Nhung van de can thiet giup day hoc hieu qua toanchung minh trong chuong trinh Toan 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.33 KB, 18 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

I. MỞ ĐẦU:

1. Cơ sở và lí do chọn đề tài:

Trong q trình dạy học bộ mơn Tốn ở bậc THCS, đặc biệt là chương trình Tốn
lớp 9 hiện hành; việc thực hiện đúng quy trình một bài tốn chứng minh là một việc
làm hết sức quan trọng và cần thiết, góp phần giúp cho học sinh ln có được cảm
giác, trực giác tốn học tốt. Đặc biệt là rèn luyện tư duy logic, lý luận chặt chẽ, khả
năng sáng tạo và trí thơng minh khi giải bài toán chứng minh, nhất là chứng minh
một bài tốn hình học.

Tuy nhiên, khi tiến hành giải một bài toán chứng minh, chúng ta thường dễ mắc
phải một số sai lầm, ngộ nhận trong các bước suy luận logic, nhầm lẫn giữa suy luận
và suy diễn, giữa kiểm tra mệnh đề và chứng minh mệnh đề; đơn thuần chỉ sử dụng
phương pháp chứng minh trực tiếp, chưa đào sâu các phương pháp chứng minh độc
đáo khác, thậm chí nhiều khi cịn áp đặt và cứng nhắc khi giải tốn chứng minh,….

Từ những cơ sở lí luận và nhận thức nêu trên, bản thân ln cố gắng tìm tịi và
nghiên cứu tài liệu, tích lũy nhiều kinh nghiệm trong quá trình dạy học để viết nên
một Sáng kiến kinh nghiệm có đề tài: “ Những vấn đề cần thiết giúp dạy học hiệu
quả toán chứng minh trong chương trình Tốn 9 ”. Với mục đích đưa ra được
những vấn đề cần thiết và then chốt nhất; nhằm xây dựng những giải pháp thiết thực
và hữu hiệu để việc giảng dạy dạng toán chứng minh ở lớp 9 đi đúng hướng, góp
phần nâng cao chất lượng bộ mơn trong từng học kì và năm học.

2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
a/ Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh khối 9 Trường THCS Đại Đồng:
b/ Phạm vi nghiên cứu:

- Các tiết dạy theo thời khóa biểu chính khóa và Tự chọn.

- Các bài toán chứng minh trong nội vi chương trình lớp 9 và Tốn THCS.

- Tham khảo các tài liệu như: Sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu chỉ đạo về
chuẩn kiến thức của Bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên,…

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Thực hiện các tiết chuyên đề trong tổ chuyên môn để đúc rút kinh nghiệm.
- Tập trung nghiên cứu về khái niệm, yêu cầu, phân tích và các phương pháp chứng
minh. Đi sâu nghiên cứu về phương pháp phân tích đi lên, chứng minh bằng phương
pháp phản chứng.

3. Kế hoạch nghiên cứu:
a/ Nghiên cứu tài liệu:

Để thực hiện đề tài này, xuyên suốt trong những năm học qua, tơi đã tích cực
tham khảo và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh
nghiệm, nghiên cứu các bài tốn chứng minh có trong chương trình Tốn THCS nói
chung và chương trình Tốn 9 nói riêng; chắt góp những nội dung, những kinh
nghiệm quan trọng về việc giải tốn chứng minh, lập kế hoạch trình bày Sáng kiến
kinh nghiệm một cách hợp lí và có trình tự.

b/ Nghiên cứu thực tế:

- Trải qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn tốn 9, bản thân đã đúc rút được nhiều kinh
nghiệm từ đồng nghiệp, từ thực tế trên lớp về việc dạy học các bài toán chứng minh,
ghi chép lại những điều cần thiết để làm sao tiết dạy sau thực hiện tốt hơn, hiệu quả
hơn tiết dạy trước.

- Với những tiết dạy có dạng tốn chứng minh, tơi thường xun thăm dị, tìm hiểu

mức độ nắm bắt và vận dụng giải toán của học sinh, điều chỉnh cách dạy cho đúng
hướng và hợp lí hơn.

- Thực hiện chuyên đề về dạy bài toán chứng minh trong tổ chuyên môn, nhằm
thể nghiệm đề tài qua thực tiễn và tranh thủ tiếp thu những ý kiến đóng góp
của giáo viên bộ môn trong tổ.

4. Phương pháp:

-Phối kết hợp nhiều phương pháp trong quá trình nghiên cứu như:chứng minh,gợi
mở,đàm thoại, thuyết trình,đặt, nêu và giải quyết vấn đề.

-Sử dụng sách giáo khoa ,các tài liệu tham khảo,cùng với việc kết hợp khảo sát
chất lượng học tập thực tế của học sinh qua các phiếu thăm dò,các bài kiểm tra.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Để thể hiện tốt và có hiệu quả việc giảng dạy bài toán chứng minh, chúng ta cần
trang bị cho mình những vấn đề cần thiết sau:

1. Khái niệm chứng minh:

Một phép chứng minh là một dãy hữu hạn các mệnh đề A ,A ,...,An1 2 . Trong đó
mỗi một A (k n)k  hoặc là một tiên đề, hoặc là một giả thiết, hoặc là một định lí đã
biết, hoặc là một mệnh đề được suy ra từ một hoặc một số các mệnh đề khác bằng
suy luận hợp logic. Mệnh đề An được gọi là mệnh đề cần chứng minh.

Có rất nhiều soạn giả đã khái niệm chứng minh như sau: “Chứng minh là quá
trình suy nghĩ để xác định rằng: phán đốn nào đó là đúng, bằng cách dựa vào những
phán đoán khác đã được thừa nhận là đúng” – Hoàng Chúng (Mấy vấn đề logic trong
giảng dạy Toán học. NXB Giáo dục, 1962); hoặc “Chứng minh là thao tác logic dùng
để lập luận tính chân thực của phán đốn nào đó nhờ các phán đốn chân thực khác

có mối liên hệ hữu cơ với phán đoán ấy” – Vương Tất Đạt (Logic học. Sách bồi
dưỡng thường xuyên chu kỳ 1997 – 2000).

Ta cần lưu ý rằng: Trong Toán học, vấn đề kiểm tra, thực nghiệm và vấn đề
chứng minh tuy rằng có một sự liên hệ nào đó nhưng lại là hai vấn đề khác nhau hồn
tồn. Bởi vậy, khi chứng minh định lí hay chứng minh một bài tốn thì phải dùng suy
luận, không dùng thực nghiệm (thực nghiệm chỉ giúp phát hiện cách chứng minh).

2. Các yêu cầu của một chứng minh:

Bất kì một chứng minh nào cũng gồm có 3 phần:

 Luận đề: Mệnh đề cần chứng minh.

 Luận cứ: Các mệnh đề đúng đã biết như tiên đề, định nghĩa, định lí,….
 Luận chứng: Các quy tắc kết luận logic.

Mỗi một chứng minh phải đạt 3 yêu cầu sau:

 Yêu cầu 1: Luận cứ phải chân thực. Những tiền đề dùng trong chứng minh phải

đúng đắn.

 Yêu cầu 2: Luận chứng phải chặt chẽ. Các phép suy luận dùng trong chứng minh

phải là các phép suy luận hợp logic.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

c b

C
H

 Yêu cầu 3: Không được đánh tráo luận đề. Không được thay thế mệnh đề cần

chứng minh bằng những mệnh đề khơng tương đương với nó.

Sau đây là một số ví dụ về những sai lầm do vi phạm những yêu cầu cần thiết khi
thực hiện một chứng minh:

 Ví dụ 1: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 1)

Bài tập 16/trang 12 – SGK lớp 9, tập 1: Chứng minh “Con muỗi nặng bằng con
voi” sau đây:

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:

2 2 2 2

m V V m

Cộng cả hai vế với  2mV, ta có:









2 2 2 2

m 2mV V V 2mV m

2 2

hay : m V V m

    

  

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:



m V



2 



V m .



Do đó: m V V m  

Từ đó ta có: 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)

Sai lầm trong chứng minh trên đây là do ngộ nhận, đưa vào ứng dụng một mệnh
đề sai, đó là: A2 A

 , dẫn đến sai lầm cho rằng:



m V



2 



V m



2 nên có được m V V m   (!)

 Ví dụ 2: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 2)

Chứng minh định lí 4/trang 67 – SGK lớp 9, tập 1: “Trong một tam giác vng,
nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo
của bình phương hai cạnh góc vng”.

Một cách chứng minh sai:

Ta có:

Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng





2 2 2

2 2
2 2 2

2 2 2 2 2
2 2 2 2

1 1 1

(1)

h b c

1 b c

h b c

b c h b c

a h b c
ah bc (2)

 



 

  

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Do (2) đúng nên (1) đúng. Vậy định lí đã được chứng minh.

Sai lầm trong chứng minh này là sai lầm về luận chứng, suy luận không hợp logic, vi
phạm quy tắc Modusponens: A B,A



(A kéo theo B, A đúng thì B đúng), ở đây lại
dùng quy tắc sai: A B,B



(A kéo theo B, B đúng thì A đúng), đó là một sai lầm rất
phổ biến đối với học sinh chúng ta hiện nay; bởi vậy giáo viên phải thường xuyên
uốn nắn, sửa sai cho học sinh trong từng tiết dạy. (để cách chứng minh trên trở thành
đúng, ta có thể thay dấu " " bằng dấu " " hoặc chứng minh như SGK lớp 9, tập

1/trang 67).

 Ví dụ 3: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 3)

Giải phương trình:
Giải:

Phương trình (2) có 2 nghiệm là: x1 1; x2 3

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là: x1 1; x2 3

Sai lầm trong bài làm này là người giải đã đưa vào các bước biến đổi khơng
tương đương, do khơng đặt điều kiện của phương trình. Tức là người giải đã tùy tiện
chứng minh phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương
với nhau, dẫn đến phương trình đã cho dư nghiệm. Để khắc phục sai sót này, giáo
viên tập cho học sinh có thói quen thử lại nghiệm sau khi giải xong phương trình, nhờ
đó học sinh sẽ phát hiện ra mình đã quên đặt điều kiện của bài.

Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng

2
2

2 2

2
2

x 3x 6 1

(1)

x 9 x 3

x 3x 6 x 3

(1)

x 9 x 9

x 3x 6 x 3
x 4x 3 0

( )2

 



 

  

 

 

    

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3. Phân tích một chứng minh:

Để thực hiện tốt một chứng minh thì việc đi phân tích chứng minh đó đóng một
vai trị khá quan trọng. Ta có thể hiểu rằng: phân tích một chứng minh là chỉ ra được
trong phép chứng minh này, chúng ta sẽ sử dụng những

mệnh đề nào, những phép suy luận nào? Thường ta phân tích một
chứng minh bằng hai phương pháp:

 Phương pháp1:

Khai thác triệt để giả thiết bài toán, liệt kê cụ thể các vấn đề cần
thiết cho chứng minh. Có thể nắm bắt cách phân tích này bằng sơ đồ bên:
( có A ắt có A1, có A1 ắt có A2, ….., có An-1 ắt có An, có An ắt có B tức là

có được điều cần phải chứng minh )

 Phương pháp 2:

Phân tích đi lên từ kết luận của bài tốn (cách phân tích này rất hay

và quan trọng, giúp cho học sinh hiểu được mối quan hệ logic giữa điều
cần phải chứng minh và điều cần để chứng minh, phát triển tư duy suy luận,
óc sáng tạo và chủ động cao khi giải một bài toán chứng minh.

Tuy nhiên không phải chứng minh nào cũng dùng phương pháp này được).
Sơ đồ bên là sơ đồ của mơt phân tích đi lên:

( Muốn chứng minh được B thì cần phải chứng minh được B1,

muốn chứng minh được B1 thì cần phải chứng minh được B2, …

muốn chứng minh được Bn-1 thì cần phải chứng minh được Bn,

muốn chứng minh được Bn thì cần có GT A )

Dựa vào hai cách phân tích trên đây, giáo viên cho học sinh trình bày lại hồn
chỉnh bài tốn chứng minh, bằng cách bổ túc những cơ sở, luận cứ và các thuật ngữ
thường dùng như: “Ta có”, “Ta lại có”, “Vì”, “Bởi vì”, “Do đó”, “Nên”, “Cho nên”,
“Mà”, “Mặt khác”, “Hay”, “Suy ra”, “Tức là”, “Vậy”,….

Cùng một chứng minh, nhưng có thể có nhiều cách phân tích khác nhau. Cho nên
cứ sau mỗi phân tích giáo viên nhắc học sinh phải tự đặt ra câu hỏi là: có cịn cách
phân tích nào khác nữa khơng? Nhờ vậy chúng ta sẽ tìm ra được nhiều cách chứng

Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng




GT A
 
 A1
 
 A2
 
 
 An
 
 KL B






KL B
 
 B1
 
 B2

Bn
 
 GT A

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

O
B

minh khác nhau, trên cơ sở đó giáo viên chọn lựa ra cách chứng minh phù hợp nhất
với thực lực của lớp để giải cho học sinh.

 Ví dụ 1:

Khi giải bài tập 22/trang 76 – SGK lớp 9, tập 2:

“Trên đường trịn (O) đường kính AB, lấy điểm M (M khác A và B). Vẽ tiếp tuyến
của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta ln có:
MA2 = MB.MC”.

a) Phân tích theo phương pháp 1: (Khai thác giả thiết bài toán)

Giáo viên cho học sinh đọc kỹ đề, chú ý kết luận của bài: MA2 = MB.MC; rồi có

thể lập luận rằng: đây là dạng chứng minh hệ thức tích, nên ta thường dùng phương
pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng (đặc biệt là trường hợp góc góc), hoặc là

dùng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải. Từ đó giáo viên cho học sinh
vẽ hình, định hướng cách giải theo lập luận trên.

 Hướng dẫn học sinh thực hiện chứng minh trên bằng phương pháp chứng minh hai

tam giác đồng dạng:

Xét AMB và CMA

Ta coù: ...?

AMB CMA

Ta có tỉ lệ thức:...?

MA MB.MC(ñpcm)

 



 








 Hướng dẫn học sinh thực hiện chứng minh đã cho bằng phương pháp dùng các hệ

thức lượng trong tam giác vuông:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

O
12
B
M
A
C
 
Qua một

số phân tích

trên, rõ ràng cách phân tích dựa vào hệ thức: “Trong một tam giác vng, bình

phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc
vng trên cạnh huyền” là cách làm phù hợp nhất đối với bài toán đã cho.

b) Phân tích theo phương pháp 2: (Phân tích đi lên)

Cách 1:

Cách 3:
Cách 2:

Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
 
 
 


2
1
2

Cm : MA MB.MC

MA MB

Cm:

MC MA

Cm : MAB MCA Cm : C A (Do....)
Cm: A B (Do....)
Cm : AMB CMA

(AMB ... do...
CMA ... do...)





   
 





 
 
2
0 0
0 0

Cm: MA MB.MC

Cm: AM BC (M BC); ABC vuông

Cm: AMB 90 ; BAC=90
(AMB=90 do...; BAC=90 do...)



  



2

2 2 2

2 2

Cm: MA MB.MC

Maø: MA AB MB (Theo....)

Cm: AB MB MB.MC

Ta coù: AB MB.BC (Theo...)

Cm: MB.BC MB MB.MC



 
 


 
2
2
2

Cm: MB.BC MB.MC MB

Cm: MB.(BC MC) MB

Cm: MB.MB MB
Điều này luôn đúng.


 

 






  
 

2 2 2

Xeùt ABC

Ta coù:... ?

1 1 1

AM là đường cao

AM AB AC

1
Suy ra:...?

AM  

 
 


2
2
1 1
BM.BC BN.BC

MA MB.MC(ñpcm) ...?

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

E
D N
M
C
B
A

 Ví dụ 2 :

Phân tích đi lên đối với bài toán: “Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó B
nằm giữa A và C . Vẽ tam giác đều DAB và tam giác đều EBC sao cho D và E ở về
cùng một phía đối với đường thẳng AC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DC và
AE.

Chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác đều”. (Trích đề thi học sinh giỏi tốn
lớp 9 tồn quốc, năm 1982)

Phân tích:

Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng


 

Cm : BMN đều

Cm : BM=BN vaø NBM 60

1. Cm : BMC BNE

Co ùđược : BC=BE (gt)

E C
Cm :

MC NE

Cm : ABE DBC

AB BD

Co ùđược:




 


 





 


 0  

(gt)
BE BC (gt)

ABE( 60 DBE) DBC

Đủ điều kiện (g.c.g)







  


  
 
0

2. Cm: NBM 60

maø NBM NBE EBM

Cm: NBE MBC

(Suy ra từ BNE BMC, cmt)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

E
B

S
O

D
C

( bài này cũng có thể phân tích bằng nhiều cách khác)

4. Chứng minh trực tiếp:

Khi chúng ta thực hiện một chứng minh xuất phát từ một mệnh đề đúng cho
trước bằng các phép suy luận hợp logic, để chứng minh tính chất đúng đắn của kết
luận, thì ta nói rằng ta đã chứng minh trực tiếp mệnh đề đã cho (đây là chứng minh
phổ biến nhất trong chương trình Tốn THCS, đa phần giáo viên bộ môn thực hiện
thành thạo và hiệu quả phương pháp chứng minh trực tiếp. Chính vì vậy, nội dung
SKKN sẽ khơng đi sâu phương pháp này).

 Ví dụ :

Bài tập 39/trang 83 – SGK lớp 9, tập 2: “Cho AB và CD là hai đường kính vng
góc của đường trịn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia
AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S. Chứng minh ES = EM”

Giải:

5. Chứng minh gián tiếp:
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng

  

   



 

sñCA sñBM

MSE (góc có đỉnh ở trong (O)) (1)

1 sđCB sđBM

CME sđCM (2)

2 2

(do CME là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
Theo giả thiết: CA CB (3) (do AB CD)

Từ (1), (2) và (3) ta có: MS






 

 

 E CME.

Vậy tam giác ESM cân tại S, hay ES = EM(ñpcm).

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) Phương pháp loại dần:

(Phương pháp này sử dụng không nhiều trong chương trình Tốn THCS)

 Ví dụ 1 : Trong các số sau, số nào khai phương được? (chỉ có một lựa chọn đúng):
A. 64; B. 4000; C. 6241 ; D. 41;

Giải:

Khơng chọn A vì  64 là số âm nên không thể khai phương được.

Không chọn B vì 4000 có số chữ số 0 tận cùng lẻ nên khơng thể khai phương được.
Khơng chọn D vì 41 là số nguyên tố nên không thể khai phương được.

Vậy chọn C chắc chắn đúng.

 Ví dụ 2 :

Một trường THCS chọn bốn em học sinh lớp 9 có tên là Trâm, Mai, Hoa, Lan dự
thi học sinh giỏi 19/4 tỉnh Bình Thuận. Kết quả có ba em đạt các giải nhất, nhì, ba và
một em khơng đạt giải, khi mọi người ở trường hỏi kết quả các em trả lời như sau:
Trâm: em đạt giải nhì hoặc ba.

Mai: em đã đạt giải.
Hoa: em đạt giải nhất.
Lan: em không đạt giải.

Biết rằng trong đó có ba bạn nói thật và một bạn nói đùa. Hãy cho biết học sinh

nào đã nói đùa, học sinh nào đạt giải nhất và học sinh nào khơng đạt giải?

Giải:

Nếu Trâm nói đùa thì cả ba bạn Mai, Hoa, Lan đều nói thật. Như vậy cả Trâm và
Hoa đều đạt giải nhất. Điều này vơ lí (vì chỉ có một em đạt giải nhất), vậy Trâm đã
nói thật.

Nếu Mai nói đùa thì cả ba bạn Trâm, Hoa, Lan đều nói thật. Như vậy cả Mai và
Lan đều khơng đạt giải. Điều này vơ lí (vì chỉ có một em khơng đạt giải), vậy Mai đã
nói thật.

Nếu Lan nói đùa thì cả ba bạn Trâm, Mai, Hoa đều nói thật. Như vậy cả bốn bạn
đều đạt giải. Điều này vơ lí (vì chỉ có ba em đạt giải), vậy Lan đã nói thật.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Do đó ta kết luận được cả Trâm, Mai và Lan đều nói thật, Hoa nói đùa. Có nghĩa
là Hoa đạt giải nhì hoặc ba, Trâm đạt giải nhì hoặc ba, Mai đạt giải nhất, cịn Lan
khơng đạt giải.

b) Phương pháp chứng minh phản chứng:

Phương pháp này thường được sử dụng đối với các chứng minh có chứa các từ:
“Tồn tại”, “Với mọi”, hoặc sử dụng để chứng minh các định lí đảo, định lí về sự tồn
tại và tính duy nhất,...

b1) Khái niệm:

Một mệnh đề Tốn học hoặc là đúng, hoặc là sai mà không thể đồng thời vừa
đúng vừa sai. Muốn chứng minh một mệnh đề đúng ta có thể chứng minh nó khơng
sai. Nói cách khác, giả sử mệnh đề đó sai thì sẽ dẫn đến một điều vơ lí. Phương pháp

chứng minh như vậy được gọi là chứng minh bằng phản chứng (còn được gọi là

reductio ad absurdum, tiếng Latinh có nghĩa là: “Thu giảm đến sự vơ lí”).

b2) Các bước chứng minh bằng phản chứng:

Một phép chứng minh bằng phản chứng gồm 3 bước:

 Bước giả định: Giả sử mệnh đề cần chứng minh là sai.

 Bước truy nguyên: Xuất phát từ việc giả sử mệnh đề sai ta dẫn đến một điều vơ lí

(hoặc trái với giả thiết, hoặc là mâu thuẫn với một định lí, tiên đề, một kết luận đã
được chứng minh là đúng, hoặc dẫn đến hai mâu thuẫn khác nhau)

 Bước kết luận: Điều vơ lí nêu trong bước truy nguyên chứng tỏ rằng mệnh đề đã

cho không sai, tức là công nhận mệnh đề đã cho đúng.

 Ví dụ 1: Chứng minh 2 là một số vô tỉ.

Giải:

Giả sử 2 là số hữu tỉ, ta sẽ biểu diễn được:

Bình phương 2 vế của (1) ta được: 2b2 = a2 (2)

Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng

a a

2 (Với a, b Z; b 0; tối giản), do đó: b 2 = a (1).

b b

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

C B
A

O O'

x
A

Suy ra: a là số chẵn, mà a là số nguyên nên a là số chia hết cho 2 (bất kì số ngun
nào có bình phương là số chẵn thì số đó ln chia hết cho 2)

Ta viết được a = 2c (cz), thay vào (2) ta sẽ có: 2b2 = (2c)2 = 4c2 b2 = 2c2

Lập luận tương tự, ta có: b 2

Do cả a và b đều chia hết cho 2, nên a

b chưa tối giản.

Điều này trái với giả thiết là: a

b tối giản.

Vậy 2 là một số vô tỉ.

 Ví dụ 2: Bài tập 20/trang 76 – SGK lớp 9, tập 2.

“Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và
AD của hai đường trịn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng”.

Giải:

Giả sử ba điểm C, B, D không thẳng hàng.
Suy ra BC và BD là hai đường thẳng phân biệt.
Mà ABC vaø ABD  là hai góc nội tiếp chắn nửa

đường trịn, nên:

Như vậy, qua điểm B ta có hai đường thẳng
phân biệt BC và BD cùng vng góc với AB.

Điều này trái với tiên đề Ơclit. Do đó BC và BD phải trùng nhau, hay ba điểm C, B,
D thẳng hàng.

 Ví dụ 3: Bài tập 30/trang 79 – SGK lớp 9, tập 2.

“Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp

tuyến và dây cung, cụ thể là: (Xem hình vẽ)

Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm nằm trên đường
trịn, một cạnh chứa dây cung AB), số đo bằng

Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng

  0

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

C
O

x
A

nửa số đo cung AB căng dây đó và cung này nằm
bên trong góc BAx thì cạnh Ax là một tia tiếp
tuyến của đường tròn.”

Giải:

Giả sử cạnh Ax khơng phải là tiếp tuyến của

đường trịn (O) tại A mà là cát tuyến đi qua A, và giả sử nó cắt (O) tại C.
Khi đó BAC là góc nội tiếp và BAC 1sđAB

 .

 1   

(Do BAC sñBC, BC AB)

 

Điều này trái với giả thiết (góc đã cho có số đo
bằng 1 sđAB

2 ).

Vậy cạnh Ax khơng thể là cát tuyến, mà phải là tia tiếp tuyến

 Ví dụ 4:

Chứng minh rằng không tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời các bất
đẳng thức:

Giải:

Giả sử tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời (1), (2), (3). Ta có:

2 2

- Từ (1) a < (b-c) (a+b-c)(a-b+c) < 0 (4)
- Từ (2) b < (c-a) (b+c-a)(b-c+a) < 0 (5)
- Từ (1) c < (a-b) (c+a-b)(c-a+b) < 0 (6)

 

Nhân vế theo vế của (4), (5), (6), ta được:

2 2 2 2. 2 2

(a b c) (a c b) (b c a)       0 (điều này vô lí do: A .B .C 0)

Chứng tỏ không tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời các bất đẳng thức
(1), (2), (3) đã cho.

Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng

a b c (1)
b c a (2)
c a b (3)

 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

A B

 Ví dụ 5:

Cho tứ giác lồi ABCD, về phía trong của tứ giác, ta dựng những nửa hình trịn có
đường kính theo thứ tự là các cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng tứ giác ABCD hoàn
toàn bị phủ kín.

Giải:

Giả sử tồn tại một điểm M thuộc miền trong của tứ giác lồi ABCD khơng bị phủ
kín bởi 4 nửa hình trịn đã dựng, như vậy M nằm ngồi cả 4 nửa hình trịn đó.

Nên ta có:

Điều này vơ lí.

Vậy tứ giác ABCD hồn tồn bị phủ kín.

III. ĐO LƯỜNG VÀ THU THẬP DỮ LIỆU:

-Thơng qua các bài kiểm tra đối với học sinh đã được khảo sát ,nhận xét và chấm
điểm. Tôi đã nhận thấy nội dung của đề tài có nhiều ảnh hưởng tốt tích cực đến chất
lượng học tập mơn tốn của học sinh.

-Kiến thức lĩnh hội của học sinh,sau tác động ,đã được củng cố, khắc sâu.Học sinh dã

tránh được những sai lầm cơ bản khi làm bài.Như thơng qua ví dụ 1, học sinh khơng
cịn bi mắc nỗi sai:( 2

A A ) nữa mà đã ghi nhớ khắc sâu:( A2 A )

Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng






   

AMB 1v

BMC 1v AMB BMC CMD DMA 4v

CMD 1v
DMA 1v

 



 



    













   

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

-Các kết quả thu thập được, trước và sau tác động, được phản ánh thông qua các bài
kiểm tra ,đã được nhận xét chấm điểm.(Có kèm theo trong sáng kiến kinh nghiệm
này)

IV. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:

Với sự cố gắng thực hiện tích cực các tiết dạy về tốn chứng minh, thể nghiệm thực
tiễn trên lớp với nhiều hình thức phong phú. Bản thân đã tích góp được một số kinh
nghiệm cần thiết cho việc dạy tốn chứng minh trong chương trình Toán lớp 9; đã
nêu bật lên được một số vấn đề thiết yếu và quan trọng cho các bài toán chứng minh.
Chỉ ra được khái niệm chứng minh, các yêu cầu của một chứng minh, cách phân tích
một chứng minh cũng như các phương pháp chứng minh. Đặc biệt trong SKKN này
tơi đã đề cập và trình bày khá kỹ về phương pháp phân tích đi lên và phương pháp
chứng minh phản chứng (cho nhiều ví dụ minh họa hơn những nội dung khác). Bởi vì
đây là những phương pháp hay và độc đáo, giúp cho học sinh phát triển óc phán

đoán, phát triển tư duy logic và suy luận cao, giải quyết được những bài tốn khó,
hóc búa. Chính vì thế, giáo viên bộ mơn Tốn chúng ta cần quan tâm và đầu tư nhiều
hơn nữa đến các phương pháp này, nhằm trau dồi và rèn luyện việc thực hiện các bài
toán chứng minh ngày càng một tốt hơn, hiệu quả hơn.

Với những kinh nghiệm đã nêu trong khuôn khổ đề tài này, những năm học qua
bản thân đã thực hiện các bài toán chứng minh trên lớp một cách sn sẻ và có hiệu
quả cao, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn (chất lượng TBM hàng
năm của bản thân ln đạt trên 80% trung bình trở lên) . Mong rằng Sáng kiến kinh
nghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích để đồng nghiệp tham khảo.

Tuy vậy, trong quá trình thực hiện đề tài, chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những
thiếu sót và hạn chế nhất định. Sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô giáo cho đề tài sẽ
là nguồn khích lệ, động viên lớn lao để bản thân ngày càng cố gắng hơn nữa, cống
hiến nhiều hơn nữa cho sự nghiệp giáo dục.

V. TÀI LIỆU THAM KHẢO:

-Hoạt động dạy học ở trường THCS – Nguyễn Ngọc Bảo – Hà Thị Đức.
- Lô gic học – Bùi Tiến Đạt.

- Thực hành giải Tốn – Nguyễn xn Xính

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

- Phương pháp giải Toán – Nguyến Đức Cương
- Lơ gic hình thức – Phạm cao sơn.

- Tài liệu chuẩn kiến thức kĩ năng mơn tốn THCS.
- Chun đề về Toán chứng minh.

- Sách giáo khoa Toán 9, Sách bài tập Toán 9, Vở bài tập Toán 9, Sách giáo viên

Toán 9.

VI. M C L C,Ụ Ụ

STT Nội dung Trang

1
2
3
4
5
6

Mở đầu