Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán hình học phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
−−−⋆−−−

TRƯƠNG THỊ NGA

ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH
TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
−−−⋆−−−

TRƯƠNG THỊ NGA

ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH
TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Đà Nẵng - 2015

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5. Giả thuyết khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

6. Cấu trúc luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

ĐẠI CƯƠNG VỀ CÁC PHÉP BIẾN HÌNH

5

1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT PHÉP BIẾN HÌNH . .

7

1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2. Tính chất của tích các phép biến hình

9

CHƯƠNG 1.

1.4. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA HÌNH

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
CHƯƠNG 2.

CÁC PHÉP DỜI HÌNH PHẲNG

12

2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . 12
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


2.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3. Các tính chất cơ bản

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1.Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3. Phép đối xứng qua tâm trong hệ tọa độ ĐỀ - CÁC . . . . 22
2.2.4. Ứng dụng của phép đối xứng tâm

. . . . . . . . . . . . . 23

2.3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2. Phép đối xứng qua đường thẳng trong hệ tọa độ ĐỀ - CÁC 34
2.3.3. Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng . . . . . . 34
2.4. PHÉP TỊNH TIẾN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến trong hệ trục tọa độ
ĐỀ - CÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.3. Ứng dụng của phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5. PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM . . . . . . . . . . . . 51
2.5.1. Cung và góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.2. Phép quay quanh một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5.3. Tính chất của phép quay quanh một điểm . . . . . . . . . 53
2.5.4. Biểu thức tọa độ của phép quay trong hệ trục tọa độ ĐỀ
- CÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.5. Ứng dụng của phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
CHƯƠNG 3.

MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH ĐẶC BIỆT

61

3.1. PHÉP VỊ TỰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1. Định nghĩa phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


3.1.2. Tính chất của phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự trong hệ trục tọa độ ĐỀ
- CÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.4. Tâm vị tự của hai đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.4.Ứng dụng của phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2. PHÉP ĐỒNG DẠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.3. Ứng dụng của phép biến đổi đồng dạng . . . . . . . . . . 73
3.3. PHÉP NGHỊCH ĐẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.3. Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ ĐỀ - CÁC . . . . . . . . 81
3.3.4. Ứng dụng của phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4. PHÉP CO - DÃN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.3. Ứng dụng của phép co - dãn . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5.3. Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . . . . 97
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kì cơng trình nào khác.
Tác giả
Trương Thị Nga


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các phép biến hình sơ cấp chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong
hình học ở Trung học phổ thơng. Quan điểm “Nhóm các phép biến hình”
của Cayley và Félix Klein đã mở đường cho sự ra đời của nhiều phân
mơn hình học khác nhau nằm trong cùng một hệ thống lý thuyết (gọi là
lược đồ xạ ảnh Cayley – Klein). Sau “Phương pháp tiên đề” do Euclid
khởi xướng thì quan điểm “Nhóm biến hình” của Cayley – Klein được
xem là sợi chỉ đỏ xuyên suốt quá trình hình thành các lý thuyết hình
học; trong số đó, có hình học Euclid sơ cấp được giảng dạy ở Trung học
phổ thông.
Các em học sinh bậc Trung học phổ thơng thường gặp khó khăn khi
tiếp cận các phép biến hình (được trình bày theo kiểu “tân toán học”),
đặc biệt là ở khâu ứng dụng (sử dụng các phép biến hình để giải tốn).
Quả thật, khi mới làm quen khái niệm phép biến hình, người ta thường
chưa hiểu tường tận tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận của lý

thuyết...
Trong các kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc
tế và khu vực, hay những kì thi giải tốn trên nhiều tạp chí tốn học
thì các bài tốn hình học liên quan đến các phép biến hình xuất hiện
khá nhiều và được xem như những dạng tốn loại khó (hoặc hơi khó) ở
bậc Trung học phổ thơng. Hiện nay đã có một số tài liệu tiếng Việt đề
cập đến những khía cạnh khác nhau của các phép biến hình. Tuy nhiên,


2

các tài liệu được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải
thì chưa có nhiều và tơi mong muốn cung cấp cho các em học sinh, đặc
biệt là các em học sinh giỏi hoặc u thích tốn, thêm một tài liệu tham
khảo về phép biến hình. Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu,
nghiên cứu, tơi chọn “Ứng dụng các phép biến hình trong giải tốn hình
học phẳng” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số kiến thức cơ bản, bổ
sung (so với các nội dung có trong sách giáo khoa THPT) và nâng cao về
các phép biến hình phẳng. Chúng tơi cũng cố gắng phân loại các dạng
toán ứng dụng, tổng hợp một số phương pháp cụ thể, đưa vào nhiều ví
dụ để minh họa cho từng phương pháp được trình bày; và khi có thể
được, chúng tơi sẽ tìm cách nhận xét hoặc phân tích lí do dẫn đến việc
sử dụng một phép biến hình cụ thể.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Các phép biến hình trên mặt phẳng. Ngồi lý thuyết tổng quan cịn
có các nhận xét, phân loại, giúp cải thiện khả năng giải toán của học
sinh THPT.

3

3.2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài chủ yếu đề cập đến các phép biến hình phẳng và ứng dụng giải
tốn THPT.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo các tài liệu tiếng Việt đã xuất bản trong nước cùng các
tài liệu nước ngồi có thể tìm được trên mạng internet.
Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để trình bày nội
dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp.
5. Giả thuyết khoa học
Xây dựng một giáo trình có tính hệ thống, khép kín và có thể giảng
dạy với thời lượng chấp nhận được cho học sinh chuyên tốn bậc trung
học phổ thơng và cho sinh viên tốn tại các trường đại học.
Xây dựng được một hệ thống các bài tốn (cũ và mới) với các mức độ
khó dễ khác nhau.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính luận
văn được chia làm ba chương, cụ thể như sau:
Chương 1: Tổng hợp và nêu một cách chính xác định nghĩa Phép biến
hình, và các kí hiệu. Cụ thể trong chương này sẽ trình bày về khái niệm
phép biến hình, các kí hiệu và ví dụ. Định nghĩa về điểm bất động của


4

một phép biến hình, cho ví dụ để hiểu rõ hơn. Sau đó là khái niệm về
tích các phép biến hình,ảnh của một hình, kèm theo ví dụ cụ thể.

Chương 2: Trong chương này sẽ giới thiệu một phép biến đổi đặc trưng
của phép biến hình được dạy ở chương trình Hình học lớp 11, đó là phép
dời hình. Trong chương sẽ trình bày về khái niệm, tính chất, hệ quả và
các ví dụ về phép dời hình. Chương cũng trình bày về một số phép dời
hình cơ bản: phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép tịnh tiến và phép
quay quanh một điểm. Ở từng phép dời hình sẽ là định nghĩa, kí hiệu,
tính chất, các ví dụ và một số bài toán liên quan.
Chương 3: Nhằm giúp các bạn học khá - giỏi có thể tiếp cận thêm một
số phép biến hình phẳng khác, có thể làm thay đổi khoảng cách giữa hai
điểm, kèm theo là các bài tập liên quan.
Đà Nẵng, năm 2015
Học viên
Trương Thị Nga


5

CHƯƠNG 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ CÁC PHÉP BIẾN HÌNH
Trong chương này tơi trình bày các kiến thức mở đầu về các phép biến
hình phẳng và một số ví dụ minh họa
1.1. ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 1.1.1. Trong một mặt phẳng, nếu có một quy tắc để với
mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, ta xác định được duy nhất một điểm M ′
cũng thuộc mặt phẳng ấy thì quy tắc đó được gọi là Phép biến hình. M ′
được gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó.
• Nếu gọi phép biến hình là F và M ′ là ảnh của M qua F thì ta viết
là

M ′ = F (M) hoặc F (M) = M ′
Khi đó ta cịn nói: Phép biến hình F biến điểm M thành điểm M ′ .
• Xét một hình H, ta gọi H ′ gồm các điểm:
M ′ = F (M) với M ∈ H
Ta nói H ′ là ảnh của H qua phép biến hình F .
Kí hiệu: H ′ = F (H)
Ví dụ 1.1.1. Cho đường thẳng d và điểm A là điểm cố định nằm ngoài
d. Với mỗi điểm M ∈ d, gọi M ′ là trung điểm của AM. Quy tắc đặt
tương ứng mỗi điểm M với điểm M ′ có phải là phép biến hình khơng?


6

Lời giải.
Lấy bất kì điểm M ∈ d. Nối AM, lúc đó ta chỉ xác định được duy

nhất một điểm M ′ là trung điểm của đoạn AM.

Vì vậy, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ′ duy nhất thỏa
mãn tính duy nhất của định nghĩa về phép biến hình. Do đó, quy tắc
này là một phép biến hình.
A

M′
d
M

Ví dụ 1.1.2. Cho đường thẳng d và một điểm M ∈ d. Quy tắc F đặt
tương ứng mỗi điểm M với điểm M ′ ∈
/ d sao cho: MM ′ ⊥ d và MM ′ = a

có phải là phép biến hình khơng?
Lời giải.
Ứng với mỗi điểm M ∈ d ta xác định được hai điểm là M ′ và M ′′

thỏa mãn điều kiện MM ′ ⊥ d, MM ′′ ⊥ d và MM ′ = MM ′′ = a. Theo

hình vẽ:

M′

M
d

M ′′


7

Vậy quy tắc F khơng thỏa mãn tính chất duy nhất của phép biến
hình, nên do đó F khơng phải là một phép biến hình.
1.2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT PHÉP BIẾN HÌNH
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. Cho điểm M nằm trong một mặt phẳng. Một
phép biến hình F biến M thành chính nó thì M được gọi là điểm bất
động của phép biến hình F .
Kí hiệu: M = F (M)
1.2.2. Ví dụ
a. Với mỗi điểm M, ta xác định được điểm M ′ ≡ M thì ta cũng có một
phép biến hình.

Phép biến hình đó gọi là phép đồng nhất và M được gọi là điểm bất
động. (vì biến M thành chính nó).
b. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình F biến điểm M(x, y)
thành điểm M ′ (x′, y ′ ) được xác định bởi:


x′ = 3x − 2

y ′ = 4y − 3

Tìm điểm bất động của phép biến hình trên?
Lời giải.
Giả sử M là điểm bất động của phép biến hình trên. Vậy qua
phép biến hình M biến thành M ′ ≡ M. Tức điểm M biến thành


8

chính nó. 

 x′ = x
Vậy ta có:

y ′ = y

⇒



3x − 2 = x


4y − 3 = y

⇒Điểm bất động là M(1, 1).
⋆

⇒



x = 1

y = 1

Phép biến hình của mặt phẳng mà mọi điểm của mặt phẳng

đều là điểm bất động gọi là phép biến hình đồng nhất hay gọi tắt là
phép đồng nhất, kí hiệu là: Id hay e.
f = Id ⇔ M = f (M), ∀ M
1.3. TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH
1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1. Trong mặt phẳng cho hai phép biến hình f và g.
Với mỗi điểm M, qua phép biến hình f : M −→ M ′ và g : M ′ −→ M ′′ .

Phép biến trực tiếp điểm M −→ M ′′ cũng là một phép biến hình của

mặt phẳng, thì lúc đó ta gọi phép biến hình đó là tích của hai phép biến
hình đã cho.
Kí hiệu : g ◦ f : M −→ M ′′ hoặc g(f ) : M −→ M ′′ .

Gọi phép biến hình h biến điểm M thành M ′′ , là tích của hai phép biến
hình f và g.
Vậy ta có:
M ′′ = h(M) = g[f (M)], ∀ M ⇐⇒ M ′′ = g ◦ f (M)
Lưu ý: Phép biến hình h = g ◦ f là kết quả của việc thực hiện liên

tiếp hai phép biến hình: phép thứ nhất là f và phép thứ hai là g, còn


9

h′ = f ◦g cũng là một phép biến hình nhưng thực hiện theo thứ tự ngược

lại.

Tóm lại: g ◦ f = f ◦ g
1.3.2. Tính chất của tích các phép biến hình
i. Kết hợp, tức là: f3 ◦ (f2 ◦ f1)= (f3 ◦ f2 ) ◦ f1= f3 ◦ f2 ◦ f1
Chứng minh.

Cho các phép biến hình f1, f2, f3, với f1 : M −→ M1 , f2: M1 −→ M2
và f3: M2 −→ M3.
Ta có:

(f3 ◦ (f2 ◦ f1))(M) = f3 ◦ [(f2 ◦ f1 )(M)]
= f3 ◦ [f2 ◦ (f1(M))]
= f3 ◦ [f2(M1)]
= f3(M2)
= M3

(1)

Mặt khác:
((f3 ◦ f2 ) ◦ f1)(M) = (f3 ◦ f2) ◦ f1(M)
= (f3 ◦ f2)(M1)
= f3 ◦ f2 (M1)
= f3 (M2)
= M3
Từ (1) và (2) =⇒ điều phải chứng minh.

(2)


10

ii. Tích các phép biến hình thì khơng giao hốn.
Tức f2 ◦ f1 = f1 ◦ f2
iii. Tích hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất.
f −1 ◦f = f ◦ f −1 = Id.
Chứng minh.
Phép biến hình f được gọi là phép đồng nhất khi và chỉ khi mọi điểm
của mặt phẳng đều là điểm bất động
f = Id ⇐⇒ M = f (M), ∀ M
ở đây ta giả sử có một điểm M thuộc mặt phẳng, và:
f : M −→ M1 , f −1: M1 −→ M

Ta có: (f −1 ◦f )(M)= f −1 ◦ f (M)=f −1(M1)=M (đpcm).

1.4. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA HÌNH
1.4.1. Định nghĩa

• Hình là một tập hợp điểm mà các điểm đó được sắp xếp theo một
quy định nào đó.

• Định nghĩa ảnh của một hình qua một phép biến đổi hình học:

Trong mặt phẳng cho một phép biến đổi f và một hình H. Tập hợp
ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép biến đổi đó lập thành một

hình H ′ , được gọi là ảnh của hình H. Và được kí hiệu là:
f : H −→ H ′ (đọc là f biến H thành H ′ )

hoặc H ′ ≡ { M ′ | f : M −→ M ′ , ∀M ∈ H}


11

1.4.2. Ví dụ
i. Một điểm hoặc một tập hợp gồm n điểm được sắp xếp theo một quy
tắc nào đó là một hình.
ii. Một đa giác là một hình gồm nhiều đoạn thẳng được sắp xếp theo
một quy tắc xác định.
iii. Tia là một nửa đường thẳng có chiều xác định là một hình. Ngồi
ra: đường trịn, các đường cong và miền phẳng được bao bọc bởi các
đường cong kín là những hình. Hoặc một tập hợp rỗng cũng được
xem như một hình.


12

CHƯƠNG 2

CÁC PHÉP DỜI HÌNH PHẲNG
Trình bày cơ sở lý thuyết các phép dời hình phẳng (mọi tính chất đều
được chứng minh và trình bày có hệ thống). Tiếp theo phần lý thuyết là
các ứng dụng, thể hiện qua các bài tốn và ví dụ.
2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
2.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1. Phép dời hình là một phép biến hình khơng làm
thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tức là: Cho một phép biến hình f . Nếu với mọi cặp điểm A, B bất kì
thuộc mặt phẳng, thì khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng khoảng
cách giữa các điểm ảnh của nó qua phép biến hình f . Vậy phép biến
hình đó là một phép dời hình.
Khi đó, nếu f : A −→ A′ và B −→ B ′ thì AB = A′ B ′ , ∀A, B
2.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng cho phép biến hình f : M −→ M ′ =

f (M) = (y; x−2). Phép biến hình f có phải là một phép dời hình không?
Lời giải.
Lấy hai điểm M1 (x1; y1) và M2 (x2; y2 )
Gọi M1 ’ và M2 ’ lần lượt là ảnh của M1 và M2 qua phép biến hình f .
Khi đó ta có:


13

f : M1 −→ M1’=f (M1)=(y1; x1-2)

f : M2 −→ M2’=f (M2)=(y2; x2-2)

−−−→
Ta có: M1 M2 = (x2 − x1; y2 − y1)
−−−→
−−−→
=⇒ M1 M2 = |M1 M2 | = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
−−−→
Mặt khác: M1′ M2′ = (y2 − y1; x2 − x1)
−−−→
−−−→
=⇒ M1′ M2′ = |M1′ M2′ | = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

(i)

(ii)

Từ (i) và (ii)=⇒ M1 M2 =M1′ M2′
Vậy f là một phép dời hình.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f : M −→

M ′ = f (M) = (x; 2y). Đây có phải là phép dời hình khơng?
Lời giải.
Lấy bất kì hai điểm M(x1, y1 ) và N (x2, y2 ).

Khi đó: f : M −→ M ′ = f (M)=(x1; 2y1) và f : N −→ N ′ = f (N )=(x2;
2y2)

−−→
Ta có: MN = (x2 − x1 ; y2 − y1 )
−−→

=⇒ MN = MN = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (1)
−−−→
Và M ′ N ′ = (x2 − x1 ; 2y2 − 2y1)
−−−→
=⇒ M ′ N ′ = M ′ N ′ = (x2 − x1)2 + 4(y2 − y1 )2 (2)

Ta nhận thấy (1) = (2) nên f không phải là một phép dời hình.
2.1.3. Các tính chất cơ bản
i. Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng
và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.


14

Chứng minh.
Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C biết B nằm giữa A và C.
Gọi f là phép dời hình. Giả sử A′ , B ′, C ′ lần lượt là ảnh của
A, B, C qua phép biến hình f .
Khi đó ta có:
f : A −→ A′ và f : B −→ B ′ , vì f là phép dời hình nên ta có
A′ B ′ = AB.
f : A −→ A′ và f : C −→ C, f là phép dời hình nên ta cũng có:
A′ C ′ = AC.
Tương tự ta có: B ′ C ′ = BC.
Vì A, B, C thẳng hàng nên:
AC = AB + BC
=⇒ A′ C ′ = A′ B ′ + B ′ C ′
Vậy A′ , B ′, C ′ cũng thẳng hàng và B ′ nằm giữa A′ , C ′.
ii. Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động khơng thẳng hàng thì f
là một phép đồng nhất.

Chứng minh.
Gọi A, B, C là ba điểm bất động của phép dời hình f .
∗ Trước tiên ta cần chứng minh mọi điểm trên BC đều là điểm bất
động( chứng minh tương tự cho hai cạnh còn lại AB và AC).
Lấy bất kì một điểm M trên cạnh BC.
Qua phép dời hình f , ta có f : M −→ M ′ và f : B −→ B


15

=⇒ BM = BM ′
Tương tự ta cũng có: CM = CM ′
Mặt khác: BC = BM + MC = BM ′ + M ′ C
Vậy B, C, M ′ thẳng hàng và M ′ nằm giữa B và C.
Trong khi đó BM = BM ′ , vậy M ≡ M ′ . Tức là phép biến hình

f biến M thành chính nó

⇒ Mọi điểm nằm trên cạnh BC đều là điểm bất động.

Chứng minh tương tự ta cũng có mọi điểm nằm trên cạnh AB, AC
cũng đều là những điểm bất động.
∗ Bây giờ ta tiếp tục lấy một điểm bất kì E nằm trên BC, sau đó

nối điểm đó với đỉnh A. Lúc đó ta cũng chứng minh được rằng
mọi điểm nằm trên cạnh AE là những điểm bất động theo như
cách chứng minh ở trên.
=⇒ Mọi điểm của mặt phẳng (ABC) đều là điểm bất động.
Do đó f là phép đồng nhất.(đpcm)

HỆ QUẢ:
1. Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng
bằng nó.
2. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến
một góc thành một góc bằng nó, biến một đường trịn thành đường
trịn bằng nó, trong đó tâm biến thành tâm.


16

2.2. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
2.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.2.1. Cho điểm O. Một phép biến đổi biến O thành
−−→
−−→
chính nó, biến mọi điểm M = O thành điểm M ′ , sao cho: OM ′ = −OM
được gọi là phép đối xứng qua tâm O.

Điểm O gọi là tâm đối xứng. Kí hiệu: DO
Cho hình H. Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép biến đổi
DO lập thành một hình H ′ được gọi là ảnh của hình H trong phép đối
xứng qua tâm O. Nếu H ′ trùng H, thì ta nói H là hình có tâm đối xứng.
2.2.2. Tính chất
i. Phép biến đổi DO có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử O′ là điểm bất động thứ hai của phép biến đổi DO . Vì O′
là điểm bất động nên ta có: f : O′ −→ O′ .
−−→
−−→

=⇒ OO′ = −OO′
−−→ −
−−→ −
→
→
=⇒ 2OO′ = 0 =⇒ OO′ = 0
=⇒ O ≡ O′

Vậy phép biến đổi DO chỉ có duy nhất một điểm bất động.
ii. Nếu A′ và B ′ là ảnh của hai điểm A và B trong phép biến đổi DO ,
−−→
−→
thì A′ B ′ = −AB
Chứng minh.
Cho hai điểm A và B.


17

Gọi A′ , B ′ lần lượt là ảnh của A, B qua phép biến đổi DO .
−−→
−→
Ta có: DO : A −→ A′ =⇒ OA′ = −OA
−−→
−−→
DO : B −→ B ′ =⇒ OB ′ = −OB
Mà ta có:

−−
→ −−→ −−→

A′ B ′ = OB ′ − OA′
−−
→ −→
= −OB + OA
−−→ −→
= −(OB − OA)
−→
= −AB (dpcm)

iii. Phép biến đổi DO là phép biến đổi 1 - 1.
Chứng minh.
Gọi A′ là ảnh của A và B qua phép biến đổi DO .
Ta cần chứng tỏ A ≡ B.
−−→
−→
Vì DO : A −→ A′ =⇒ OA′ = −OA
(1)
−−→
−−→
DO : B −→ A′ =⇒ OA′ = −OB
(2)
−→ −−→
Từ (1) và (2) =⇒ OA = OB =⇒ A ≡ B

(dpcm)

Vậy DO là phép biến đổi 1 - 1.

iv. Phép biến đổi DO biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng.

Chứng minh.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C.
Qua phép biến đổi DO biến A, B, C thành A′ , B ′, C ′.
Ta cần chứng minh A′, B ′ , C ′ thẳng hàng.
−−→
−→
Theo tính chất 2: dO : A −→ A′ và B −→ B ′ thì A′ B ′ = −AB
−−→
−→
DO : A −→ A′ và C −→ C ′ thì A′ C ′ = −AC


18

−−→
−−→
Tương tự ta có: B ′ C ′ = −BC

−→
−→
Vì A, B, C thẳng hàng nên ∃k: AC = k AB
−−→
−−→
=⇒ −A′C ′ = −k A′ B ′
−−→
−−→
=⇒ A′C ′ = k A′ B ′
Vậy A′ , B ′, C ′ thẳng hàng.

HỆ QUẢ. Phép biến đổi DO biến:

1. Đường thẳng d thành đường thẳng d′ và d//d′ hoặc d ≡ d′ .
2. Tia Sx thành tia S ′ x′ ngược chiều nhau.
3. Biến đoạn EF thành đoạn E ′F ′ và EF = E ′ F ′ .
4. Góc xSy thành góc x′ S ′ y ′ và xSy = x′ S ′ y ′ .
5. Đường tròn (I, R) thành đường tròn (I ′, R).
Chứng minh.
1. Cho một đường thẳng d và một điểm O bất kì, O là tâm đối
xứng của phép biến đổi dO . Lấy trên d hai điểm phân biệt A và
B.
∗ Trường hợp 1: nếu điểm O ∈ d thì :

−−→
−→
Qua phép đối xứng DO : A −→ A′ và B −→ B ′ =⇒ A′ B ′ = −AB
−−→ −→
=⇒ A′B ′ = BA =⇒ AB//A′B ′
Tức d//d′ (đpcm).
∗ Trường hợp 2: Nếu O ∈ d thì,


19

−−→
−→
Qua phép đối xứng DO : A −→ A′ =⇒ OA′ = −OA
=⇒ O, A, A′ thẳng hàng.

(1)

−−→

−−→
Tương tự ta có: DO : B −→ B ′ =⇒ OB ′ = −OB
=⇒ O, A′ , B ′ cũng thẳng hàng.

(2)

Từ (1) và (2) ta có O, A′ , B ′, A, B thẳng hàng. Tức d ≡ d′ .

−→
2. Lấy điểm A trên tia Sx. Từ điểm A và S ta xác định được SA.
−−→
−→
Qua phép biến đổi DO : S −→ S ′ và A −→ A′ =⇒ S ′ A′ = −SA

Tiếp tục lấy 1 điểm B bất kì trên tia Sx(B và A cùng phía so
với S) và B khác A. Thì lúc đó ∃k sao cho:

−→
−→
SB = mSA(Vì S, A, B thẳng hàng)

−−→
−→
Qua phép biến đổi DO : S −→ S ′ và B −→ B ′ =⇒ S ′ B ′ = −SB
−−→
−→
=⇒ S ′ B ′ = −mSA
−−→
= mS ′ A′
=⇒ B ′ và A′ cùng phía với S ′

−−→
−→
Trong khi đó S ′ A′ = −SA

Vậy tia Sx ngược chiều với tia S ′ x′.

3. Cho 2 điểm E, F và một điểm O khác E và F .
Qua phép biến đổi DO : E −→ E ′ và F −→ F ′
−−→
−→
=⇒ E ′F ′ = −EF
Tức E ′F ′ = EF (đpcm).

4. Trên hai tia Sx và Sy lấy lần lượt hai điểm A và B. Và một tâm
đối xứng O khác A và B
Qua phép biến đổi DO : S −→ S ′ và A −→ A′

DO : S −→ S ′ và B −→ B ′

(∗∗)

(∗)