>_{cắt đường tròn}

_{ }

<i>O</i> _{lần lượt tại các điểm}
, '

<i>A A</i> _{. Đường thẳng}<i>AM</i>₁_{cắt lại đường tròn}

_{ }

<i>O</i>₁ _{tại điểm}<i>N</i>₁_{, đường thẳng}<i>AM</i>₂_{cắt lại đường}

tròn



<i>O</i>2



tại điểm <i>N</i>2.

1. Chứng minh rằng tứ giác <i>M N N M</i>1 1 2 2 nội tiếp và đường thẳng <i>OA</i> vng góc với đường

thẳng <i>N N</i>1 2.

2. Kẻ đường kính <i>PQ</i>_{của đường trịn}

_{ }

<i>O</i> _{sao cho}<i>PQ</i>_{vng góc với}<i>_AI</i>_(điểm<i>_P</i>_{nằm trên}

cung 

1

<i>AM</i> khơng chứa điểm <i>M</i>2). Chứng minh rằng nếu <i>PM</i>1, <i>QM</i>2 khơng song song thì các

đường thẳng <i>AI PM</i>, 1 và <i>QM</i>2 đồng quy.

<b>Câu 5 (1,0 điểm)</b>

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tơ bởi một trong 3 màu
xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó ln tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc
các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.

—Hết—

<i>Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Hướng dẫn câu BĐT

5. Xét ngũ giác đều

<i>ABCDE</i>, ta nhận thấy

ba đỉnh bất kì của ngũ giác ln tạo thành một tam giác cân.

Do đó khi tơ 5 đỉnh <i>A, B, C, D, E</i> bằng 3 màu xanh, đỏ và tím sẽ xảy ra hai khả năng sau:

+) Nếu tô 5 đỉnh <i>A, B, C, D</i>,<i> E</i> bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và
tạo thành một tam giác cân.

+) Nếu tô 5 đỉnh <i>A, B, C, D</i>,<i> E</i> bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành
một tam giác cân.

Vậy, trong mọi trường hợp ln tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh được tơ bởi cùng một
màu hoặc đơi một khác màu.

Ta có: 2012



<i>abc bcd cda dab a b c d</i>      



2



 

 

 





<i>ab</i> 1 <i>c d</i> <i>cd</i> 1 <i>a b</i>



2

     



<i>ab</i> 1



2



<i>a b</i>



2



<i>cd</i> 1



2



<i>c d</i>



2

   

      

   



2 2 2 2

 

2 2 2 2

 

2

 

2

 

2

 

2



1 1 1 1 1 1

<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c d</i> <i>c</i> <i>d</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i>

           

Suy ra



<i>_a</i>2 ₁

 

<i>_b</i>2 ₁

 

<i>_c</i>2 ₁

 

<i>_d</i>2 ₁



₂₀₁₂

</div>

<!--links-->