BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG VÀO

Ch
Ch
ương 2
ương 2
: BI
: BI
ẾN ĐỔI
ẾN ĐỔI
Z V
Z V
À ỨNG DỤNG VÀO
À ỨNG DỤNG VÀO


H
H
Ệ THỐNG LTI RỜI RẠC
Ệ THỐNG LTI RỜI RẠC
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC
2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA

•
Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)
•
Ký hiệu:
x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}
X(z) x(n) hay x(n) = Z
-1
{X(z)}
2.1 BI
2.1 BI
Ế
Ế
N
N
ĐỔI
ĐỔI
Z
Z
2.1.1
2.1.1
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
Z:
Z:
∑
∞
=
−
=
0n

n
znxzX )()(
→←
Z
 →←
−
1
Z
≡
Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
•
Biến đổi Z của dãy x(n):
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
(*)
(**)
Trong đó Z – biến số phức
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(




•
Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)

là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao
cho X(z) hội tụ.
5.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
5.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)

+++=
∑
∞
=
)2()1()0()(
0
xxxnx
n
1)(lim
1
<
∞→
n
n
nx
0
0
Im(Z)
Re(z)
R
x+
R
x-
R
O

C
•
Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng
tiêu chuẩn Cauchy
•
Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng:
hội tụ nếu:




Ví dụ 5.1.1
Ví dụ 5.1.1
:
: Tìm biến đổi Z & ROC của:




Giải:
Giải:
( )
n
n
az
∑
∞
=
−

=
0
1
1
1
1
)(
−
−
=
az
zX
azaz
n
n
n
>⇔<






−
∞→
1lim
1
1
∑
∞

−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(
[ ]
∑
∞
−∞=
−
=
n
nn
znua )(
∑
∞
=
−
=
0
.
n
nn
za
)()( nuanx
n
=
0
ROC

ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:
Vậy:
a
az
zX
>
−
=
−
Z:ROC;
1
1
)(
1




)1()( −−−= nuanx
n
( )
m
m
za

∑
∞
=
−
−=
1
1
az <⇔
1lim
1
1
<






−
∞→
n
n
n
za
∑
∞
−∞=
−
=
n

n
znxzX )()(
[ ]
∑
∞
−∞=
−
−−−=
n
nn
znua )1(
∑
−
−∞=
−
−=
1
.
n
nn
za
( )
1
0
1
+−=
∑
∞
=
−

m
m
za
( )
1)(
0
1
+−=
∑
∞
=
−
n
m
zazX
1
1
1

−
−
=
az
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
Ví dụ 5.1.1

Ví dụ 5.1.1
:
: Tìm biến đổi Z & ROC của:




Giải:
Giải:
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:




5.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
5.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
a) Tuyến tính
RROC : )()(
222
=→←
zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→←
zXnx
Z
)()()()(

22112211
zXazXanxanxa
Z
+→←+
)1()()(
−−−=
nubnuanx
nn
ba <
Gi
Gi
ải:
ải:
•
Nếu:
•
Thì:
Ví dụ 5.2.1
Ví dụ 5.2.1
:
: Tìm biến đổi Z & ROC của:
với
ROC chứa R
1
∩ R
2

Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
1
1
1
)(
−
−
→←
az
nua
Z
n
1
1
1
)1(
−
−
→←−−−
bz
nub
Z
n
bzR <:
2
→←−−−
Z
nn
nubnua )1()(
11

1
1
1
1
−−
−
+
− bzaz
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
azR >:
1
bzaRRR <<∩= :
21
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/

/a/
Theo v
Theo v
í dụ 5.1.1 và 5.1.2, ta có:
í dụ 5.1.1 và 5.1.2, ta có:




b) Dịch theo thời gian
a
az
nua
Z
n
>
−
→←
−
z:ROC;
1
1
)(
1
)1()(
−=
nuanx
n
)1()(
−=

nuanx
n
)1(.
1
−=
−
nuaa
n
az
az
az
Z
>
−
→←
−
−
:
1
1
1
RROC : )()( =→← zXnx
Z
R'ROC : )()(
0
0
=→←−
−
zXZnnx
n

Z

R
R
R'



=
trừ giá trị z=0, khi n
0
>0
trừ giá trị z=∞, khi n
0
<0
Ví dụ 5.2.2
Ví dụ 5.2.2
:
: Tìm biến đổi Z & ROC của:




Nếu:
Thì:
Với:
Giải:
Giải:
Theo ví dụ 5.1.1:
Vậy:

c) Nhân với hàm mũ a
n
)()(
1
nuanx
n
=
aR'
az
azXnuanxa
Z
nn
>
−
=→←=
−
−
z:;
1
1
1
1
)()()(
RROC : )()( =→← zXnx
Z
RROC : )()(

1
azaXnxa
Z
n
=→←
−
)()(
2
nunx =
1
)()()()(
−
∞
−∞=
∑
=→←=
znuzXnunx
n
Z
Giải:
Giải:




Nếu:
Thì:
Ví dụ 5.2.3
Ví dụ 5.2.3
:

:
X
X
ét
ét biến đổi Z & ROC của:
và
1:;
1
1
1
>
−
=
−
zR
z




d) Đạo hàm X(z) theo z
)()( nunang
n
=
a
az
zXnuanx
Z
n
>

−
=→←=
−
z:ROC;
1
1
)()()(
1
RROC : )()( =→← zXnx
Z
RROC : )(
=−→←
dz
dX(z)
znxn
Z
dz
zdX
zzGnnxng
Z
)(
)()()(
−=→←=
az
az
az
>
−
=
−

−
:
)1(
21
1
Giải:
Giải:


Theo ví dụ 5.1.1:
Nếu:
Thì:
Ví dụ 5.2.4
Ví dụ 5.2.4
:
:
T
T
ìm
ìm biến đổi Z & ROC của:




e) Đảo biến số
Nếu:
Thì:
( )
)(1)( nuany
n

−=
a
az
zXnuanx
Z
n
>
−
=→←=
−
z:ROC;
1
1
)()()(
1
RROC : )()(
=→←
zXnx
Z
RXnx
Z
1ROC : )(z)(
-1
=→←−
( )
)()()(1)( nxnuanuany
n
n
−=−=−=⇒
−

( )
a/1z:ROC;
az1
1
za1
1
)z(X)z(Y
1
1
1
<
−
=
−
==
−
−
−
•
Ví dụ 5.2.5
Ví dụ 5.2.5
:
:
T
T
ìm
ìm biến đổi Z & ROC của:

•
Giải:
Giải:

Theo ví dụ 5.1.1:
Áp dụng tính chất đảo biến số:




f) Liên hiệp phức
RROC : )()(
=→←
zXnx
Z
RXnx
Z
=→← ROC : (z*)*)(*
g) Tích 2 dãy
RRROC : d )(
2
1
)()(
21
1
1121
=







→←
∫
−
νν
ν
ν
π
c
Z
z
XXnxnx
h) Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì:
X(z) )0(
∞→
=
Z
Limx
RROC : )()(
222
=→← zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→← zXnx
Z

Nếu:
Thì:
Nếu:
Thì:




•
Ví dụ 5.2.5
Ví dụ 5.2.5
:
:
T
T
ìm
ìm x(0), biết X(z)=e
1/z
và x(n) nhân quả




•
Giải:
Giải:
X(z) lim)0(
∞→
=
Z

x
i) Tổng chập 2 dãy
RROC : )()(
222
=→← zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→← zXnx
Z
)()()(*)(
2121
zXzXnxnx
Z
→←
;ROC có chứa R
1
∩ R
2
1e lim
1/z
==
∞→Z
Thì:
Nếu:
Theo định lý giá trị đầu:

5.0:;
5.01
1
)()()5.0()(
1
>
−
=→←=
−
zROC
z
zXnunx
Z
n
2:;
21
1
)()1(2)(
1
<
−
=→←−−−=
−
zROC
z
zHnunh
Z
n
25,0:;
)21(

1
.
)5.01(
1
)()()(
11
<<
−−
==
−−
zROC
zz
zHzXzY
25,0:;
)21(
1
.
3
4
)5.01(
1
.
3
1
11
<<
−
+
−
−=

−−
zROC
zz
)1(2
3
4
)()5.0(
3
1
)(*)()( −−−−== nununhnxny
nn
Z
-1
•
Ví dụ 5.2.6
Ví dụ 5.2.6
:
:
T
T
ìm
ìm y(n) = x(n)*h(n), biết:
)()5.0()( nunx
n
=
)1(2)( −−−= nunh
n
•
Gi
Gi

ải
ải
:
:




TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n) X(z) R
a
1
x
1
(n)+a
2
x
2
(n) a
1
X
1
(z)+a
2
X
2
(z)
Chứa R
1

∩ R
2
x(n-n
0
) Z
-n0
X(z) R’
a
n
x(n) X(a
-1
z) R
nx(n) -z dX(z)/dz R
x(-n) X(z
-1
) 1/R
x*(n) X*(z*) R
x
1
(n)x
2
(n)
R
1
∩ R
2
x(n) nhân quả x(0)=lim X(z ->∞)
x
1
(n)*x

2
(n) X
1
(z)X
2
(z)
Chứa R
1
∩ R
2
dvv
v
z
XvX
j
C
1
21
)(
2
1
−






∫
π

BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n) X(z) ROC
δ(n)
1
∀z
u(n) /z/ >1
-u(-n-1) /z/ <1
a
n
u(n) /z/ > /a/
-a
n
u(-n-1) /z/ < /a/
na
n
u(n) /z/ > /a/
-na
n
u(-n-1) /z/ < /a/
cos(ω
o
n)u(n) (1-z
-1
cosω
o

)/(1-2z
-1
cosω
o
+z
-2
)
/z/ >1
sin(ω
o
n)u(n) (z
-1
sinω
o
)/(1-2z
-1
cosω
o
+z
-2
)
/z/ >1
1
1
1
−
−
z
1
1

1
−
−
az
21
1
)1(
−
−
−
az
az




2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
∫
−
=
C
n
dzz)z(X
j
)n(x
1
2
1

π
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều
(+) ngược chiều kim đồng hồ

Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
•
Các phương pháp biến đổi Z ngược:

Thặng dư

Khai triển thành chuỗi luỹ thừa

Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
(*)




5.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
5.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
b) Phương pháp:
•
Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo
tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư
tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)z
n-1
:
•

Thặng dư tại điểm cực Z
ci
bội r của F(z) được định nghĩa:
[ ]
[ ]
ci
ci
ZZ
r
ci
r
r
ZZ
zzzF
dz
d
r
zFs
=
−
−
=
−
−
= ))((
)!1(
1
)(Re
)1(
)1(

•
Thặng dư tại điểm cực đơn Z
ci
của F(z) được định nghĩa:
[ ] [ ]
ci
ci
ZZ
ci
ZZ
zzzFzFs
=
=
−= ))(()(Re
a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực: