Vận dụng số phức vào giải các bài toán định tính trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN


KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
VẬN DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐỊNH
TÍNH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Giáo viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Lớp

: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
: Lê Thị Ngọc Trinh
: 12ST

Đà Nẵng, tháng 04 năm 2016


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt q trình thực hiện luận văn này, tơi đã nhận được nhiều sự hỗ trợ,
giúp đỡ từ thầy cô, người thân và bạn bè. Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc
đến Thạc Sĩ Ngô Thị Bích Thủy, người trực tiếp hướng dẫn tơi trong suốt quá trình
viết luận văn. Cảm ơn sự giúp đỡ ân cần, nhiệt tình của cơ đã giúp tơi hồn thành
luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong trường
Đại Học Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng đã trang bị cho tôi những kiến thức, kĩ năng
cần thiết trong suốt quá trình học để thực hiện luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

MỤC LỤC
Lời cảm ơn…………………………………………………………………………1
Mục lục………………………………………………………...…………………..2
Mở đầu……………………………………………………………………………..4
1.Lý do chọn đề tài…………………………………………………………………4
2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………………………..5
3.Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………………………….5
4.Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………………5
5.Phạm vi nghiên cứu………………………………………………………………5
Chương 1: Cơ sở lí luận……………………………………………………….…6
1.Giới thiệu về số phức……………………………………………………………..6
1.1.Lịch sử phát triển số phức…………………………………………………..….6
1.2.Số phức và các phép toán………………………………………………..…....11
1.2.1.Định nghĩa……………………………………………………………...…...11
1.2.2.Các phép tốn trên số phức…………………………………………..……..12
1.3.Các tính chất của số phức…………………………………………………..…14

1.3.1.Dạng lượng giác của số phức………………………………………...……..14
1.3.2.Biểu diễn dạng phức của một số yếu tố hình học……………………...…...20
1.4.Xây dựng một số tính chất hình học bằng số phức……………………..……..26
2.Dùng số phức chứng minh một số định lý trong hình phẳng…………………...31
2.1.Định lý Ceva…………………………………………………………..………31
2.2.Định lý Meneclaus……………………………………………………..……...33
2.3.Định lý Shainer……………………………………………………………..…34
2.4.Định lý Newton…………………………………………………………….....35
Chương 2: So sánh phương pháp giải tốn hình học bằng phương pháp số
phức và phương pháp giải toán sơ cấp…………………………………………37
Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Kết luận…………………………………………………………………………..48
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………….49

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

MỞ ĐẦU
1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Mỗi bài tốn đều có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau để đi đến kết
quả. Nhưng để tìm được một phương pháp giải tối ưu cho một bài tốn thì khơng
phải là điều dễ dàng.
Số phức là chương cuối cùng của sách giải tích 12. Đối với học sinh bậc
THPT thì số phức là một nội dung cịn mới. Với thời lượng khơng nhiều, học sinh
mới chỉ biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng
dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là ứng dụng số phức vào giải các bài tốn
hình học phẳng. Phương pháp giải tốn hình học phẳng bằng số phức là một
phương pháp dễ hiểu, ưu việt trong việc giải một số bài tốn định tính của hình học
phẳng, cụ thể là một số bài toán được đưa ra trong nghiên cứu này.
Các bài tốn hình học phẳng là các bài tốn tương đối phức tạp. Để giải các
bài tốn hình học phẳng, đôi khi ta phải vẽ thêm các yếu tố phụ, điều này gây nên
khó khăn cho học sinh. Với học sinh THPT, dùng số phức để giải các bài toán hình
học phẳng là kiến thức mới lạ với các em, đây là vấn đề thực tế giảng dạy hiện nay
chưa được quan tâm, chưa được chú trọng bồi dưỡng cho các em học sinh khá giỏi.
Nhưng đây lại là một phương pháp hay, hiệu quả trong giải các bài toán hình học
phẳng.
Việc sử dụng số phức như một cơng cụ giải tốn khơng những mang lại cho
học sinh một phương pháp giải tốn mới mà cịn góp phần đáng kể vào việc rèn
luyện kĩ năng, bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh.
Với những lí do trên, tơi đã chọn đề tài: “ Vận dụng số phức vào giải các bài
tốn định tính trong hình học phẳng”.

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 4

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về số phức, biết vận dụng số phức vào
giải một số bài tốn về hình học phẳng.
3.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
Đưa ra các tính chất cũng như các dạng tốn vận dụng số phức vào tìm lời
giải cho các bài tốn hình học phẳng..
4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tra cứu các tài liệu trong sách giáo khoa cũng như các tài liệu trong sách
tham khảo và trên mạng.
5.PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Nghiên cứu về ứng dụng giải tốn trong hình học phẳng.

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 5


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 1:

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC:
1.1.Lịch sử phát triển số phức:
Lịch sử phát triển các khái niệm số theo chu trình N  Z  Q  R  C
được thúc đẩy bởi sự phát triển của thực tế sản xuất và toán học. Đầu tiên người ta
dùng số để đếm, lúc đó cần các số tự nhiên. Số âm xuất hiện khi bắt đầu có chuyện
nợ nần, có chuyện trừ số nhỏ cho số lớn. Số hữu tỷ xuất hiện khi phải thực hiện các
phép chia … không hết. Cịn số vơ tỷ xuất hiện khi người ta thấy cạnh huyền của
tam giác vuông cân cạnh 1 không thể biểu diễn dưới dạng thương của hai số
nguyên, và thuật ngữ số thực có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng có thực.
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của toán
học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Các đại lượng ảo

1, b 1, a  b 1

xuất hiện đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của của các nhà tốn học Italy
“Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G. Cardano (1501 –
1576) và “Đại số” (1572) của R. Bombelli (1530 – 1572). Nhà toán học Đức Felix
Klein (1849 – 1925) đã đánh giá cơng trình của G. Cardano như sau: “Tác phẩm
quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt
xa tầm của tốn học thời cổ đại”.
Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu

1 là lời giải hình thức của phương trình x 2  1  0 .
Xét biểu thức b 1 là nghiệm hình thức của phương trình x 2  b2  0 . Khi đó biểu
thức tổng quát hơn có dạng a  b 1, b  0 có thể xem là nghiệm hình thức của
phương trình ( x  a)2  b2  0 .
Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 6

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Về sau biểu thức dạng a  b 1, b  0 xuất hiện trong quá trình giải phương
trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó
được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là a  ib , trong đó kí hiệu

i : 1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”.
Quá trình thừa nhận số phức như một cơng cụ q giá của tốn học đã diễn
ra rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu i : 1 là đơn vị ảo cũng đã gây nên
nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó khơng có
gì chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem nó là một
kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa i 2  1.
Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách
thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các
số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch lí sau đây:
vì i  1 nên i 2  1 , nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy tắc thơng
thường của phép tốn khai căn bậc hai lại thu được
i 2  1 1  (1)(1)  (1) 2  1  1

Như vậy 1  1 .
Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức i 2  1 là định nghĩa số mới i cho phép ta
đưa vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó khơng thể chứng minh, nó
chỉ là quy ước.
Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó. Trong cuốn sách
“phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S. Pointriagin đã mơ tả lại chứng minh
đó như sau:

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Đầu tiên người ta lấy nửa đường trịn với đường kính AB. Từ điểm R tùy ý
của nửa đường tròn hạ đường vng góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của
các đoạn AS và SB. Vì nói đến độ dài nên sẽ khơng sai sót lớn khi nói rằng bình
phương đoạn RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS. Bây giờ, trở về với mặt
phẳng phức, kí hiệu điểm -1 là A, điểm +1 là B và điểm i là R. Khi đó S sẽ là
điểm 0. Tác giả của phép chứng minh đã lập luận như sau:
Đoạn thẳng RS là i , đoạn thẳng AS là -1 và SB là +1. Như vậy theo định lí
vừa nhắc lại ở trên ta có
i 2   1 .1  1

Thật đáng tiếc là phép chứng minh kì lạ này vẫn được viết trong sách và giảng dạy
ở một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II.
Lịch sử toán học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm
phức nhưng lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”. Chẳng hạn khi giải hệ
phương trình
 x  y  10

 xy  50

Cardano đã tìm được nghiệm 5  5 và ông đã gọi nghiệm này là “âm thuần túy”
và thậm chí cịn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”.

Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng
của số học”.
Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII bản chất đại số và bản
chất hình học của các đại lượng ảo khơng được hình dung một cách rõ ràng mà cịn
đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I. Newton đã không thừa nhận các
đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn
Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

G. Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền
diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở
một chốn nào đó giữa cái có thật và cái khơng có thật”.
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào tốn học mang lại chính
là nhà tốn học Italy R. Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ơng đã định nghĩa
các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ơng đã sáng tạo nên lí thuyết
các số “ảo”.
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). Vào thế kỉ
XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại
lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L. Euler (1777
– 1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738),
cịn A. Moivre (1667 – 1754) nhà tốn học Anh nghiên cứu và giải bài toán căn
bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người
Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép tốn trên

chúng trong cơng trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số
phức cũng được gọi là “sơ đố Argand” để ghi nhận cơng lao của nhà tốn học
Thụy Sỹ R. Argand – người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập.
Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực
có thứ tự (a,b), a  R, b  R được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton
(1837). Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1),
tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực.
Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một
cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 9


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng
trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.
Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở
rộng (đại số) C của trường số thực R thu được bằng phép ghép đại số cho R
nghiệm i của phương trình
x2  1  0 .

Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trở
thành trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình
đại số trong trường này ta khơng thu được thêm số mới. Đương nhiên trường số
thực R (và do đó cả trường hữu tỉ Q) khơng có tính chất đóng đại số. Chẳng hạn,

phương trình với hệ số thực có thể khơng có nghiệm thực.
Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái
niệm về số có thể tóm tắt bởi N  Z  Q  R  C với các bao hàm thức:
N Z Q RC.

Bằng các kết quả sâu sắc trong các cơng trình của các nhà tốn học
K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng mở
rộng tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan.
K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp
rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn
bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép tốn đã đúng trong tập hợp số
phức.
Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ mỗi lần
khi đưa vào những số mới các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào các quy tắc
thực hiện các phép toán trên chúng. Đồng thời với điều đó các nhà Tốn học ln
Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

ln cố gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản (luật giao hoán của phép cộng và
phép nhân, luật kết hợp và luật phân bố, luật sắp xếp tuyến tính của tập hợp số).
Tuy nhiên sự bảo tồn đó khơng phải khi nào cũng thực hiện được, ví dụ như khi
xây dựng trường số phức người ta khơng bảo tồn được luật sắp xếp tuyến tính vốn
có trong trường số thực.
Tổng kết lịch sử tồn bộ q trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức

L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết:
“Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số cịn lại đều là cơng trình
sáng tạo của con người”
Có thể nói rằng với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nền
móng vững chắc cho tịa lâu đài tốn học tráng lệ , mà con người đang sở hữu.
1.2.Số phức và các phép toán trên số phức:
1.2.1.Định nghĩa:
Một số phức là một biểu thức dạng a  bi , trong đó a và b là những số thực và
số i thỏa mãn i 2  1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z  a  bi .

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo của số
phức z  a  bi .
Tập hợp số phức được kí hiệu là

.

-Số phức có phần ảo bằng 0 được gọi là số thực.
-Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo).
-Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 11


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Hai số phức: z1  a1  b1i và z2  a2  b2i được gọi là bằng nhau nếu phần thực

bằng nhau và phần ảo bằng nhau.
a  a2
Nghĩa là: z 1  z2   1
b1  b2

Cho số phức: z  a  bi, (a, b  ) . Số phức có dạng: z  a  ib được gọi là số
phức liên hợp của số phức z . Kí hiệu là z .
Modun của số phức z  a  bi (a, b  ) là số thực khơng âm

a 2  b2 và được

kí hiệu là z .
1.2.2.Các phép toán trên số phức:
Cho hai số phức: z1  a1  b1i và z2  a2  b2i
*Phép cộng:
z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i

Phép cộng số phức cũng có các tính chất:
-Tính giao hốn: z1  z2  z2  z1
-Tính kết hợp: z1  ( z2  z3 )  ( z1  z2 )  z3
*Phép trừ:
z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i

*Phép nhân
z1.z2  (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1 )i (nhân thông thường với lưu ý: i 2  1 )

Phép nhân số phức cũng có các tính chất sau:
Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 12

Khóa luận tốt nghiệp

-Kết hợp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

z1 ( z2 z3 )  ( z1z2 ) z3 .

-Giao hốn z1z2  z2 z1 .
-Phép nhân có tình phân phối với phép cộng z1 ( z2  z3 )  z1z2  z1z3 .
Ta có: z.z  a 2  b2  0
z1
z2

*Phép chia:

Giả sử z2  0 . Khi đó ta có thể tìm được một số phức z  a  bi sao cho z2 .z  z1 .
Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau:
a2a  b2b  a1

b2a  a2b  b1

Vì z2  0 nghĩa là định thức của hệ Cramer khác 0 nên hệ phương trình trên ln
ln có một nghiệm duy nhất. Số phức z có được này gọi là thương của hai số
phức z1 và z2 .
Giải hệ ta được

a1a2  b1b2


a


a22  b22


b  b1a2  a1b2

a22  b22
Vậy

z1 a1a2  b1b2 b1a2  a1b2
 2
 2
i
z2
a 2  b22
a 2  b22

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 13


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Chú ý rằng: ta có thể có được thương

z1
bằng cách nhân cả tử cả mẫu cho lượng
z2

liên hiệp của z2 . Tức là: z2
*Lũy thừa bậc n
n
Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức z. Kí hiệu z .

Lưu ý:

i 4 k  1; i 4 k 1  i ; i 4 k 2  1; i 4 k 3  i .

*Căn bậc n
Số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu w  z . Kí hiệu w 
n

n

z.

1.3.Các tính chất của số phức:
Với các số phức z1 , z2 , z , ta có:
a.

z  z , z 

b.

z  z , z 



c. z1  z2  z1  z2
d.

z.z  a 2  b 2  0 ( z  a  bi , a, b  )

e.

z1 z2  z1 z2
Suy ra:  z   z ,   , z 

z  z
f.  1  1
 z2  z2
g.

z  z  2a; z  z  2bi ( z  a  bi , a, b  )

Nếu: z = - z thì z là số thuần ảo.
1.3.1.Dạng lượng giác của số phức
Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy và ta biểu diễn một số
phức z  a  bi (a, b  ) bởi một điểm M có tọa độ (a,b).Ta cịn viết
Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 14

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

M (a  bi) hay M ( z ) . Vì lẽ đó, mặt phẳng biểu diễn số phức như thế được gọi là

mặt phẳng phức.
Như vậy các số thực sẽ được biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nó
được gọi là trục thực, các số thuần ảo được biểu diễn bởi các điểm trên trục Oy, nó
được gọi là trục ảo, gốc tọa độ O biểu diễn số 0.
Ngược lại, với mỗi điểm M của mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặt
tương ứng với một số phức z  a  ib . Như vậy, một số phức xác định như là một
điểm trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho trước.

Vì mỗi điểm M có tọa độ (a,b) trong mặt phẳng tương ứng với một vecto
OM có độ dài vecto r  a 2  b2 và  là độ lớn của góc định hướng giữa trục

hồnh và vecto xác định của số phức. Với quy ước: góc có hướng dương là góc có
chiều quay ngược với chiều kim đồng hồ, góc có hướng âm thì ngược lại.
Do đó mỗi số phức z có thể biểu diễn dưới dạng z  r (cos  isin  ) . Đây
là dạng lượng giác của số phức, trong đó r,  lần lượt là bán kính cực và góc cực
Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

của số phức z. Bán kính r gọi là modun của số phức z, kí hiệu r  z = a 2  b2 .
Góc  gọi là argument của số phức z, kí hiệu là   argz .

Với : cos  

a
b
và sin  
r
r

Argument của số phức được xác định với sai khác một bội của 2 .
b

arctan a  2k , (k  ) khi a  0
  argz  
arctan b  (2k  1)  , (k  ) khi a  0

a

a.Một số tính chất:
Cho các số phức z  r (cos  isin  ) ;
z1  r1 (cos1  isin 1 ) ;
z2  r2 (cos2  isin 2 ) .

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 16

Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

r1  r2
( k )
z1  z2  
1  2  k 2

 Tích của số phức :
z  z1.z2  r1 (cos1  isin 1 ).r2 (cos2  isin 2 )
 r1r2 [(cos1cos2  sin 1 sin 2 )  i(cos1 sin 2  sin 1cos2 )]
 r1r2 [cos(1  2 )  i sin(1  2 )]

Như vậy: arg z1z2  arg z1  arg z2
Sử dụng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được:
z1z 2 ...z n =[r1 (cos1  isin 1 )].[r2 (cos2  isin 2 )]....[rn (cosn  isin n )]
 r1r2 ....rn [cos(1  2  ...  n )  i sin(1  2  ...  n )]

 Thương của số phức:
z1 r1 (cos1  isin 1 ) r1 (cos1  isin 1 )(cos1 - isin 1 )
=
=
z2 r2 (cos2  isin 2 ) r2 (cos2  isin 2 )(cos2 - isin 2 )



r1 [(cos1cos2  sin 1 sin 2 )  i (sin 1cos2  cos1 sin 2 )]

r2
cos 22  sin 2 2
r1
[cos(1  2 )  i sin(1  2 )]
r2

Như vậy, arg

z1
 arg z1  arg z2
z2

b.Công thức Moivre:
Cho một số phức bất kì dưới dạng lượng giác z  r (cos  isin  ) , theo công
thức ở trên ta có
z n  [r (cos  isin  )]n  r n (cosn  isin n), n  N

Công thức trên được gọi là công thức Moivre.

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 17


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Cơng thức Moivre cũng đúng khi n là các số nguyên âm. Thật vậy:

z 1 

1
 r 1[cos( )  isin( )]
r (cos  isin  )

Và:
z  n  ( z 1 )n  [r 1 (cos( )  isin( ))]n
 r  n [cos(n )  isin(n )]

c.Căn bậc n của số phức:
Cho z  r (cos  isin  ) , căn bậc n của số phức z là một số phức biểu diễn
dưới dạng lượng giác: w  m(cos  i sin ) với w n  z . Tức là ta có:
[m(cos  isin  )]n  r (cos  isin  )

Hay: mn .(cos n  i sin n ) = r (cos  isin  )
Áp dụng tính chất hai số phức bằng nhau, ta có:

m n  r

n    k 2

Ngược
w  n r (cos

lại,

m  n r



  k 2
 
n


khi

  2k
n

 isin

ta

  2k
n

nâng

(k )

bậc

mũ

n

số

phức

), (k  Z ), thì ta được z .

Như vậy:

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 18


Khóa luận tốt nghiệp

n

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

r (cos  isin  )  n r (cos

  2k
n

 isin

  2k
n

)  n r [cos(


n



2k
 2k
)  isin( 
)]
n
n
n

Vậy, căn bậc n của z có n giá trị khác nhau. Những số này biểu diễn như đỉnh của n
đa giác đều, nằm trên đường tròn tâm O, Bán kính

n

r

d.Dạng mũ của số phức:
Để đơn giản cách viết số phức ta đặt: cos  isin   ei
Do đó, số phức z  a  bi còn được viết dưới dạng : z  rei , đó là dạng số mũ của
số phức z  0 .
i1
; z2  r2ei2 , ta có các tính chất sau:
Giả sử, z1  re
1

a. z1 z2  r1r2e
b.

i (1 2 )

;

z1 r1 i (1 2 )
 e
; r2  0
z2 r2

c. z n  r nein
d .w k  z  re
n

n

i

  2 k
n

;k 

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 19


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

1.3.2.Biểu diễn dạng phức của một yếu tố hình học:
a.Tích vơ hướng của hai số phức:
Cho vecto u  (a1; b1 ) và v  (a2 ; b2 ) . Với z1  a1  b1i và z2  a2  b2i . Gọi 
là góc giữa hai vecto (u1; u2 )
Ta có:

1
 u.v = a1a2  b1b2 = ( z1 z2  z2 z1 )
2
 cos  

( z1 z2  z2 z1 )
2 z1 z2

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M1  z1  ,M 2  z2  . Khi đó
̂
OM .ON  OM .ON . cos 𝑀𝑂𝑁
OM1 .OM 2  r1 .r2 .cos 2  1   r1r2 cos1 cos2  sin 1 sin 2 

b.Tích có hướng của hai số phức:
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M1  z1  ,M 2  z2  . Khi đó
OM1 ,OM 2   OM1 OM 2 .sin 𝑀̂
1 𝑂𝑀2



Nếu zk có modul bằng rk , và có argument bằng  k thì:

OM1,OM 2   r1r2 sin( 2  1 )  r1r2 (sin  2 cos1  sin 1 cos 2 )



c.Cơng thức tính diện tích tam giác:
-Điều kiện để O,M,N thẳng hàng là tích có hướng của hai vecto bất kì:

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 20


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

[ OM , ON ]= 0
-Cho 3 điểm O,M,N không thẳng hàng, khi đó diện tích của tam giác OMN là:

SOMN 

1
OM , ON 

2

d.Góc định hướng:
Trong mặt phẳng hệ tọa độ vng góc Oxy, cho điểm M(a;b) tương ứng với
số phức z  a  bi , gọi z là tọa vị của điểm M (đối với hệ tọa độ đó).
Với mỗi điểm M với tọa vị z , ta đặt vecto OM . Trong đó điểm đầu O là gốc
tọa độ, điểm cuối M là điểm biểu diễn số phức z , vì vậy nếu nói M có tọa vị z thì
cũng nói véctơ OM có tọa vị z .

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm M, N có tọa vị lần lượt là : z1 , z2 . Khi
đó, z1  z2 là tọa vị của điểm P mà OP  OM  ON , hiệu z1  z2 là tọa vị của
OP  OM  ON , và d= MN = z1  z2 .

1
Gọi I là trung điểm của MN, vậy vecto OI  (OM  ON ) , tức là I có tọa vị là
2

1
( z1  z2 ) .
2
z

Gọi  là góc giữa hai vecto OM , ON .Ta có:  = arg z2  arg z1  arg 2
z1
-Đối với trường hợp có ba điểm M,N,P có tọa vị lần lượt là z1 , z2 , z3 ,

 = ( MN , MP) , ở đây MN có tọa vị là z2  z1 cịn MP có tọa vị là z3  z1
Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 21


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

 = arg( z3  z1 )  arg( z2  z1 )  arg

z3  z1

z2  z1

- Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt M,N,P,Q thì góc định hướng  = ( MN , PQ) ,

   2  1 với 1  arg(z2  z1 ), 2  arg(z4  z3 )
Tức là:  = arg

z4  z3
.
z2  z1

Ta có cơng thức sau: cos  

Và s in  

( z2  z1 )( z4  z3 )  ( z4  z3 )( z2  z1 )
2 z2  z1 z4  z3
( z2  z1 )( z4  z3 )  ( z4  z3 )( z2  z1 )
2i z2  z1 z4  z3

Nhận xét:
Từ cơng thức trên, ta có nhận xét sau:
- MN  PQ khi ( z2  z1 )( z4  z3 )  ( z4  z3 )( z2  z1 ) =0
- MN / / PQ khi ( z2  z1 )( z4  z3 )  ( z4  z3 )( z2  z1 )
e.Tỉ số đơn, tỉ số kép:
Tỉ số đơn:
Với 3 điểm trong mặt phẳng phức: M,N,P có tọa vị lần lượt là: z1 , z2 , z3 . ta gọi :
V  z1 , z2 , z3  

z1  z3

là tỉ số đơn của bộ ba điểm M,N,P (hay của bộ ba số phức
z2  z3

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 22


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

z1 , z2 , z3 ). Do đó, argV  z1 , z2 , z3   arg

z1  z3
là góc định hướng của hai vecto
z2  z3

PN , PM . Vậy góc định hướng của hai vecto MN , MP là arg

z3  z1
z2  z1

Ta ghi nhận mệnh đề sau:
*Điều kiện cần và đủ để ba điểm M, N,P thẳng hàng là tỉ số đơn của ( z1 , z2 , z3 ) là
một số thực.
Tỉ số kép:
Cho 4 số phức: z1, z2 , z3 , z4 sao cho tồn tại các tỉ số:

Khi đó, đại lượng

z1  z3 z1  z4
,
 0
z2  z3 z2  z4

( z1 , z2 , z3 ) z1  z3 z1  z4
được gọi là tỉ số kép của bộ bốn số

:
( z1 , z2 , z4 ) z2  z3 z2  z4

phức.
Mệnh đề:
-Điều kiện cần và đủ để ba điểm M, N,P,Q thuộc một đường tròn là tỉ số kép của
( z1, z2 , z3 , z4 ) là một số thực.
-Điều kiện để M,N,P,Q thuộc một đường thẳng là :

z1  z3 z1  z4
là số thực.
,
z2  z3 z2  z4

f.Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm:
Trong mặt phẳng phức, cho đường thẳng (d) đi qua hai điểm M,N có các tọa vị lần
lượt là: z1 , z2 . Khi đó, đường thẳng (d) có phương trình là:
( z1  z2 ) z  ( z1  z2 ) z  ( z1 z2  z1z2 )  0 (*)
Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 23

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Ta đặt A= ( z1  z2 ) , B= ( z1 z2  z1z2 )
Thì (*) trở thành : Az  Az  B =0 ( A  0 ) (**)
Phương trình (*)(**) được gọi là phương trình đi qua hai điểm M,N.
Nếu ta đặt:  

z  z2
z1  z2

 z  z2   ( z1  z2 )   z1  (1   ) z2 ta gọi đây là

phương trình tham số của đường thẳng đi qua M,N.
-Nếu trên đường thẳng nối MN, ta tìm một điểm tùy ý P có tọa vị z sao cho:



MP
z   z2
1

z  z1
. Lại có:  
nên suy ra: z  1

z1 

z2
1 
1 
1 
z2  z
PN

Như vậy, một điểm nằm trên đoạn thẳng MN thì nó có dạng như trên.
g.Hai tam giác đồng dạng:
Cho hai tam giác ABC và A'B'C' với a, b, c, a ', b ', c ' lần lượt là tọa vị của các điểm
A,B,C,A’,B’,C’.
Hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi:
c  a c'  a'

b  a b'  a'

Và hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng ngược hướng khi và chỉ khi:
c  a c'  a'

b  a b'  a'

h.Góc giữa hai đường thẳng:
Giả sử hai đường thẳng (d1) : A1z  A1 z  B1 =0

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh

Page 24