Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán chứng minh trong hình học phẳng

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài khóa luận
Hiến pháp nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam năm 1992 đã
ghi ở điều 35: "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu". Báo cáo chính trị
của Ban chấp hành Trung ương khoá VII tại Đại hội Đại biểu Toàn quốc lần
thứ VIII của Đảng lại khẳng định "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu
nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài".
Trong cách mạng khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí nổi bật.
Đây là môn HS tư duy toán học cùng những phẩm chất của con người lao
động mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tương lai của
đất nước.
Ở trường phổ thông, dạy học Toán là dạy hoạt động toán học.
Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và
không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào cuộc sống. Dạy học
giải toán mang trong mình các chức năng: giáo dưỡng, giáo dục, phát triển và
kiểm tra. Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích
dạy học toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán có vai trò
quan trọng đối với chất lượng dạy học toán.
Trong chương trình toán phổ thông, hình học là một mảng kiến thức
lớn và quan trọng. Ngay từ tiểu học, HS đã làm quen với hình học dưới hình
thức đơn giản. Các khái niệm về điểm, đường thẳng, mặt phẳng đã được định
nghĩa tường minh trong chương trình Toán ở THCS.
Nhưng có một thực tế là trong các kì thi như khảo sát chất lượng, thi
cuối học kì, thi chọn HS giỏi thì nếu chỉ dừng lại ở việc học thuộc và làm các
bài tập ở SGK và SBT thôi thì vẫn có những câu, những ý không làm được.
Sở dĩ như vậy là vì trong các kì thi đó, các đề toán luôn đòi hỏi sự vận dụng
linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, sự uyển chuyển trong các phương
pháp giải, sự kết hợp giữa các bài toán tương tự.
Thực tế cho thấy có nhiều em học thuộc lòng lí thuyết (định nghĩa, định
lý, tính chất, quy tắc) nhưng vẫn không giải được bài tập, đặc biệt là phần

chứng minh trong hình học các em thường không tìm được hướng giải quyết.
Trong toán học bao gồm nhiều nội dung, dạng toán khác nhau. Các dạng
toán có thể không liên quan, ít liên quan, cũng có thể liên quan mật thiết với
nhau. Song HS rất khó nhận ra điều này. Đặc biệt là các bài toán hình học.
Để góp phần giải quyết vấn đề này, tôi chọn đề tài: Rèn luyện năng
lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán chứng
minh trong hình học phẳng.
2. Mục tiêu khóa luận
Nghiên cứu việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông
qua các bài toán chứng minh trong hình học phẳng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn về rèn luyện năng lực giải toán
phổ thông.
 Đề xuất một số biện pháp để rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh THCS.
 Thử nghiệm tính khả thi của việc rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh THCS.
4. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu lý luận.
 Phương pháp điều tra.
 Phương pháp thử nghiệm sư phạm.
5. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng: Quá trình dạy học các bài toán chứng minh hình học cho
học sinh THCS.
 Phạm vi: Chương trình hình học phẳng ở THCS.
6. Ý nghĩa khóa luận
- Góp phần làm rõ cơ sở lý luận của năng lực, năng lực toán học, năng lực giải
toán và thực trạng của việc rèn luyện năng lực giải toán của học sinh THCS.
- Đưa ra một số định hướng để rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh THCS.

- Đề xuất một số biện pháp để rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS.
7. Bố cục khóa luận
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, khóa luận gồm
3 chương
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh
trung học sơ sở
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Năng lực
1.1.1.1. Khái niệm năng lực
Theo nhà tâm lý học người Nga nổi tiếng V.A.Kơ-ru-tec-xki thì năng lực
được hiểu như là: “một phức hợp của đặc điểm tâm lí cá nhân của con người,
đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần
thiết để hoàn thành tốt hoạt động đó”. [18, tr.15]
Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm
vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết
quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng
tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất
định của con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động
giải quyết những yêu cầu đặt ra.
1.1.1.2. Các mức độ của năng lực
Người ta thường chia năng lực thành ba mức độ khác nhau: năng lực,
tài năng, thiên tài.
Năng lực là một mức độ nhất định của khả năng con người, biểu thị khả
năng hoàn thành có kết quả một hoạt động nào đó.
Tài năng là mức độ năng lực cao hơn, biểu thị hoàn thành một cách
sáng tạo một hoạt động nào đó.

Thiên tài là mức độ cao nhất của năng lực, biểu thị ở mức độ kiệt xuất,
hoàn chỉnh nhất của những vĩ nhân trong lịch sử nhân loại.
1.1.1.3. Phân loại năng lực
Năng lực có thể chia thành hai loại: năng lực chung và năng lực chuyên
biệt. Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều lĩnh vực hoạt động khác
nhau, chẳng hạn những thuộc tính về thể lực, về trí tuệ (quan sát, trí nhớ, tư
duy, tưởng tượng, ngôn ngữ,…) là những điều kiện cần thiết để giúp cho
nhiều lĩnh vực hoạt động có kết quả.
Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, chuyên môn) là sự thể hiện
độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn, nhằm đáp ứng yêu cầu
của một lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao, chẳng hạn: năng lực
toán học, năng lực thơ văn, năng lực thể dục, thể thao,…
Hai loại năng lực chung và riêng luôn bổ sung, hỗ trợ nhau.
1.1.2. Năng lực toán học
Theo V.A.Kơ-ru-tec-xki thì khái niệm năng lực toán học sẽ được giải
thích trên hai bình diện:
- Như là các năng lực sáng tạo (khoa học) - các năng lực hoạt động
toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá.
- Như là các năng lực học tập giáo trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh
chúng và có kết quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là
các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán
và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học
tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau. [18]
1.1.3. Năng lực giải toán
1.1.3.1. Khái niệm năng lực giải toán
Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc
điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải
toán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó.
Từ góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu năng lực giải

toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có
tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo,
nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện. [20]
Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó
nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết
quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng
tiến hành hoạt động giải toán trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương.
1.1.3.2. Một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán
Từ các khái niệm về năng lực, năng lực toán học, năng lực giải toán
chúng ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán
như sau:
 Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các
yêu cầu của một lời giải, biết trình bày rõ ràng, đẹp đẽ.
 Sự phát triển mạnh của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả
năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán.
 Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí
hiệu, ngôn ngữ toán học, khả năng chuyển đổi điều kiện của bài toán sang
ngôn ngữ, kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết và
ngược lại.
 Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển
của năng lực giải quyết vấn đề.
 Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động nhiều
kiến thức cùng lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn được lời giải tối ưu.
 Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành được
một số kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm
lẫn trong quá trình giải toán.
 Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng cách giải (có
thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật giải, hoặc thuật toán để
giải bài toán đó).
 Có khả năng khái quát hoá từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát,

từ bài toán có yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát.
1.1.3.3. Một số biểu hiện của học sinh THCS có năng lực giải toán
Năng lực giải toán của HS THCS được biểu hiện ở những khả năng sau:
 Vận dụng thành thục những kiến thức, kĩ năng đã biết vào hoàn
cảnh mới.
Khả năng này thường được biểu hiện nhiều nhất trong quá trình dạy
học, GV cần quan tâm phát hiện và bồi dưỡng khả năng này. Việc vận dụng
trực tiếp các kiến thức đã có trong một bài toán tương tự hoặc đã biết là khả
năng mà tất cả HS đều phải cố gắng đạt được trong học toán. Biểu hiện năng
lực giải toán của HS ở khả năng này được thể hiện là: với nội dung kiến thức
và kĩ năng đã được học, HS biết biến đổi những bài toán trong một tình
huống cụ thể hoàn toàn mới nào đó về những cái quen thuộc, những cái đã
biết để áp dụng vào giải một cách dễ dàng, từ đó HS thể hiện được năng lực
giải toán của bản thân khi giải những bài toán đó.
Ví dụ 1.1. Cho
∆
ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc AMB cắt
cạnh AB ở D. Đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E.
CMR: ED // BC.
Lời giải: (Hình 1.1)

Hình 1.1
Trong
ABM∆
có MD là phân giác của
·
AMB
nên
AD
DB

=
MA
MB
(1)
Trong
∆
AMC có ME là phân giác của
·
AMC
nên
AE
EC
=
MA
MC
(2)
Vì MB = MC (gt) nên từ (1) và (2) suy ra
AD
DB
=
AE
EC
M
B
C
A
D
E
Trong
∆

ABC có DE định ra 2 cạnh AB, AC những đoạn thẳng tỉ lệ nên
theo Talet đảo ta có DE // BC.
 Nhìn nhận đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau.
Mỗi khi HS cố gắng làm những bài toán mà lại thất bại, thông thường
HS sẽ có cảm giác chán nản chứ không chuyển sang làm theo một hướng suy
nghĩ hay cách nhìn khác. Tuy nhiên, một thất bại mà HS đã nếm trải sẽ chỉ có
ý nghĩa nếu như HS không quá coi trọng phần kém hiệu quả của nó. Thay vào
đó nếu HS biết phân tích lại toàn bộ quá trình cũng như các yếu tố liên quan,
và cân nhắc xem liệu sẽ thay đổi những yếu tố đó như thế nào để đạt được
hiệu quả mới. Đừng đặt câu hỏi cho bản thân “Tại sao mình lại thất bại?” mà
hãy nói “Mình đã làm được những gì rồi?”. Nhìn nhận và đánh giá vấn đề từ
các khía cạnh khác nhau, từ đó phát hiện được những tầm nhìn, cách nhận
định mới phù hợp với bài toán.
Việc nhìn nhận đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau được thể
hiện thông qua việc phát hiện, đề xuất được cái mới từ một vấn đề quen
thuộc hoặc tìm được nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã cho trong
đó có những cách giải độc đáo.
Ví dụ 1.2. Trong hình vuông ABCD và nửa đường tròn đường kính AD và
vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa
đường tròn đường kính AD ở K.
CMR: PK bằng khoảng cách từ P đến AB.
Cách giải 1: (Hình 1.2)
Kẻ
PI AB
⊥
Xét
APK∆
và
API∆
APK∆

vuông tại K (vì
·
90AKD
ο
=
góc nội tiếp
chắn nữa đường tròn đường kính AD)
ADP∆
cân tại D nên AD = DP và
µ
·
2
P DAP=
D
Hình 1.2
Mặt khác
µ
·
1
P DAP=
(so le trong vì AD // PI)
Do đó:
µ
µ
1 2
P P=
APK API⇒ ∆ = ∆
(có chung cạnh huyền và một cặp góc
nhọn bằng nhau)
⇒

PK = PI.
* Gợi ý: Để chứng minh hai tam giác
APK∆
và
API∆
bằng nhau ngoài cách
chứng minh
µ
µ
1 2
P P=
, ta có thể chứng minh
µ
¶
2
1
A A=
.
Cách giải 2: (Hình 1.3)
Gọi F là giao điểm của AP với đường tròn
đường kính AD
Ta có
·
AFD
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn)

ADP∆

cân tại D có DF là đường cao nên DF
cũng là phân giác suy ra:
¶
¶
1 2
D D=
D
Hình 1.3
Mà
µ
¶
1 2
A D=
;
¶ ¶
1 2
D A=
(vì đều là góc có các cặp cạnh tương ứng
vuông góc)
Suy ra:
µ
¶
2
1
A A=
APK API⇒ ∆ = ∆
(có chung cạnh huyền và một cặp góc
nhọn bằng nhau)
⇒
PK = PI.

Cách giải 3: (Hình 1.3)
* Gợi ý: - Cách giải này chúng ta cũng đi chứng minh
µ
¶
2
1
A A=
nhưng việc
chứng minh được áp dụng bằng kiến thức khác.
- Với chú ý AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm D ta có cách giải sau:
Ta có
·
·
IAK ADK=
(có số đo bằng
1
2
sđ
»
AK
)
Mặt khác
·
IAP
là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AP của đường
tròn tâm D nên
·
IAP
bằng
1

2
số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung là
·
ADP
tức là:
·
·
·
1 1
2 2
IAP ADP IAK= =
. Suy ra:
µ
¶
2
1
A A=
APK API
⇒ ∆ = ∆
(cạnh
huyền - góc nhọn). Từ đó ta có: PK = PI.
Ví dụ 1.3. CMR: Nếu một tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường
phân giác thì tam giác đó cân.
Cách giải 1: (Hình 1.4)
Trên tia đối của tia AM lấy điểm O: MA = OM
Khi đó ABOC là hình bình hành
Mặt khác, AO là đường phân giác của
·
BAC
Nên ABOC là hình thoi. Suy ra

AB AC=
ABC⇒ ∆
cân.
Hình 1.4
Cách giải 2: (Hình 1.5)
Vẽ MI
⊥
AB, MK
⊥
AC
Xét
ABM∆
và
ACM
∆
có :
Chung đường cao AM
Có 2 đáy bằng nhau (BM = CM)
⇒

ABM ACM
S S=
Hình 1.5
Mà
1
.
2
ABM
S AB MI=
(1)

1
.
2
ACM
S AC MK=
(2)
Từ (1) và (2), ta có:
1 1
. .
2 2
AB MI AC MK=
hay
. .AB MI AC MK=
(3)
Mặt khác, MI = MK (tính chất tia phân giác của một góc)
Do đó từ (3) suy ra AB = AC hay
ABC
∆
cân.
 Biết phối hợp nhiều công cụ, phương pháp khác nhau để giải quyết
một vấn đề.
Đứng trước một bài toán mang tính sáng tạo cao, đòi hỏi HS phải vận
dụng rất nhiều kiến thức khác nhau và nhiều phương pháp giải, cách giải khác
nhau. Đồng thời HS cũng phải biết cách phối hợp các kiến thức và phương
pháp đó, huy động những kĩ năng, kinh nghiệm của bản thân cộng với sự nỗ
lực của cá nhân để tìm tòi, giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.4 . Từ một điểm trên đường tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ
các đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đường tròn.
CMR: chân của ba đường vuông góc đó thẳng hàng.

(Đường thẳng này gọi là đường thẳng Simson)
Lời giải: (Hình 1.6)
Gọi D, E, F theo thứ tự là chân đường
vuông góc hạ từ P (điểm trên đường tròn ngoại
tiếp của một tam giác) xuống AB, BC, CA.
Hình 1.6
Ta có:
PE EC
PF FC
⊥


⊥


⇒
Tứ giác EFCP là tứ giác nội tiếp
⇒
·
·
0
FEP + PCF = 180
(1)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn
⇒

·
·
0
ABP + FCP = 180

Mà
·
·
0
ABP + BDP = 180
⇒

·
·
FCP = DBP
(2)
Mà:
PD BD
PE BC
⊥


⊥


⇒
EPDB là tứ giác nội tiếp
⇒

·
DBP
=
·
DEP
(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:
·
·
0
PEF + DEP = 180
Suy ra ba điểm D ; E ; F thẳng hàng.
* Nhận xét: Đối với bài toán trên là một bài toán khó yêu cầu HS phải huy
động nhiều kiến thức có liên quan như:
- Để chứng minh ba điểm thẳng hàng có thể chứng minh hai góc kề có
tổng số đo bằng 180
0
.
- Tứ giác nội tiếp đường tròn.
- Góc nội tiếp trong đường tròn.
Nên rất hiệu quả trong việc rèn luyện năng lực giải toán cho HS.
1.1.3.4. Rèn luyện năng lực giải toán
Do tính đặc thù của môn toán nên hoạt động giải toán là hoạt động
không thể thiếu của người học toán, dạy toán, nghiên cứu về toán. Trong
cuốn “Sáng tạo toán học” G.polya đã viết: “ quá trình giải toán là đi tìm
kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại,
đó chính là quá trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn dường như không
thể đạt được ngay. Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ
có ở con người. Vì vậy giải toán có thể xem như một trong những biểu hiện
đặc trưng nhất trong hoạt động của con người ”. [21, tr.25]
Vì vậy trong quá trình dạy học người GV phải chú trọng rèn luyện
năng lực giải toán cho HS. Năng lực giải toán là khả năng thực hiện bốn
bước trong phương pháp tìm lời giải bài toán của G.polya.
Rèn luyện năng lực giải toán cho HS chính là rèn luyện cho họ khả
năng thực hiện bốn bước theo phương pháp tìm lời giải bài toán của G.polya.
Điều này cũng phù hợp với phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề theo xu hướng đổi mới PPDH của nền GD nước ta hiện nay.
Từ đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán cùng với các bước
trong phương pháp tìm lời giải bài toán của G.polya, ta thấy:
- Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài sẽ rèn cho HS:
 Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí
hiệu, ngôn ngữ toán học, khả năng chuyển đổi điều kiện của bài toán sang
ngôn ngữ, kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết và
ngược lại.
- Bước 2: Tìm tòi lời giải bài toán sẽ rèn cho HS:
 Sự phát triển mạnh của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả
năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán.
 Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển
của năng lực giải quyết vấn đề.
- Bước 3: Trình bày lời giải sẽ rèn cho HS:
 Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các
yêu cầu của một lời giải, biết trình bày rõ ràng, đẹp đẽ.
- Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải sẽ rèn cho HS:
 Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động nhiều
kiến thức cùng lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn được lời giải tối ưu.
 Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành được
một số kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm
lẫn trong quá trình giải toán.
 Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng cách giải (có
thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật giải, hoặc thuật toán để
giải bài toán đó).
 Có khả năng khái quát hoá từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát,
từ bài toán có yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát.
Một điểm đáng chú ý nữa là: "Trong quá trình giải bài tập toán, cần
khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều
dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách

giải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía
cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực giải toán.
Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất,
đẹp nhất ”. [21, tr.214]
1.1.4. Vị trí, vai trò, mục đích, chức năng của bài tập toán
G.polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng
hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một
cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy, trong các trường phổ thông cũng như các
trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho HS những kiến thức nhất
định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức nào đó để
nắm vững môn học. Vậy thế nào là nắm vững môn học? Đó là biết giải
toán!”. [21, tr.82]
Trên cơ sở đó ta có thể thấy rõ hơn vị trí, vai trò, mục đích và chức
năng của bài tập toán trong trường THCS như sau:
1.1.4.1. Vị trí và vai trò của bài tập toán
Trong dạy học toán ở trường THCS, bài tập toán có vai trò vô cùng
quan trọng vì theo Nguyễn Bá Kim: “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt
động toán học. Đối với HS có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động toán học. Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có
hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững những tri
thức, phát triển tư duy, hình thành những kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học
vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các
nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc
dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học
toán”. [16, tr.201]
Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán học có vai trò quan trọng
trong môn toán. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động
nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay
phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ
phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động

ngôn ngữ”. [16, tr.388]
Như vậy bài tập toán có vị trí, vai trò quan trọng trong hoạt động dạy,
học toán ở trường THCS. Vì thế cần có những biện pháp thích hợp để nâng
cao hiệu quả của việc giải bài tập toán qua đó rèn luyện được năng lực giải
toán của HS.
1.1.4.2. Mục đích của bài tập toán
Để đào tạo được con người đáp ứng được yêu cầu của xã hội ngày nay,
những con người năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có trí tuệ, có
khả năng lao động kĩ thuật cao, trong các nhà trường THCS đã đặt ra nhiều
mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo.
Toán học có vai trò to lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ
hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để HS học tập tốt các môn học khác,
giúp HS hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Vì vậy trong dạy toán nói
chung và trong giải bài tập toán nói riêng cần xây dựng những mục đích cụ thể,
sát thực. Có thể thấy rõ một số mục đích của bài tập toán ở trường THCS là:
 Phát triển ở HS những năng lực, phẩm chất trí tuệ, giúp HS biết
những tri thức khoa học của nhân loại để tiếp thu thành kiến thức của bản
thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực
hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và mai sau.
 Làm cho HS từng bước nắm được một cách chính xác, vững chắc và
có hệ thống những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, hiện đại, phù hợp
với thực tiễn và bước đầu có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những
tình huống cụ thể.
 Thông qua giải bài toán, HS khắc sâu các kiến thức đã học, biết xâu
chuỗi các kiến thức với nhau kích thích sự tìm tòi, sáng tạo kiến thức mới đối
với HS.
1.1.4.3. Chức năng của bài tập toán
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có
thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Trong
thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau.

Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc
với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Tất nhiên việc dạy giải một bài
tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường
bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu.
Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình
dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng
khác nhau. Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích
dạy học. Trong môn Toán, các bài tập mang chức năng sau:
 Chức năng dạy học: bài tập hình thành củng cố cho HS những tri
thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
 Chức năng giáo dục: bài tập hình thành cho HS thế giới quan duy
vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức người lao
động mới.
 Chức năng phát triển: bài tập phát triển năng lực tư duy của HS, đặc
biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư
duy khoa học.
 Chức năng kiểm tra: bài tập sẽ đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,
đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS.
Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời
nhau. Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể,
tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường
minh và công khai. Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần
lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng
có thể có của một bài tập mà người viết SGK đã có dụng ý chuẩn bị. Người
GV chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư
phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình.
1.1.5. Ý nghĩa, yêu cầu của việc giải toán
1.1.5.1. Ý nghĩa của việc giải toán
Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có
thể coi giải toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học. Việc giải toán

có nhiều ý nghĩa:
 Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức
và rèn luyện kĩ năng. Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức rất
tốt để dẫn dắt HS tự mình đi tìm kiếm kiến thức mới.
 Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những
vấn đề cụ thể, vào vấn đề mới.
 Đó là hình thức tốt nhất để GV kiểm tra HS và HS tự kiểm tra về
năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
 Việc giải toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho
HS, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện HS về rất nhiều mặt.
1.1.5.2. Yêu cầu lời giải một bài toán
Một bài toán được gọi là giải tốt khi và chỉ khi thoả mãn các yêu cầu sau:
 Lời giải không sai lầm.
Lời giải của bài toán không một sai lầm, thiếu sót, nghĩa là lời giải
không có sai sót về mặt kiến thức (kiến thức khoa học cơ bản, kiến thức
phương pháp suy luận, kĩ năng tính toán và vẽ hình); không có sai sót về mặt
văn phạm (các quy tắc ngữ pháp, cách ghi ký hiệu toán học).
Lời giải của HS phạm sai lầm thiếu sót, không cho kết quả đúng là do HS:
- Không nắm vững kiến thức, không nhớ đúng quy tắc, công thức, mơ
hồ về định lý, sử dụng định lý, quy tắc một cách máy móc mà không chú ý
đến bản chất của nó, không chú ý đến điều kiện hạn chế của quy tắc, công
thức, không xác định được yếu tố có mặt trong công thức.
- Hấp tấp, chủ quan, sơ suất, cẩu thả, có trường hợp chép đề sai, nhầm
dấu hiệu, ngộ nhận hoặc lao vào một cách giải phức tạp do quá hấp tấp, cẩu
thả, tính toán nhầm lẫn.
- Không nắm vững suy luận lôgic, trật tự các vấn đề dẫn đến lộn xộn
hoặc luẩn quẩn.
 Lập luận có căn cứ chính xác.
Có được bài giải đúng chưa đủ mà HS cần:
- Phải chứng tỏ rằng từng bước, từng chi tiết trong bài giải là có căn

cứ, phải nêu ra cơ sở lý luận chính xác (theo định nghĩa, định lý hoặc tính
chất ), tránh suy luận trực giác, gò ép để đi đến kết quả.
- Có bài giải nhất quán, các yếu tố trong bài phải mang tên gọi, bản
chất như nhau trong cả lời giải. Trường hợp có sự chuyển hoá phải giải thích,
thông báo.
 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ.
Cặn kẽ, đầy đủ ở đây có nghĩa là không bỏ sót một trường hợp, một
chi tiết nào dù là nhỏ. Nó cũng có nghĩa là không thừa, không thiếu, không
dài dòng quá nhưng cũng không tắt quá. Đặc biệt xét được hết các trường
hợp có thể có.
 Cách giải đơn giản nhất, hay nhất.
Một phương pháp giải toán coi là tốt nếu như ngay từ đầu ta có thể
thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo phương pháp đó sẽ đạt
tới đích. Còn lời giải đơn giản nhất, hay nhất nói chung là lời giải ngắn gọn,
giải quyết bằng những phương tiện đơn giản, những kiến thức dễ hiểu, quen
thuộc nhất mà vẫn đạt tới đích.
Tuy nhiên lời giải hay còn phụ thuộc vào mục đích luyện tập cho HS.
Tìm được lời giải hay của một bài tập tức là đã khai thác được sâu đặc điểm
riêng của bài tập đó, giúp HS thích thú khi làm toán, động viên các em suy
nghĩ kĩ để tìm lời giải hay. Đây là một yêu cầu cao đối với HS.
 Trình bày rõ ràng, hợp lí.
Đây là tác phong cần thiết cho học tập, nhất là học tập bộ môn toán
của HS. Trình bày rõ ràng, hợp lý không chỉ đơn thuần về mặt hình thức mà
cả về mặt nội dung. Một suy nghĩ chính xác, một nếp tư duy đúng đắn, một
trí tưởng tượng tốt cần được trình bày, diễn đạt chính xác, đúng đắn.
1.1.6. Dạy học giải bài tập toán theo phương pháp tìm lời giải của G.polya
Trong toán học không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả
các bài toán, chúng ta chỉ có thể qua việc dạy học giải một số bài toán cụ
thể mà dần dần truyền thụ cho HS cách thức, kinh nghiệm trong việc suy
nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán. Dạy học giải bài tập toán không có

nghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài toán. Biết lời giải bài toán không
quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán, vì vậy cần trang bị
những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài
toán là cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
G.polya về cách thức giải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài
toán thường được tiến hành theo bốn bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
 Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện hay
không? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, hay
thừa, hay có mâu thuẫn?
 Hình vẽ, sử dụng kí hiệu một cách thích hợp.
 Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả
các điều kiện đó thành công thức không?
Việc đánh giá được dữ kiện có thỏa mãn hay không, thừa hay thiếu,
đã bước đầu thể hiện tư duy sáng tạo. Nếu làm tốt khâu này thì việc giải bài
toán đã có thể rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng.
Bước 2: Tìm tòi lời giải bài toán
Việc tìm tòi lời giải là một bước quan trọng bậc nhất trong hoạt động
giải toán. Điều cơ bản của bước này là biết định hướng đúng để tìm ra được
nhanh chóng hướng giải bài toán.
 Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở
một dạng hơi khác?
 Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể
dùng được không?
 Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc
chứa đựng ẩn hay ẩn tương tự.
 Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử
dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phương
pháp? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?

 Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?
 Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra, thì hãy thử giải một bài toán
có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không?
Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự?
Bạn có thể giải được một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điều
kiện, bỏ qua điều kia. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó,
nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích
không? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho
ẩn và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?
 Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều
kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
Qua các bước dẫn dắt ở bước 2, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được thể
hiện ở mức độ cao hơn. Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan,
hay tổng quát hơn chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo.
Bước 3: Trình bày lời giải
Hãy kiểm tra lại từng bước. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng
chưa? Bạn có thể CM là nó đúng không?
Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và CM
được là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sáng tạo đã
được thể hiện đầy đủ.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Bạn có kiểm tra lại kết quả không? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ
quá trình giải bài toán không?
 Có tìm ra được kết quả bằng một cách khác không? Có thể thấy
ngay trực tiếp kết quả không?
 Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán
nào khác không?
Như vậy, có thể nói: “Quá trình HS học phương pháp chung để giải
toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh
nghiệm giải toán của bản thân thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể.

Từ phương pháp chung để giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là
cả một chặng đường dài đòi hỏi lao động tích cực của người HS, trong đó có
nhiều yếu tố sáng tạo”. [22, tr.423]
1.2. Thực trạng rèn luyện năng lực giải toán của học sinh trung học cơ sở
Để tìm hiểu thực trạng rèn luyện năng lực giải toán của HS THCS
chúng tôi đã tiến hành điều tra tại trường THCS Vân Phú – thành phố Việt
Trì – tỉnh Phú Thọ.
1.2.1. Điều tra giáo viên
- Mục đích điều tra: bước đầu tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện năng
lực giải toán của HS.
- Đối tượng điều tra: GV đang trực tiếp giảng dạy môn toán tại trường
THCS Vân Phú.
- Nội dung điều tra:
+ Đề nghị GV trả lời các câu hỏi trong phiếu điều tra.
+ Nội dung của phiếu (phụ lục 1).
- Ý định sư phạm của 5 câu hỏi trong phiếu điều tra
Câu 1: Điều tra về quan điểm của GV về năng lực giải toán.
Câu 2: Điều tra về sự đánh giá của GV về những biểu hiện của HS có
năng lực giải toán.
Câu 3: Điều tra về năng lực giải toán của HS thông qua các biểu hiện
cụ thể.
Câu 4: Điều tra mức độ quan tâm của GV trong việc rèn luyện năng lực
giải toán cho HS.
Câu 5: Điều tra mức độ yêu thích môn toán của HS.
- Kết quả điều tra:
%
Câu
TH
1 2 3 4 5
1 2 3

a 7.31 6.82 9.68 9.07 11.86 0 10.24
b 6.81 7.86 19.04 11.08 11.14 40.72 68.21
c 5.12 4.7 47.68 39.62 41.72 43.94 11.01
d 80.76 80.62 23.6 40.23 35.28 10.34 10.54

- Kết luận sơ bộ: Qua kết quả của phiếu điều tra GV có thể rút ra kết
luận sau:
+ Đa số GV đã hiểu đúng về năng lực giải toán. Tuy nhiên vẫn còn một
bộ phận GV còn chưa hiểu đúng về vấn đề này.
+ Vẫn còn một số GV chưa phát hiện đúng những biểu hiện của HS có
năng lực giải toán.
+ Đa số GV đều đánh giá năng lực giải toán của HS là còn yếu.
+ Đa số các GV đều rất quan tâm đến việc rèn luyện năng lực giải toán
cho HS. Tuy nhiên, sự quan tâm đó chưa cao và chưa được quan tâm đúng mức.
+ Mức độ yêu thích môn toán của HS chưa cao.
1.2.2. Điều tra học sinh
- Mục đích điều tra: bước đầu tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện năng
lực giải toán của HS.
- Đối tượng điều tra: HS lớp 8A, 8B, trường THCS Vân Phú.
- Nội dung điều tra: Thông qua bài kiểm tra
Đề kiểm tra (60 phút)
Câu 1 (3 điểm): Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta lấy theo thứ tự
các điểm D và E trên các đoạn thẳng BA và CA sao cho BD = CE. Gọi M,
N là trung điểm của BC và DE, đường thẳng qua MN lần lượt cắt AB và AC
tại P và Q. CMR:
·
·
NPB MQC=
Câu 2 (3 điểm): Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b. Đường
phân giác của góc A cắt BC tại M, đường phân giác của góc C cắt BA tại N.

CMR: MN // AC.
Câu 3 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, gọi H là trung điểm của
BC và E là hình chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng
HE.
CMR: AO vuông góc với BE.
- Ý định sư phạm của 3 câu trong đề kiểm tra:
Câu 1: Đây là một bài toán đơn giản nhằm kiểm tra mức độ nắm kiến
thức của HS.
Câu 2: Đây là bài toán có thể giải bằng nhiều cách khác nhau. Qua bài
này có thể kiểm tra được mức độ linh hoạt của HS trong giải toán. Qua đó đánh
giá được năng lực giải toán của HS.
Câu 3: Đây là bài toán có nội dung kẻ đường phụ. Qua bài này có thể
kiểm tra được khả năng phân tích tìm lời giải bài toán của HS. Qua đó đánh
giá được năng lực giải toán của HS.
- Bảng thống kê kết quả điều tra:
Điêm
Lớp
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng
số
8A
8B
0
0
0
0
0
0
4
5
7

8
3
4
8
6
4
3
3
3
2
2
0
0
31
31
- Phân tích kết quả điều tra:
Lớp 8A: + Điểm giỏi: 2 HS chiếm 6.45%
+ Điểm trung bình trở lên: 18 HS chiếm 58.06 %
+ Điểm dưới trung bình: 11 HS chiếm 35.49 %
Lớp 8B: + Điểm giỏi: 2 HS chiếm 6.45%
+ Điểm trung bình trở lên: 16 HS chiếm 51.61%
+ Điểm dưới trung bình: 13 HS chiếm 41.94%
- Kết luận sơ bộ:
+ HS đạt điểm cao ít, chủ yếu là điểm trung bình và dưới trung bình.
+ Khả năng trình bày bài của HS còn yếu, thiếu chặt chẽ, lôgic.
- Kết luận chung: Năng lực giải toán của HS còn yếu.
- Nguyên nhân:
+ Khi dạy giải bài tập toán GV chưa dựa vào đặc điểm và cấu trúc của
năng lực giải toán.
+ Nhận thức của GV về tầm quan trọng của việc rèn luyện năng lực

giải toán cho HS còn chưa đúng mức.
+ HS chưa hứng thú với môn toán. Điều này xuất phát từ thói quen
khi đứng trước một bài toán HS thường bỏ qua bước tìm hiểu đề toán và
bước tìm tòi lời giải bài toán. HS thường đi vào giải luôn đến khi không
tìm được hướng giải quyết thì trở nên chán nản và dần mất đi hứng thú với
môn học.
Kết luận chương 1
Trong chương 1, chúng tôi đã làm sáng tỏ một số vấn đề:
- Lý luận về năng lực, năng lực toán học, năng lực giải toán.
- Bước đầu tìm hiểu thực trạng rèn luyện năng lực giải toán của HS
THCS. Qua việc tìm hiểu chúng tôi nhận thấy năng lực giải toán của HS còn
yếu. Điều này xuất phát từ việc GV và HS trong khi giải một bài toán còn
chưa quan tâm tới việc rèn luyện năng lực giải toán cũng chính là chưa thực
hiện giải theo bốn bước trong phương pháp giải toán của Polya.