Luan van Toan 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (417.49 KB, 71 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN 1. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và đời sống thì tốn học ln là một
ngành giữ vai trị rất quan trọng nó địi hỏi sự suy luận và trí thơng minh cao,
chứa đựng rất nhiều những thử thách tác động đến bộ não của chúng ta. Nói đến
Tốn học là nói đến sự rõ ràng và logic, kiến thức tốn học bao gồm cả một q
trình tri thức rất phong phú: tư duy trừu tượng, phân tích tổng hợp, suy lý, quy
nạp, khái quát hoá, … Giải Tốn là một bộ phận khơng thể thiếu được của q
trình tri thức vì nó đảm bảo cho học sinh hiểu biết sâu sắc lý thuyết, ứng dụng lý
thuyết vào thực hành; thực tiễn cuộc sống; tạo điều kiện tốt để nghiên cứu, đi sâu
vào các môn học và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. Tốn học cịn là mơn
học hình thành nhân cách cho học sinh: rèn luyện khả năng tư duy trừu tượng, óc
phân tích tổng hợp, tính hệ thống, khái qt hố và góp phần hình thành các đức
tính cần cù, nhẫn nại, chính xác, biết suy nghĩ, khai thác các vấn đề trong cuộc
sống.

Trong thực tế dạy và học, bên cạnh một số ít học sinh khá giỏi thì hiện nay
thực trạng học sinh học yếu mơn Tốn đã và đang là vấn đề trăn trở của nhiều
giáo viên đứng lớp và là nỗi lo chung của toàn ngành, toàn xã hội. Là người giáo
viên đã và đang nghiên cứu Toán học trong chương trình Tốn bậc Trung học cơ
sở, chúng tơi nhận thấy một số bài tốn chưa hoặc khơng có giải thuật địi hỏi
người học phải có một cách suy nghĩ thật tốt mới tìm ra được lời giải. Chính vì
thế địi hỏi mỗi giáo viên phải có năng lực, kinh nghiệm và những phương pháp
giải đúng đắn để truyền thụ và hướng dẫn cho học sinh.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có rất nhiều ứng dụng đối với
các dạng tốn khác có liên quan như: Rút gọn phân thức, giải phương trình,
chứng minh đẳng thức, giải bất phương trình, …

Xuất phát từ những vấn đề đã nêu trên, việc nghiên cứu những phương pháp

chọn lọc về việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh tiếp thu bài dễ
hơn, củng cố các kiến thức đã học, rèn kỹ năng cho các em trong q trình giải
Tốn nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ngày càng được tốt hơn.

Vì những lý do trên nhóm chúng tơi quyết định chọn đề tài: “Một số
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong chương trình
Đại số 8” để nghiên cứu trong khóa luận này.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách
có hệ thống nhằm làm nổi bật các ưu, khuyết điểm của từng phương pháp. Tìm
hiểu, đi sâu vào một số ứng dụng của nó qua một số dạng tốn cụ thể.

Qua đó, giúp học sinh có hệ thống về việc phân tích đa thức thành nhân tử
và lựa chọn đúng đắn các phương pháp phân tích vào việc giải tốn sau này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về phân tích đa thức thành nhân tử.

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập vận dụng thích hợp
cho từng dạng phương pháp.

- Liên hệ được ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử
vào giải một số dạng toán.

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm và đúc kết kinh nghiệm.
4. Đối tượng nghiên cứu

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

5. Phạm vi nghiên cứu

Việc phân tích đa thức thành nhân tử trong trường Trung học cơ sở.
6. Giả thuyết khoa học

Nếu trong thực nghiệm chúng ta hướng dẫn tốt những phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử cho học sinh ở từng đối tượng thì sẽ giúp các em
hệ thống được những phương pháp giải các dạng toán tương tự, tự mình định
hình được cách giải và đưa ra được nhiều cách giải cho một bài tốn. Từ đó
nâng cao được năng lực tự học của học sinh, giúp các em biết vận dụng từng
phương pháp cụ thể vào những dạng tốn có liên quan, bởi vì các em nhớ
được những phương pháp giải và có một kiến thức khá ổn định. Bên cạnh đó,
các em hình thành được cho mình các kĩ năng giải tốn, từ đó sẽ dần dần
nâng cao được chất lượng học toán của học sinh.

7. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc SGK, SGV, SBT lớp 8 và các tài liệu
liên quan khác phục vụ cho đề tài.

- Phương pháp quan sát điều tra: Qua các tiết dự giờ giáo viên dạy, trao đổi
với đồng nghiệp dạy Tốn 8, tìm hiểu tình hình học tập của học sinh.

- Phương pháp trao đổi với giảng viên hướng dẫn và các thành viên trong
nhóm.

- Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Thơng qua các buổi báo cáo chuyên đề
các tiết dạy tự chọn trên lớp.

8. Bố cục

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

PHẦN 2. NỘI DUNG

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 ĐA THỨC

1.1.1 Đơn thức

Cho P là một trường (thông thường ta xột cỏc trng s Ô ,

Ă

Ê

).
Biu thức dạng: 1 2

1 . 2 ....

n

k k k

n

ax x x (1) được gọi là một đơn thức, với 0 ≠ a 

P được gọi là hệ số, x1, x2 … , xn được gọi là các ẩn số (hay biến số) lấy các giá trị
trên P, và k1, k2, … , kn  ¥ .

Nếu a  0, số k = k1 + k2 + … + knđượcgọi là bậc của đơn thức (1).

Hai đơn thức: 1 2

1 . 2 .... n

k k k

n

ax x x và 1 2

1 . 2 .... n

k k k

n

bx x x được gọi là hai đơn thức
đồng dạng (tức chúng chỉ khác nhau ở hệ số, còn các ẩn số như nhau với cùng số
mũ tương ứng).

1.1.2 Đa thức nhiều biến

Một tổng hữu hạn các đơn thức dạng: 1 2

1 . 2 .... n

k k k

n

ax x x , ki  ¥ được gọi

là một đa thức nhiều ẩn với các ẩn (hay các biến số) x1, x2, …, xn. Ta có thể kí
hiệu các đa thức nhiều ẩn bởi:

f(x1, x2,…..xn) = 1 2

1 2

...

i i in

k k k

i n

a x x

x

å

Mỗi đơn thức được gọi là một số hạng (hay hạng tử) của đa thức.

Nếu tất cả các hệ số ai của đa thức đều bằng 0 thì đa thức được gọi là đa

thức không.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bậc của đa thức nhiều ẩn (đã viết dưới dạng chính tắc) là bậc cao nhất
trong các bậc của các đơn thức. Đơi khi người ta cịn gọi đó là bậc đối với tập thể
các ẩn, để phân biệt với bậc của mỗi ẩn có mặt trong đa thức (là bậc cao nhất của
ẩn đó trong đa thức).

Nếu tất cả các số hạng của đa thức đều có bậc bằng nhau thì ta gọi đa thức
đó là đa thức đẳng cấp (hay đa thức thuần nhất).

1.1.3 Đa thức một biến

Một hàm số f(x) được gọi là một đa thức một biến nếu nó có thể biểu diễn

dưới dạng tổng hữu hạn của những đơn thức có cùng một biến, nghĩa là:

f(x)= kn

n
k

k a x a x

x

a 1  2 ....

2
1

Ở đây a1, a2, …, an là những số bất kỳ, còn k1 , k2, ..., kn là những số nguyên
không âm và không bằng nhau.

Ta có thể cho rằng tất cả những đơn thức trong cách viết trên là khơng
đồng bậc vì nếu những đơn thức đồng bậc thì ta nhóm chúng thành một đơn
thức. Người ta cũng viết f(x) theo chiều tăng (hoặc giảm) những bậc của các đơn
thức. Thường thường người ta viết đa thức dưới dạng:

f(x) = 1

0 1 .... 1

k k

a x a x - a x a

-+ + + + (*)

Với a0 ≠ 0, a1, a2 , ..., ak là những số bất kỳ và không đồng thời bằng 0.
Các số a0, a1, a2, ..., ak của đa thức f(x) được gọi là hệ số của đa thức. Số a0

được gọi là hệ số bậc cao nhất, còn số ak gọi là hệ số tự do.

Nếu đa thức f(x) được viết dưới dạng (*) ta nói rằng nó được biểu diễn
dưới dạng chuẩn tắc và dạng chuẩn tắc này không là duy nhất.

Quy ước: Một số cũng là một đa thức và gọi là đa thức bậc 0.
1.1.4 Hằng đẳng thức

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

biểu thức toán học. Hai đa thức của cùng một số ẩn x1, x2, … , xn được gọi là hằng
đẳng (hoặc có khi gọi là đồng nhất) nếu chúng có giá trị bằng nhau tại mọi bộ giá
trị thừa nhận được lấy trong miền xác định của các đối số, chúng lập thành một
hằng đẳng thức (hay đồng nhất thức).

Sau đây là một số hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

2. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
3. x2 – y2= (x + y)(x – y)

4. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
5. (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
6. x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
7. x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 
8.

2 2

x y x y

xy
 
   
 
   
   

9. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

10. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz)
11. xn – yn = (x – y) (xn-1 + xn-2y + … + xyn-2 + yn-1)

12. x2k – y2k = (x – y) (x2k-1 – x2k-2y + x2k-3y2 – … – y2k-1).

(x1 + x2 + … + xn)2 = x12 + x22 + … +xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 + … + xn-1xn
13. Nhị thức Newton





k
n
0
k
k
n
k
n
n
n
n
1
n
1
n
n
0
n
n
y
x
C
y
C
...
y
x
C
x
C

y
x












trong đó

nk ( 1)...(1.2... 1) !( ! )!

n n n k n

C

k k n k

  

 

 với k = 0, 1, …, n.

Đặc biệt 0 n 1

n n

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử
1.2.1 Đa thức bất khả quy

* Định nghĩa: Giả sử f(x) Ỵ P[x] là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói f(x)
là bất khả quy trên trường P nếu nó khơng thể phân tích được thành tích của hai
đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của f(x). Trái lại thì đa thức được gọi là khả
quy hoặc phân tích được trên P.

Chú ý: Tính chất bất khả quy phụ thuộc vào trường cơ sở. Chẳng hạn x2 – 2

bất khả quy trên ¤ nhưng khả quy trên

¡

: x2- 2 (= x+ 2)(x- 2).

* Tính chất

a) Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên mọi trường số.

b) Đa thức f(x) là bất khả quy khi và chỉ khi mọi ước của nó đều là đa thức
bậc 0 hoặc là đa thức có dạng a.f(x) với a ≠ 0, a  P.

c) Đa thức f(x) là bất khả quy trên P khi và chỉ khi với mọi đa thức p(x)

P[x] thì hoặc f x p x( ) ( ) , hoặc (f(x), p(x)) = 1.

1.2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) Định nghĩa 1

+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức
thì ta nói rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử.

+ Với bất kì đa thức (khác 0) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích
của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:

anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c(an

c x

n + an 1

c

- xn – 1 + …..+ a0

c ) (với c¹ 0, c¹ 1)

b) Định nghĩa 2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

khác 0 và nhỏ hơn bậc của f(x). Trường hợp trái lại thì f(x) được gọi là khả quy
hoặc phân tích được trên P.

1.2.3 Một số định lí cơ bản

 Định lí 1: Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành các

đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và
nhân tử bậc không.

Định lí 2: (Tiêu chuẩn bất khả quy trên trường số phức và số thực)

a) Trên trường số phức

£

, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó
là bậc nhất. Vậy mọi đa thức trên £ có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành
tích các đa thức bậc nhất.

b) Trên trường số thực ¡ , một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó
là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức  0. Vậy mọi đa thức trên

¡

có bậc lớn

hơn 0 đều phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất hoặc bậc 2 với  0.

 Định lí 3: (Tiêu chuẩn Eisentein về các đa thức bất khả quy trên

trường số hữu tỉ)

Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn, n > 1, an  0, là một đa thức với hệ số
nguyên. Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an
nhưng p là ước của tất cả các hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các số
hạng tự do a0. Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên

Ô

Nh vy trờn trng s hu t Ô , cú nhng a thc bất khả quy bậc bất
kì. Chẳng hạn, đa thức f(x) = x20 + 6x10 – 18x4 + 42x2+12 là bất kh quy trờn

Ô

,
bng cỏch dựng tiờu chun Eisentein với số nguyên tố p = 3.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tiêu chuẩn Eisentein chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện ắt có.
Chẳng hạn x4 - 2x2 +9 l bt kh quy trờn

Ô

nhng khụng tha mãn tiêu

chuẩn Eisentein.

1.3 Mục đích, yêu cầu của việc phân tích đa thức thành nhân tử
- Giúp HS có hệ thống cách giải bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử,
rèn luyện để quan sát, nhìn nhận cách giải một bài tốn tốt hơn, phân dạng được

bài tập một cách hợp lý.

- Như đã nêu ở trên, việc phân tích đa thức thành nhân tử đóng góp một vai
trị rất lớn trong q trình thực hành giải một số dạng tốn. Nó địi hỏi người
phân tích phải học thuộc những hằng đẳng thức, có óc quan sát, nhận xét vấn đề
để đưa ra một phương pháp giải đúng đắn. Sau khi nắm được các phương pháp
phân tích trên thì người học cần biết cách phân biệt cách giải cho từng dạng toán
cơ bản đến nâng cao.

1.4 Thực trạng dạy và học vấn đề phân tích đa thức thành nhân
tử

1.4.1 Phương pháp dạy học của giáo viên và phương pháp
học tập của học sinh

* Những khó khăn chung

Hiện nay trong chương trình lớp 8 vẫn cịn tồn tại nhiều học sinh yếu
trong tính tốn, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần
lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay
từ đầu chương trình, do lười nhác trong học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết quả
người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn và ý thức học tập chưa cao.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương
pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất cho bài tốn đã đặt ra.
Ngồi ra một trong những yếu tố quan trọng là các em thường hay quên những
hằng đẳng thức đáng nhớ, hay các em nhớ lầm giữa hằng đẳng thức này và hằng
đẳng thức khác.

Đối với giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi

mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn
tại theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mới cịn mơ hồ. Sự
lơgic giữa các phương pháp chưa cao, chưa vạch rõ được cho học sinh nên ưu
tiên phương pháp nào cho những dạng toán phù hợp.

Phụ huynh HS chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con
em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.

* Thực trạng vấn đề:

Qua quá trình tìm hiểu hiểu khảo sát chất lượng đầu năm học và trao đổi
trực tiếp cùng học sinh và giáo viên bộ môn chúng tơi thấy có một số vấn đề sau:
- Việc nắm bắt các phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng
đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử,… các em hiểu chưa thật sự rõ trọng tâm.

- Việc phân biệt các phương pháp để áp dụng còn lún túng chưa phân được
dạng nào nên áp dụng phương pháp nào cho từng loại toán nào.

- Các phương pháp khác như: phương pháp chia liên tiếp, phương pháp dùng
nghiệm phức, phương pháp xét giá trị riêng, phương pháp dùng hệ số bất định
được đặt ra hầu hết các em chưa biết đến trong quá trình học tập.

- Các em chưa hiểu rõ về những ứng dụng của các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11></div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ

ỨNG DỤNG CỦA VIỆC PHÂN TÍCH ĐA THỨC

THÀNH NHÂN TỬ

2.1 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
2.1.1 Phương pháp cơ bản thường dùng

2.1.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung
a/ Nội dung phương pháp

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
- Tìm nhân tử chung là tìm những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các
hạng tử:

+ Tìm nhân tử chung của các hệ số (tức là ta tìm ước chung lớn nhất của
các hệ số có trong đa thức).

+ Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Ví dụ 1: x3 – x2 + 3x

Giải: x3 – x2 + 3x = xx2 – xx + 3x 
(Nhận thấy có x là nhân tử chung)

= x(x2 – x + 3)

(Đặt nhân tử chung x ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử x2– x+3 vào
trong dấu ngoặc, ta được kết quả)

Ví dụ 2: 12x3y2 – 3xyz

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

= 3xy(4x2y – z)

(Đặt nhân tử chung 3xy ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử 4x2y – z vào
trong dấu ngoặc, ta được kết quả).

Ví dụ 3: 5x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2

Giải: 5x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 5xx(y – 2z) – 3.5x(y – 2z)(y – 2z) 
(Nhận thấy có 5x(y – 2z) là nhân tử chung)

= 5x(y – 2z)[x – 3(y – 2z)]

(Đặt nhân tử chung 5x(y – 2z) ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại
x – 3(y – 2z) vào trong dấu ngoặc, ta được kết quả)

= 5x(y – 2z)(x – 3y + 6z)
(Rút gọn lại, ta được kết quả)

Ví dụ 4: 8x2(x – y) – 2y( y – x)

Giải: 8x2(x – y) – 2y( y – x) = 2.4x2(x – y) + 2y(x – y)

(Ta đổi dấu hạng tử y – x thành – (x – y) để xuất hiện nhân tử chung cho
bài toán là 2(x – y))

= 2(x – y)(4x2 + y)

(Đặt nhân tử chung 2(x – y) ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại
4x2 + y vào trong dấu ngoặc, ta được kết quả)

Ví dụ 5: 9x(x – y) + 4x2( y – x)2

Giải: 9x(x – y) + 4x2( y – x)2 = 9x(x – y) + 4xx(x – y)2
(vì (x – y)2 = (y – x)2, nhận thấy có x(x – y) là nhân tử chung)

= x(x – y)[9 + 4x(x – y)]

(Đặt nhân tử chung x(x – y) ra ngồi dấu ngoặc, viết các nhân tử cịn lại
9 + 4x(x – y) vào trong dấu ngoặc) = x(x – y)(4x2 – 4xy + 9)

(Rút gọn ta được kết quả).

Ví dụ 6: xm+2 – xmy + 2xm+1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

(Nhận thấy có xm là nhân tử chung)

= xm (x2 – y + 2x)

(Đặt nhân tử chung xm ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử x2 – y + 2x vào
trong dấu ngoặc, ta được kết quả).

c/ Ưu - khuyết điểm:

Ưu điểm : Nhận dạng dễ dàng những nhân tử chung. Phương pháp này
vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo
chiều ngược lại).

Hạn chế : Trong một số trường hợp để làm xuất hiện được nhân tử chung
ta cần đổi dấu các hạng tử.

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ 21x2y + 14xy2

Kết quả: 7xy(3x + 2y) 
b/ 4x3 + 2x2 + 8x

Kết quả: 2x(2x2 + x + 4)
c/ x2y2z + xy2z2 + x2yz2

Kết quả: xyz(xy + yz + xz)

Bài tập 2: a/ (x – y)2 – 2(x – y)

Kết quả: (x – y)(x – y – 2)
b/ 16x2( y – 1) – 4x3(1 – y)

Kết quả: 4x2(y – 1)(4 + x)
c/ 3x( 4x – 5) + 4x – 5

Kết quả: (4x – 5)(3x + 1)

Bài tập 3: a/ 7(a – b)2 – (a + b)(b – a)

Kết quả: 2(a – b)(4a – 3b)
b/ (x2 + 3xy)( x + y) + (x2 + 3xy)( x – y)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2.1.1.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
a/ Nội dung phương pháp

Phương pháp này là phương pháp dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để
phân tích một đa thức về dạng tích hoặc lũy thừa bậc 2, bậc 3 của một đa thức
khác.

Các hằng đẳng thức thường dùng là:
1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
2. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
3. x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Ngồi ra, ta có thể hướng dẫn HS sử dụng một số hằng đẳng thức đặc biệt khác.
b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Ví dụ 1: 4x2 – 12x + 9

Giải: 4x2 – 12x + 9 = (2x)2 – 2.2x.3 + 32

(Nhận ra hằng đẳng thức bình phương của một hiệu)
= (2x – 3)2

(Đưa ngay về dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu với hai
hạng tử là 2x và 3, ta được kết quả).

Ví dụ 2: (x – 2)2 – 9x2

Giải: (x – 2)2 – 9x2 = (x – 2)2 – (3x)2
(Nhận ra hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)

= (x – 2 + 3x)(x – 2 – 3x)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

(Rút gọn và ta nhận thấy vẫn còn nhân tử chung ở hai nhân tử)
= – 4(2x – 1)(x + 1)

(Tiếp tục đặt nhân tử chung ta được kết quả)

Ví dụ 3: 8 – 27x3

Giải: 8 – 27x3 = 23 – (3x)3

(Ta nhận thấy đa thức đã cho có dạng lập phương của một hiệu)
= (2 – 3x)(4 + 6x + 9x2)

(Đưa ngay về dạng lập phương của một hiệu, ta được kết quả).

Ví dụ 4: x2 + 2x + 1 – y2 + 2y – 1

Giải: x2 + 2x + 1 – y2 + 2y – 1 = x2 + 2x + 1 – (y2 – 2y + 1)

(Ta nhận thấy đa thức đã cho có dạng hai hằng đẳng thức bình phương của
một tổng và bình phương của một hiệu)

= (x + 1)2 – (y – 1)2

(Sau khi đưa về dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình
phương của một hiệu, ta chưa được kết quả mà làm xuất hiện tiếp dạng hằng

đẳng thức hiệu của hai bình phương)

= (x + y)(x – y + 2)

(Đưa ngay về dạng hiệu hai bình phương, rút gọn lại ta được kết quả).

Ví dụ 5: x3 + 9x2 + 27x + 27

Giải: x3 + 9x2 + 27x + 27= x3 + 3x2.3 + 3x32 + 33

(Nhận thấy đa thức đã cho có dạng hằng đẳng thức lập phương của một tổng)
= (x + 3)3

(Đưa ngay về dạng lập phương của một tổng, ta được kết quả phân tích).

Ví dụ 6: 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

Giải: 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3= (2x)3 – 3(2x)2y + 3.2xy2 – y3

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

(Đưa ngay về dạng lập phương của một hiệu, ta được kết quả phân tích).
c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Đưa ngay đa thức đã cho về dạng tích, hoặc lũy thừa bậc hai,
bậc ba từ dạng tổng.

Hạn chế: Trong một số trường hợp, ta cần đổi dấu một số hạng tử mới áp
dụng được phương pháp này.

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ x2 – 25

Kết quả: (x + 5)(x – 5)
b/ x2y4 – 1

Kết quả: (xy2 + 1)(xy2 – 1) 
c/ 16x2 – 49(x + y)2

Kết quả: (11x + 7y)(7y – 3x)
d/ (x – y)2 – (x + y)2

Kết quả: – 4xy

Bài tập 2: a/ (a + b)3 + (a – b)3

Kết quả: 2a(a2 + 3b2)
b/ a6 – b6

Kết quả: (a + b)(a – b)(a2 + b2 + ab)(a2 + b2 – ab)
c/ (a3 + 8) + (a2 – 4)

Kết quả: (a + 2)(a2 – a + 2)
d/ (x – y)4 – (x + y)4

Kết quả: – 8xy(x2 + y2)

Bài tập 3: a/ 125x3 – 75a2 + 15a – 1 
Kết quả: (5x – 1)3
b/ 27x3 + 54a2 + 36a + 8

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

2.1.1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
a/ Nội dung phương pháp

- Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hốn, tính
chất kết hợp của phép cộng.

- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để lập thành nhóm nhằm làm hiện một
trong hai dạng: hoặc là nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức.

- Để thực hiện được phương pháp này, ta thường dựa vào các quan hệ sau:
+ Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài tốn.
+ Mỗi nhóm đều có thể phân tích được.

+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình
phân tích thành nhân tử ở bài tốn phải tiếp tục thực hiện được.

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Ví dụ 1: xy + 5y + 2x + 10

Giải: xy + 5y + 2x + 10
= (xy + 5y) + (2x + 10)

= y( x + 5) + 2(x + 5) (Ta nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung)
= (x + 5)(y + 2) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả)

Ví dụ 2: x2 + xy – x – y

Giải: x2 + xy – x – y = x(x + y) – (x + y)
(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (x + y)(x – 1)

(Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả)

Ví dụ 3: x2 – 2x + 1 – 4y2

Giải: x2 – 2x + 1 – 4y2

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

= (x + 2y – 1)(x – 2y – 1) (Đưa ngay về dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình
phương, ta được kết quả)

Ví dụ 4: 2x3 – 3x2 + 2x – 3

Giải: 2x3 – 3x2 + 2x – 3

= x2(2x – 3) + (2x – 3 ) (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)
= (2x – 3)(x2 + 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả)

Ví dụ 5: x6 + x4 + x2 +1

Giải: x6 + x4 + x2 +1

= x4(x2 + 1) + x2 +1 (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (x2 + 1)(x4 + 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả)

Ví dụ 6: xm+2 – xm+3 + x – 1

Giải:xm+2 – xm+3 + x – 1

= xm+2(1 – x) + x – 1 (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (1 – x)(xm+2 – 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả)
c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Sử dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung và phương
pháp dùng hằng đẳng thức.

Hạn chế: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm mà q
trình phân tích thành nhân tử khơng thực hiện được nữa thì ta phải thực hiện lại.

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ 3x + 3y – z(x + y)

Kết quả: (x + y)(3 – z)
b/ x( 2x – 5) – 10x + 25

Kết quả: (x – 5)(2x – 5)
c/ x2 – (2x – y)y – 9z2

Kết quả: (x – y + 3z)(x – y – 3z)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Kết quả: (x – y)(x – 2)
b/ 16xy – 4x2 + 4y – x

Kết quả: (4y – x)(4x + 1)
c/ 3x2 +3y2 – x2z + z – y2z – 3

Kết quả: (3 – z)(x2 + y2 – 1) 
d/ ax2 – ay2 – bx2 +by2

Kết quả: (a – b)(x + y)(x – y)

Bài tập 3: a/ x4 + 2x3 – x2 – 2x

Kết quả: x(x + 1)(x – 1)(x + 2)
b/ x5 – x3 + x2 – 1

Kết quả: (x + 1)2(x – 1)(x2 – x + 1)
2.1.1.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp.
a/ Nội dung phương pháp

- Phương pháp này là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp:
nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh
cần nhận xét bài toán một cách cụ thể và mối quan hệ giữa các hạng tử để tìm
hướng phân tích thích hợp.

- Thông thường ta nên chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên:
+ Phương pháp nhân tử chung;

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức;
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Ví dụ 1: 3x3 – 6x2 + 3x

Giải: 3x3 – 6x2 + 3x = 3x(x2 – 2x + 1)

(Đặt nhân tử chung, làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức bình phương của một
hiệu)

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

(Đưa về dạng bình phương của một hiệu, ta được kết quả)

Ví dụ 2: 2x3 + 4x2y + 2xy2

Giải: 2x3 + 4x2y + 2xy2 = 2x(x2 + 2xy + y2)

(Đặt nhân tử chung, làm xuất hiện dạng bình phương của một tổng)
= 2x(x + y)2

(Đưa về dạng bình phương của một tổng, ta được kết quả).

Ví dụ 3: xy2 – 4xy + 4x

Giải: xy2 – 4xy + 4x = x(y2 – 4y + 4)

(Đặt nhân tử chung, làm xuất hiện dạng bình phương của một hiệu)
= x(y – 2)2

(Đưa về dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu).

Ví dụ 4: 24x3 + 81y3

Giải: 24x3 + 81y3 = 3(8x3 + 27y3)

(Đặt nhân tử chung, làm xuất hiện tổng hai lập phương)
= 3(2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)

(Đưa về dạng hằng đẳng thức tổng hai lập phương, ta được kết quả).

Ví dụ 5: x2 + 2xy + y2 + xz + yz

Giải: x2 + 2xy + y2 + xz + yz = (x2 + 2xy + y2) + z(x + y) (Nhóm hạng
tử, đặt nhân tử chung, làm xuất hiện dạng hằng đẳng bình phương của một tổng)

= (x + y)2 + z(x + y)
= (x + y)(x + y + z)

(Đưa về dạng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, ta được kết quả).

Ví dụ 6: 2x6 – 2x4 + 4x3 + 4x2

Giải: 2x6 – 2x4 + 4x3 + 4x2 = 2x2(x4 – x2 + 2x + 2)
=2x2[x2(x2 – 1) + 2(x + 1)] 
(Đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử)

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

= 2x2[x2(x – 1) + 2](x + 1) 
(Đưa về dạng hằng đẳng thức, tiếp tục đặt nhân tử chung).
c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm : Nhận xét các bài toán và sử dụng ngay các phương pháp (đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử) để phân tích bài tốn một
cách thích hợp.

Hạn chế: Trong một số trường hợp ta không thể sử dụng được phương
pháp này (ví dụ: phân tích đa thức x2 + x – 6).

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ 2x3 – 2xy2

Kết quả: 2x(x + y)(x – y)
b/ 3xy2 + 12xy + 12x

Kết quả: 3x(y + 2)2
c/ 6x2 – 12xy + 6y2

Kết quá: 6(x – y)2
d/ 50x2y2 – 2(x – y)2

Kết quả: 2(5xy + x – y)(5xy – x + y)

Bài tập 2: a/ 16x3y – 2yz3

Kết quả: 2y(2x – z)(4x2 + 2xz +z2) 
b/ (x + y)3 + (x – y)3 – 8xy2

Kết quả: 2x(x + y)(x – y)
c/ x3 – x2 – 4x + 4

Kết quả: (x – 1)(x – 2)(x + 2)

Bài tập 3: a/ 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

Kết quả: 3xy(x + y + a – 1)(x – y – a – 1)
b/ x5 – 4x3 – x2 + 4

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

2.1.1.5 Phương pháp phân tích hạng tử thành nhiều hạng tử
khác (phương pháp tách hạng tử).

a/ Nội dung phương pháp

- Đối với đa thức bậc hai ax2 + bx + c: Ta có thể tách các hạng tử bằng
nhiều cách: tách hạng tử bx, tách hạng tử ax2, tách hạng tử tự do c, tách hai số
hạng, tách ba số hạng, nhẩm nghiệm.

Trong cách tách hạng tử bx, ta tách bx = b1x + b2x sao cho b1 + b2 = b,
b1.b2 = a.c, muốn vậy ta cần làm theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm tích a.c;

+ Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách;
+ Bước 3: Chọn hai thừa số có tổng bằng b.

- Đối với đa thức có từ bậc ba trở lên: Ta cần áp dụng định lí sau:

Nếu đa thức f(x) có một nghiệm x = a, khi đó f(x) có một nhân tử là
x – a, và ta có thể viết f(x) dưới dạng

f(x) = (x – a)q(x)

Lúc đó, ta tách các hạng tử của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều có chứa
nhân tử x – a.

Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) phải là một ước
của hệ số tự do.

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Ví dụ 1: x2 + 5x + 6

Giải: x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6

(Tách hạng tử 5x = 2x + 3x, nhằm làm xuất hiện nhân tử chung)
= x(x + 2) + 3(x + 2)

(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

(Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả).

Ví dụ 2: 3x2 + 8x + 4

Giải: 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 6x + 2x + 4

(Tách hạng tử 8x = 6x + 2x, nhằm làm xuất hiện nhân tử chung)
= 3x(x + 2) + 2(x + 2)

(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (x + 2)(3x + 2) 
(Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả).

Ví dụ 3: x2 – x – 6

Giải: x2 – x – 6 = x2 – 3x + 2x – 6

(Tách hạng tử - x = - 3x + 2x nhằm làm xuất hiện nhân tử chung)

= x(x – 3) + 2(x – 3)

(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (x – 3)(x + 2) 
(Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả).

Ví dụ 4: 9x2 + 12x – 5

Giải: 9x2 + 12x – 5 = 9x2 + 15x – 3x – 5

(Tách hạng tử 12x = 15x – 3x nhằm làm xuất hiện nhân tử chung)
= 3x( 3x + 5) – (3x + 5)

(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (3x + 5)(3x – 1) 
(Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả).

Ví dụ 5: x3 + x2 + 4

Giải: x3 + x2 + 4 = x2(x + 2) – x(x + 2) + 2(x + 2) 
(Ta thấy – 2 là nghiệm của đa thức đã cho)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Ví dụ 6: 2x2 + 7xy + 6y2

Giải: 2x2 + 7xy + 6y2 = 2x2 + 4xy + 3xy + 6y2

(Tách hạng tử 7xy=4xy+3xy nhằm làm xuất hiện nhân tử chung)
= 2x(x + 2y) + 3y(x + 2y)

(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (x + 2y)(2x + 3y) 
(Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả).

c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Phương pháp này làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, kéo theo đó làm
xuất hiện các nhân tử chung (đặt nhân tử chung) hoặc làm xuất hiện hiệu của hai
bình phương (dùng hằng đẳng thức).

Hạn chế: Trong một số trường hợp ta phân tích được theo phương pháp
phối hợp (Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử) thì ta khơng
nên sử dụng phương pháp này.

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Bài tập 1: a/ 2x2 + 5x + 2

Kết quả: (x + 2)(2x + 1)
b/ 6x2 – 5x – 6

Kết quả: (3x + 2)(2x – 3)
c/ x2 – 7xy + 10y2

Kết quả: (x – 5y)(x – 2y)
d/ 4x2 – 4x – 3

Kết quả: (2x + 1)(2x – 3)
Bài tập 2: a/ 3x2 + 11xy + 10y2

Kết quả: (x + 2y)(3x + 5y)
b/ x2 – 5x – 14

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

c/ x2 + 2x – 15

Kết quả: (x – 3)(x + 5)
Bài tập 3: a/ 2x3 + x2 + 4x + 2

Kết quả: (x2 + 2)(2x + 1)
b/ 4x3 – 13x2 + 9x – 18

Kết quả: (x – 3)(4x2 – x + 6)
2.1.1.6 Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
a/ Nội dung phương pháp

Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp
nhóm hạng tử để xuất hiện dạng nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Ví dụ 1: x4 + x2 + 1

Giải: x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2
(Thêm và bớt cùng hạng tử x2)

= (x2 + 1)2 – x2

(Đưa về dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, làm xuất hiện
tiếp dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)

= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)

(Đưa về dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta được kết quả).

Ví dụ 2: x2 – 3x + 2

Giải: x2 – 3x + 2 = x2 – 4x + 4 + x – 2 
(Thêm và bớt cùng hạng tử x + 2)

= (x – 2)2 + x – 2 
 = (x – 2)(x – 1)

(Dùng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu và đặt nhân tử chung, ta
được kết quả).

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Giải: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
(Thêm và bớt cùng một hạng tử 36x2)

= (2x2 + 9)2 – 36x2

(Đưa về dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng)
= (2x2 + 6x + 9)(2x2 – 6x + 9)

(Đưa về dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương).

Ví dụ 4: x7 + x2 + 1

Giải: x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 
(Thêm và bớt cùng một hạng tử x)

= x(x6 – 1) + x2 + x + 1

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1)

= x(x – 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1)
 = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1]

(Đưa về dạng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung, ta được kết quả).
c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Thêm và bớt cùng một hạng tử giúp ta nhìn ra các dạng thường
gặp để dễ dàng phân tích đa thức thành nhân tử theo các phương pháp đã biết
(phối hợp nhiều phương pháp).

Hạn chế: Thêm và bớt những hạng tử khơng phù hợp sẽ dẫn tới việc phân
tích khơng thể thực hiện được nữa.

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ 6x2 – 7x – 5

Kết quả: (2x – 1)(3x + 5)
b/ 15x2 – 7x – 2

Kết quả: (3x – 2)(5x + 1)

Bài tập 2: a/ x4 – 16

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

b/ x5 – 1

Kết quả: (x – 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)
2.1.2 Các phương pháp khác

2.1.2.1 Phương pháp chia liên tiếp
a/ Nội dung phương pháp

Nếu a thuộc P là một nghiệm của f(x) thì ta có sự phân tích: f(x) = (x –
a).g(x), trong đó g(x) thuộc P[x]. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) bằng cách
dùng sơ đồ Hoocne chẳng hạn, sau đó ta lại áp dụng để phân tích tiếp g(x).

b/ Ví dụ minh họa

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Ví dụ 1: x4 + 2x2 – 3

Giải: x4 + 2x2 – 3 = (x – 1)(x3 + x2 + 3x + 3)

(Vì 1 là một nghiệm của đa thức đã cho nên ta phân tích được)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

(Vì – 1 là một nghiệm của đa thức đã cho nên ta tiếp tục phân tích được
kết quả).

Ví dụ 2: x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36

Giải: x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 = (x + 2)2(x2 – 6x + 9) 
(Vì – 2 là một nghiệm của đa thức đã cho) =(x + 2)2(x + 3)2
(Vì – 3 là một nghiệm của đa thức đã cho).

Ví dụ 3: 2x4 + 7x3 + 4x2 – 7x – 6

Giải: 2x4 + 7x3 + 4x2 – 7x – 6 = (x – 1)(2x3 + 9x2 + 13x + 6) 
(Vì 1 là một nghiệm của đa thức đã cho nên ta phân tích được)

= (x – 1)(x + 1)(2x2 + 7x + 6)

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

(Vì –2 là một nghiệm của đa thức đã cho nên ta tiếp tục phân tích được kết
quả).

Ví dụ 4: x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8

Giải: x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8 
 = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) 
(Vì – 2 là nghiệm của đa thức đã cho)

= (x + 2)2(x3 + 2x2 + 2x + 2)

(Vì – 2 là nghiệm của đa thức x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)
= (x + 2)3(x2 + 1)

(Vì – 2 là nghiệm của đa thức x3 + 2x2 + 2x + 2)
c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Đưa ngay về dạng tích của hai đa thức bằng cách (thực hiện
phép chia). Dùng sơ đồ Hoocne.

Hạn chế : PP này sẽ gặp khó khăn trong q trình nhẫm nghiệm.
d/ Bài tập vận dụng

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ 6x4 + 19x3 + 13x2 – 4x – 4

Kết quả: (x + 1)(x + 2)(2x – 1)(3x + 2)
b/ x4 + x3 + 3x2 + 5x – 10

Kết quả: (x – 1)(x + 2)(x2 + 5)

Bài tập 2: a/ x4 – x3 – 2x – 4

Kết quả: (x + 1)(x – 2)(x2 + 2)
b/ x5 – x4 + 3x3 – 3x2 + 2x – 2

Kết quả: (x – 1)(x2 + 1)(x2 + 2)
2.1.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một
đa thức với ẩn số phức tạp về một đa thức có biến mới dễ dàng phân tích được
thành nhân tử, sau khi phân tích xong ta cần đổi về biến số ban đầu.

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Ví dụ 1: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2

Giải: Đặt ẩn phụ t = x2 + x, đa thức đã cho trở thành:
 t2 + 3t + 2 = (t + 1)(t + 2)

(Vì – 1, – 2 là một nghiệm của đa thức t2 + 3t + 2)

Đổi ẩn phụ, ta được: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2= (x2 + x + 1)( x2 + x + 2)

Ví dụ 2: x4 + x2 – 20

Giải: Đặt t = x2, khi đó đa thức đã cho trở thành:
t2 + t – 20 = (t + 5)(t – 4)

(Vì 4, 5 là một nghiệm của đa thức t2 + t – 20) (ta chưa nhận được kết quả
ở bước này).

Thế ẩn phụ vào, ta được:

x4 + x2 – 20 = (x2 + 5)(x2 – 4)

= (x2 + 5)(x + 4)(x – 4)

(Tiếp tục ta dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta được kết quả).

Ví dụ 3: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Giải: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128

Đặt t = x2 + 10x + 12, đa thức đã cho có dạng:
(t – 12)(t + 12) + 128 = t2 – 16

= (t + 4)(t – 4)
Đổi ẩn phụ, ta được:

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Ví dụ 4: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

Giải: Đặt ẩn phụ t = x2 + x + 1, đa thức đã cho trở thành:
t(t + 1) – 12 = t2 + t – 12

= t2 – 3t + 4t – 12
= (t – 3)(t + 4)
Đổi ẩn phụ, ta được kết quả:

(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5)
= (x – 1)(x + 2)( x2 + x + 5)
c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Đưa được đa thức có bậc cao hơn về đa thức có bậc thấp hơn để
dễ dàng cho việc phân tích.

Hạn chế : Sau khi đổi ẩn phụ về ẩn ban đầu thì q trình phân tích của bài
tốn vẫn thực hiện tiếp, nhưng gặp khó khăn trong q trình phân tích.

d/ Bài tập vận dụng

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Bài tập 1: a/ (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12

Kết quả: (x – 1)(x + 2)( x2 + x + 6)
b/ x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35

Kết quả: (2y – x – 5)(2y – x + 7)
Bài tập 2: a/ x12 – 3x6 + 1

Kết quả: (x6 + x3 – 1)(x6 – x3 – 1)
b/ (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

Kết quả: (x + 2)(x + 6)(x2 + 8x + 10)
2.1.2.3 Phương pháp dùng hệ số bất định

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính
được các hệ số của sự biểu diễn bằng cách lập phương trình hoặc giải hệ phương
trình sơ cấp.

b/ Ví dụ minh họa

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Ví dụ 1: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng:
 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd 
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện:

6
12
14
3

a c

ac b d

ad bc

bd

ìï + =

-ïï

ï + + =

ïï

íï + =

-ïï

ï =

ïïỵ

Xột bd = 3, vi b d, ẻ Â, b = 1, d = 3 hoặc b = 3, d = 1 hoặc b = – 1,
d = – 3 hoặc b = – 3, d = – 1.

* Với b = 3, d = 1, hệ điều kiện trở thành:

6
8

3 14

a c
ac

a c

ìï + =

-ïï

ï =

íï

ïï + =
-ïỵ

Từ đó suy ra: c = – 4, a = – 2

Vậy x4 – 6x3 +12x2 – 14x + 3 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
* Các trường hợp khác, ta có kết quả tương tự.

Ví dụ 2: x4 + x3 – 4x2 – 17x + 7

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện:

1
4
17
7

a c
ac b d

ad bc
bd

ìï + =
ïï

ï + + = 
-ïï

íï + =
-ïï

ï =

ïïỵ

Xét bd = 7, vi b d, ẻ Â, b = 1, d = 7 hoặc b = 7, d = 1 hoặc b = – 1,
d = – 7 hoặc b = – 7, d = – 1.

* Với b = 7, d = 1, hệ điều kiện trở thành:

7 17

a c
ac

a c

ìï + =

ïï

ï =

-íï

ïï + =
-ïỵ

Từ đó suy ra: c = – 3, a = 4

Vậy x4 + x3 – 4x2 – 17x + 7 = (x2 + 4x + 7)(x2 – 3x + 1)
* Các trường hợp khác, ta có kết quả tương tự.
c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Phân tích được về các dạng phân tích thường gặp.

Hạn chế: Khó khăn trong q trình giải hệ phương trính tìm các hệ số.

d/ Bài tập vận dụngPhân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

Kết quả: (3x + y + 5)(x + 7y + 2)
b/ x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1

Kết quả: (x2 – 3x + 1)(x2 – 4x + 1)
c/ x4 – 8x + 63

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

2.1.2.4 Phương pháp xét giá trị riêng
a/ Nội dung phương pháp

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa
biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử
cịn lại.

b/ Ví dụ minh họa

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Ví dụ 1: A = x2( y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)

Giải: Thử thay x bởi y thì A = x2( y – z) + y2(z – x) = 0, như vậy A có
chứa thừa số (x – y).

Nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì A khơng đổi (ta nói A có thể
hốn vị vịng quanh

x y z x

® ® ®

). Do đó nếu đa thức A đã có chứa thừa số
 (x – y) thì nó cũng có chứa thừa số (y – z) và (z – x).Vậy A có dạng :

A = k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta có nhận xét: k phải là hằng số và A có bậc đối với tập hợp các biến x, y,
z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z.

Vì đẳng thức x2( y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) luôn
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng (ta chọn các
giá trị riêng này có thể chọn tùy ý nhưng thỏa điều kiện (x – y)(y – z)(z – x)¹ 0),
chẳng hạn chọn x = 2, y = 1, z = 0, ta được k = – 1.

Vậy A = – 1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z).

Ví dụ 2: P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(x – z)

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi (ta nói P có
thể hốn vị vịng quanh

x y z x

® ® ®

). Do đó nếu đa thức P đã có chứa thừa số
(x – y) thì nó cũng có chứa thừa số (y – z) và (z – x).Vậy P có dạng :

P = k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta có nhận xét: k phải là hằng số vì P là đa thức bậc ba đối với các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x2( y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) luôn
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng (ta chọn các
giá trị riêng này có thể chọn tùy ý nhưng thỏa điều kiện (x–y)(y–z)(z–x)¹ 0),
chẳng hạn chọn x = 1, y = – 1, z = 0, ta được k = – 1.

Vậy A = – 1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z).
c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh.
Hạn chế: Khó xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức.

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

Kết quả: (a – b)(b – c)(a – c)

Bài tập 2: x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3)

Kết quả: 3(y – z)(z – x)(y – x)

Bài tập 3: a(b+c-a)2 +b(a+c-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
Kết quả: 4abc

2.1.2.5 Phương pháp dùng nghiệm phức
a/ Nội dung phương pháp

Phương pháp này gần với lý thuyết tổng quát hơn cả.
Chúng ta cần nhớ rằng: i2 = -1

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Chú ý rằng nếu một đa thức với hệ số thực có một nghiệm phức
a bi

a = + thì nó cũng có một nghiệm phức liên hợp là a =a+bi . Khi đó

(x- a)(x- a) là một tam thức bậc hai với hệ số thực.

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử trên trường số
thực và trường số phức.

Ví dụ: x4 + 4

Giải:

Trên trường số phức ta có thể phân tích
 x4 + 4 = x4 +2 x2 + 4 – 2x2

= (x2 + 2)2 – 2x2

=(x2 + 2 - 2x)( x2 + 2 + 2x) ( ta nhớ rằng i2 = -1) 
=[(x2 - 2x +1 – i2)][( x2 + 2x+ 1 - i2)]

=[(x2 - 2x +1) – i2)][( x2 + 2x+ 1) - i2)]
=[(x2 -1)2 – i2)][( x2 + 1) - i2)]

= (x – 1 + i)(x + 1 – i)(x + 1 + i)(x – 1 – i)

Trên trường số thực, ta biết rằng trong 4 nghiệm phức của đa thức đã cho
có hai cặp nghiệm liên hợp nhau. Đó là 1 + i, 1 – i và – 1 + i, – 1 – i.

Ta có: [x – (1 + i)][x – (1 – i)] = x2 – 2x + 2
 [x – (–1 + i)][x – (1 – i)] = x2 + 2x + 2
Vậy ta có x4 + 4 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) 
c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Phân tích được nhiều đa thức khơng có nghiệm thực thành nhân
tử chung là số phức đơn giản.

Hạn chế: Kiến thức về nghiệm phức còn mới mẻ đối với HS THCS nên
khơng dễ dàng gì khi áp dụng phương pháp này.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x4 + 64

Kết quả:(x + 2 - 2i)( x + 2 + 2i)( x – 2 - 2i)( x – 2 + 2i)
b/ x4 + 1

Kết quả:( 1 1 )( 1 1)( 1 1)( 1 1)

2 4 2 4 2 4 2 4

x- + i x- - x+ - x+ +

c/ 4x2 + 1

Kết quả:(2x i- )(2x i+ )

d/ 9x4 – 8x2 - 1

Kết quả:(3x i- )(3x i x+ )( - 1)(x+1)

2.2 Một số ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử
2.2.1 Rút gọn phân thức

Ví dụ 1: Rút gọn phân thức: A = 2 9 2 2 2

6 11 3

x y

x xy y

-+ +

Giải: Ta có thể dùng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để
thực hiện tìm nhân tử chung giữa tử và mẫu để đơn giản và rút gọn biểu thức đã
cho.

A = 2 9 2 2 2

6 11 3

x y
x xy y

-+ + = 2 2

(3 )(3 )

6 2 9 3

x y x y

x xy xy y

-+ + +

=2 (3x x y(3x y++) 3 (3)(3+ x yy x y- )+ ) = (3(3x y xx y++)(2)(3x y+- 3 )y) =(2(3xx y+- 3 )y)

Ví dụ 2: Thu gọn đa thức sau:

B = x x( 3 3)+(x 3)(3x 6)+(x 6)(3x 9)+x19

+ + + + + +

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Ta có: B = 3 3 3 1

( 3) ( 3)( 6) ( 6)( 9) 9

x x+ + x+ x+ + x+ x+ +x+

= 3( 6)( 9) 3 ( 9) 3 ( 3) ( 3)( 6)

( 3)( 6)( 9)

x x x x x x x x x

x x x x

+ + + + + + + + +

+ + +

=3( 9)( 6 ) ( 3)(3 6)

( 3)( 6)( 9)

x x x x x x
x x x x

+ + + + + + +

+ + +

=6( 9)( 3) ( 3)( 9)

( 3)( 6)( 9)

x x x x x

x x x x

+ + + + +

+ + +

= ( 9)( 3)(6 ) 1

( 3)( 6)( 9)

x x x

x x x x x

+ + +

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau:

A = 2 2

3 (3 )
3 3

2 2 2 2

x y x

x y

y x x y x y

-+ +

- +

-Hướng dẫn giải:

Ta có: A = 2 2

3 (3 )

3 3

2 2 2 2

x y x

x y

y x x y x y

-+ +

- +

= - 2(x y3x )+x y3y +2(x y x y3 (3x y x)(- ) )

- + - +

= - 2(x y x y3 (x x y)(+ ) )+2(x y x y6 (y x y)(- ) )+2(x y x y3 (3x y x)(- ) )
- + + - - +

= 3 ( ) 6 ( ) 3 (3 )

2( )( )

x x y y x y x y x
x y x y

- + + - +

-- +

2 2 2

3 3 6 6 9 3

2( )( )

x xy xy y xy x
x y x y

- - + - +

-- +

= 6 2 12 6 2

2( )( )

x xy y

x y x y

- +

-- + =

2 2

6( 2 )
2( )( )

x xy y

x y x y

- - +
- + =
3( )
( )
x y
x y
-
-+

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

16 25 3 3 1

4 5 1

a ab a b

A

a b

- - +

Đáp án : A =

a

+

4

2 2

( 9)( 3 9)

x
B

x x x

- + +

Đáp án B = 1

x+

( )( )( )

c ba cb ac
C

a b b c c a

- - +

- -

Đáp án C = 1

a b+

2 2 2

3 3

(x y x)( 1)

D

x y xy

-
-=
- .
2
( 1)
xy
x

Đáp án D = y x.( +1)
E = 2 42 2(42 2) 1

2 2

mn n n m
m n n m

+ - +

+ + +

Đáp án : E = 21

m +

2.2.2 Giải phương trình và bất phương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình

a) 2x2 – 8 = 0

Áp dụng cách phân tích thành nhân tử ta có:
 2x2 – 8 = 0 Û x2 – 4 = 0 Û (x - 2)(x + 2) = 0

2 0
2 0
2
2
x
x
x
x
é + =
ê
Û ê -êë =
é =
-ê
Û ê =êë

Vậy nghiệm của phương trình là: é = -êê =xx 22

ê
ë

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Giải:

Ta có:  (x2 – 5x – 6) (x2 – 2 x – 3) = 0

 [(x2 +x) –(6x +6)][ (x2 +x)-(3 x + 3)] =0
 [x(x +1) –6(x +1)][x (x +1)-3( x + 1)] =0
 ( x - 6)(x +1) (x +1)(x - 3) =0

 ( x - 6)(x +1)2(x - 3) =0
 
6 0
3 0
1 0
x
x
x
é - =
ê
ê - =
ê
ê + =
ê
ë
 
6
3
1
x
x
x
é =
ê

ê =
ê
ê =
-ê
ë

Vậy nghiệm của phương trình là

6
3
1
x
x
x
é =
ê
ê =
ê
ê =
-ê
ë

c) x2(x – 1) – 9x +9 = 0

Giải: Ta phân tích chúng thành dạng tích rồi tìm nghiệm của phương trình tích
Ta có: x2(x – 1) – 9x +9 = 0

 x2(x – 1) – 9(x – 1) =0

 (x – 1) (x2 -9) = 0

 (x – 1) (x +3) (x – 3) = 0

 Vậy

1
3
3
x
x
x
é =
ê
ê =
-ê
ê =
ê
ë

d) 3x(x – 2) +10 – 5x = 0 
Ta có: 3x(x – 2) +10 – 5x = 0
  3x(x – 2) -5(x – 2) = 0

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

 Vậy

2
5
3

x

é =
ê
ê
ê =
ê
ë

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau: 
a) x2 + x - 6 >0

Bài toán đã cho chúng ta cần đưa chúng về phương trình tích để giải nên ta
phải phân tích đa thức đã cho thành nhân tử chung.

Ta áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích
ta có:

x2 + x - 6 = (x – 2)(x + 3)

Nên việc giải bất phương trình x2 + x - 6 >0 trở thành giải bất phương trình
(x – 2)(x + 3) >0

Giải: Ta chia thành 2 trường hợp:
Trường hợp 1 : ìï - >ïïíï + >xx 2 03 0

ïïỵ

 ìï >ïïíï > -xx 23

ïïỵ ta có kết quả x > 2

Trường hợp 2: ìï - <ïïíï + <xx 2 03 0

ïïỵ

 ìï <ïïíï < -xx 23

ïïỵ ta có kết quả x <-3

Vậy nghiệm của bất phương trình là: x <-3 hoặc x > 2.

b/ x( 2x – 5) – 10x + 25 < 0

Ta có : 2x 2– 5x – 10x + 25 = (2x 2– 10x) – (5x - 25)
= 2x(x– 5) – 5(x - 5) =(x - 5)(2x– 5)

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

(x - 5)(2x– 5) < 0

Trường hợp 1 : 5 0

2 5 0

x
x
ìï - <
ïïí

ï - >
ïïỵ

5
5
2
x
x
ìï <
ïïï
íï >

ïïïỵ ta có kết quả

2 < x <5

Trường hợp 2: 5 0

2 5 0

x
x
ìï - >
ïïí

ï - <
ïïỵ


5
5
2
x
x
ìï >
ïïï
íï <

ïïïỵ (loại)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: 52 < x <5.

Bài tập tự tham khảo

Bài tập 1: Giải các phương trình sau: 
a) x2 + x – 6 = 0

Nghiệm của phương trình là é = -êê =xx 23

ê
ë

b) x2 – 3 x – 4 = 0

Nghiệm của phương trình là 1

4
x
x

é =
-ê
ê =
ê
ë

c) x3 – 5x2 – 9x + 45 = 0
Nghiệm của phương trình là

3
3
5
x
x
x
é =
ê
ê =
-ê
ê =
ê
ë

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Nghiệm của phương trình là 
2
3
1
x
x
x

é =
-ê
ê =
-ê
ê =
ê
ë

e) (x2 -x - 6) (9x2 +12 x -5) = 0
Nghiệm của phương trình là

3
3
5
x
x
x
é =
ê
ê =
-ê
ê =
ê
ë

Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau: 
a) ( x – 5)(2x +3) £ 0

Nghiệm của phương trình là: 3 5

2 x

- £ £

b) 4x2 – 29x + 30 ³ 0

Nghiệm của phương trình là:

5
4
6
x
x
é
ê £
ê
ê ³
ê
ë

c) -2 x2 + 9x +35 > 0

Nghiệm của phương trình là: 5 7

2 x

- < <

d) 2x(x+2) – 5x – 10 >0

Nghiệm của phương trình là: 2 5
2
x
- < <

e) 3y(2y -7) – 4y +14 <0

Nghiệm của phương trình là: 2 7

3< <x 2

2.2.3 Chứng minh đẳng thức.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

2 2

( )

x a x

a
x a

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Hướng dẫn:

Ta có phân tích tử thức rồi đơn giản với mẫu thức để được điều phải
chứng minh.

VT = ( )2 2

x a x

x a

-+ =

( )( ) (2 )

2 2

x a x x a x a x a

a

x a x a

+ - + + +

= =

+ + .

Ví dụ 2: Cho a, b, c đôi một khác nhau. 
Chứng minh đẳng thức sau:

M = 1

( )( ) ( )( ) ( )( )

ab bc ca

a c b c- - + b a c a- - + c b a b- - = - .

Giải: Bằng cách vận dụng những phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử rút gọn phân thức M sao cho gọn nhất là bằng 1. Thực ra dạng toán
chứng mính chính là bài tốn thu gọn biết kết quả trước.

Hướng dẫn: M = ( ) ( ) ( )

( )( )( )

aba b bc b c ca c a
a b b c c a

- + - +

-- -

= ( ) [( ) ( )] ( )

( )( )( )

aba b bc b a c a ca c a

a b b c c a

- + - - - +

-- -

-= ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

aba b bc b a bc c a ca c a
a b b c c a

- + - - - +

-- -

-= ( )( ) ( )( )

( )( )( )

ba b a c c c a b a
a b b c c a

- - - -

-- -

-=( )( )( ) 1

( )( )( )

a b a c b c
a b b c c a

- -

-- -

-Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau khơng phụ thuộc biến .

B=

9 1 3 3 2 2

1 3 1

x xy x y

x y

- - +

- - với (

1, 1
3

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Hướng dẫn: Ta có thể dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
để rút gọn từng hạng tử trong bài tốn và tìm ra kết quả.

Ta có: B =

9 1 3 3 2 2

1 3 1

x xy x y

x y

- - +

-=(3 1)(3 1) 3 ( 1) 2( 1)

(3 1) 1

x x x y y

x y

+ - - +

- -

-= 3 1 ( 1)(3 2)

y x

x

y

- +

- - +

-=- 3x- 1 3+ x+2 = 1

Bài tập tự tham khảo:

Bài tập 1: Chứng minh rằng: (n3 – n) chia hết cho 6.
Bài tập 2: Chứng minh rằng:

2 2

( 5)

2 5

x x

x

-+ = 5.

Bài tập 3: Chứng minh rằng:

2 2
2 2

( )( 1)

( )

2
x y x y

x y
x y x y xy

- + +

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1. Mục đích thực nghiệm

Trong thực tế dạy và học, các dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử là
một nội dung hết sức quan trọng đòi hỏi tính suy luận cao. Vì vậy để xây dựng
cho học sinh một nền tảng kiến thức vững chắc về nội dung này và việc ứng
dụng nó vào các dạng toán khác cần phải xây dựng một cách hệ thống các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và áp dụng vào thực tiễn giảng
day. Chính vì thế chúng tôi muốn mang những nội dung trong chương 2 “Một số
phương pháp và ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử” vào thực
nghiệm ở học sinh lớp 8 - Trường THCS An Thạnh 2 và thử nghiệm ở học sinh
lớp 9 - Trường THCS Trinh Phú nhằm:

- Rút kinh nghiệm cho bản thân để áp dụng trong giảng dạy, bồi dưỡng học
sinh thi học sinh giỏi và điều chỉnh để đề tài ngày một hoàn thiện hơn.

- Biết được những khó khăn và sai sót của học sinh trong q trình phân tích
đa thức thành nhân tử và việc ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
- Đánh giá được chất lượng của học sinh về việc tiếp thu và vận dụng các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

3.2. Nội dung thực nghiệm

3.2.1. Triển khai trong Tổ chuyên môn (Tổ Toán Lý – Trường
THCS An Thạnh Nhì và Trường THCS Trinh Phú)

- Tổ chức triển khai đề tài làm khóa luận trong sinh hoạt tổ chun mơn.
- Tổ chức lấy ý kiến của giáo viên giảng dạy cùng bộ môn cùng BGH.
3.2.2. Nội dung giảng dạy

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

- Phân tích dạng của đa thức để áp dụng phương pháp phân tích một cách
hợp lý.

- Hệ thống một số dạng tốn nhằm áp dụng việc phân tích đa thức thành
nhân tử như: Rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình và chứng
minh đẳng thức.

3.2.3. Nội dung thực nghiệm đối với học sinh

Áp dụng các phương pháp đã nghiên cứu vào tiết dạy và tiến hành khảo
sát chất lượng ở học sinh lớp 8 và thử nghiệm trên học sinh đã học qua lớp 8
(đang học lớp 9) với hình thức là kiểm tra giấy (đề kiểm tra và đáp án ở phần
phụ lục).

3.2.4 Giáo án thực nghiệm

Tiết 1, 2 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG
PHƯƠNG PHÁP: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG, DÙNG HẰNG ĐẲNG

THỨC, NHÓM HẠNG TỬ, BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU

PHƯƠNG PHÁP

I/. MỤC TIÊU:

Kiến thức: Học sinh hiểu phương pháp và phân tích được đa thức thành
nhân tử bằng phương pháp: đặt nhân tử chung, dung hằng đẳng thức, nhóm hạng
tử, bằng cách phối hợp các phương pháp trên.

Kỹ năng: Biết vận dụng các phương pháp trên để giải các bài tập
Thái độ: Trung thực, biết tìm tịi, u thích mơn học.

II/. CHUẨN BỊ:

Giáo viên: SGK Toán 8, SBT Toán 8, SGV Toán 8, các loại sách tham khảo
khác (Khóa luận tốt nghiệp).

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

III/. HOẠT ĐỘNG GIẢNG DẠY
1/. Ổn định lớp: (1 phút)

2/. Kiểm tra bài cũ: (không)
3/. Hoạt động dạy và học:

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò
Hoạt động 1: Phương pháp đặt nhân tử chung (8 phút)
Cho một biểu thức 25.82 + 25.18. Các hạng tử

trên có thành phần nào chung?

Lúc này biểu thức đã cho được viết dưới dạng
25(82 + 18) = 2500

Ví dụ: các hạng tử của 2x2 + 4x có thành phần

nào chung?

Biểu thức 2x2 + 4x được viết dưới dạng:

2x2 + 4x = 2x(x + 2)

Việc biến đổi 2x2 + 4x = 2x(x + 2) được gọi là

phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp đặt nhân tử chung.

Nhận xét: ta phân tích mỗi hạng tử thành tích
của nhân tử chung và một nhân tử khác. Tìm
nhân tử chung (thành phần chung) và viết nhân
tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử
còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc.

Các hạng tử 25.82 + 25.18
có thành phần 25 chung.
Chú ý lắng nghe.

Thành phần 2x chung.
Chú ý theo dõi.

Chú ý lắng nghe, nghi nhận
và viết vào vở.

Hoạt động 2: Bài tập vận dụng (5 phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. x2 – x

b/. 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y)

Vận dụng để phân tích:
a/. x2 – x = x.x – x = x(x – 1)

b/. 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y)

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Nhận xét bài làm của học sinh và khẳng định lại
nội dung phương pháp như đã nêu trên.

Hoạt động 3: Phương pháp dùng hằng đẳng thức (8 phút)
Phân tích đa thức x2 + 2xy + y2 thành nhân tử?

Nhận xét: không sử dụng được phương pháp đặt
nhân tử chung.

Ta cần sử dụng một cách thành thạo (chiều xuôi
và chiều ngược lại) các hằng đẳng thức đáng
nhớ để đưa đa thức đã cho về dạng tích hoặc lũy
thừa bậc 2, bậc 3 của một đa thức.

Biểu thức trên x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 (áp dụng

hằng đẳng thức bình phương của một tổng).

Chú ý lắng nghe.

Chú ý và ghi chép bài vào
vở.

Hoạt động 4: Bài tập vận dụng (10 phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. x2 + 6x + 9

b/. 10x – 25 – x2

c/. x3 + 3x2 + 3x + 1

d/. (x + y)2 – 9x2

Nhận xét bài làm của học sinh và nêu ưu –
khuyết điểm của phương pháp.

Chú ý làm bài tập cá nhân
a/. x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b/. 10x – 25 – x2

= -(x2 – 10x + 25)

= -(x – 5)2

c/. x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x +

1)3

d/. (x + y)2 – 9x2

= (x + y)2 – (3x)2

= [(x + y)–3x].[(x + y)+ 3x]
= (y–2x)(4x + y)

Hoạt động 5: Phương pháp nhóm hạng tử (8 phút)
Trong phương pháp này ta cần lựa chọn các

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

làm xuất hiện một trong hai dạng: nhân tử chung
hoặc hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ: phân tích đa thức thành nhân tử
xy + 5y + 2x + 10

= (xy + 5y) + (2x + 10)
= y( x + 5) + 2(x + 5)
= (x + 5)(y + 2)

Chú ý:tránh trường hợp nhóm hạng tử(xy + 10) 
và (5y + 2x) vì quá trình phân tích khơng được 
thực hiện nữa.

Chú ý quan sát.

Hoạt động 6: Bài tập vận dụng (10 phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. x2 + xy – x – y

b/. x2 – 2x + 1 – 4y2

Nhận xét bài làm của học sinh và nêu ưu –
khuyết điểm của phương pháp.

Thực hiện phân tích theo yêu
cầu của giáo viên :

a/. x2 + xy – x – y

= x(x + y) – (x + y)
= (x + y)(x – 1)
b/. x2 – 2x + 1 – 4y2

= (x2 – 2x + 1) – 4y2

= (x – 1)2 – (2y)2

= (x + 2y – 1)(x – 2y – 1)
Hoạt động 7: Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp (5 phút)
- Phương pháp này là sự kết hợp nhuần nhuyễn

giữa các phương pháp: nhóm nhiều hạng tử, đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy các
em cần nhận xét bài tốn một cách cụ thể và mối
quan hệ giữa các hạng tử để tìm hướng phân tích
thích hợp.

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

- Thông thường, ta nên chọn các phương pháp
theo thứ tự ưu tiên:

+ Phương pháp nhân tử chung;

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức;
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

pháp:

+ Đặt nhân tử chung;
+ Dùng hằng đẳng thức;
+ Nhóm nhiều hạng tử.
Hoạt động 8: Bài tập vận dụng (15 phút)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/. 3x3 – 6x2 + 3x

b/. xy2 – 4xy + 4x

Nhận xét bài làm của học sinh và nêu ưu –
khuyết điểm của phương pháp.

Làm bài tập
a/. 3x3 – 6x2 + 3x

= 3x(x2 – 2x + 1)

= 3x(x – 1)2

b/. xy2 – 4xy + 4x

= x(y2 – 4y + 4)

= x(y – 2)2
4/. Củng cố: (18 phút) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. 9x(x – y) + 4x2( y – x)2

b/. 16x2 – 49(x + y)2

c/. 16xy – 4x2 + 4y – x

d/. 2x6 – 2x4 + 4x3 + 4x2

5. Dặn dò – nhận xét tiết học: (2 phút)

Tiết 3,4 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG
PHƯƠNG PHÁP: TÁCH HẠNG TỬ, THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT

HẠNG TỬ, CHIA LIÊN TIẾP, ĐẶT ẨN PHỤ
I/. MỤC TIÊU:

Kiến thức: Học sinh hiểu phương pháp và phân tích được đa thức thành nhân
tử bằng phương pháp: tách hạng tử, thêm và bớt cùng một hạng tử, chia liên tiếp,
đặt ẩn phụ.

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Thái độ: Trung thực, biết tìm tịi, u thích mơn học.
II/. CHUẨN BỊ:

Giáo viên: SGK Toán 8, SBT Toán 8, SGV Tốn 8, các loại sách tham khảo
khác (Khóa luận tốt nghiệp).

Học sinh: Tham khảo tài liệu có liên quan.
III/. HOẠT ĐỘNG GIẢNG DẠY

1/. Ổn định lớp: (1 phút)
2/. Kiểm tra bài cũ: (không)
3/. Hoạt động dạy và học:

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò
Hoạt động 1: Phương pháp tách hạng tử (8 phút)

- Đối với đa thức bậc hai ax2 + bx + c: Ta có
thể tách các hạng tử bằng nhiều cách: tách hạng
tử bx, tách hạng tử ax2, tách hạng tử tự do c,

tách hai số hạng, tách ba số hạng, nhẩm nghiệm.
Trong cách tách hạng tử bx, ta tách

bx = b1x + b2x sao cho b1 + b2 = b, b1.b2 = a.c,
muốn vậy ta cần làm theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm tích a.c;

+ Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai
số nguyên bằng mọi cách;

+ Bước 3: Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
- Đối với đa thức có từ bậc ba trở lên: Ta cần áp

dụng định lí sau:

Nếu đa thức f(x) có một nghiệm x = a, khi đó
f(x) có một nhân tử là x – a, và ta có thể viết f(x)
dưới dạng f(x) = (x – a)q(x).

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Lúc đó, ta tách các hạng tử của f(x) thành các
nhóm, mỗi nhóm đều có chứa nhân tử x – a.
Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa
thức (nếu có) phải là một ước của hệ số tự do.

Hoạt động 2: Bài tập vận dụng (10 phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. x2 + 5x + 6

b/. 3x2 + 8x + 4

Nhận xét và nêu ưu – khuyết điểm của phương
pháp.

Chú ý làm bài tập
a/. x2 + 5x + 6

= x2 + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)
b/. 3x2 + 8x + 4

= 3x2 + 6x + 2x + 4

= 3x(x + 2) + 2(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)

Chú ý lắng nghe giáo viên
trình bày.

Hoạt động 3: Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử (8 phút)
Giới thiệu phương pháp: Phương pháp thêm và

bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương
pháp nhóm hạng tử để xuất hiện dạng nhân tử
chung hoặc dạng hằng đẳng thức.

Tiếp nhận kiến thức mà giáo
viên truyền thụ.

Hoạt động 4: Bài tập vận dụng (10 phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. x4 + x2 + 1

Học sinh làm bài tập theo
yêu cầu của giáo viên:

a/. x4 + x2 + 1

= x4 + 2x2 + 1 – x2

= (x2 + 1)2 – x2

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

b/. x2 – 3x + 2

Nhận xét và nêu ưu – khuyết điểm của phương
pháp.

b/. x2 – 3x + 2

= x2 – 4x + 4 + x – 2

= (x – 2)2 + x – 2

= (x – 2)(x – 1)
Học sinh lắng nghe.
Hoạt động 5: Phương pháp chia liên tiếp (8 phút)
Giới thiệu phương pháp: Nếu a thuộc P là

một nghiệm của f(x) thì ta có sự phân tích:
f(x) = (x – a).g(x), trong đó g(x) thuộc P[x].
Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) bằng cách
dùng sơ đồ Hoocne chẳng hạn, sau đó ta lại áp
dụng để phân tích tiếp g(x).

Theo dõi và ghi nhận vào vở.

Hoạt động 6: Bài tập vận dụng (10 phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. x4 + 2x2 – 3

b/. x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36

Nhận xét và nêu ưu – khuyết điểm của phương
pháp.

Làm bài tập:
a/. x4 + 2x2 – 3

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

= (x – 1)(x3 + x2 + 3x + 3)

b/. x4 – 2x3 – 11x2 + 12x +

= (x + 2)2(x2 – 6x + 9)

=(x + 2)2(x + 3)2

Hoạt động 7: Phương pháp đặt ẩn phụ (8 phút)
Giới thiệu phương pháp: Bằng phương pháp đặt

ẩn phụ (phương pháp đổi biến) ta có thể đưa
một đa thức với ẩn số phức tạp về một đa thức
có biến mới dễ dàng phân tích được thành nhân

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

tử, sau khi phân tích xong ta cần đổi về biến số
ban đầu.

Hoạt động 8: Bài tập vận dụng (10 phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

(x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2

Học sinh làm bài tập:

Đặt ẩn phụ t = x2 + x, đa
thức đã cho trở thành:

t2 + 3t + 2 = (t + 1)(t + 2) 
(Vì – 1, – 2 là một
nghiệm của đa thức t2 + 3t +
2)

Đổi ẩn phụ, ta được:

(x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2= (x2 
+ x + 1)( x2 + x + 2)

4/. Củng cố: (15 phút)
a/. 2x2 + 5x + 2

b/. 15x2 – 7x – 2

c/. 6x4 + 19x3 + 13x2 – 4x – 4

d/. x12 – 3x6 + 1

5. Dặn dò – nhận xét tiết học: (2 phút)

Tiết 5: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG
PHÁP: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH, XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG, DÙNG NGHIỆM

PHỨC
I/. MỤC TIÊU:

Kiến thức: Học sinh hiểu phương pháp và phân tích được đa thức thành
nhân tử bằng phương pháp: hệ số bất định, xét giá trị riêng, dùng nghiệm phức.

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Thái độ: Trung thực, biết tìm tịi, u thích mơn học.
II/. CHUẨN BỊ:

Giáo viên: SGK, SBT, SGV, các loại sách tham khảo khác (Khóa luận tốt
nghiệp).

Học sinh: tham khảo tài liệu có liên quan.
III/. HOẠT ĐỘNG GIẢNG DẠY

1/. Ổn định lớp: (1 phút)
2/. Kiểm tra bài cũ: ( không)
3/. Hoạt động dạy và học:

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò
Hoạt động 1: Phương pháp hệ số bất định (5 phút)
Giới thiệu phương pháp:

Phương pháp này dựa vào định
nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta

có thể tính được các hệ số của
sự biểu diễn bằng cách lập
phương trình hoặc giải hệ
phương trình sơ cấp.

Học sinh chú ý lắng nghe.

Hoạt động 2: Bài tập vận dụng (8 phút)
Phân tích các đa thức sau thành

nhân tử:

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

Đồng nhất các hệ số, ta được:

Học sinh làm bài tập theo yêu cầu của giáo
viên: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +
bc)x + bd

6
12
14
3

a c

ac b d

ad bc

bd

ìï + =

-ïï

ï + + =

ïï

íï + =

-ïï

ï =

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Nhận xét và nêu ưu – khuyết
điểm của phương pháp.

Xét bd = 3, vi b d, ẻ Â, b = 1, d = 3
hoặc b = 3,

d = 1 hoặc b = – 1,

d = – 3 hoặc b = – 3, d = – 1.

* Với b = 3, d = 1, hệ điều kiện trở thành:

6
8

3 14

a c
ac

a c

ìï + =

-ïï

ï =

íï

ïï + =
-ïỵ

Từ đó suy ra: c = – 4, a = – 2
Vậy x4 – 6x3 +12x2 – 14x + 3

= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)

Hoạt động 3: Phương pháp xét giá trị riêng (5 phút)
Giới thiệu phương pháp: Trong

phương pháp này, trước hết ta
xác định dạng các nhân tử chứa
biến của đa thức, rồi gán cho
các biến các giá trị cụ thể để xác
định các nhân tử còn lại.

Học sinh theo dõi, chú ý và ghi nhận lại kiến
thức vào vở.

Hoạt động 4: Bài tập vận dụng (8 phút)
Phân tích đa thức A sau thành

nhân tử:

x2( y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)

Học sinh làm bài tập theo yêu cầu của giáo
viên:

Thử thay x bởi y thì A = x2( y – z) + y2(z – x)
= 0, như vậy A có chứa thừa số (x – y).

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Nhận xét và nêu ưu – khuyết
điểm của phương pháp.

thừa số (y – z) và (z – x).

Vậy A có dạng : A = k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta có nhận xét: k phải là hằng số và A có bậc
đối với tập hợp các biến x, y, z, cịn tích (x –
y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp
các biến x, y, z.

Vì đẳng thức x2( y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
 = k(x – y)(y – z)(z – x) luôn
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x,
y, z các giá trị riêng (ta chọn các giá trị riêng
này có thể chọn tùy ý nhưng thỏa điều kiện (x
– y)(y – z)(z – x)¹ 0), chẳng hạn chọn x = 2, y
= 1, z = 0, ta được k = – 1.

Vậy :

A = – 1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)
(x – z).

Hoạt động 5: Phương pháp dùng nghiệm phức (5 phút)
Giới thiệu phương pháp:

Phương pháp này gần với lý
thuyết tổng quát hơn cả.

Chúng ta cần nhớ rằng: i2 = -1
Khi biết được i2 = -1 thì việc
phân tích đa thức thành nhân tử
bằng cách dùng nghiệm phức sẽ
đễ dàng hơn.

Chú ý rằng nếu một đa thức với
hệ số thực có một nghiệm phức

a bi

a = + thì nó cũng có một

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

nghiệm phức liên hợp là

a bi

a = + . Và khi đó

(x- a)(x- a) là một tam thức
bậc hai với hệ số thực.

Hoạt động 6: Bài tập vận dụng (8 phút)
Phân tích đa thức x4 + 4 thành

nhân tử.

Nhận xét và nêu ưu – khuyết
điểm của phương pháp.

Học sinh làm bài tập: x4 + 4

* Trên trường số phức ta có thể phân tích
x4 + 4 = x4 +2 x2 + 4 – 2x2

= (x2 + 2)2 – 2x2

=(x2 + 2 - 2x)( x2 + 2 + 2x) 
 ( ta nhớ rằng i2 = -1)

=[(x2 - 2x +1 – i2)][( x2 + 2x+ 1 - i2)]
=[(x2 - 2x +1) – i2)][( x2 + 2x+ 1) - i2)]
=[(x2 -1)2 – i2)][( x2 + 1) - i2)]

= (x – 1 + i)(x + 1 – i)(x + 1 + i)(x – 1 – i)
* Trên trường số thực, ta biết rằng trong 4
nghiệm phức của đa thức đã cho có hai cặp
nghiệm liên hợp nhau. Đó là 1 + i, 1 – i và –
1 + i, – 1 – i.

Ta có: [x – (1 + i)][x – (1 – i)] = x2 – 2x + 2
 [x – (–1 + i)][x – (1 – i)] = x2 + 2x +
2

Vậy ta có x4 + 4 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

4/. Củng cố: (4 phút): mang tính chất hướng dẫn.

a/. 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

c/. x4 + 64

5/. Dặn dò – nhận xét tiết học: (1 phút)

3.3. Kết quả thực nghiệm

- Qua quá trình thực nghiệm nội dung phân tích đa thức thành nhân tử và ứng
dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử như đã nêu trên, kết quả đạt được
như sau:

- Kết quả triển khai trong Tổ chuyên môn: Được sự quan tâm chỉ đạo của nhà
trường cũng như uy tín của trường Đại Học Đồng Tháp, nhà trường đã tổ chức
được một buổi trao đổi về đề tài một cách cụ thể cho giáo viên trong tổ. Sau đó
chúng tơi tiến hành lấy ý kiến của những giáo viên trong tổ bằng phiếu góp ý
kiến. Nhìn chung đa số giáo viên trong tổ chuyên môn đều thống nhất với những
nội dung thực nghiệm như đã nêu trong chương 2 của đề tài.

* Kết quả thực nghiệm tại trường THCS An Thạnh Nhì:

Chất lượng học sinh

Lần kiểm tra
Lần 1 (Tổng số: 39 học

sinh, kết quả kiểm tra
năm học trước)

Lần 2 (Tổng số: 38 học
sinh)

Tổng số Tỉ lệ Tổng số Tỉ lệ

Học sinh làm bài chưa

được (điểm dưới 5) 6 15.38% 2 5.27%

Học sinh làm bài được
nhưng chưa hoàn chỉnh

(điểm từ 5 – 6.5)

13 33.34% 11 23.95%

Học sinh làm bài được
nhưng chưa đầy đủ các
bước (điểm từ 7 – 8)

14 35.90% 15 39.47%

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

hoàn chỉnh (điểm trên 8.5)

* Kết quả thử nghiệm tại trường THCS Trinh Phú: Do nội dung của

việc ứng dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (rút gọn phân
thức, giải phương trình, giải bất phương trình và chứng minh đẳng thức) đến thời
điểm hiện nay thì học sinh lớp 8 chưa học đến nên chúng tôi mạnh dạng thử
nghiệm trên học sinh đã học qua lớp 8 (đang học lớp 9). Chúng tôi tiến hành
triển khai lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của
nó trong 2 buổi và buổi thứ 3 cho HS làm bài kiểm tra và kết quả đạt được như
sau:

Tổng số Giỏi

(Trên 8 điểm)

Khá

( Từ 6.5 đến 7.5)

Trung bình

( Từ 5 đến 6) Điểm dưới 5

30 HS 11 8 8 3

Tỉ lệ % 36.66% 26.67% 26.67% 10%

3.4 Kết luận sư phạm

Trong quá trình giảng dạy về các phân tích đa thức thành nhân tử và
việc ứng dụng của nó, chúng tơi nhận thấy các phương pháp đưa ra là phù hợp
với đối tượng, đa số học sinh hiểu sâu được lí thuyết, nắm được các dạng tốn và
đều phân tích được các đa thức thành nhân tử và ứng dụng được vào thực tiễn
như: rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng
thức, … Bên cạnh đó vẫn còn một số học sinh lúng túng trong khi phân tích và
một số ít vẫn cịn làm tắt, bỏ qua những bước lập luận cơ bản. Cần rèn luyện cho
học sinh về cách lập luận logic và cách trình bày bài toán.

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

PHẦN 3. KẾT LUẬN

* Kết luận chung

Qua thời gian gần 4 tháng nghiên cứu, tìm hiểu, trao đổi và thực nghiệm
bằng nhiều phương pháp khác nhau. Nhóm sinh viên chúng tơi cũng đã hồn
thành đề tài nghiên cứu của mình một cách hồn thiện nhất.

Đề tài đã hệ thống được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
và một số ứng dụng của nó trong giải toán, giúp người giáo viên Trung học cơ
sở, đặc biệt giáo viên dạy Toán khối 8 và giáo viên bồi dưỡng HSG khối 9 của
trường có được một hệ thống các bài tập, ví dụ để ơn tập cũng như bồi dưỡng
cho các em HS.

Có được hệ thống phương pháp dành riêng cho từng loại đối tượng HS.
1. Kết quả đạt được

Phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng tốn có vai trị rất quan trọng,
nó được xem là nền tảng vững chắc để tiếp thu và giải các dạng tốn khác có liên
quan.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Quá trình nghiên cứu đề tài này đã giúp chúng tôi bước đầu làm quen với
một đề tài nghiên cứu khoa học, tuy có nhiều cố gắng nhưng chắc hẳn đề tài
khơng tránh khỏi những thiếu sót và khuyết điểm, chúng tơi rất mong được sự
đóng góp nhiệt tình của quý thầy cô, đồng nghiệp và các bạn học viên để đề tài
của chúng tơi được hồn thiện hơn. Chúng tơi chân thành cảm ơn và rất mong có
được sự đóng góp ý kiến.

2. Hạn chế của đề tài

- Đa số học sinh không vận dụng được hết các phương pháp đã trình
bày trong đề tài.

- Chưa thực nghiệm được trên cùng đối tượng học sinh (còn thử
nghiệm trên học sinh lớp 9).

3. Hướng phát triển của đề tài

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Đức Chí (2004), 500 bài tốn cơ bản và nâng cao 8, NXB Đại
học sư phạm.

[2] Phan Đức Chính (2005), SGK Tốn 8 tập 1, 2, NXB giáo dục.
[3] Phan Đức Chính (2005), SGV Toán 8 tập 1, 2, NXB giáo dục.
[4] Nguyễn Hữu Điển (2006), Đa thức và ứng dụng, NXB giáo dục.
[5] Nguyễn Bá Kim (2000), PP dạy học mơn Tốn, NXB giáo dục.
[6] Hoàng Kỳ (1999), Đại số sơ cấp, NXB giáo dục.

[7] Nguyễn Văn Nho (2004), Phương pháp giải các dạng Toán 8 tập 1, 2,
NXB giáo dục.

[8] Nguyễn Đức Tấn (2004), Giải bằng nhiều cách các bài tốn 8, NXB Đại
học sư phạm.

[9] Tơn Thân (2009), SBT Toán 8 tập 1,2, NXB giáo dục.

[10] Đỗ Đức Thái – Đỗ Thị Hồng Thúy (2004), Bồi dưỡng Toán 8, NXB giáo
dục.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

PHỤ LỤC

Đề kiểm tra thực nghiệm (Đề 1)

Trường THCS An Thạnh Nhì

Họ và tên HS: ………..
Lớp :

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Bài 1: 8xy3 + 2xy2

Bài 2: 9xy(y – 2z) – 15x(y – 2z)
Bài 3: 9x2 + 24x + 16

Bài 4: (3x – 1)2 – x2
Bài 5: x2y2 – x2y4

Bài 6: 5xy + y + 10x + 2
Bài 7: x5 + x3 + x2 + 1
Bài 8: ax2 – ay2 + bx2 – by2
Bài 9: x3 + 2x2 + x

Bài 10: x2 – 2xy + y2 + xz – yz
Bài 11: 8x3 + 27y3

Bài 12: x2 + 3x + 2
Bài 13: x4 + x2 + 1
Bài 14: x4 + 4

Đáp án

Bài 1: 8xy3 + 2xy2 = 2xy2(4y + 1)

Bài 2: 9xy(y – 2z) – 15x(y – 2z) = 3x(y – 2z)(3y – 5)
Bài 3: 9x2 + 24x + 16 = (3x + 4)2

Bài 4: (3x – 1)2 – x2 = (4x – 1)(2x – 1)
Bài 5: x2y2 – x2y4 = x2y2(1 – y)(1 + y)

Bài 6: 5xy + y + 10x + 2 = (5x + 1)(y + 2)

Bài 7: x5 + x3 + x2 + 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x2 – x + 1)
Bài 8: ax2 – ay2 + bx2 – by2 = (a + b)(x + y)(x – y)
Bài 9: x3 + 2x2 + x = x(x + 1)2

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Bài 11: 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
Bài 12: x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

Bài 13: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Bài 14: x4 + 4 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2)

Đề kiểm tra thực nghiệm (Đề 2)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 1: 14x2y3 + 2xy4 – 4xy
Bài 2: 5x2(y – 2z) – 20x(y – 2z)2
Bài 3: 4x2 + 12x + 9

Bài 4: (2x + 1)2 – 16x2
Bài 5: x2y4 – 25x2y2
Bài 6: xy + 5y + 2x + 10
Bài 7: x5 – x3 + x2 – 1
Bài 8: ax2 – ay2 – bx2 + by2
Bài 9: 3x3 – 6x2 + 3x

Bài 10: x2 + 2xy + y2 + xz + yz
Bài 11: 24x3 + 81y3

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Bài 1: 14x2y3 + 2xy4 – 4xy = 2xy(7xy2 + y3 – 2)

Bài 2: 5x2(y – 2z) – 20x(y – 2z)2 = 5x(y – 2z)(x – 4y + 8z)
Bài 3: 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2

Bài 4: (2x + 1)2 – 16x2 = (1 + 6x)(1 – 2x)
Bài 5: x2y4 – 25x2y2 = x2y2(y + 5)(y – 5)
Bài 6: xy + 5y + 2x + 10 = (x + 5)(y + 2)

Bài 7: x5 – x3 + x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)2(x2 – x + 1)
Bài 8: ax2 – ay2 – bx2 + by2 = (a – b)(x + y)(x – y)
Bài 9: 3x3 – 6x2 + 3x = 3x(x – 1)2

Bài 10: x2 + 2xy + y2 + xz + yz = (x + y)(x + y + z)
Bài 11: 24x3 + 81y3 = 3(2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
Bài 12: 2x2 + 5x + 2 = (x + 2)(2x + 1)

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Trường THCS Trinh Phú

Họ và tên HS: ………..
Lớp :

ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM

(

KẾT QUẢ ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

)

(Thời gian làm bài 60 phút)

Câu 1: Chứng minh rằng: n3 –n M 6 (2 điểm)

Câu 2: Chứng minh rằng: ( 5)2 2

2 5

x x

x

-+ = 5 (2 điểm)

Câu 3: Rút gọn biểu thức:

16 25 3 3 1

4 5 1

a ab a b

A

a b

- - +

-- - (1.5 điểm)

2 2

( 9)( 3 9)

x
B

x x x

- + + (1.5 điểm)

Câu 4: Giải phương trình: ( 3 điểm)

a) ( x2 + x – 6) = 0 ( 1 điểm)

b) (x2 – 3 x – 4) = 0 ( 1 điểm)

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Câu 1: Chứng minh rằng: n3 –n M 6

Ta có: n3 – n= n(n2-1)=n(n-1)(n+1) 
Ta có tích 2 số liên tiếp chia hết cho 2
Tích 3 số liên tiếp chia hết cho 3

Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6
( Nguyên lý Đirichlet)

Câu 2: Chứng minh rằng: ( 5)2 2

2 5

x x

x

-+ = 5

VT = ( 5)2 2

2 5

x x

x

-+ =

( 5 )( 5 )

2 5

x x x x
x

+ - + +

=5(2 5) 5

2 5
x
x
+
=
+

Câu 3: Rút gọn biểu thức:

16 25 3 3 1

4 5 1

a ab a b

A
a b
- - +
-=
--
-Giải:

Ta có: 16 2 25 3 3 1

4 5 1

a ab a b
A

a b

- - +

-- - =

(4 5)(4 5) 3 ( 1) ( 1)

4 5 1

a a a b b

a b

- + - - +

= 4 5 ( 1)(3 1)
1
b a
a
b
- +
+

=4a+ -5 3a- 1= +a 4

2 2

( 9)( 3 9)

x
B

x x x

-=
- + +
Giải:
Ta có:
3
2 2
27

( 9)( 3 9)

x
B

x x x

- + + =

2
2

( 3)( 3 9)

( 3)( 3)( 3 9)

x x x

x x x x

- + +

- + + +

= 1

(x+3)

Câu 4: Giải phương trình:
a) x2 + x – 6 = 0
Giải:

Ta có: x2 + x – 6 = 0

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

 3 0
2 0
x
x
é + =
ê
ê - =
ê
ë
 3
2
x
x
é =

-ê
ê =
ê
ë

Vậy nghiệm của phương trình là é = -êê =xx 23

ê
ë

b) x2 – 3 x – 4 = 0

Giải:

Ta có  x2 + x - 4x – 4 = 0
 (x2 + x) – (4x + 4) = 0
 x(x+1) -4 (x+1)= 0
 (x+1)(x -4)= 0

 1 0

4 0
x
x
é + =
ê
ê - =
ê
ë

 1
4
x
x
é =
-ê
ê =
ê
ë

Vậy nghiệm của phương trình là é = -êê =xx 41

ê
ë

c) (x2 – 5x – 6) (x2 – 2 x – 3) = 0

Giải:

Ta có:  (x2 – 5x – 6) (x2 – 2 x – 3) = 0

 [(x2 +x) –(6x +6)][ (x2 +x)-(3 x + 3)] =0
 [x(x +1) –6(x +1)][x (x +1)-3( x + 1)] =0
( x - 6)(x +1) (x +1)(x - 3) =0

( x - 6)(x +1)2(x - 3) =0 

6 0
3 0
1 0

x
x
x
é - =
ê
ê - =
ê
ê + =
ê
ë
 
6
3
1
x
x
x
é =
ê
ê =
ê
ê =
-ê
ë

Vậy nghiệm của phương trình là

</div>

Luan van Toan 8

<b>PHẦN 1. MỞ ĐẦU</b>

<b>PHẦN 2. NỘI DUNG</b>

<b>CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN</b>

Ă

Ê

...

<i>a x x</i>

<i>x</i>

å





<sub></sub>

¡

£

¡

Ô

Ô

Ô

<b>CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ</b>

<b>ỨNG DỤNG CỦA VIỆC PHÂN TÍCH ĐA THỨC</b>

<b>THÀNH NHÂN TỬ</b>

<i>x y z x</i>

® ® ®

<i>x y z x</i>

® ® ®

<i>a</i>

+

4

<b>CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM</b>

<b>PHẦN 3. KẾT LUẬN</b>

<b>PHỤ LỤC</b>

<b>ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM</b>

(

<b>KẾT QUẢ ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP</b>

<b>PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ</b>

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về