HSG lop 10Vong 1 Tran Nhan Tong

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (154.61 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD & ĐT ĐĂL LĂK ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT TRẦN NHÂN TÔNG MƠN: TỐN 10 (Vịng 1)
 Năm học: 2011 – 2012 Thời gian: 180 phút

Câu 1(3 điểm)

Cho phương trình (m 1)x2 2(m 2)x m 1 0

      (m1)
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

b) Gọi A(x1a x).( 2 a).Tìm a sao cho A khơng phụ thuộc vào m.
Khi đó tính giá trị của A

Câu 2(4 điểm )

a)Giải phương trình 1 x  3 x 3x1
b)Tìm GTLN của y 



x1 . 3

 

2  x



3,x 



1;3



Câu 3(4 điểm)

a)Tìm m để bất phương trình 4 x2 m x

   vô nghiệm

b)Giải hệ:

2 2
2 2

3 2

x y y
xy x

 




 


Câu 4(6 điểm)

Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c.Gọi R,r lần lượt là tâm đường tròn
ngoại tiếp,nội tiếp tam giác.

a)CMR: 1 1 1 1

ab bc ca   Rr

b)Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN.Biết tứ giác
GMCN nội tiếp đường tròn,CMR: a2 b2 2c2

 

c) Giả sử tam giác ABC nhọn,CMR: ma  R RcosA

(malà đường trung tuyến hạ từ A của tam giác ABC )

Câu 5(3 điểm)

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
a b b c c a 3

ab c bc a ca b

  

  

  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN MƠN TỐN 10(Vịng 1)
Câu 1(3 điểm)

a) m 0 0m1

b) 1 2 1 2 2 2

2 ( 2)

( ) 1

( 1)

a m

A x x a x x a a

m



      


A không phụ thuộc m khi a = 0 A1
Câu 2(4 điểm)

a)1 x  3 x 3x1

ĐK: 1

x

3 1 3 1 0 ( 1)( 1) 0

3 1 3

Pt x x x x

x x

x

          

  

 

b)y 



x1 . 3

 

2  x



3,x 



1;3



Ta có :72y (3x 3) (6 2 )2 x 3

  

Áp dụng Côsi :(3x3) (3 x3) (6 2 ) (6 2 ) (6 2 ) 5 72  x   x   x  5 y

13 13

5 5

3 3

min

8.5 8.5

y y

    khi 3

x

Câu 3(4 điểm)

a)ĐK:  2 x 2

Bpt: 4 x2 m x

    x 4 x2 m

Ta có x 4 x2 2 min(x 4 x2) 2

      

Bpt vô nghiệm khi: m <-2
b)ĐK:x > 0,y > 0

2 2
2 2

3 2(1)

3 2(2)

x y y
xy x

 




 


Từ (1),(2) (x y )(3xy x y  ) 0  3x yxy x y 0 0

  


Với x = y,(1) 3x3 x2 2 0 x 1

     

Với 3xy + x + y = 0(vơ nghiệm vì x > 0,y > 0)
KL: x = y = 1

Câu 4(4 điểm)

a) 2 2 1

4 . 4 . 2 .

a b c p p

VT

abc R S R pr R r

 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) Vì tứ giác GMCN nội tiếp nên
BG.BN=BM.BC
2 2 1 2

3BN 2BC

 
4BN2 3BC2

 

2a2 2c2 b2 3a2

   

2c2 a2 b2

  

c)Vì tam giác nhọn nên tâm O nằm trong tam giác
Xét AOM ta có:AMAO + OM
 ma  R OM(1)

Góc ˆ 1 ˆ 1 ˆ

2 2

A BOC  BOM

Từ (1),(2) ma  R RcosA.Dấu bằng 
xảy ra khi tam giác đều

Câu 5(3 điểm)

*Biến đổi a bab c  ab11cb a  (1 1a)(1c b)

     

*Từ đó VT  (1 1a)(1c b) (1 1c)(1b a)  (1 1c)(1a b)

     

Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1)
=> 1-a,1-b,1-c dương

*áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được

3 1 1 1

3. . .

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

c b a

VT

a b c a c b

  



      =3 (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

a b c  

SỞ GD & ĐT ĐĂL LĂK ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
OM

ˆ
osA=cos(BOM)=

cos (2)

c

OB

OM R A



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

TRƯỜNG THPT TRẦN NHÂN TƠNG MƠN: TỐN 10 (Vòng 2)
 Năm học: 2011 – 2012 Thời gian: 180 phút

Câu 1(4 điểm)

a) Nếu 1,2,3 là ba nghiệm của phương trình x4 ax2 bx c 0

    .
Tính a + c

b) Tìm m để bất phương trình (m1)x2 2mx4(m1) 0, x
Câu 2(4 điểm)

a)Tìm GTLN và GTNN của hàm số

2
2

2 1

1
x x
y

x x
  



 
b)Giải phương trình:5 x3 1 2



x2 2



   .

Câu 3(4 điểm)

a)Tìm m để phương trình x3 3x2 2x 2m 1 0

     có 3 nghiệm x x x1, ,2 3

sao cho x1x3 2x2

b)Giải hệ phương trình:

2 2

3 2 2 2

x xy

x xy y x







 

  

Câu 4(6 điểm)

Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c,S là diện tích tam giác ABC
a) CMR:

2 2 2

cot cot cot

a b c

gA gB gC

S

 

  

b) Tính diện tích S nếu: b.sinC( b.cosC + c.cosB ) = 20.
c) Tìm điểm M sao cho MA2 MB2 MC2

  đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 5(2 điểm)

Cho a, b, c lµ ba sè thùc d¬ng tháa m·n abc = 1.

CMR: 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

2 3 2 3 2 3 2

a  b  b  c  c  a  

………HẾT………….

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 1(4 điểm)

a) Vì 1,2,3 là nghiệm nên ta có:

1 0 25

4 2 16 0 60 61

9 3 81 0 36

a b c a

a b c b a c

a b c c

    
 
 
        
 
      
 

b)Bpt có nghiệm với mọi x khi / 1 0 2 1 2

0 3 8 4 0

m m
m
m m
   
  
  
 
    
 

Câu 1(4 điểm)
a) TXD: D=R
Ta có

2 2

2 1 2 1

1 1

x x x x

y

x x x x

    

 

    ( Vì:

2x x 1 0, x)
    

(y 2)x (1 y x y) 1 0
       (*)

1
2

y x 

   

2
y

  ,PT (*) có nghiệm khi 0 3 2 14 7 0 7 28 7 28

3 3

y y  y 

         

KL:min 7 28, ax 7 28

3 3

y   m y 

b)ĐK: x1.





















3 2 2 2

5 x  1 2 x 2  5 x1 x  x1 2 x  x1 2 x1

2 2 1 5 2 1 2 0

1 1

x x

x x x x

 

   

   

Đặt 2 1 , 0

1
x
t t
x x

 

  . Phương trình trở thành

2 5 2 0 1

2
t
t t
t



   
 

.
 Với t=2: Phương trình đã cho vơ nghiệm.

 Với t12: Phương trình đã cho có nghiệm 5 37

x   .

Câu 1(4 điểm)

a)Ta có 1 2 3 2

3 1

b

x x x x m

a



       

Với 3

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3 3 2 2 4 0 ( 1)( 2 2 4) 0

1 5

x x x x x x

x
x
x
        


  
 

Vì (1 5) (1 5) 1

  

 nên 3

m (nhận )

b) Nhận xét x0

Hệ x3 2xy2 y x( 2 xy) x x2 y2 xy 1

        

Từ đó ta có

2 2
2

1
2

x y xy

x xy
   


 


Đặt y=kx,ta được

2 2
2

(1 ) 1

(1 ) 2

k

x k k

k
x k


   




 


1, 1
1
1, 1
2 1
,
3 3

1 2 1

2 3 3

2 1
,
3 3
x y
k
x y
x y

k x y

x y
 
  
 
 

    
 
 

Câu 1(4 điểm)
a) Ta có

2 2 2 2 2 2

osA
cot

sinA 2 sin 4

c b c a b c a

gA

bc A S

   

  

Tương tự

2 2 2 2 2 2

cot ,cot

4 4

a c b a b c

gB gC dpcm

S S

   

  

b)Ta có b.sinC( b.cosC + c.cosB ) = 20

2
2

4 sin sin (sin cos osBsinC)=20

2 sin sin sin 10 10

R B C B C c

R B C A S

 

   

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC,ta có

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

min

( ) ( ) ( )

3 2 ( )

( ) khi M G

MA MB MC MG GA MG GB MG GC

MG MG GA GB GC GA GB GC GA GB GC

MA MB MC GA GB GC

       

         
      
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
   

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giải:

Ta cã a2+b2  2ab, b2+ 1  2b 

2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 3 1 2 2 1

a  b  a b b    ab b 

HSG lop 10Vong 1 Tran Nhan Tong



 









 







<sub></sub>

<sub></sub>





















1

1

1

1

1

1

,

2

3 2

1

2

3 2

1

<i>b</i>



<i>c</i>





<i>bc c</i>

 

<i>c</i>



<i>a</i>





<i>ca a</i>

 



 



1

<sub>1</sub>

<sub>1</sub>

<sub>1</sub>

1

<sub>1</sub>

1

2

<sub>1</sub>

<sub>1</sub>

<sub>1</sub>

2

<sub>1</sub>

<sub>1</sub>

<sub>1</sub>

2

<i>ab</i>

<i>b</i>

<i>P</i>

<i>ab b</i>

<i>bc c</i>

<i>ca a</i>

<i>ab b</i>

<i>b</i>

<i>ab</i>

<i>ab b</i>

