DEDAP AN HSG TOAN 9HA NAM

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (277.72 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2011-2012

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1. (

4,0 điểm

) Cho biểu thức

2 2

x x x x x x

A

x x x x x x

   

 

   

.

1. Tìm điều kiện của

x

để biểu thức

A

xác định.

2. Rút gọn biểu thức

A

.

3. Tìm

x

để

A2 3

.

Bài 2. (

4,5 điểm

)

1. Cho ba số thực

a, b, c

sao cho phương trình

ax

2

+bx+c=0

có 2 nghiệm thuộc

đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( )(2 )

( )

a b a b

P

a a b c

 



 

.

2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

(2x y 2)2 7(x 2y y2 1)

     

.

Bài 3. (

4,0 điểm

)

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q

=

16x2 8x 1 16x2 24x 9

    

.

2. Giải hệ phương trình

2 2

16
5

12 3 5

2
xy

x y

x y

x x y x x



  

 




      




Bài 4. (

5,5 điểm

) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO

sao cho AO = 3.IO. Qua I vẽ dây cung CD vng góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm

K tuỳ ý. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.

1. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp.

2. Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên một

đường thẳng cố định.

3. Khi K di động trên đoạn CD, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn DF.

Bài 5. (

2,0 điểm

) Cho tam giác ABC khơng cân, nội tiếp đường trịn (O). Đường phân

giác trong AD và đường trung tuyến AM của tam giác ABC cắt đường tròn (O) theo

thứ tự tại P và Q ( P, Q khác A). Chứng minh: DP > MQ.

---Hết---Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ...

Chữ ký của giám thị 1: ... Chữ ký của giám thị 2: ...

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

HÀ NAM LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2011-2012
Mơn thi: TỐN

ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM
(Đáp án biểu điểm này gồm 3 trang)

Câu Nội dung

Câu 1.1

(1,5 đ) A xác định
2

2 2

2 0

2 0; 2 0

x x

x x x x x x

  

 
     




2 2 0 2; 0

x  x  x x

2 2 0; 2 2 0 0

x x  x  x x  x  x
Vậy A xác định  x2và x0
Câu 1.2

(1,5 đ)

2 2 2 2

2 2

( 2 ) ( 2 )

( 2 )( 2 )

x x x x x x

A

x x x x x x

    


   
2
2
4 2
2 2
2

x x x

A x x

x
 
  

Câu 1.3
(1,0 đ)
2 2

2 3 2 2 2 3 2 3 0

A  x  x  x  x 

3 x 1

    . Kết hợp với ĐK xác định của A thì A2 3 0x1

Câu 2.1
(2,5 đ)

Gọi 2 nghiệm của pt là x x1, 2. Theo Viét ta có :

1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

 



 


2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

(1 )(2 )

(1 )(2 ) : (1 ) 2

1 1

x x x x x x x x

b b b c

P

a a a a x x x x x x x x

      

       

     

Khơng mất tính tổng qt giả sử x1x2

khi đó từ giả thiết x x1; 2



0;1



 x12 x x1 2 x221; 1x1x2x x1 2 0
Dẫn tới

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2

1 1

x x x x x x x x

x x x x x x x x

     

 

      suy ra P3

P=3 khi x1x2 1suy ra

2
b

a c  . Vậy MaxP=3
Câu 2.2

(2,0 đ)

2 2

(2x y  2) 7(x 2y y 1) (1)

2(2x y 2)2 7(2x y 2) 7(2y2 3 ) 0y

         (2)

Đặt t 2x y  2 ta có pt: t2 7t 7(2y2 3 ) 0y

   

16t2 56t 49 7(16y2 24y 9) 112

      

(4t 7)2 7(4y 3)2 112
     (3)

Từ (3) 7(4y 3)2 112 (4y 3)2 16 4 4y 3 4 7 4y 1

              

Vì y nguyên suy ra y chỉ có thể là -1 hoặc 0
Với y = -1 thay vào (1) được pt (2x 1)2 7x

  khơng có nghiệm x ngun
Với y = 0 thay vào (1) được pt 4(x 1)2 7(x 1)

   , pt này có một nghiệm nguyên x = 1
Thử lại thấy (x ;y) = (1 ;0) là nghiệm nguyên duy nhất của pt đã cho.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cách khác : Xét điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 theo ẩn x hoặc y
Câu 3.1

(2,0đ) Q=

2 2 2 2

16x 8x 1 16x  24x9 (4x1)  (3 4 ) x 4x  1 3 4x

4x 1 3 4x 4

    

Q = 4 (4 1)(3 4 ) 0 1 3

4 4

x x x

       

Vậy GTNN của Q là 4 khi 1 3
4 x 4
  
Câu 3.2

(2,0 đ)

Giải hệ

2 2

16 (1)

12 3 5 (2)

2
xy

x y

x y

x x y x x



  

 




      



ĐK: x y 0

(1)  (x y x y )((  )2 2 ) 8xy  xy16(x y )  (x y x y )((  )2 16) 2 ( xy x y  4) 0
 (x y  4)(x2y2 4(x y )) 0  x y  4 0 (vì x y 0 nên x2 y2 4(x y ) 0 )

Thay x+y=4 vào pt thứ 2 ta được :

2 12 5 3 2 5

x    x x   x212 x25 3 x 5 (*)

Nhận xét: VT>0 0 5
3

VP x

    ,

(*) x2 12 4 3x 6 x2 5 3

       









2 2

2 2 2 2

2 2

4 4 2 2

3 2 2 3 0

12 4 5 3 12 4 5 3

2 2 3 0 (**)

12 4 5 3

x x x x

x x

x x x x

x

x x

 

   

         

         





  

   

    



(**) vơ nghiệm Vì 5
3

x  x 2 0, mà

2 2

12 4 5 3

2 2 5

3 0,

12 4 5 3

x x

x

x x

 

      

   

 

     

   

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 4.1

(1,0 đ)

1. c/m tứ giác IKMB nội tiếp
Ta có KMB 900

 ( vì chắn nửa đường trịn (O)

Lại có KIB900(gt) nên tứ giác IKMB nội tiếp (vì có 2 góc đối cùng vng)
Câu 4.2

(2,5 đ)

2. c/m tâm F của (CKM) thuộc một đường cố định

Vẽ đường kính CE của (CKM) , ta có KE // AB ( vì cùng CD) MKE MAB  (đ/vị)
Lại có MKE MCE  (cùng chắn cung ME của (F) )

MAB MCB  (cùng chắn cung MB của (O) )

Suy ra MCE MCB   C, E, B thẳng hàng C, F, B thẳng hàng
Suy ra F thuộc đường thẳng CB cố định

Câu 4.3

(2,0 đ) 3. Tính độ dài ngắn nhất của DFKẻ DHCB tại H  DH khơng đổi

Ta có DF  DH nên DF ngắn nhất bằng DH

Ta có 2 2 2 2 2 2 4 2

9 3 3

R R R

CI  CO  IO  R    CD

2 . 4 .2 8 2 6

3 3 3

R R R

CB BI BA R  CB

Lại có DH.CB=BI.CD ( bằng nửa SCBD) DH BI CD.
CB

 

4 4 2

. 8 3

3 3

9
2 6

R R

R
R

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 5
(2,0 đ)

Tam giác ABC không cân nên M D P Q

Lấy điểm I đối xứng với D qua M , gọi K là trung điểm PI.
Ta có PAB PAC   PM BC PID cân tại P

Mặt khác  1  1(   )  

2 2

MQP sd ABP sd AB sdCP CDP DIP
Do đó tứ giác PMIQ nội tiếp .Từ PMI 900

 ta có PQI900
Vì thế PD=PI=PK+KI=MK+KQMQ

Nếu PI=MQ thì MIQP là hình chữ nhật hay PQPM (điều này không xảy ra)
Vậy PD>MQ (đpcm)

Lưu ý: - Các cách giải đúng khác cho điểm tương đương với biểu điểm
- Điểm tồn bài khơng làm tròn

B
A

C
D

M
O

P Q

</div>

DEDAP AN HSG TOAN 9HA NAM

<b>Bài 1. (</b>

<i>4,0 điểm</i>

) Cho biểu thức

.

1. Tìm điều kiện của

<i>x</i>

để biểu thức

<i>A</i>

xác định.

2. Rút gọn biểu thức

<i>A</i>

.

3. Tìm

<i>x</i>

để

.

<b>Bài 2. (</b>

<i>4,5 điểm</i>

)

1. Cho ba số thực

<i>a, b, c</i>

sao cho phương trình

<i>ax</i>

<i><sub>+bx+c=0</sub></i>

<sub> có 2 nghiệm thuộc</sub>

đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

.

<b>Bài 3. (</b>

<i>4,0 điểm</i>

)

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

<i>Q </i>

=

.

2. Giải hệ phương trình

<b>Bài 4. (</b>

<i>5,5 điểm</i>

) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO

sao cho AO = 3.IO. Qua I vẽ dây cung CD vng góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm

K tuỳ ý. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.

1. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp.

2. Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên một

đường thẳng cố định.

3. Khi K di động trên đoạn CD, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn DF.

<b>Bài 5. (</b>

<i>2,0 điểm</i>

) Cho tam giác ABC khơng cân, nội tiếp đường trịn (O). Đường phân

giác trong AD và đường trung tuyến AM của tam giác ABC cắt đường tròn (O) theo

thứ tự tại P và Q ( P, Q khác A). Chứng minh: DP > MQ.

---Hết---Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ...

Chữ ký của giám thị 1: ... Chữ ký của giám thị 2: ...













Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về