46 bai tao cap so cong cap so nhzan

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>



<b> NHỮNG CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ- CẤP SỐ - GIỚI HẠN-ĐẠO HÀM-TÍCH PHÂN</b>



GV:nguyễn đức tuyên---<b>THPT nguyễn bính</b>

<b> DÃY SỐ:</b>

1/Dãy số (un_{) :}<b>_TĂNG</b>_Nếuun un 1 hay

*

n 1 n

u _  u 0, n N  _.

Hoặc

*
n 1

n
n

u

1,u 0, n N
u

 _ _ _{ }
.
2/Dãy số (un_{) :}<b>_GIẢM</b>_Nếuun un 1 hay

*

n 1 n

u _  u 0, n N  _.

Hoặc

*
n 1

n
n

u

1,u 0, n N
u

 _ _ _{ }
.
3/Dãy số (un_{) :}<b>_{BỊ CHẶN TRÊN}</b>_NếuM : n N , u  * n M_.

4/Dãy số (un_{) :}<b>_{BỊ CHẶN DƯỚI}</b>_Nếum : n N ,u  * n m_.

5/Dãy số (un_{) :}<b>_{BỊ CHẶN}</b>_NếuM, m : n N , m u  *  n M_.

CẤP SỐ CỘNG:

1/(un_{) :Cấp số cộng} un 1 un d, n N  *. 2/Số hạng tổng quát : un u1(n 1)d

3/Tổng n số hạng đầu tiên :



1



1 n

n

n 2u (n 1)d
n(u u )

S

2 2

 



 

4/Tính chất : a,b,c :Cấp số cộng

a c
b

2


 

. Tổng quát :

k 1 k 1
k

u u

u , k 2

2

  

 

.

_<b>CẤP SỐ NHÂN:</b>

1/(un_{) : Cấp số nhân} un 1 u q, n Nn   *. 2/Số hạng tổng quát :

n 1

n 1

u u q  , n 2

   _.

3/Tổng n số hạng đầu tiên :

n
1

n

u (1 q )

S ,q 1

1 q


 



4/Tính chất : a,b,c :Cấp số nhân:

2

b ac

  _{. Tổng quát:}u2k uk 1 .uk 1 , k 2 .

<b> GIỚI HẠN DÃY SỐ: </b>

1/

*
k

n

n
1

0 ; 0,k N

n

1

lim

lim

n

 

 

  

2/

n
n

q 0 , q 1

lim

 

 

3/

*
3

n

n
1

0 ; 0,k N

n

1

lim

lim

n

 

 

  

.

4/Cho (u ),(v )n n _: un v , nn   lim vn  0 lim un 0_.

5/Nếu :lim un L_{Thì : a/}lim un L  lim u3 n 3 L_.

b/ Nếu : un   0, n L 0 lim u  n  L_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>



n
n

u a

lim (b 0)

v b  

lim kvn kb

7/Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn :

1
u

S , ( q 1)

1 q

 

 

8/ n n

1

lim u lim 0

u

  

. 9/

n

n n

n
u

lim u a lim v lim 0

v

    

10/limnk ,n N * 11/lim qn ,q 1
12/

n

n n n

n
u
lim u a 0,lim v 0 v 0, n lim

v

       

13/lim un   lim vn   a 0 lim u vn. n 

<b> GIỚI HẠN HÀM SỐ:</b>

1/ 0

0
x x

lim x x





; x x0

limC C





_2/

k
x

limx

 



3/





0

x x

cL

lim cf (x)





4/



k
x

-, k 2n
, k 2n 1

limx

 

 



   

5/

*

k k

x x

1 1

0 ; 0,k N

x x

lim

lim

    

  

6/Nếu x x0 x x0

L M (L,M R)

limf (x)

limg(x)

 

   

Thì :







0

x x

L M

lim f (x) g(x)



 



 x x0

L

,(M 0)
M

f (x)

lim

g(x)



 







0

x x

L.M

lim f (x).g(x)





 0

k
k

0
x x

ax

lim ax





 x x0 x x0

f (x) 0

_{limf (x)}

L L 0

_{lim f (x)}

L

 _

      

7/Nếu x x0

L

limf (x)





Thì :  x x0

L

lim f (x)





 0

3
3

x x

L

lim f (x)





8/

*
k

x

,k N

lim x

 

 

9/

k
x

, k 2n

lim x

 

 

10/ x x0 x x₀ x x₀

L L

limf (x)

limf (x) limf (x)

 

  

   

<b>.</b>

11/Nếu x x0

lim f (x)





Thì x x0

1
0
f (x)

lim



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

12/Các dạng vô định :

0

; ; 0. ;
0



   

 

13/<b>MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC</b> : Nếu

0 0

x x x x

0

1

f (x)

lim

lim

_{f (x)}

 

  

.
Quy tắc 1: Nếu





0

0 0 x x

x x x x

vµ

_limg(x)

L 0 f(x).g(x) :

limf(x)

lim



 

   

<b> </b> x x0

lim f (x)



Dấu của L

_

_

0
x x

f(x).g(x)

lim







 

 

+

+



 

 


<b>Quy tắc 2: Nếu </b> x x0 x x0

L 0, 0 g(x) 0

limf (x)

limg(x)

 

    

<b>Hoặc </b>g(x) 0 <b>.</b>

Dấu của L<b> </b> Dấu của g(x)

0
x x

f(x)
g(x)

lim



+
+

+

+



 

 



<b> HÀM SỐ LIÊN TỤC</b>:

<b></b>Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu 0

0
x x

f (x )

limf(x)





.

<b></b>Nếu hàm số f liên tục trên đoạn



a;b



và f (a).f (b) 0 thì  c



a;b : f (c) 0



 .

<b></b>Nếu : x a x a x a

g(x) f (x) h(x)

_{limg(x) lim h(x)}

L

_limf(x)=L

  

     

.

<b></b> 0 0

0 0

x x x x

f(x ):liªn tơc bªn phải f(x ):liên tục bên trái

limf(x)

limf(x)



<b></b>f(x) liên tục trên đoạn





0

0

0
x x

0
x x

f(x) f(x )

a;b f(x) f(x )

f(x)liªn tơc trªn (a;b)

lim

lim















 _ 





<b>ĐẠO HÀM:</b>

0

0 0 0

0

x x 0 x 0 x 0

f(x) f(x ) f(x x) f(x ) y

f '(x )

x x x x

lim

lim

lim

    

    

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>



Quy tắc tính đạo hàm: Tính  y f(x0 x) f(x ) 0 Tìm :

0
x 0

y

f '(x )
x

lim

 







Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M (x ;f(x )) (C)0 0 0  _là:y f '(x )(x x ) f(x ) 0  0  0 _.

<b></b>Vận tốc tức thời:

0 0

0 0

t 0

s(t t) s(t )

v(t ) s'(t )

t

lim

 

  

 





<b>VI PHÂN</b> :  df(x ) f '(x ). x0  0 

_df(x) f '(x).dx hay dy y'dx  _f(x0 x) f(x) f '(x ). x  0 
<b>BẢNG TĨM TẮT CƠNG THỨC ĐẠO HÀM </b>

(u +v+t)' = u' + v' + t' (uv)' = u'v+v'u

(u-v-t)' = u' - v' - t' (uvt)' = u'vt +uv't +uvt' <b> </b>


¿
¿

(

<i>uv</i>

)

<i>'</i>

¿

= <i>u ' v − v ' u</i>

<i>v</i>2 ,(v 0 )  (Cv)' = Cv' (C : hằng số )



¿
¿

(<i>xα</i>)<i>'</i>

¿

<b> = </b> <i>α</i>.<i>xα−</i>1



(

1<i>_x</i>

)

<i>'</i>

<b> = </b> <i>−</i> 1

<i>x</i>2 <b> , </b>(x 0 )



¿
¿

(_√<i>x</i>)<i>'</i>

¿

= 1

2√<i>x</i> , (x > 0)

 (u ❑<i>α</i>¿<i>'</i> = <i>αuα −</i>1 .u'



¿
¿

(

1<i>u</i>

)

¿<i>'</i>

= <i>−u '</i>

<i>u</i>2 , (u 0 )



¿
¿

(_√<i>u</i>)<i>'</i>

¿

= 1

2√<i>u</i>.<i>u '</i> , (u > 0)

(sin x)' = cos x
(cos x)' = - sin x
(tan x)' =

2
2

1

1 tan x

cos x   _{, (cos x}

0 )

(cotx)<b>'</b> = - 1

sin2<i>x</i>=<i>−</i>(1+cot<i>g</i>

2

<i>x</i>) _{(sin x} ₀ ₎

(sin u)' = u'.cos u
(cos u)' = -u'.sin u
(tan u)' =

2
2

u '

u '(1 tan u)

cos u   _{,(cos u} 0 ₎

(cot u)' =

2
2

u '

u '(1 cot u)
sin u

  

,(sin u 0 )

(e ❑<i>x</i> )' = e ❑<i>x</i>

(a ❑<i>x</i> )' =a ❑<i>x</i> lna , (o < a 1

)

(e ❑<i>u</i> )' = u' .e ❑<i>u</i>

(a ❑<i>u</i> )' = a ❑<i>u</i> u'lna

(ln |<i>x</i>| )' = 1<i>_x</i> , (x 0 )
(ln x)' = 1<i>_x</i> , (x > 0)
( log<i>ax</i> )' =

1

<i>x</i>. ln<i>a</i> , (x > 0, 0 < a

1 )

( log<i>a</i>|<i>x</i>| )' =

1

<i>x</i>. ln<i>a</i> , (x 0 , 0 < a

1 )

(ln |<i>u</i>| )' = <i>u '_u</i> , (u 0 )
(ln u)' = <i>u '_u</i> , (u > 0)
( log<i>au</i> )' =

1

<i>u</i>. ln<i>a</i>.<i>u '</i> , (u > 0, 0<a 1 )

( log<i>a</i>|<i>u</i>| )' =

1

<i>u</i>. ln<i>a</i>.<i>u '</i> , (u 0 ,0<a 1 )

<b>Đạo hàm cấp cao : </b> <i>f</i>(<i>n</i>)(<i>x</i>)=[<i>f</i>(<i>n −</i>1)(<i>x</i>)]<i>'</i> ,(n N,n 2)  y'x y' .u'u x :Đạo hàm hàm số hợp

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b> </b><b> n giai thừa : n! =1.2.3...n=(n-1)!n</b>


¿
¿

(

ax+<i>b</i>

cx+<i>d</i>

)

<i>'</i>

¿
=

cx+<i>d</i>¿2
¿

ad<i>−</i>bc

¿

_ lim

sin<i>x</i>
<i>x</i> =1

<i>x →</i>0 

1+<i>x</i>¿
1

<i>x</i>

=<i>e</i>

¿
¿

lim¿

 lim

❑_ln₍₁₊<i>_x</i>₎

<i>x</i> =1

<i>x →</i>0

_ lim <i>e</i>

<i>x</i>

<i>−</i>1

<i>x</i> =1
<i>x →</i>0

_

1+1

<i>x</i>¿

<i>x</i>

=<i>e</i>

¿
¿

lim¿

<b> </b>

 <b>BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM THƯỜNG DÙNG</b>





1dx x C 





1du u C 



1

x

x dx C ( 1)

1




   

 





1

u

u du C ( 1)

1




   

 




1

dx ln x C (x 0)

x   




1

du ln u C (u 0)

u   





x x

e dx e C





_

_

e du eu  u C



x

x a

a dx C (0 a 1)

ln a

   





u

u a

a du C (0 a 1)

ln a

   







cosx dx sinx C 





cosu du sinu C 





sinx dx cosx C





sinu du cosu C

 2

1

dx tan x C

cos x  



 2
1

du tan u C

cos u  



 2

1

dx cotx C

sin x  



 2
1

du cot u C

sin u  



<b>Chú ý:</b>



1 1

dx ln ax+b C

ax+b a 



_

ax+b 1 ax+b

e dx e C

a

 



_

1

cos(ax+b)dx sin(ax+b) C
a

 



_

1

sin(ax+b)dx cos(ax+b) C
a

 





<i><b>Đổi biến số trong tích phân</b></i> : <b> </b>



Nếu f(x) chứa

a2  x2 

_{x = a.sint}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>



Nếu f(x) chứa

x2  a2 

a
x =

cost

_{.Đặcbiệt:}

2 2

2 2

1

dx t x x a

x a

   







<i><b>Tích phân từng phần</b></i>

<i>:</i>



b b

b
a

a a

udv uv  vdu





_

Dạng1: P(x). ax

sin ax

cosax dx
e









 _{Chọn : u =P(x)}__{P(x) là 1 đa thức của x}

_

Dạng 2: P(x).ln(ax+b)dx  _{u = ln(ax+b),( Còn lại : Đặt dv).}

_{}

</div>

<!--links-->