Bai tap Phuong phap toa do trong mat phang

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phương pháp tọa độ

trong mặt phẳng

ThS. Nguyễn Xuân Quý∗

Tài liệu ôn thi Đại học - Cao đẳng

1

Một số bài tập tổng hợp

. 1.1. Cho A(10; 5), B(15;−5), C(−20; 0) là3 đỉnh của hình thang cân ABCD. TìmC, biết rằngABkCD.

Đáp số.C(−7;−26).

. 1.2. Cho đường cong (Cm) :x2+y2+ 2mx−6y+ 4−m= 0.

a) Chứng minh rằng (Cm) là đường tròn với mọi m. Tìm quĩ tích tâm đường trịn (Cm) khim thay đổi;

b) Với m = 4, viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng (∆) : 3x−4y+ 10 = 0 và cắt
đường tròn tại hai điểmA, B sao cho AB= 6.

Đáp số.a) Quĩ tích là đường thẳngy= 3; b)(d) : 4x+ 3y+ 27hoặc4x+ 3y−13 = 0.

. 1.3. Cho M 5₂; 2, đường thẳng (d1) : y = x₂, (d2) : y = 2x. Lập phương trình đường thẳng (d) qua M, cắt
(d1),(d2) tại A, B sao cho M là trung điểm của AB.

Đáp số.(d) :y= 2.

. 1.4. Tam giác ABC cân tại A, cóBC :x−3y−1 = 0, AB :x−y−5 = 0, đường thẳng chứa cạnh AC đi qua
điểmM(−4; 1). Tìm tọa độ điểmC.

Hướng dẫn.Tìm tọa độA19

4;−14

trước. Viết phương trìnhAM, lấy giao vớiBC.Đáp số.C8
5;15

.

. 1.5. Tam giácABC có A(−1; 2), B(2; 0), C(−3; 1).
a) Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giácABC;
b) Tìm điểm M trên đường thẳngBC sao cho SABM =

1
3SABC.

Đáp số.a)I−11
14;−1314

; b)M1
3;13

hoặcM11
3;−13

.

. 1.6. Cho đường thẳng (d) : √2.x+my + 1−√2 = 0, hai đường tròn (C1) : x2 +y2 −2x+ 4y −4 = 0,
(C2) :x2+y2+ 4x−4y−56 = 0.

a) Gọi I là tâm đường tròn (C1). Tìm m sao cho (d) cắt C1 tại hai điểm A, B phân biệt. Với giá trị nào của

m thì tam giácIAB có diện tích lớn nhất?

b) CMR(C1),(C2) tiếp xúc nhau. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến chung của hai đường trịn.

Đáp số.a) Với mọimthì(d)ln cắt(C1)tại hai điểm phân biệt,m=−4thì diện tích tam giác lớn nhấtS= 9₂; b) Hai đường tròn tiếp xúc trong, tiếp tuyến chung
duy nhất là3x−4y−26 = 0.

. 1.7. Viết phương trình ba cạnh của tam giácABC biết rằngC(4; 3), đường phân giác và đường trung tuyến kẻ
từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là(d) :x+ 2y−5 = 0,(d0) : 4x+ 13y−10 = 0.

Hướng dẫn.Giả sử hai đường đó kẻ từ đỉnhA(vì khơng thể là từC), vậyA(9;−2). Dựa vào tính chất đối xứng của đường phân giác, ta dựng đượcAB:x+ 7y+ 5 = 0.
Tìm trung điểmM(−4; 2)củaBC.Đáp số.BC:x−8y+ 20 = 0.

. 1.8. Viết phương trình đường trịn tâmQ(−1; 2), bán kính R=√13. Gọi A, B là các giao điểm của đường trịn
đó và đường thẳng(d) :x−5y−2 = 0. Tìm C sao cho tam giácABC vng và nội tiếp đường trịn.

Đáp số.C(−4; 4)hoặc(1; 5).

. 1.9. Cho A(1; 0), B(2; 1), đường thẳng(d) : 2x−y+ 3 = 0.

a) Viết phương trình đường trịn tâmA, tiếp xúc với(d), tìm vị trí của B đối với đường trịn đó;
b) Tìm M trên(d) sao cho M A+M B nhỏ nhất.

Đáp số.b)M−8
11;1711

.

∗

GV Toán - ĐH Kiến trúc Hà Nội - EMAIL: - TEL: 0986.980.256

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

. 1.10. Tam giácABC có AB: 4x+y+ 15 = 0, AC : 2x+ 5y+ 3 = 0, trọng tâm G(−2;−1). Viết phương trình
đường thẳngBC.

Đáp số.x−2y+ 3 = 0

. 1.11. Tam giác ABC có AB : 2x+ 5y+ 3 = 0, AC : x−2y−2 = 0, trung điểm của BC là M(−2; 2). Viết
phương trình đường thẳngBC.

Đáp số.B(40₉;11₉),C(−76

9;259),BC: 63x+ 522y−918 = 0.

. 1.12. Tam giác ABC có A(4; 0), B(0; 3), trọng tâmG nằm trên (d) : x−y−2 = 0, diện tích bằng22,5. Tìm
tọa độ đỉnhC.

Hướng dẫn.Tìm trọng tâmGtrước, chú ý rằngSGAB=13SABC.Đáp số.C(17; 12)hoặcC(−1;−6).

. 1.13. Tam giác ABC có A(2;−3), B(3;−2), trọng tâmGnằm trên(d) : 3x−y−8 = 0, diện tích bằng 3₂. Tìm
tọa độ đỉnhC.

Hướng dẫn.Tìm trọng tâmGtrước, chú ý rằngSGAB=13SABC.Đáp số.C(−2;−10)hoặcC(1;−1).

. 1.14. Tam giácABC có A(−1;−3), trọng tâm G(4;−2), trung trực củaAB có phương trình3x+ 2y−4 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh B, C.

Hướng dẫn.Tìm trung điểm củaAB.Đáp số.B(5; 1), C(8;−4).

. 1.15. Viết phương trình các cạnh của hình vuôngABCD biết 1 đỉnh là(−4; 5), 1 đường chéo là7x−y+ 8 = 0.

Đáp số.A(−4; 5), B(0; 8), C(3; 4), D(−1; 1).

.1.16. Hình bình hànhABCDcó diện tích bằng4, các đỉnhA(1; 0), B(2; 0). Hai đường chéoAC vàBDcắt nhau
tạiI nằm trên đường thẳng x−y= 0. Tìm tọa độC, D.

Hướng dẫn.TìmItrước,I(2; 2)hoặc(−2;−2).Đáp số.C(3; 4), D(2; 4)hoặcC(−5;−4), D(−6;−4).

. 1.17. Cho đường trịn tâmI có phương trình x2+y2−4x+ 2y−4 = 0và đường trịn tâmJ có phương trình
x2+y2−10x−6y+ 30 = 0.

a) Chứng minh rằng (I) tiếp xúc với(J) tại H;

b) Gọi (d) là một tiếp tuyến chung của hai đường trịn khơng đi quaH. Tìm giao điểmK của(d) vàIJ;
c) Viết phương trình đường trịn quaK, tiếp xúc với cả hai đường tròn (I),(J) tạiH.

Hướng dẫn.Từ−IH→= R

R+R0

−→

IJ, suy raH19₅;7₅. Áp dụng Thales, suy raKJ−−→= 2₃−→KI, từ đó tìm đượcK(11; 11).

. 1.18. Phương trình hai cạnh của một tam giác là 5x−2y+ 6 = 0và4x+ 7y−21 = 0, viết phương trình cạnh
thứ ba, biết rằng trực tâm tam giác trùng gốc tọa độ.

Đáp số.y= 7.

. 1.19. Tam giácABC có A(1; 3), hai đường trung tuyếnx−2y+ 1 = 0,y−1 = 0. Viết phương trình các cạnh
của tam giác.

Đáp số.x−y+ 2 = 0,x+ 2y−7 = 0,x−4y−1 = 0.

. 1.20. Tam giác ABC có C(−4;−5), hai đường cao 5x+ 3y−4 = 0, 3x+ 8y+ 13 = 0. Viết phương trình các
cạnh của tam giác.

Đáp số.A(−1; 3),B(1;−2).

.1.21. Tam giácABC cóC(4;−1), đường cao và trung tuyến kẻ từ 1 đỉnh lần lượt là2x−3y+12 = 0,2x+3y= 0.
Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Đáp số.A(−3; 2),B(8;−7).

. 1.22. Cho 2 đường thẳng d1 :x−y−1 = 0,d2: 3x−y+ 1 = 0và điểmM(1; 2). Viết phương trình đường thẳng

dquaM, cắtd1,d2 lần lượt tạiM1,M2 sao cho:

a)M M1 =M M2; b) M M1 = 2M M2.

Đáp số.a)x= 1; b)x+y−3 = 0.

. 1.23. Cho A(1; 1), tìmB trên đường y= 3,C trên trục hoành sao cho tam giácABC đều.

Đáp số.B(1±_√4

3; 3);C(1±
5

√

3; 0).

. 1.24. Viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x−4y+ 1 = 0và cáchdmột khoảng bằng 1.

Đáp số.3x−4y+ 6 = 0hoặc3x−4y−4 = 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

. 1.25. Lập phương trình đường dqua A(1; 2) sao cho khoảng cách từM(2; 3) vàN(4;−5)tớidbằng nhau.

Đáp số.4x+y−6 = 1hoặc3x+ 2y−7 = 0.

. 1.26. Cho A(2; 1),B(0; 1),C(3; 5),D(−3;−1).
a) Tính diện tích tứ giácABDC;

b) Viết phương trình các cạnh của hình vng có 2 cạnh song song đi quaA và C, hai cạnh cịn lại đi quaB
vàD.

Đáp số.a)S= 7; b) Có 2 hình vng:x−3y+ 1(+12) = 0,3x+y−1(+10) = 0và7x+y−15(−26) = 0,x−7y+ 7(−4) = 0.

. 1.27. Lập phương trình đường thẳng qua P(2; 5) và cáchQ(5; 1) một khoảng bằng 3.

Đáp số.x= 2hoặc7x+ 24y−134 = 0.

2

Các bài đã thi Đại học - Cao đẳng (đề chung của Bộ GD và ĐT)

1. (ĐH A10) Chuẩn: Cho 2 đường thẳngd1 :

√

3x+y= 0và d2 :

√

3x−y= 0, gọi (T) là đường tròn tiếp xúc

với d1 tại A, cắt d2 tại B và C sao cho tam giác ABC vng tại B. Viết phương trình (T) biết tam giác

ABC có diện tích

√
3

2 và điểmA có hồnh độ dương.

2. (ĐH A10) NC: Tam giác ABC cân tại A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm AB, AC có phương trình
x+y−4 = 0. TìmB, C biết E(1;−3)thuộc đường cao hạ từ đỉnh C của tam giác.

3. (ĐH B10) Chuẩn: Tam giácABCvng tạiA, cóC(−4; 1), phân giác trong gócAcó phương trìnhx+y−5 =

0. Viết phương trìnhBC biết diện tích tam giác ABC bằng 24 vàA có hồnh độ dương.

4. (ĐH B10) NC: Cho A(2;√3) và Elip(E) : x₃2 +y₂2 = 1 có các tiêu điểm F1, F2 (F1 có hồnh độ âm). M là

giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E),N đối xứng với F2 qua M. Viết phương trình

đường trịn ngoại tiếp tam giácAN F2.

5. (ĐH D10) Chuẩn: Tam giácABC có đỉnh A(3;−7), trực tâmH(3;−1), tâm đường trịn ngoại tiếpI(−2; 0).
Tìm tọa độC biết C có hoành độ dương.

6. (ĐH D10) NC: Cho A(0; 2), ∆ là đường thẳng qua O. Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên ∆. Viết
phương trình đường thẳng∆biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằngAH.

7. (CĐ 10) Khơng có phần này!

8. (ĐH A09) Chuẩn: Hình chữ nhật ABCD có giao điểm 2 đường chéo là I(6; 2), biết M(1; 5) thuộc đường
thẳngAB và trung điểm E củaCD thuộc đườngd:x+y−5 = 0. Viết phương trình đường thẳngAB.
9. (ĐH A09) NC: Cho đường trịn(C) :x2+y2+4x+4y+6 = 0có tâmIvà đường thẳng∆ :x+my−2m+3 = 0

vớim∈_R. Tìm mđể ∆cắt (C) tại hai điểm phân biệtA, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
10. (ĐH B09) Chuẩn: Cho(C) :(x−2)2+y2 = 4₅ và d1 :x−y= 0,d2 :x−7y = 0. Viết phương trình đường

trịn có tâm nằm trên(C) và tiếp xúc với cảd1, d2.

11. (ĐH B09) NC: Tam giácABC cân tạiA(−1; 4), các đỉnhB, C nằm trên đường thẳng ∆ :x−y−4 = 0. Xác
định tọa độB vàC biết rằng diện tích tam giácABC bằng 18.

12. (ĐH D09) Chuẩn: Tam giácABC có M(2; 0) là trung điểm AB. Đường trung tuyến và đường cao từ đỉnh
Alần lượt là7x−2y−3 = 0và 6x−y−4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.

13. (ĐH D09) NC: Đường trịn(C) : (x−1)2+y2 = 1 có tâmI. TìmM trên (C) sao cho \IM O= 30◦.

14. (CĐ 09) Chuẩn: Tam giác ABC có C(−1;−2), đường trung tuyến từ A và đường cao từ B lần lượt là

5x+y−9 = 0và x+ 3y−5 = 0. Tìm A, B.

15. (CĐ 09) NC: Cho các đường thẳng∆1 :x−2y−3 = 0và∆2:x+y+ 1 = 0. Tìm M trên∆1 sao cho khoảng

cách từM đến∆2 bằng √1₂.

16. (ĐH A08) Viết phương trình chính tắc của elip có tâm sai bằng

√
5

3 và hình chữ nhật cơ sở có chu vi 20.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

17. (ĐH B08) Tìm đỉnhCcủa tam giácABC biết hình chiếu vng góc củaClên đường thẳngABlàH(−1;−1),
đường phân giác trong góc Alàx−y+ 2 = 0, đường cao kẻ từB là4x+ 3y−1 = 0.

18. (ĐH D08) Cho parabol (P) : y2 = 16x và A(1; 4). Hai điểm B, C (khác A) di động trên (P) sao cho
\

BAC = 90◦. CMR đường thẳng BC luôn đi qua 1 điểm cố định.

19. (CĐ A08) Tìm A trên trục hồnh, B trên trục tung sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d :

x−2y+ 3 = 0.

20. (ĐH A07) Cho tam giácABC cóA(0; 2),B(−2; 2),C(4;−2), đường caoBH, các trung tuyếnCM, AN. Viết
phương trình đường trịn đi quaH, M, N.

21. (ĐH B07) ChoA(2; 2), các đường thẳngd1 :x+y−2 = 0,d2 :x+y−8 = 0. TìmB, C lần lượt trênd1, d2

sao cho tam giácABC vng cân tạiA.

22. (ĐH D07) Cho đường trịn(C):(x−1)2+ (y+ 2)2 = 9 vàd: 3x−4y+m= 0. Tìmmđể trêndcó duy nhất
một điểmP mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyếnP A, P B tới(C) sao cho tam giácP AB đều.

23. (ĐH A06) Chod1 :x+y+ 3 = 0,d2 :x−y−4 = 0,d3 :x−2y= 0. TìmM trênd3 sao cho khoảnh cách từ

M đến d1 gấp đôi khoảng cách từM đếnd2.

24. (ĐH B06) Cho đường tròn(C) : x2+y2−2x−6y+ 6 = 0 vàM(−3; 1). GọiA, B là các tiếp điểm của các
tiếp tuyến kẻ tửM tới(C). Viết phương trình đường thẳngAB.

25. (ĐH D06) Cho(C :x2+y2−2x−2y+ 1 = 0 và d:x−y+ 3 = 0. Tìm M trên dsao cho đường trịn tâm
M có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C) tiếp xúc ngồi với(C).

26. (ĐH A05) Chod1:x−y= 0vàd2: 2x+y−1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vngABCDbiếtA∈d1,

C∈d2 vàB, D nằm trên trục hồnh.

27. (ĐH B05) ChoA(2; 0), B(6; 4). Viết đường trịn tiếp xúc với trục hoành tạiA và khoảng cách từ tâm đường
tròn đếnB bằng 5.

28. (ĐH D05) Cho C(2; 0) và elip (E) : x₄2 +y₁2 = 1. TìmA, B trên (E) sao cho A, B đối xứng nhau qua trục
hoành và tam giácABC đều.

29. (ĐH A04) Cho A(0; 2), B(−√3;−1). Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
OAB.

30. (ĐH B04) ChoA(1; 1), B(4;−3). TìmC trênd:x−2y−1 = 0 sao cho khoảng cách từC đến đường thẳng
AB bằng 6.

31. (ĐH D04) Cho tam giácABC có A(−1; 0),B(4; 0),C(0;m) (m6= 0). Tìm tọa độ trọng tâmGtheom. Tìm
m để tam giácGABvng tại G.

32. (ĐH A03) Khơng có phần này!

33. (ĐH B03) Cho tam giácABC vng cân tạiA, biết M(1;−1)là trung điểmBC,G(2₃; 0)là trọng tâm tam
giác. TìmA, B, C.

34. (ĐH D03) Cho(C):(x−1)2+ (y−2)2= 4 vàd:x−y−1 = 0. Viết phương trình đường trịn(C0) đối xứng
với(C) quad. Tìm tọa độ các giao điểm của(C) và(C0).

35. (ĐH A02) Tam giácABC vuông tại A, đường thẳng BC làx√3−y−√3 = 0, biết A, B thuộc trục hồnh
và bán kính đường trịn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâmGcủa tam giác.

36. (ĐH B02) Hình chữ nhật ABCD có tâm I(1₂; 0), đường thẳng AB : x−2y+ 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm

A, B, C, Dbiết điểm A có hồnh độ âm.

37. (ĐH D02) Cho elip(E) : x₁₆2 + y₉2 = 1. Xét điểm M chuyển động trên tia Ox, điểmN chuyển động trên tia
Oy sao cho đường thẳng M N ln tiếp xúc với elip. Tìm M, N để đoạn M N nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ
nhất đó.

</div>

<!--links-->