Phép biến đổi z và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————-

PHẠM HƯƠNG LAN

PHÉP BIẾN ĐỔI Z
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

PHẠM HƯƠNG LAN

PHÉP BIẾN ĐỔI Z
VÀ ỨNG DỤNG

Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số: 84.60.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng - Năm 2019





LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Phan Đức
Tuấn, người đã định hướng chọn đề tài, cung cấp tài liệu và tận tình hướng
dẫn để em có thể hồn thành luận văn của mình.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy, cô
giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Đà
Nẵng đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập.
Đồng thời, cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học trong lớp Tốn
Giải tích K34 - Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình học tập,
nghiên cứu tại lớp.

Phạm Hương Lan


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. CHUỖI HÌNH HỌC

.............................................. 4

1.2. HÀM BIẾN PHỨC

...............................................4

1.2.1. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. TÍCH PHÂN TRONG MIỀN PHỨC
1.4. CHUỖI LŨY THỪA

.................................6

..............................................8

1.5. LÝ THUYẾT THẶNG DƯ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.5.1. Định nghĩa thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.2. Phương pháp tính thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.3. Định lý cơ bản của lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . 13
CHƯƠNG 2. PHÉP BIẾN ĐỔI Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.1. ĐỊNH NGHĨA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. MỐI LIÊN HỆ VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

17
2.2.1. Mối liên hệ với phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 17


2.3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1. Tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2. Dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3. Phép nhân theo cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.4. Đảo thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.5. Liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.6. Phép nhân với n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.7. Phép chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.8. Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.9. Định lý Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.10. Phép biến đổi Z của tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.11. Phép biến đổi Z của đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.12. Phép biến đổi Z của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.13. Phép biến đổi Z qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z

. . . . . . . . . . . . 25

2.5. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z MỘT PHÍA

. . . . 29

2.5.1. Định lý giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2. Định lý giá trị cuối cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. PHÉP BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.1. Phương pháp tích hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.2. Phương pháp chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
2.6.3. Phương pháp khai triển thành các phân thức sơ cấp . 38
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z . . . . 43
3.1. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI CÁC HỆ SỐ KHƠNG ĐỔI

43
3.2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VOLTERRA LOẠI TÍCH CHẬP
3.3. TÍNH TỔNG CHUỖI

. . . . . . . . . . 46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Phép biến đổi là một cơng cụ tốn học rất quan trọng được sử dụng
xử lý các vấn đề toán học cũng như trong nhiều úng dụng.
Sự xuất hiện đầu tiên của phép biến đổi Z là vào năm 1730 [5] khi De
Moivre đưa ra khái niệm về chức năng tạo ra cơ sở dữ liệu xác suất, sau
đó được Laplace mở rộng năm 1912. Tới năm 1947, Hurewicz giới thiệu
phép biến đổi Z trong việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số
không đổi. Tên gọi “phép biến đổi Z” được đưa ra bởi Ragazzini và Zadeh
trong nhóm kiểm sốt dữ liệu mẫu tại Đại học Columbia năm 1952. Sau
này phép biến đổi Z được phát triển và phổ biến bởi E.I.Jury [6].
Ngày nay, phép biến đổi Z được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực
ứng dụng toán học, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, lý thuyết điều khiển, kinh
tế và một số lĩnh vực khác. Phép biến đổi Z đóng vai trị quan trọng đối
với việc giải phương trình sai phân giống như tầm quan trọng của phép
biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân.
Với những lý do trên, tôi chọn đề tài “Phép biến đổi Z và ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Z và một số ứng dụng của nó trong việc
giải quyết một số bài tốn.
Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo
bổ ích cho sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổi Z, phép


2

biến đổi Z ngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Z và một số phép biến
đổi tích phân khác, đồng thời nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giải

phương trình sai phân hữu hạn, tính tổng chuỗi.
4. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách
vở có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng và trình bày các kết
quả về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn ngọn, theo hệ thống khoa học
với các chứng minh chi tiết.
Trình bày các các khái niệm về hàm biến phức: hàm liên tục và hàm
chỉnh hình, tích phân phức, chuỗi lũy thừa, lý thuyết thặng dư: không
điểm và cực điểm, thặng dư và cách tính.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng. Có thể sử dụng luận
văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Tốn và những người
khơng chun tốn cần các kết quả của toán để ứng dụng cho các bài toán
thực tiễn của mình.


3

6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình
bày trong ba chương:
Chương 1 trình bày các các khái niệm về chuỗi hình học, hàm biến phức,
tích phân trong mặt phẳng phức, chuỗi lũy thừa, tích chập, lý thuyết thặng
dư.
Chương 2 trình bày về định nghĩa và tính chất của phép biến đổi Z , phép
biến đổi Z một phía, phép biến đổi Z ngược, mối liên hệ với phép biến đổi
Laplace và phép biến đổi Fourier.
Chương 3 trình bày về ứng dụng của phép biến đổi Z .

4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. CHUỖI HÌNH HỌC
Định nghĩa 1.1.1 ([5]). Chuỗi phức ak được gọi là chuỗi hình học
nếu tồn tại hằng số a, s ∈ C sao cho
ak+1
= s, ∀k ∈ N
ak
Khi đó

(1.1)

ak = ask
Một chuỗi hình học có dạng
∞

ask = a + as + as2 + ...
k=0

Chú ý rằng một chuỗi hình học 
hữu hạn là
n+1

∞
 a(1 − s ) , s = 1
1−s

ask =


k=0
a(n + 1)
Nếu |s| < 1 thì
∞

ask =
k=0

a
1−s

1.2. HÀM BIẾN PHỨC

1.2.1. Hàm liên tục
Định nghĩa 1.2.1 ([1]). Cho hàm f (z) xác định trên tập mở D ⊂ C.
Hàm f (z) được gọi là liên tục (hay C - liên tục) tại điểm z0 ∈ D nếu

f (z0 ) = ∞ và lim f (z) = f (z0 ), z ∈ D.
z→z0

(1.2)

Nếu hàm f (z) liên tục tại mọi điểm z ∈ D thì hàm f (z) được gọi là liên
tục trên tập hợp D.


5

Định nghĩa (1.2.1) cịn có thể được phát biểu dưới dạng tương đương sau
đây.
Hàm f (z) được gọi là liên tục tại điểm z0 ∈ D nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε, z0 ) > 0:

∀z ∈ {|z − z0 | < δ(ε, z0 )}
thì

|f (z) − f (z0 )| < ε.
Định nghĩa 1.2.2 ([1]). Hàm f (z) được gọi là liên tục đều trên tập
hợp D nếu

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀z, z ∈ D : d(z, z ) < δ(ε),
⇒ |f (z) − f (z )| < ε
Nhận xét 1.2.3. Từ tính liên tục đều của f (z) suy ra rằng f liên
tục. Điều khẳng định ngược lại, nói chung là khơng đúng. Điều đó chứng
tỏ bởi ví dụ sau đây.

1
và D = {z ∈ C : 0 < |z| < 1}.
z
Hàm f (z) liên tục trong D nhưng khơng liên tục đều trong đó.
Ví dụ 1.2.4. Giả sử f (z) =

Thật vậy, giả sử ngược lại: hàm f (z) liên tục đều trong D.
Khi đó với ε = 1, phải tồn tại số δ = δ1 > 0 sao cho mọi cặp điểm z và

z ta có
1
1

−
< ε, 0 < |z − z | < δ1 .
z
z
Từ dãy số n = 2, 3, ... ta sẽ chọn số n0 sao cho
1
1
−
< δ1 .
n 2n0
1
1
Khi đó, đặt z = , z =
ta thu được
n0
2n0
1
1
1
1
−
=
−
= n0 > 1.
z
z
1/n0 1/2n0
Đó là điều mâu thuẫn.
Điều đó, chứng tỏ rằng f (z) không liên tục đều trên D.

6

1.2.2. Hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.2.5 ([1]). Hàm f được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm

z0 nếu nó là C - khả vi tại một lân cận nào đó của điểm z0 . Hàm f được
gọi là chỉnh hình trong miền D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của miền
ấy. Tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền D được ký hiệu là H(D).
Định lý 1.2.1. Giả sử miền D ⊂ C và H(D) tập hợp mọi hàm chỉnh
hình trong miền D.
Khi đó
(i) H(D) là một vành;

1
∈ H(D);
f
(iii) Nếu f ∈ H(D) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là hằng số.

(ii) Nếu f ∈ H(D) và f (z) = 0, ∀z ∈ D thì

Định lý 1.2.2. (Về hàm hợp). Nếu f (ω) là hàm chỉnh hình trong

D∗ và nếu g : D → D∗ là hàm chỉnh hình trong D thì hàm hợp f [g(z)]
chỉnh hình trong D.
1.3. TÍCH PHÂN TRONG MIỀN PHỨC
Giả sử cho tuyến trơn γ = γ(t) : I → C, I = [a, b] ⊂ R và giả sử cho
ánh xạ liên tục

f : γ(I) → C.

Khi đó hàm f [γ(t)] là một hàm liên tục trên I .
Ta có định nghĩa sau đây:
Định nghĩa 1.3.1 ([1]). Tích phân
b

J(f ) =

f [γ(t)]γ (t)dt

(1.3)

a

được gọi là tích phân của hàm f theo tuyến γ và được ký hiệu là

f (z)dz
γ

Định nghĩa này phù hợp với định nghĩa tích phân đường thơng thường
(theo nghĩa Cauchy - Riemann) của hàm liên tục theo khoảng compac.


7

Cũng có thể tính tích phân đường theo tuyến trơn từng khúc. Trong trường
hợp này sẽ chọn phép phân hoạch

a = t0 < t1 < ... < tn = b
sao cho hạn chế γi của tuyến γ trên đoạn [ti , ti+1 ] là tuyến trơn với i bất
kỳ, 0 ≤ i ≤ n − 1. Và theo định nghĩa

f (z)dz = lim f (z)dz.
i

(1.4)

γ

Có thể chứng minh rằng giá trị của vế phải (1.4) không phụ thuộc vào việc
chọn phép phân hoạch và trong trường hợp khi γ là tuyến trơn thì định

f (z)dz trùng với định nghĩa (1.3.1).

nghĩa này của tích phân
γ

Do đó, định nghĩa tích phân (1.4) là đúng đắn.
Ví dụ 1.3.2. Giả sử γ là đường tròn

γ = {z ∈ C : |z − a| = r}

(1.5)

do đó γ(t) = a + eir , t ∈ [0, 2π]) và f (z) = (z − a)n , n ∈ Z.
Theo định nghĩa (1.3.1) ta có:

(z − a)n dz = rn+1 i

J(f ) =
γ

ei(n+1)t dt.

02π

Khi n = −1 thì J(f ) = 0.
Khi n = −1 thì

dz
=i
z−a
γ

dt = 2πi.

02π

Như vậy:

 0 khi n = −1
J(f ) =
2πi khi n = −1

(1.6)

Nhận xét 1.3.3. Bằng cách đặt f = u + iv và dz = dx + idy ta thu
được:

udx − vdy + i

f (z)dz =
γ

γ

vdx + udy.

(1.7)

γ

Từ định nghĩa và công thức (1.7) dễ dàng suy ra các tính chất sau


8

đây của tích phân trong miền phức.
(i). Tính chất tuyến tính.
Nếu fk (z), k = 1, 2, ..., n là những hàm liên tục được cho trên γ và ak (k =

1, 2, ..., n) là những hằng số cho trước thì:
n

n

ak

ak fk (z) dz =
γ

k=1

k=1

fk (z)dz.
γ

(ii). Tính chất cộng tính.
Giả sử cho hai tuyến trơn

γ1 (t) : [a, c] → C, γ2 (t) : [c, b] → C
sao cho

γ1 (c) = γ2 (c).
Xét tuyến trơn từng khúc là hợpcủa hai tuyến γ1 , γ2
γ (t), t ∈ [a, c]
1
γ(t) =
 γ2 (t), t ∈ [c, b]
Từ định nghĩa suy ra rằng

f (z)dz =
γ1 ∪γ2

f (z)dz +
γ1

f (z)dz.
γ2

(iii). Tính bất biến đổi với phép biến đổi tham số.
Định lý 1.3.1. Tích phân (1.3) là một bất biến đối với phép thay
tham số. Nói cách khác nếu γ γ ∗ thì

f (z)dz =

f (z)dz.
γ∗

γ

1.4. CHUỖI LŨY THỪA
Chuỗi hàm dạng

ak (t − z0 )k ,

(1.8)

k≥0

trong đó z0 , ak , k = 0, 1, 2, ... là những số phức cho trước, được gọi là chuỗi
lũy thừa. Số z0 được gọi là tâm của chuỗi, ak , k = 0, 1, 2, ... được gọi là
những hệ số của chuỗi lũy thừa.


9

Nếu đặt z = t − z0 thì có thể viết chuỗi (1.8) dưới dạng

an z n .

(1.9)

n≥0

Định lý 1.4.1. Nếu chuỗi lũy thừa (1.8) hội tụ tại điểm z0 = 0 thì
nó hội tụ tuyệt đối trong hình trịn {|z| < |z0 |}.
Định lý 1.4.2. Nếu chuỗi (1.8)phân kỳ tại điểm z = z1 thì nó cũng
phân kỳ tại mọi điểm z mà |z| > |z1 |.
Định lý 1.4.3. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.8) là hình tròn

S = {z ∈ C : |z| < R}
với bán kính R xác định, phụ thuộc vào các hệ số của chuỗi. Số R gọi là
bán kính hội tụ của chuỗi.
Định lý 1.4.4. (Cauchy - Hadamard) Bán kính hội tụ R của
chuỗi lũy thừa (1.8) được tính theo cơng thức
1
1
R= =
1 ,
ρ
lim sup|an | n

(1.10)

n→∞

trong đó ta đặt R = 0 nếu ρ = +∞ và R = +∞ nếu ρ = 0.
1.5. LÝ THUYẾT THẶNG DƯ

1.5.1. Định nghĩa thặng dư
[[1]]
Định nghĩa 1.5.1. Điểm bất thường cô lập z0 được gọi là
(i) điểm bất thường bỏ được nếu lim f (z) = ∞;
z→z0

(ii) cực điểm nếu lim f (z) = ∞;
z→z0

(iii) điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f (z) khơng có giới hạn khi z → z0 .
Định nghĩa 1.5.2. Giả sử hàm f (z) chỉnh hình tại điểm a hoặc có
bất thường cơ lập đặc tính đơn trị a. Giả sử γ là đường cong đóng Jordan
bao điểm z = a và được định hướng ngược chiều kim đồng hồ. Khi đó tích
1
f (z)dz được gọi là thặng dư của hàm f (z) đối với điểm a và
phân
2πi
γ


10

được ký hiệu là

res =
z=a

1
2πi

f (z)dz

(1.11)

γ

Định nghĩa 1.5.3. Giả sử f ∈ H {|z| > r} và z = ∞ là điểm bất
thường cô lập của hàm f (z). Đại lượng
1
res =
z=∞
2πi

f (z)dz

γ − (0,R)

được gọi là thặng dư của hàm f tại điểm ∞ trong đó γ − (0, R) là đường
tròn γ − (0, R) = {|z| = R} với bán kính đủ lớn được định hướng sao cho
lân cận điểm ∞ luôn luôn nằm bên trái.
Định lý 1.5.1. [1] Nếu f (z) có một cực điểm tại z0 ∈ D, thì trong
một lân cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) khơng triệt tiêu và
số nguyên dương k lớn nhất sao cho

f (z) =

h(z)
.
(z − z0 )k

Số nguyên dương k trong Định lý (1.5.1) được gọi là bậc (hoặc bội)
của cực điểm và nó mơ tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z0 . Nếu
cực điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn.
Định lý 1.5.2. [1] Nếu f có cực điểm bậc k tại z0 thì
a−k
a−k+1
a−1
f (z) =
+
+
...
+
+ G(z),
(z − z0 )k (z − z0 )k−1
(z − z0 )
ở đó G(z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z0 .

1.5.2. Phương pháp tính thặng dư
(i) Thặng dư tại vô cùng
Định lý 1.5.3. Giả sử với 0 < |z − a| < ρ hàm f (z) có thể biểu diễn
dưới dạng

an (z − a)n ,

f (z) =

(1.12)

−∞

Khi đó

res = a−1 .
z=a

(1.13)


11

Nếu khi R < |z| < ∞

an z n

f (z) =

(1.14)

−∞
thì

res = −a−1 .

z=∞

Định lý 1.5.4. Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm ∞ thì

res = − lim z[f (z) − a0 ].

z=∞

z→∞

(1.15)

Hệ quả 1.5.5. Nếu ∞ là không - điểm cấp m ≥ 1 của f (z) thì

a0 = a−1 = ... = a−m+1 = 0 và do đó res = −a−1 = 0.
z=∞

Nếu m = 1, tức là lim f (z) = a0 = 0 thì
z→∞

res = − lim z.f (z).

z=∞

z→∞

(ii) Thặng dư tại cực điểm
Định lý 1.5.6. Nếu a là cực điểm đơn của hàm f (z) thì thặng dư
của f tại a được tính theo cơng thức

res f = lim(z − a)f (z).
z=a

z→a

(1.16)

ϕ(z)
, trong đó ϕ, ψ là những hàm chỉnh
ψ(z)
hình tại điểm a thỏa mãn điều kiện ϕ(a) = 0, ψ(a) = 0, ψ (a) = 0 thì
ϕ(a)
res f =
(1.17)
z=a
ψ (a).
Định lý 1.5.8. Nếu a là cực điểm cấp m của hàm f (z) thì
1
dm−1
res f =
lim m−1 {(z − a)m f (z)} .
(1.18)
z=a
(m − 1)! z→a dz
Hệ quả 1.5.7. Nếu f (z) =

1.5.3. Định lý cơ bản của lý thuyết thặng dư
Định lý 1.5.9. (Cauchy) Giả sử D là tập hợp mở của mặt phẳng
phức và f là hàm chỉnh hình trong D {ai }, trong đó ai là tập hợp những
điểm bất thường cô lập của hàm f (z). Giả sử Γ là biên có hướng của miền

B ⊂ D và giả thiết rằng Γ không đi qua một điểm bất thường nào của f .
Khi đó:
(i) Số điểm bất thường của f ở trong B là hữu hạn.

12

(ii) Hàm f thỏa mãn hệ thức

f (z)dz = 2πi

res f,

ai ∈B

Γ

z=ai

(1.19)

trong đó tổng ở vế phải của (1.19) được lấy theo mọi điểm bất thường của
hàm f (z) nằm trong B .
1.6. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

1.6.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1
Định nghĩa 1.6.1 ([2]). Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có
dạng

axn+1 + bxn = fn , a = 0, b = 0,

(1.20)

xn+1 − qxn = fn , q = 0,

(1.21)

hoặc

trong đó fn là một hàm theo n gọi là vế phải của phương trình, xn là ẩn.
i) Nếu a, b, q là các hằng số, thì ta nói là phương trình sai phân tuyến tính
cấp 1 với hệ số hằng.
ii) Nếu a, b, q phụ thuộc vào n thì ta nói phương trình sai phân tuyến tính
cấp 1 với hệ số biến thiên.
iii) Nếu fn ≡ 0, ta gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất,
nếu fn = 0 ta nói phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần nhất.
Định nghĩa 1.6.2 ([2]). Nghiệm của phương trình (1.20)
i) Hàm số xn = x(n), biến n thỏa mãn (1.20) được gọi là nghiệm của
phương trình (1.20).
ii) Hàm số x¯n = x(n, C) biến n, phụ thuộc tham số C thỏa mãn (1.20)
với mọi C , được gọi là nghiệm tổng quát của (1.20), nếu với mọi giá trị
ban đầu x0 = α, ta đều xác định được duy nhất tham số C0 thỏa mãn

x¯0 = x(n, C0 ) = α.
iii) Nếu hàm x¯n = x(n, C) là nghiệm tổng quát của (1.20) thì x∗n =

x(n, C0 ) gọi là nghiệm riêng của (1.20).


13

1.6.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
Định nghĩa 1.6.3 ([2]). Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 có
dạng:

xn+2 − pxn+1 − qxn = fn ,

(1.22)

trong đó xn là hàm theo đối số nguyên n gọi là ẩn, fn là hàm số của n gọi
là vế phải.
i) Nếu p, q là các hằng số thì phương trình (1.22) gọi là phương trình
sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng.
ii) Nếu p, q là các hàm số của n thì phương trình (1.22)gọi là phương trình
sai phân tuyến tính cấp 2 hệ biến thiên.
iii) Nếu fn ≡ 0 thì gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp
2.
iv) Nếu fn = 0 thì gọi là phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần
nhất cấp 2.
Định nghĩa 1.6.4 ([2]). Nghiệm của phương trình (1.22):
i) Hàm xn = x(n) biến n thỏa mãn phương trình (1.22) gọi là nghiệm của
phương trình (1.22).
ii) Hàm x
¯n = x(n, C1 , C2 ) phụ thuộc vào 2 tham số C1 , C2 thỏa mãn
phương trình (1.22)với mọi C1 , C2 được gọi là nghiệm tổng quát của
phương trình (1.22) nếu với mỗi điều kiện ban đầu x0 = α, x1 = β
ta đều xác định được duy nhất cặp (C10 , C20 ) thỏa mãn.
iii) Nếu x
¯n = x(n, C1 , C2 ) là nghiệm tổng quát của phương trình(1.22) thì

x∗n = x(n, C10 , C20 ) gọi là nghiệm riêng của phương trình (1.22).
Phương trình (1.22)có phương trình thuần nhất tương ứng là

xn+2 − pxn+1 − qxn = 0

(1.23)

Định lý 1.6.1. Nếu x
¯n là nghiệm tổng quát của (1.23) và x∗n là
nghiệm riêng của phương trình(1.22) thì xn = x
¯n + x∗n là nghiệm tổng quát


14

của phương trình (1.22).


15

CHƯƠNG 2

PHÉP BIẾN ĐỔI Z

2.1. ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 2.1.1 ([5]). Với một chuỗi phức vô hạn x(n), phép biến
đổi Z của nó được xác định bởi cơng thức
∞

x(n)z −n

X(z) = Z[x(n)] =

(2.1)

n=−∞

trong đó z là biến phức. Phép biến đổi Z này được gọi là biến đổi Z hai
phía hoặc biến đổi Z song phương.
Phép biến đổi Z chỉ tồn tại đối với các giá trị của z mà chuỗi trong (2.1)
hội tụ. Các giá trị này của z xác định vùng hội tụ (ROC) của X(z). Do
đó (ROC) là miền của phép biến đổi Z .
Vì vậy, bất cứ khi nào X(z) được tìm thấy, (ROC) của nó cũng cần được
xác định

ROC = {z ∈ C|X(z) = ∞}
Ví dụ 2.1.2. Xác định phép biến đổi Z của dãy

x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}
Theo định nghĩa ta có

X(z) = x2 + 2x + 5 + 7z −1 + z −3 ,
X(z) hội tụ cho toàn bộ mặt phẳng z ngoại trừ z = 0, z = ∞, vì vậy
ROC : 0 < |z| < ∞.
Ví dụ 2.1.3. Xác định phép biến đổi Z của chuỗi sau
1 n
khi n ≥ 0
x(n) =
2


16

Ta có

∞

∞

X(z) =

x(n)z
n=−∞
∞

=
n=0

−n

1
2

=
n=0

1
2z

n

=

n

z −n

1
z
=
1 − (2z)−1 ) z −

1
2

1
< 1 hoặc
2z
1
1
1
|z| > . Do đó, ROC : |z| > , mặt ngồi của vịng trịn có bán kính ,
2
2
2
tâm ở gốc của mặt phẳng phức.
Chuỗi trên là một chuỗi hình học vơ hạn chỉ hội tụ nếu

Ví dụ 2.1.4. Xác định phép biến đổi Z của dãy

x(n) = αn u(n), khi α ∈ C
Ta có


αn , n ≥ 0

n
x(n) = α =
 0, n < 0

Chú ý rằng chuỗi này giống với chuỗi trong Ví dụ (2.1.3) với α =
vậy

∞

∞

X(z) =

x(n)z

−n

αn z −n =

=

n=−∞

n=0

1
. Vì
2

z

z−α

z
(2.2)
z−α
ROC : |z| > |α| mặt ngồi của đường trịn có tâm ở gốc của mặt phẳng
Z[αn u(n)] =

phức có bán kính |α|
Ví dụ 2.1.5. Xác định phép biến đổi Z của dãy

x(n) = −bn u(−n − 1)
Ta có


 0, n ≥ 0
n
x(n) = −b u(−n − 1) =
−bn , n < 0

Chú ý rằng chuỗi này giống với chuỗi trong Ví dụ (2.1.3) khi n < 0.
−1

∞
n −n

−b z

X(z) =
n=−∞

=−

(b−1 z)m =
m=1

z
z−b