Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.19 MB, 20 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>HÀM SỐ BẬC NHẤT </b>
<b>Dạng 1: Chứng tỏ đồ thị hàm số là hàm số bậc 1, tìm điều kiện để hàm số là hàm số </b>
<b>bậc 1. </b>
<b>Bài 1: Tìm điều kiện để các hàm số sau là hàm số bậc nhất: </b>
a) y =(m-2)x+3m-1 b) y = 𝑚 + 1 .x+m-2 c) y=( m2+5m+6)x –m+3
<i>HD: </i>
Để hàm số là hàm số bậc nhất thì:
a) m-2 ≠ 0 m ≠ 2.
b) m+1 >0 m> -1.
c) m2+5m+6 ≠ 0 (m+2)(m+3) ≠ 0 m ≠ -2; m ≠ -3.
<b>Bài 2: Chứng minh các hàm số sau luôn là hàm số bậc nhất với mọi m: </b>
a) y =(m2+1)x+3m-1 b) y = (𝑚2 + 2𝑚 + 10) x+m-2
<i>HD: </i>
<i>a) Vì a= m2+1 ≠ 0 với mọi m nên hàm số luôn là hàm số bậc 1. Câu b tương tự. </i>
<i>b) m2+2m+10 =(m+1)2+9 </i>
<b>Bài 3: Tìm a, b để hàm số là hàm số bậc nhất. </b>
y = (a2 -4)x2 +(b-3a)(b+2a)x -2
HD:
Hàm số là hàm số bậc nhất khi:
a2 <sub>− 4 = 0</sub>
b − 3a b + 2a ≠ 0
a = ±2
b − 3a b + 2a ≠ 0 (1)
TH1: a =2. Thay vào (1) ta được: b − 6 b + 4 ≠ 0 b ≠ 6; b ≠ -4.
TH2: a= -2. Thay vào (1) ta được: b + 6 b − 4 ≠ 0 b ≠ - 6; b ≠ 4.
<b>Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến ( tạo với trục Ox một góc nhọn hoặc đường </b>
<b>thẳng có hướng đi lên) , nghịch biến(tạo với trục Ox một góc tù hoặc đường thẳng </b>
<b>có hướng đi xuống ) </b>
<b>BÀI TẬP: </b>
<b>Bài 1: Tìm m để: </b>
a) y =(m-1)x+3m đồng biến b) y =(m2-1)x+2m-1 có hướng đi xuống
c) y =(m2+2m+5)x -3m-2 nghịch biến d) y = (m2-5m+6) có hướng đi lên
e) y= (m+1)x +2+m tạo với trục Ox một góc nhọn
f) y =( 1-4m)x+4m-2 tạo với trục Ox một góc tù.
<i>HD: </i>
<i>a) Hàm số đồng biến khi m -1 >0 </i><i> m>1. </i>
<i>b) Đường thẳng có hướng đi xuống khi m2-1 <0 </i><i> (m-1)(m+1) < 0 </i><i> -1<m<1. </i>
<i>c) Hàm số nghịch biến khi m2</i>
<i>+2m+5 < 0 </i><i> m2+2m+1+4 <0 </i><i> (m+1)2+4 < 0 : Vơ lí </i>
<i>Vậy khơng tồn tại m để hàm số nghịch biến. </i>
<i>d) Đường thẳng có hướng đi lên khi: m2-5m+6 > 0 </i><i> (m-2)(m-3) > 0 </i><i> m>3 hoặc </i>
<i>m<2. </i>
<i>e) Hàm số tạo với trục Ox một góc α nhọn khi tanα = m+1 > 0 </i><i> m> -1. </i>
<i>f) Hàm số tạo với trục Ox một góc α tù khi tanα = 1-4m <0 </i><i> m> 1/4. </i>
<b>Dạng 3: Hệ số góc của đường thẳng y = ax+b. </b>
<b>Phương pháp: Nếu đường thẳng có dạng y =ax+b thì hệ số góc là a. ( a = tan𝛼 với 𝛼 </b>
<i>là góc tạo bởi đường thẳng với chiều dương trục Ox ) </i>
<b>Bài 1: Cho đường thẳng y =(m-1)x +2m-3. Tìm m biết: </b>
a) Hệ số góc của đường thẳng là 3.
b) Đường thẳng tạo với trục Ox một góc 450
HD:
a) Vì hệ số góc của đường thẳng là 3 nên m-1 =3 m= 4.
b) Vì đường thẳng tạo với trục Ox góc 450
nên hệ số góc của đường thẳng là:
m-1 = tan450 m-1 =1 m= 2.
<b>Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số y=ax+b. </b>
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
<i>chúng lại ( thường tìm giao với hai trục tọa độ). </i>
Tìm giao điểm với Ox: Ta cho y =0 để tìm x rồi suy ra giao điểm.
Tìm giao điểm với Oy: Ta cho x =0 để tìm y rồi suy ra giao điểm.
<b>BÀI TẬP: </b>
<b>Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: y = x -3 </b>
Giải:
* y= x-3:
Giao điểm của đồ thị với Ox: y=0, suy ra x-3=0 x=3. Vậy đồ thị cắt Ox tại A(3;0).
Giao điểm của đồ thị với Oy: x =0, suy ra y = 0-3=-3. Vậy đồ thị cắt Oy tại B(0;-3).
Nối hai điểm A và B ta được đồ thị hàm số y =x-3.
<b>Dạng 5: Tìm giao điểm của hai đồ thị y=f(x) và y=g(x). </b>
<b>Phương pháp: Xét hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn phương trình: f(x)=g(x) </b>
<i>ta tìm được x; y và suy ra giao điểm. </i>
<i><b>Chú ý: </b></i>
<i><b>Tìm giao điểm của đồ thị với Ox: cho y=0 suy ra x </b></i>
<i><b>Tìm giao điểm của đồ thị với Oy: cho x=0 suy ra y. </b></i>
<b>BÀI TẬP: </b>
<b>Bài 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau: y=3x-1 và y=x+5. </b>
Giải:
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn: 3x-1=x+5 x = 3 suy ra y= 8. ( bằng
cách thay x=3 vào y=3x-1 hoặc y=x+5) . Vậy hai đồ thị giao nhau tại A(3;8).
<b>Bài 2: Tìm giao điểm của đồ thị y=2x-4 với Ox và Oy: </b>
Giải:
x
O
y
3
3
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
Đồ thị giao Ox : y=0 suy ra 2x-4=0 x=2. Vậy đồ thị cắt Ox tại A(2;0)
Đồ thị giao Oy : x=0 suy ra y= -4. Vậy đồ thị cắt Oy tại B(0; -4)
<b>Bài 3: Tìm m biết đường thẳng y = (2m-1)x-2m+2 </b>
a) Cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 3.
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1.
Giải:
a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng 3 nên đồ thị đi qua A(3; 0).
Thay x =3; y=0 vào đồ thị ta được: 0=(2m-1).3-2m+2 6m-3-2m+2=0 m= 1/4.
b) Tương tự. Thay x =0; y =-1 vào đồ thị ta được:
-1 =(2m-1).0-2m+2 m =3/2.
<b>Bài 4: Tìm giao điểm của hai đồ thị: y =2x</b>2 và y = x+1.
Hoành độ giao điểm thỏa mãn phương trình:
2x2 = x+1 2x2 –x-1 =0 (x-1)(2x+1) =0 x =1 hoặc x = −1
2
Với x =1 suy ra y =2.
Với x = −1<sub>2</sub> suy ra y = 1
2
Vậy hai đồ thị giao nhau tại hai điểm A(1;2) và B(−1<sub>2</sub>;1<sub>2</sub> )
<b>Dạng 6: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, vng góc, song song, trùng nhau: </b>
<b>Phương pháp: </b>
<b>BÀI TẬP: </b>
<b>Bài 1. </b>Tìm m để hai đường thẳng y=(m-3)x+3 và y= 2mx+2 song song, cắt nhau, vng
góc.
HD: Điều kiện: m ≠ 3.
Hai đường thẳng cắt nhau khi: m-3 ≠ 2m m ≠ -3. Vậy …..
Hai đường thẳng song song khi : m-3 = 2m m = -3. Vậy…..
Hai đường thẳng vng góc khi : (m-3).2m = -1 2m2-6m+1 =0 m = 6± 28
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
<b>Dạng 7: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau thỏa mãn điều kiện K. </b>
<b>Phương pháp chung: </b>
<i>- Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau (1) </i>
<i>- Tìm giao điểm của hai đường thẳng là x =f(m); y= g(m). </i>
<i>- Thay x, y vào điều kiện K để tìm m, đối chiếu với điều kiện (1) và kết luận. </i>
<i><b>a) Hai đường thẳng cắt nhau thuộc góc phần tư thứ nhất, thứ hai: </b></i>
<i><b> - Thuộc góc phần tư thứ I: </b></i>𝑥 > 0<sub>𝑦 > 0</sub><i> và 𝑎</i><sub>1</sub> ≠ 𝑎<sub>2</sub>
<i><b>- Thuộc góc phần tư thứ II: </b></i>𝑥 < 0<sub>𝑦 > 0</sub><i> và 𝑎</i><sub>1</sub> ≠ 𝑎<sub>2</sub>
<i><b>- Thuộc góc phần tư thứ III: </b></i>𝑥 < 0<sub>𝑦 < 0</sub><i> và 𝑎</i><sub>1</sub> ≠ 𝑎<sub>2</sub>
<i><b>- Thuộc góc phần tư thứ IV: </b></i>𝑥 > 0<sub>𝑦 < 0</sub><i> và 𝑎</i><sub>1</sub> ≠ 𝑎<sub>2</sub>
<b>Bài 1. </b>Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất; góc
phần tư thứ 2: mx+2y=5 (1) và 2x+y=1 (2)
HD:
Hai đường thẳng cắt nhau khi: 𝑚
2 ≠
2
1 m ≠ 4.
Từ (2) suy ra y=1-2x (3) thay vào (1) ta được: mx+2-4x=5 𝑥 = 3
𝑚 −4 . Thay vào (3)
ta được: 𝑦 = 𝑚 −10
𝑚 −4 .
Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất khi:
𝑥 > 0
𝑦 > 0
3
𝑚−4 > 0
𝑚−10
𝑚−4 > 0
𝑚 − 4 > 0
𝑚 − 10 > 0 m >10.
Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ 2 khi:
𝑥 < 0
𝑦 > 0
3
𝑚−4 < 0
𝑚−10
𝑚−4 > 0
𝑚 − 4 < 0
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
<i><b>b) Hai đường thẳng </b></i>𝒚 = 𝒂<sub>𝟏</sub>𝒙 + 𝒃<sub>𝟏</sub><i><b> và </b></i>𝒚 = 𝒂<sub>𝟐</sub>𝒙 + 𝒃<sub>𝟐</sub><i><b> cắt nhau tại một điểm nằm </b></i>
<i><b>trên trục hồnh Ox </b></i>
<i>- Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : 𝑎</i><sub>1</sub> ≠ 𝑎<sub>2</sub>
<i>- Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Ox: </i>
<i> 𝑦 = 0; 𝑥 = − </i>𝑏1
𝑎1<i><b> suy ra A(− </b></i>
𝑏1
𝑎1<i> ; 0 ) </i>
<i>- Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Ox: </i>
<i> 𝑦 = 0; 𝑥 = − </i>𝑏2
𝑎2<i> suy ra B(− </i>
𝑏2
𝑎2<i> ; 0) </i>
<i>- Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Ox thì A ≡ B nên : </i>𝑎𝑏11 ≠ 𝑎2
𝑎1 =
𝑏2
𝑎2
<b>Bài 1. </b>Tìm m để y= x+ m-3 và y= 2x+3m-1 Cắt nhau tại một điểm thuộc Ox.
HD:
Vì a1= 1; a2 = 2 nên hai đường thẳng luôn cắt nhau tại một điểm.
b) Giao điểm của y= x+ m-3 với Ox là : y=0 ; x = 3-m suy ra giao điểm C(3-m;0)
Giao điểm của y= 2x+3m-1 với Ox là: y=0; x = 1−3m<sub>2</sub> suy ra giao điểm D(1−3m<sub>2</sub> ; 0)
Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên Ox thì C ≡ D. Suy ra 1−3m<sub>2</sub> = 3 − m
m= -5. Vậy m= -5 thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Ox.
<i><b>c) Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung Oy </b></i>
<i>- Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : 𝑎</i><sub>1</sub> ≠ 𝑎<sub>2</sub>
<i>- Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Oy: x= 0; 𝑦 = 𝑏</i><sub>1</sub><i><b> suy ra A(0; 𝑏</b></i><sub>1</sub><i> ) </i>
<i>- Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Oy: 𝑥 = 0; 𝑦 = 𝑏</i><sub>2</sub><i> suy ra B(0; 𝑏</i><sub>2</sub> )
<i>- Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Oy thì A ≡ B nên : </i>𝑎<sub>𝑏</sub>1 ≠ 𝑎2
1 = 𝑏2
<b>Bài 1. </b>Tìm m để y= x+ m-3 và y= 2x+3m-1 Cắt nhau tại một điểm thuộc Oy.
HD:
Vì a1= 1; a2 = 2 nên hai đường thẳng luôn cắt nhau tại một điểm.
Giao điểm của y= x+ m-3 với Oy là : A(0; m-3)
Giao điểm của y= 2x+3m-1 với Oy là B(0; 3m-1).
Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên Oy thì A ≡ B. Suy ra m-3 = 3m-1
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
<b>d) Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hồnh độ m: </b>
<b>Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: 𝑎</b><sub>1</sub> ≠ 𝑎<sub>2</sub>
<b>Bước 2: Thay x =m vào đường thẳng thứ nhất để tìm y. </b>
<b>Bước 3: Thay x= m và y tìm được ở bước 2 vào đường thẳng thứ 2 để tìm m. </b>
<b>Bước 4: Kết hợp các điều kiện để kết luận. </b>
<b>Bài 1. </b>Tìm m để y =x+3m-1 và y=(m-1)x +m cắt nhau tại một điểm có hồnh độ x =1.
HD:
Hai đường thẳng cắt nhau khi : m-1 ≠ 1 m ≠ 2.
Thay x=1 vào y =x+3m-1 ta được: y=3m.
Thay x =1 ; y=3m vào y=(m-1)x +m ta được 3m =(m-1).1+m m= -1.
Vậy m = -1 thì hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hồnh độ bằng 1.
<b>e) Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tung độ y=m. </b>
<b>Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: 𝑎</b><sub>1</sub> ≠ 𝑎<sub>2</sub>
<b>Bước 2: Thay y =m vào đường thẳng thứ nhất để tìm x. </b>
<b>Bước 3: Thay y= m và x tìm được ở bước 2 vào đường thẳng thứ 2 để tìm m. </b>
<b>Bước 4: Kết hợp các điều kiện để kết luận. </b>
<b>Bài 1. </b>Tìm m để y= x+2m+1 và y= (m-1)x +3 cắt nhau tại một điểm có tung độ là 3
HD:
Hai đường thẳng cắt nhau khi : m-1 ≠ 1 m ≠ 2.
Thay y =3 vào y= x+2m+1 ta được 3 = x+2m+1 x= 2-2m.
Thay y=3; x= 2- 2m vào y= (m-1)x +3 ta được: 3= (m-1)(2-2m)+3 (m-1)(2-2m) =0
m=1.
Vậy m=1 thì hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 3.
<b>f) Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên: </b>
<b>Phương pháp: </b>
<b>Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: </b>
<b>Bước 2: Dùng phương pháp cộng hoặc thế để tìm x, y theo m. </b>
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
mx+2y=5 (1) và 2x+y=1 (2)
2 ≠
2
1 m ≠ 4.
Từ (2) suy ra y=1-2x thay vào (1) ta được: mx+2-4x=5 x = 3
𝑚 −4. Để x nguyên thì 3 ⋮
(m-4) hay m-4={-3; -1; 1; 3}.
m-4 -3 -1 1 3
m 1 3 5 7
Vậy m = { 1;3;5;7}
<b>g) Tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau ( Chứng minh giao điểm </b>
<b>của hai đường thẳng nằm trên một đường cố định) </b>
<b>Phương pháp: </b>
<i>- Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau. </i>
<i>- Dùng phương pháp cộng để tìm tọa độ giao điểm x, y theo m. </i>
<i>- Khử m trong biểu thức tọa độ x, y để tìm quỹ tích. </i>
<b>Bài 1: </b>Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau và tìm quỹ tích giao điểm của hai đường
d1: mx+2y=m+1 d2: 2x+my= 2m-1.
Hai đường thẳng cắt nhau khi:
𝑚
2 ≠
2
𝑚 m ≠ ± 2.
Thay y= 𝑚 +1−𝑚𝑥
2 từ d1 vào d2 ta tìm được x =
𝑚−1
𝑚+2 suy ra y=
2𝑚+1
𝑚+2
Vậy giao điểm của hai đường thẳng là A( 𝑚−1
𝑚+2;
2𝑚 +1
𝑚 +2 )
Ta thấy: x = 𝑚−1
𝑚+2 = 1 −
3
𝑚+2; y=
2𝑚 +1
𝑚 +2 = 2 −
3
𝑚+2 suy ra x-y=-1. Vậy quỹ tích giao
điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng x-y= -1
<b>Dạng 8: Các dạng lập phương trình đường thẳng </b>
<b>a) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(𝒙</b><sub>𝟏</sub>, 𝒚<sub>𝟏</sub>); B(𝒙<sub>𝟐</sub>, 𝒚<sub>𝟐</sub>)
<b>Phương pháp: </b>
<i><b>Cách 1: (nâng cao) Phương trình đường thẳng là: </b></i>𝑥−𝒙𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏 =
𝑦−𝒚𝟏
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
<i><b>Cách 2: giả sử phương trình đường thẳng là y=a.x+b (1) </b></i>
<i>- Thay tọa độ của A(𝑥</i><sub>1</sub>, 𝑦<sub>1</sub>); B(𝑥<sub>2</sub>, 𝑦<sub>2</sub>) vào (1) ta được hệ phương trình:
𝑦<sub>1</sub> = 𝑎. 𝑥<sub>1</sub> + 𝑏
𝑦<sub>2</sub> = 𝑎. 𝑥<sub>2</sub> + 𝑏<i> từ hệ phương trình trên tìm được a,b thay vào (1) ta được phương </i>
<i>trình đường thẳng. </i>
<b>Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -1) và B(2;1) </b>
HD:
<b>Cách 1: </b>
Phương trình đường thẳng AB có dạng: 𝑥−𝑥𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴 =
𝑦−𝑦𝐴
𝑦𝐵−𝑦𝐴 hay
𝑥−1
2−1 =
𝑦+ 1
1+1 2(x-1)
=1(y+1) hay y=2x-3.
<b>Cách 2: </b>
Gọi phương trình đường thẳng AB là y=ax+b. Thay tọa độ A(1; -1) và B(2;1) vào đường
thẳng ta được:
−1 = 𝑎. 1 + 𝑏<sub>1 = 𝑎. 2 + 𝑏</sub> Suy ra : a=2; b=-3. Vậy đường thẳng AB là: y=2x-3.
<b>Bài 2: </b>Tìm đường thẳng y=ax+b biết đường thẳng cắt trục tung tại 4 và cắt trục hoành
tại -2.
HD:
Vì đường thẳng cắt trục tung tại 4 nên điểm A(0;4) thuộc đồ thị. thay x=0; y=4 vào đồ
thị ta được: 4= a.0+b nên b=4.
Vì đường thẳng cắt trục hoành tại -2 nên đường thẳng đi qua B(-2; 0). Thay x=-2; y=0
vào đường thẳng ta được: 0= -2a+4. suy ra a=2. Vậy đường thẳng cần tìm là y=2x+4.
<b>Bài 3: Tìm m và n biết y =(m-1)x+2n đi qua điểm A(1;3) và B(-3; -1). </b>
HD:
Thay tọa độ A(1;3) và B(-3;-1) vào đường thẳng y =(m-1)x+2n ta được:
3 = m − 1 . 1 + 2n
−1 = m − 1 . −3 + 2n m + 2n = 4−3m + 2n = −4 m = 2n = 1
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
<i><b>- Cách 1: Phương trình đường thẳng là: y=k(x-𝑥</b></i><sub>1</sub>) + 𝑦<sub>1</sub><i> ( nâng cao) </i>
<i><b>- Cách 2: Gọi đường thẳng là y=ax+b. Vì hệ số góc là k nên a=k. Vì đường thẳng qua </b></i>
<i>A(𝑥</i><sub>1</sub>, 𝑦<sub>1</sub>) nên thay tọa độ A vào đường thẳng để tìm b.
<b>BÀI TẬP: </b>
<b>Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua A(2; 1) có hệ số góc là 3. </b>
<b>Cách 1: Phương trình đường thẳng là: y=3(x-2)+1=3x-5. </b>
<b>Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng là y=ax+b. Vì hệ số góc là 3 nên a=3. </b>
Điểm A(2;1) thuộc đường thẳng nên thay x=2; y=1 vào đường thẳng ta được: 1=2.a+b
mà a=3 suy ra b=-5. Vậy đường thẳng cần tìm là: y=3x-5.
<b>Bài 2: Cho đường thẳng y =(m-1)x +2n-3. Lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc </b>
là 3 và đi qua A( 2;1)
HD:
Vì hệ số góc là 3 nên m-1 =3 m=4.
Vì đường thẳng qua A(2;1) thay x=2; y=1 vào đường thẳng ta được:
1 = (m-1).2 +2n-3 2m+2n = 6. Mà m =4 nên n= -1.
<b>c) Lập phương trình đường thẳng qua A(𝒙</b><sub>𝟏</sub>, 𝒚<sub>𝟏</sub>) và tạo với trục Ox một góc 𝜶
<b>Phương pháp: </b>
<i>Gọi phương trình đường thẳng là: y= ax+b. </i>
<i>Vì đường thẳng tạo với trục Ox một góc 𝛼 nên a = tan𝛼. </i>
<i>Thay tọa độ điểm A(𝑥</i><sub>1</sub>, 𝑦<sub>1</sub>) vào đường thẳng để tìm b. Từ đó suy ra đường thẳng.
<b>BÀI TẬP: </b>
<b>Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua A(2;1) và tạo với trục Ox một góc 30</b>0
Gọi đường thẳng cần tìm là y= ax+b.
Vì đường thẳng tạo với trục Ox một góc 300
nên a =tan300 = 3<sub>3</sub>
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
Vậy đường thẳng cần tìm là: 𝑦 = 3<sub>3</sub> 𝑥 + 3−2 3<sub>3</sub>
<b>d) Lập phương trình đường thẳng qua A(𝒙</b><sub>𝟏</sub>, 𝒚<sub>𝟏</sub>) và song song với y=a.x+b
<b>Phương pháp: </b>
<i>- Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: y=k.x+c (d). Vì (d)// y=ax+b nên k=a. Thay </i>
<i>tọa độ điểm A(𝑥</i><sub>1</sub>, 𝑦<sub>1</sub>) vào đường thẳng ta được : 𝑦<sub>1</sub> = 𝑘. 𝑥<sub>1</sub> + 𝑐, từ đó tính được c.
<b>Bài 1: </b>Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng
y=-4x+3.
Gọi đường thẳng cần tìm là y=ax+b (d). Vì (d)//y= - 4x+3 nên a= - 4.
(d) qua M(1;3) nên thay x=1; y=3 vào đường thẳng ta được: 3=a.1+b mà a= -4 nên b=7.
Vậy đường thẳng cần tìm là y= -4x+7
<b>Bài 2: </b>Cho đường thẳng y =(m+1)x +2n -3. Tìm m , n biết đường thẳng song song y
=x+1 và đi qua A(2;2).
Vì đường thẳng song song y =x+1 nên m+1 =1 m=0.
Vì đường thẳng qua A(2;2) nên thay x =2; y=2 vào đường thẳng ta được:
2 =(m+1).2 +2n-3 2m+2n = 3 n =1,5 ( vì m=0).
<b>e) Lập phương trình đường thẳng qua A(𝒙</b><sub>𝟏</sub>, 𝒚<sub>𝟏</sub>) và vng góc với y=a.x+b
<b>Phương pháp: </b>
<i>- Phương trình đường thẳng có dạng: y=k.x+c (d). Vì (d) vng góc y=ax+b nên = </i>−1<sub>𝑎</sub> <i> . </i>
<i>Thay tọa độ điểm A(𝑥</i><sub>1</sub>, 𝑦<sub>1</sub>) vào đường thẳng ta được : 𝑦<sub>1</sub> = −1<sub>𝑎</sub> . 𝑥<sub>1</sub> + 𝑐, từ đó tính được
<i>c. </i>
<b>Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua N(2; -1) và vng góc với y= 4x+5. </b>
Gọi đường thẳng cần tìm là y=ax+b (d). Vì (d) vng góc y= 4x+5 nên a= −1
4 = - 0,25 (
hai đường thẳng vng góc thì a1.a2 = -1)
(d) qua N(2;-1) nên thay x=2; y= -1 vào đường thẳng ta được:
-1=a.2+b mà a= -0,25 nên b= -0,5.
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
<b>Bài 2: </b>Cho đường thẳng y =(m-1)x +n -3. Tìm m , n biết đường thẳng vng góc y =
x+1 và đi qua A(1;2).
Vì đường thẳng vng góc y = x+1 nên m-1 = -1 m=0.
Vì đường thẳng qua A(1;2) nên thay x =1; y=2 vào đường thẳng ta được:
2 =(m-1).1 +n-3 m+n = 6 n =6 ( vì m=0).
<b>Dạng 9: Các bài tốn về góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox, với một đường thẳng </b>
<b>khác. </b>
<b>Phương pháp: </b>
<i>Góc tạo bởi đường thẳng y=ax+b với trục Ox là α sao cho: tanα =a. </i>
<i>Nếu a >0. Đường thẳng tạo với trục Ox một góc nhọn, a< 0 đường thẳng tạo với trục </i>
<i>Ox một góc tù. </i>
<i>Góc tạo bởi đường thẳng y=a1x +b1 với đường thẳng y=a2x +b2 là góc α sao cho: </i>
<i>tanα = |</i> 𝑎1−𝑎2
1+𝑎1𝑎2|
<i><b>Chú ý: </b></i>
<i><b>- Khi tính góc tạo bởi hai đường thẳng, nếu tính ra góc tù, các em phải lấy góc kề bù </b></i>
<i><b>với góc tù đó, vì góc giữa hai đường thẳng ln là góc nhọn. </b></i>
<i><b>- Để tính góc tạo bởi các điểm trong hệ trục Oxy, các em đưa về các tam giác vuông </b></i>
<i><b>rồi dùng tỉ số lượng giác của góc nhọn. </b></i>
<b>Bài 1: Cho y=(m-1)x+ 2m-3. Với giá trị nào của m thì đường thẳng trên tạo với trục Ox </b>
một góc nhọn, góc tù.
Gọi góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là α. Suy ra tanα = m-1.
góc α là góc nhọn thì tanα >0 hay m-1>0 suy ra m >1.
góc α là góc tù thì tanα <0 hay m-1< 0 suy ra m < 1.
<b>Bài 2: Cho đường thẳng y= (m+1)x-2m. Tìm m để đường thẳng tạo với trục Ox một góc </b>
là 450.
Góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là 450
nên ta có: tan450 = m+1 1= m+1 m=0.
Vậy m=0 thì đường thẳng tạo với Ox một góc 450
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
<b>Bài 3: Tìm m để góc tạo bởi hai đường thẳng sau là 60</b>0
: d1: y= (m-1) x+2 và d2:
y=2x-1.
Ta có: 𝑡𝑎𝑛600 <sub>= </sub> 𝑚−1−2
1+(𝑚−2).2
𝑚−3
2𝑚−3 = 3.
* Với 𝑚 −3
2𝑚 −3 = 3 m=
3−3 3
1−2 3
* Với 𝑚−3
2𝑚 −3 = − 3 m=
3+3 3
1+2 3
<b>Dạng 10: Khoảng cách từ điểm O(0;0) đến đường thẳng. Tìm m để khoảng cách từ </b>
<b>gốc tọa độ đên đường thẳng bằng A, lớn nhất hoặc nhỏ nhất. </b>
<b>Phương pháp: </b>
<b>Cách 1: (Nâng cao)- Khoảng cách từ một điểm A(𝑥</b><sub>1</sub>, 𝑦<sub>1</sub>) đến đường thẳng ax+by+c=0
<i>là: </i>
<i>d = <b>│</b></i>𝒂.𝑥1+𝑏𝑦1+𝒄<i><b>│</b></i>
𝑎2<sub>+𝑏</sub>2 <i> </i>
<i>- Khoảng cách giữa 2 điểm A(𝑥</i><sub>1</sub>, 𝑦<sub>1</sub>) và B(𝑥<sub>2</sub>, 𝑦<sub>2</sub>) là: AB= (𝑥<sub>2</sub> − 𝑥<sub>1</sub>)2 <sub>+ (𝑦</sub>
2 − 𝑦1)2
<i>- Tọa độ trung điểm của AB là I( </i>𝑥2+𝑥1
2 ;
𝑦2+𝑦1
2 <i>). </i>
<b>Cách 2: </b><i>Để tính khoảng cách từ điểm O(0;0) đến một đường thẳng, ta tìm giao điểm </i>
<i>Sau khi tính được khoảng cách, ta đi tìm Min, Max của khoảng cách. </i>
<b>Bài 1: Cho đường thẳng d : y= 3x-1. Điểm A(2;3) và B(1;2). Tìm trung điểm I của đoạn </b>
AB, tính độ dài AB, tính khoảng cách từ điểm O(0;0) tới đường thẳng d.
Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là: I(2+1<sub>2</sub> ;3+2<sub>2</sub> ) hay I(1,5; 2,5)
Độ dài AB= (1 − 2)2 <sub>+ (2 − 3)</sub>2 <sub>= 2. </sub>
Khoảng cách:
<b>Cách 1: Đường thẳng d: 3x-y-1=0. Khoảng cách từ O(0;0) tới d là: </b>
h= |3.0−0−1|
32<sub>+(−1)</sub>2 =
1
10 =
10
10
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
Giao điểm của đường thẳng với Oy là C(0; -1).
Từ hình vẽ, kẻ OH vng góc CD. Suy ra khoảng cách từ O tới d là OH.
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác OCD: CD2
= OD2+OC2 = 1
9+ 1 =
10
9 nên CD =
10
3
Trong tam giác vuông OCD: CD.OH= OC.OD OH =OC .OD
CD =
10
10
<b>Dạng 11: Tìm điểm cố định của y=f(x,m) (chứng minh đồ thị luôn đi qua điểm cố </b>
<b>định hoặc tìm điểm mà đồ thị ln đi qua với mọi m ): </b>
<b>Phương pháp: </b>
<b>Bước 1: Chuyển y=f(x,m) về dạng: f(x,m)-y=0 </b>
<b>Bước 2: nhóm các số chứa m lại với nhau: m.f(x)+g(x,y)=0 </b>
<b>Bước 3: </b><i>Gọi I(x,y) là điểm cố định, suy ra </i> 𝑓 𝑥 = 0
𝑔 𝑥, 𝑦 = 0 => 𝑥 =?𝑦 =?<i> suy ra điểm cố </i>
<i>định I. </i>
<b>BÀI TẬP: </b>
<b>Bài 1: Tìm điểm cố định của đường thẳng sau: y=(m-2)x+2m-3. </b>
Ta có: mx-2x+2m-3-y=0 m(x+2) -2x-3-y=0 (1)
Gọi I(x;y) là điểm cố định thì phương trình (1) đúng với mọi m. Suy ra :
𝑥 + 2 = 0
−2𝑥 − 3 − 𝑦 = 0 suy ra x= -2; y=1. Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm cố định I(-2;
1).
<b>Dạng 12: Chứng minh 3 điểm trên tọa độ không thẳng hàng (thẳng hàng). Tìm m </b>
x
y
0
-1
C
D
H
1
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
<b>để 3 điểm thẳng hàng: </b>
<b>Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, thay tọa độ điểm thứ 3 vào, nếu </b>
<i>thỏa mãn thì 3 điểm thẳng hàng, nếu khơng thỏa mãn thì 3 điểm khơng thẳng hàng. </i>
<i><b>Cách 2: </b> Tính hệ số góc của đường thẳng AB và AC. Nếu KAB=KAC thì 3 điểm thẳng </i>
<i>hàng và ngược lại. </i>
<b>BÀI TẬP: </b>
<b>Bài 1: </b>
a) Chứng minh 3 điểm A(1;2); B(-2;-1) ; C(0;1) thẳng hàng. Viết phương trình đường
thẳng đi qua 3 điểm A, B, C.
b) Tìm m để 3 điểm A(1;2); B(-2;-1) và D(m; 3m-1) thẳng hàng.
a) Cách 1: Đường thẳng qua hai điểm A và B là y=x+1. ( xem lại cách làm dạng 9a)
Thay tọa độ C(0;1) vào đường thẳng AB ta được: 1=1.0+1 luôn đúng nên C nằm trên
đường thẳng AB hay A, B, C thẳng hàng. Đường thẳng đi qua 3 điểm là: y =x+1.
<b>Cách 2: Hệ số góc của đường thẳng AB </b>
<i>KAB = </i>
𝑦𝑏−𝑦𝑎
𝑥𝑏−𝑥𝑎 =
−1−2
−2−1 = 1
Hệ số góc của đường thẳng AC
<i>KAC = </i>
𝑦𝑐−𝑦𝑎
𝑥𝑐−𝑥𝑎 =
1−2
0−1 = 1. Vì KAB= KAC nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Đường thẳng đi qua 3 điểm là: y = 1(x-1)+2= x+1.
b) Để A,B,D thẳng hàng thì D( m; 3m-1) phải nằm trên đường thẳng AB: y=x+1. Thay
x=m; y=3m-1 vào đường thẳng AB ta được: 3m-1=m+1 m=1. Vậy với m=1 thì
A,B,D thẳng hàng.
<b>Dạng 13: Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy ( cùng đi qua 1 điểm): </b>
<b>Phương pháp: Tìm giao điểm của 2 đường thẳng ( 2 đường thẳng không chứa m) để 3 </b>
<i>đường thẳng đồng quy thì giao điểm đó khi thay vào đường thẳng số 3 phải thỏa mãn, từ </i>
<i>đó tìm được m; </i>
<b>BÀI TẬP: </b>
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
Xét hoành độ giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) thỏa mãn: 2x-1=x+1 suy ra x=2;
y=3. Vậy (d1) giao (d2) tại A(2;3).
Để 3 đường thẳng đồng quy thì A(2;3) thuộc (d3) suy ra: 3=(m+2).2 – m+3 m= -4.
Vậy m= -4 thì 3 đường thẳng đồng quy.
<b>Dạng 14: Tìm a để khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ </b>
<b>nhất: </b>
<b>Phương pháp: </b><i>Dùng cơng thức tính khoảng cách ( hoặc dùng các tính chất của tam </i>
<i>giác vng để tính khoảng cách) từ điểm M tới d. </i>
<i>Sau đó tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức khoảng cách. </i>
<b>BÀI TẬP: </b>
<b>Bài 1: </b>Cho đường thẳng (d): 2kx+(k-1)y =2. Tìm m để khoảng cách từ tâm O tới
đường thẳng (d) là lớn nhất.
<b>Cách 1: Sử dụng cơng thức tính khoảng cách: </b>
Khoảng cách từ O(0;0) tới đường thẳng (d) là:
H= −2
2𝑘 2<sub>+ 𝑘−1 </sub>2 .
Để Hmin thì (2k)2
+(k-1)2 nhỏ nhất. Hay 5k2-2k+1 nhỏ nhất.
Ta có: 5k2-2k+1 = 5(k −1
5)
2 <sub>+ </sub>4
5 ≥
4
5. Vậy Hmin =
<i>2</i>
<i>4</i>
<i>5</i>
= 5 khi k = <i>1</i>
<i>5</i>
<b>Cách 2: Sử dụng công thức trong tam giác vuông: </b>
Đường thẳng giao Ox tại (1
k; 0) ; giao Oy tại B(0;
2
k−1).
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
1
OH2 =
1
OA2+
1
OB2
1
OH2 = k2 +
(k−1)2
4 =
5k2−2k+1
4 .
Để OH nhỏ nhất thì 5k2
-2k+1 lớn nhất.
Ta có: 5k2-2k+1 = 5(k −1
5)
2 <sub>+ </sub>4
5 ≥
4
5. Vậy Hmin =
<i>2</i>
<i>4</i>
<i>5</i>
= 5 khi k = <i>1</i>
<i>5</i>
<b>Cách 3: Dựa vào điểm cố định: </b>
<b>Bước 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ln đi qua là A. </b>
<b>Bước 2: Tìm giao điểm của đồ thị với Ox và Oy là B và C. </b>
<b>Bước 3: Để khoảng cách từ O đến đường thẳng là lớn nhất thì OA vng góc BC. Từ đó </b>
<i>tìm m. </i>
<b>Dạng 15: Tìm a để đồ thị cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho diện tích tam giác </b>
<b>OAB=S, tam giác ABC vng, cân hoặc đều. </b>
<b>Phương pháp: Tìm giao điểm của đồ thị với Ox và Oy ta được tọa độ điểm A và B. </b>
<i>Nếu bài cho diện tích OAB: Dùng cơng thức tính diện tích : 𝑆</i><sub>𝑂𝐴𝐵</sub> =𝑂𝐴.𝑂𝐵
<i>2</i> <i> để tìm a. </i>
<i>Nếu cho tam giác OAB cân, vng, đều: Ta dùng cơng thức tính khoảng cách AB; OB; </i>
<i>OA rồi sử dụng tính chất tam giác cân, vng , đều để tìm a. </i>
<b>BÀI TẬP: </b>
<b>Bài 1: Cho đường thẳng y= (m-1)x +m+3. Tìm m để đường thẳng cắt Ox, Oy tại A và </b>
B sao cho diện tích tam giác OAB = 1đvdt.
x
O
Y
A( ;0)
B(0; )
1
k
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
Giao điểm của đường thẳng với Ox : y=0 => x= 𝑚+<i>3</i>
<i>1</i>−𝑚 Suy ra A(
𝑚+<i>3</i>
<i>1</i>−𝑚;<i>0 ) </i>
Giao điểm của đường thẳng với Oy: x=0 => y=m+3. Suy ra B( 0; m+3).
𝑆<sub>𝑂𝐴𝐵</sub> =𝑂𝐴.𝑂𝐵<sub>2</sub> =<i>1</i>
<i>2</i>.
𝑚+<i>3</i>
<i>1</i>−𝑚. 𝑚 +<i>3 =</i> <i>1đ𝑣𝑑𝑡. </i>
∗ 𝑚+3
1−𝑚 . 𝑚 + 3 = <i>2 </i> m=-1 hoặc m=-7.
∗ 𝑚+3
1−𝑚 . 𝑚 + 3 = −2 ( vô nghiệm).
Vậy m= -1 hoặc m= -7.
<b>Bài 2: Cho y=ax +b. Tìm a và b biết đường thẳng song song với đường thẳng y=x+2 và </b>
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Vì đường thẳng song song với y= x+ 2 nên a=1. Suy ra y= x+b ( b ≠ 2)
Giao của đồ thị với Ox là A(-b; 0).
Đồ thị giao Oy tại B(0; b). Vì 𝑆𝐴𝑂𝐵 =<i>2 nên |-b.b|=4 hay b=-2. ( vì b ≠ 2) </i>
Vậy đường thẳng cần tìm là: y= x -2.
<b>Dạng 16: Cho tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC vng, </b>
<b>cân, đều là tính diện tích tam giác. </b>
<b>Phương pháp: Tìm tọa độ 3 đỉnh ABC, dùng Pitago để tính độ dài 3 cạnh và chỉ ra tam </b>
<i>giác đó vng, cân, đều. </i>
<i>Để tính diện tích tam giác ABC: </i>
<i>Cách 1: Tính trực tiếp khi biết đáy và đường cao của tam giác. </i>
<i>Cách 2: Tính gián tiếp thơng qua các hình . </i>
<i>Cách 3: Dùng cơng thức tính khoảng cách. </i>
<b>BÀI TẬP: </b>
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
Dùng định lí Pytago để tính các cạnh, rồi suy ra diện tích và chu vi.
<b>Bài 2. </b>Cho đường thẳng y =2x+5. Giao điểm của đường thẳng với Ox và Oy lần lượt là
E, F.
a) Tính diện tích tam giác OEF.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MEFC là hình bình hành, biết C(3;3).
HD:
a) Cho x =0 suy ra y =5. Đồ thị giao Oy tại F(0;5)
Cho y =0 suy ra x = -2,5. Đồ thị giao Ox tại E(-2,5; 0)
x
O
Y
3
3
-3
1
2
2
-1
-1
1
A
<i><b>HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI </b></i>
<i><b>Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122 </b></i>
Diện tích OEF là: 𝑆<sub>𝑂𝐸𝐹</sub> =𝑂𝐸.𝑂𝐹<sub>2</sub> = 5.2,5<sub>2</sub> = 6,25 (đvdt)
b) Gọi I là trung điểm EC suy ra I( −2,5+3
2 ;
0+3
2 ) hay I(
1
2;
3
2 )
Vì I là trung điểm FM mà <sub>𝑦</sub>𝑥𝐹 + 𝑥𝑀 = 2𝑥𝐼
𝐹 + 𝑦𝑀 = 2𝑦𝐼
0 + 𝑥<sub>𝑀</sub> = 2.1<sub>2</sub>
5 + 𝑦<sub>𝑀</sub> = 2.3<sub>2</sub>
𝑥<sub>𝑀</sub> = 1
𝑦<sub>𝑀</sub> = −2
x
O
F
E
y= 2x
+5
5
-2,5
C
M
I
1 3
-2
3