DE duong ki II

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (131.21 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

II. PHẦN BÀI TẬP
1. Phương trình bậc hai

Bài 1: Giải các phương trình:

1) x2 – 4x + 3 = 0; 2) x2 + 6x + 5 = 0; 3) 3x2 – 4x + 1 = 0 ; 4) x2 – 5x + 6 = 0
5) ( 2 1)x2 x 2 0

    ; 6) 2x2  ( 2 1)x 1 0   ; 7)

x ( 2 1)x  2 0

8) x4 – 11x2 + 10 = 0; 9) 3x4 – 11x2 + 8 = 0; 10) 9x4 – 22x2 + 13 = 0
11) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0; 12) (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x

13)

2x x x 8
x 1 x 3x 4

 



   ; 14)

1 1 1

x 4 x 4 3

15) 3(x2 + x) – 2(x2 + x) – 1 = 0 16) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0
Bài 2: Cho phương trình x2 3x 5 0

   và gọi hai nghiệm của phương trình là x1,

x2. Khơng giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

1 2
1 1

x x ; b)

2 2
1 2

x x ; c) 2 2
1 2
1 1

x  x ; d)

3 3
1 2
x x

HD: Đưa các biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2 rồi sử dụng hệ thức Viét

Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình
có một nghiệm x1 = 2. Tìm nghiệm x2.

HD: m = 2, x2 = 2

Bài 4: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0 (1)

a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong
hai nghiệm đó có một nghiệm bằng −2

HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt  m 1

 

b) m = 0 hoặc m = 4

Bài 5: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng m ≠ −1 phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
HD: a) Chứng minh ' > 0

b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu  m < −1 hoặc m > 3

Bài 6: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi giá trị của m
c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng:

A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x  2 2 7

b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10  A không phụ thuộc vào m

Bài 7: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0

a) Khơng giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo
m

b) Tìm m để P nhỏ nhất

HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10
c) P = (2m 5)2 15 15

4 4

   . Dấu "=" xảy ra  m 5



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a) Giải phương trình (1) với m = 5

b) Tìm giá trị của m để ph/trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 +
2x2 = 20

HD: a) Với m = 5  x1 = 1, x2 = 5

b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)
Bài 9: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0

a) Giải phương trình với k = 3

b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân
biệt

HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3

b) ' = 4 − k > 0  k < 4. ĐS: k  {1 ; 2 ; 3}

Bài 10: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1) 
a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2. 
HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5 ; b) ĐS: m = − 20

Bài 11: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − 2 = 0. (*) 
a) Giải phương trình (*) khi m = 1.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. 
HD: a) Khi m = 1: x 1

 ; b) ĐS: m 2, m 1
3

  .

Bài 12: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1)3 = 0
a) Giải phương trình với m = −1

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một
nghiệm bằng bình phương của nghiệm cịn lại.

HD: a) Với m = −1  x1 = 2, x2 = −4 b) m = 0 hoặc m = 3

2. Đường tròn

Bài 1: Cho c.ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn

bàng tiếp A , O là trung điểm của IK

a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường trịn (O)

c) Tính bán kính của đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm
HD: a) KBI KCI 180  0

  (Tính chất phân giác)  BICK nội tiếp (O)

b)    0

1 2

C OCI C I 90  OC  AC  AC là tiếp tuyến của (O)
c) AH AC2 HC2 202 122 16

     (cm).

2 2

CH 12

OH 9

AH 16

   (cm)

Vậy: OC = OH2 HC2 92 122 225 15

     (cm)

Bài 2: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vng
góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K

a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp
b) Tính góc CHK

c) Chứng minh KC.KD = KH.KB

d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm 
H chuyển động trên đường nào?

HD: a) BHD BCD 90  0

   BHCD nội tiếp

21
1

B C

O
A

K
I

K
H
B

C
A

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) DHC DBC 45  0 CHK 450

   

c) KCH KDC (g.g)  KC.KD = KH.KB

d) BHD 90 0

  Khi E chuyển động trên đoạn BC

thì H chuyển động trên BC

Bài 3: Cho đường trịn (O, R) có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau.
Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn
(O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N
của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác OMNP nội tiếp

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành

c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vị trí điểm M

d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố
định

HD: a) OMP ONP 90  0

   ONMP nội tiếp

b) OC // MP (cùng vng góc với AB), MP = OD = OC
Suy ra: CMPO là hình bình hành

c) COM CND (g.g) Suy ra:

CM CO

CD CN  CM.CN = CO.CD = Const
d) ONP = ODP (c.g.c)  ODP 90 0

 .

Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định. 
Vì M  [AB] nên P  [EF]

Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax và By.
Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax và By
lần lượt ở E và F.

a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp

b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? tại sao?
c) Kẻ MH  AB (H  AB). Gọi K ≡ MH ∩ EB. So sánh MK với KH

HD: a) EOA OME 180  0

   AEMO nội tiếp

b) MPOQ là hình chữ nhật vì có ba góc vng.
c) EMK EFB: EM EF

MK BF do MF = BF 

EM EF
MK MF
Mặt khác: ABE HBK: EA AB

HK HB. Vì:

EF AB

MFHB(Talet)

 EM EA

MK KH . Vì: EM = AE  MK = KH.

Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho
2

AI AO
3

 . Kẻ dây MN  AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho

C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp

b) Chứng minh AME ACM và AM2 = AE.AC

c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2

11 1
1

P
N

E D F

A M B

x y

K
H

Q
P

A B

O'
E

N
M

I O

A B

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

HD: a) Dễ thấy BIE ECB 180  0

   IECB nội tiếp.

b) Ta có AM AN   AME ABM  AME ACM (g.g)
 AM2 = AE.AC (1)

c) Ta có: MI2 = AI.IB (2). Theo (1) và (2) và ĐL Pitago: 
AI2 = AM2 − MI2 = AE.AC − AI.IB

Bài 6: Cho ABC có các góc đều nhọn, A 45  0. Vẽ các đường cao BD và CE của
ABC. Gọi H là giao điểm cảu BD và CE.

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp

b) Chứng minh HD = DC

c) Tính tỉ số DE : BC

d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. CM: OA  DE.

HD: a) Ta có: AEH ADH 180  0

   đpcm

b) v.AEC có A 45 0

 ACD 45  0DCH vuông cân

tại D  HD = HC.

c) ADE ABC (g.g)  DE AE AE 2

BC ACAE. 2  2 .

d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường trịn (O), ta có BAx BCA

mà BCA AED  (cùng bù với DEB )  BAx AED  DE // Ax  OA  DE.

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường trịn đường kính AB.
Hạ BN và DM cùng vng góc với đường chéo AC. Chứng minh:

a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn

b) Khi điểm D di động trên đường trịn thì BMD BCD  không đổi

c) DB.DC = DN.AC

HD: a) CBMD nội tiếp trong đường trịn đường kính CD
b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD luôn là
tứ giác nội tiếp  BMD BCD 180  0

 

c) Ta có: ANB 90 0

 (gt)  N  (O)

Mặt khác: BDN BAN  (Cùng chắn BN ) và BAN ACD  (So le trong)

Suy ra: BDN ACD  .

Lại có: DAC DAN DBN   (Cùng chắn DN )

Vậy: ΔACD ΔBDN (g.g)  đpcm

Bài 8: Cho ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC

chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường trịn
đường kính HC cắt AC tại F

a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật
b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh AE.AB = AF.AC

d)* Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường trịn
HD: a) AEHF có ba góc vng  AEHF là hình chữ nhật

b) B E  1 F1  BEFC nội tiếp

c) AEF ACB (g.g)  AE.AB = AF.AC

d)     0

1 2 1 2

E E H H 90  EF là tiếp tuyến của (O1).

O H

D
E

M N

A B

2 1 1

1
O2
O1

F
E

H C

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tương tự: EF là tiếp tuyến của (O2)

Bài 9. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ
BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là
giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE

a) Chứng minh BC // DE

b) Chứng minh các tứ giác CODE và APQC nội tiếp
c) Tứ giác BCQP là hình gì?

HD: a) BC và DE cùng vng góc với OD  BC // DE

b) ODE OCE 180  0

   CODE nội tiếp

Ta có: PAQ PCQ  (Do BD CD  ) APQC nội tiếp

c) BCQP là hình thang. Vì:

Ta có: QPC CAQ  (Cùng chắn cung QC của (APQC)

Lại có: QAC QAP  và QAP BCP  (cùng chắn BD )  BC // PQ

Bài 10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của
các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D. gọi P
và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh:

a) ΔABD ΔCBA
b) BQD APB 

c) Tứ giác APBQ nội tiếp

HD: a) Ta có: DAB ACB  (Cùng chắn An 'B )

Lại có: ADB BAC  (Cùng chắn AnB )

Suy ra: ΔABD ΔCBA

b) ΔABD ΔCBA  AD BD DQ

CA BA AP (Do P, Q là trung điểm của AC, AD)
Và: BDQ BAP  . Suy ra: ΔBQD ΔAPB  BQD APB 

c) Do BQD APB  suy ra: APBQ nội tiếp

Bài 11: Cho ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B.

Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE 
lần lượt cắt đường tròn tại cá điểm thứ hai F, G. Chứng minh:

a) ABC EBD

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp
 c) AC // FG

d)* Các đường thẳng AC, DE, BF đồng qui

HD: a) ABC EBD (Hai tam giác vng có B 1 chung)

b) Học sinh tự chứng minh
c) C1 F ( E )1  1  AC // FG

d) Gọi S ≡ BF ∩ CA BSC có D là trực tâm. 
 S, D, E thẳng hàng rồi  BF, CA, ED đồng qui tại S.

Bài 12: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10cm, CB = 40cm. Vẽ về

một phía AB các nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có
tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vng góc với AB tại C cắt nửa đường trịn (O) ở
E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K)

a) Chứng minh rằng EC = MN

1
2

1
1

1 G
F

E C

Q
P

E
D

C
B

O
A

n' n

Q P

D B C

A
O

1
2

1 3

2
1

3 2 1

N
S

K
I

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b) CmR: MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K)
c) Tính độ dài MN

d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn
HD: a) Chứng minh CMEN là hình chữ nhật  EC = MN

b) Gọi S ≡ MN ∩ EC:     0

1 2 1 2

M M C C 90  MN  MI

Tương tự:    0

1 2 3 4

N N C C 90  MN  NK  MN là tiếp tuyến chung của 2

đường tròn

c) MN = EC = AC.BC 10.40 20(cm); d)

2 2 2

2
1πAB πAC πBC

S 100π(cm )

2 4 4 4

 

    

 

Bài 13: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy một điểm
H bất kì (H ≠ O, B). Trên đường thẳng vng góc với OB tại H, lấy một điểm M ở
ngồi đường tròn. MA, MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao
điểm của AD và BC

a) Chứng minh rằng tứ giác MCID nội tiếp

b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I
c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh 
rằng KCOH nội tiếp

HD: a) MCI MDI 90  0

   MCID nội tiếp

b) Chứng minh I là trực tâm của MAB rồi suy ra đường cao

MH đi qua I

c) Xét hai tam giác cân OCA và KCM, chứng minh:

  0   0

1 4 2 3

C C 90  C C 90 , từ đó suy ra KCOH nội tiếp.

Bài 14: Cho ABC vng tại A. Dựng ở miền ngồi tam giác các hình vng ABHK

và ACDE