Bài toán cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi trên tập lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ HUYỀN

BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÀM LỒI
VÀ HÀM TỰA LỒI TRÊN TẬP LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ HUYỀN

BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÀM LỒI
VÀ HÀM TỰA LỒI TRÊN TẬP LỒI
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - 2020

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn “Bài
toán cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi trên tập lồi” của riêng bản thân tôi
dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU là trung
thực, khơng có bất kỳ sự sao chép hay sử dụng để bảo vệ một học vị nào và
chưa từng được cơng bố dưới bất kì hình thức nào.
Tất cả những sự giúp đỡ cho việc xây dựng cơ sở lý luận cho bài luận
đều được trích dẫn đầy đủ và ghi nguồn gốc rõ ràng. Nếu phát hiện có sự
sao chép kết quả nghiên cứu của đề tài khác, tơi xin hồn tồn chịu trách
nhiệm.

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 1 năm 2021
Tác giả

NGUYỄN THỊ HUYỀN

i


Lời cảm ơn
Trong thời gian hồn thành luận văn tơi đã nhận được nhiều sự giúp
đỡ, đóng góp ý kiến và chỉ bảo nhiệt tình của GS.TSKH. LÊ DŨNG
MƯU.
Ngồi ra, trong quá trình học tập và làm luận văn, từ các bài giảng
của các Giáo sư, Phó Giáo sư đang cơng tác tại Viện Tốn học, các Thầy
Cơ trong Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, tôi đã trau dồi thêm rất
nhiều kiến thức, kỹ năng phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản
thân. Từ đáy lịng mình, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy

Cô.
Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ mơn Tốn ứng dụng và tin học.
Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi có thể hồn thành tốt luận văn
này. Do thời gian có hạn, bản thân tơi cịn hạn chế nên luận văn có thể có
những thiếu sót. Tơi mong muốn nhận được ý kiến phản hồi, đóng góp và
xây dựng của các thầy cô, và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 1 năm 2021
Tác giả

NGUYỄN THỊ HUYỀN

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iv

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

v

Lời mở đầu

1

1 Hàm lồi, hàm tựa lồi trên tập lồi

3

1.1

1.2

1.3

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Tổ hợp lồi và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . .

4

Hàm lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Định nghĩa, ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . .

11

Hàm tựa lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Định nghĩa, ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.3

Đạo hàm và dưới vi phân của hàm tựa lồi . . . . . .

16

2 Bài toán cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi
2.1

Bài toán cực tiểu hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

22
22

2.2

2.1.1

Phát biểu bài tốn, ví dụ . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.2

Một thuật toán chiếu dưới đạo hàm . . . . . . . . .

28

Bài toán cực tiểu hàm tựa lồi . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.2

Một thuật toán chiếu dưới đạo hàm . . . . . . . . .

29

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

iv


Một số ký hiệu và chữ viết tắt

Rn

không gian Euclide n−chiều

R = R ∪ {−∞, +∞}

trục số thực mở rộng

xT

chuyển vị của x

coA

bao lồi của A

coA

bao lồi đóng của A

ri(A)

tập điểm trong tương đối của tập A

int(A)

tập hợp các điểm trong của A

f

hàm bao đóng của f

domf

miền hữu dụng của f

epif

trên đồ thị của f

∂f (x)

dưới vi phân của f tại x

✷

kết thúc chứng minh

v


Lời mở đầu
Ngày nay, lý thuyết về các tập lồi, hàm lồi và hàm tựa lồi có một ví
trí quan trọng trong tốn học nói chung, trong giải tích nói riêng cụ thể liên
quan đến hầu hết các ngành như giải tích hàm, hình học, tốn kinh tế, giải
tích lồi,...Trong đó có một tính chất cơ bản của hàm lồi được sử dụng rộng
rãi trong tốn học đó là: bất kì cực tiểu địa phương nào cũng có cực tiểu
tồn cục.
Cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi trên tập lồi là một lớp bài toán cơ
bản của tối ưu hóa. Cực tiểu hàm lồi trên tập lồi gọi là quy hoạch lồi, có
tính chất cơ bản là mọi điểm cực tiểu địa phương đều là cực tiểu tuyệt đối.
Tính chất quan trọng này cho phép các lý thuyết có tính địa phương như
giới hạn, vi phân,... có thể áp dụng vào quy hoạch lồi. Lý thuyết về bài toán
quy hoạch lồi đã được nghiên cứu nhiều và đã thu được nhiều kết quả quan
trọng dựa trên lý thuyết của giải tích lồi và tối ưu hóa.
Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một số kiến thức cơ bản về hàm
lồi và hàm tựa lồi. Đặc biệt nội dung chính của luận văn sẽ tập trung đi
sâu vào dưới vi phân của hàm lồi và hàm tựa lồi. Tiếp đến sẽ giới thiệu hai
thuật toán chiếu dưới đạo hàm để giải bài toán cực tiểu hàm lồi và hàm tựa
lồi trên tập lồi.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận
văn gồm hai chương sau:
Chương 1. Hàm lồi, hàm tựa lồi trên tập lồi
Trong chương này chúng tơi giới thiệu tổng quan và trình bày về một
1

số khái niệm cơ bản, tính chất và ví dụ minh họa của tập lồi, hàm lồi, hàm
tựa lồi được trích dẫn trong tài liệu số [1] và [2], đặc biệt đi sâu vào khái
niệm dưới vi phân hàm lồi và hàm tựa lồi.
Chương 2. Bài toán cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi
Đây là phần chính của luận văn, trong chương này, chúng tơi trình
bày bài tốn cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi, các ví dụ minh họa. Phần cuối
của luận văn sẽ trình bày về hai thuật tốn chiếu dưới đạo hàm được trích
dẫn trong tài liệu số [2], [3], [4], [5] và [6].
Tôi xin chân thành cảm ơn!

2


Chương 1
Hàm lồi, hàm tựa lồi trên tập lồi
Chương mở đầu của luận văn chúng tơi trình bày khái niệm, một số
tính chất cơ bản của tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi và các ví dụ minh họa.
Đặc biệt phần cuối của chương sẽ đi sâu vào khái niệm dưới vi phân hàm
lồi và hàm tựa lồi. Các kiến thức ở chương này được tổng hợp từ các tài
liệu [1] và [2].

1.1

Tập lồi
Phần mở đầu của chương này chúng tơi trình bày về một số định

nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản của tập lồi.

1.1.1

Định nghĩa và ví dụ
Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc tơ) a, b trong Rn là tập hợp

tất cả các véc tơ x ∈ Rn có dạng

{x ∈ Rn | x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} .
Đoạn thẳng nối hai điểm a và b trong Rn là tập hợp các véc tơ x có dạng

{x ∈ Rn | x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} .

3


Định nghĩa 1.1.1. Một tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi, nếu C chứa
mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Ví dụ 1.1.2. Các tam giác và hình trịn trong mặt phẳng là các tập lồi.
Hình cầu đơn vị trong khơng gian Banach là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử A ⊂ C , khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa

A được gọi là bao lồi (convex hull) của tập A và kí hiệu là coA.
Nhận xét 1.1.4. Từ định nghĩa trên ta rút ra được nhận xét sau:

• coA là một tập lồi. Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A.
• A lồi khi và chỉ khi A = coA.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử A ⊂ C , khi đó giao của tất cả các tập lồi đóng
chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là coA.
Nhận xét 1.1.6. coA là một tập lồi đóng. Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất

chứa A.

1.1.2

Tổ hợp lồi và các tính chất cơ bản
n

λi xi gọi là tổ hợp lồi của x1 , . . . , xn ∈

Định nghĩa 1.1.7. Tổ hợp tuyến tính
i=1

Rn nếu

n

λi ≥ 0, ∀i,

λi = 1.
i=1

Mệnh đề 1.1.8. Giả sử C là tập lồi, x1 , . . . , xn ∈ C . Khi đó, C chứa tất
cả các tổ hợp lồi của x1 , . . . , xn .

4


Định nghĩa 1.1.9. Một tập C được gọi là tập affine nếu nó chứa đường
thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Vậy tập affine là một trường hợp riêng của tập lồi.
Định nghĩa 1.1.10. Tương tự như tổ hợp lồi, x được gọi là tổ hợp affine
của các điểm (véc tơ) x1 , . . . , xn ∈ Rn nếu
k

x=

k

λj = 1, λj > 0, ∀j = 1, . . . , k.

λj xj ,
j=1

j=1

Tập hợp của các tổ hợp affine của các điểm (véc tơ) x1 , . . . , xn ∈ Rn thường
được gọi là bao affine của các điểm (véc tơ) này.
Nhận xét 1.1.11. Một tổ hợp affine x =

k
j=1 λj xj

với các λj > 0, ∀j =

1, . . . , k sẽ được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm (véc tơ) x1 , ..., xk .
Mệnh đề 1.1.12. Cho X là tập khác rỗng, X được gọi là tập affine khi và
chỉ khi nó có dạng X = L + a với L là một không gian con và a ∈ X . Hơn
nữa không gian con L này là duy nhất.

Định nghĩa 1.1.13. (Tốn tử chiếu lên tập lồi đóng) Cho C là một tập lồi
đóng khác rỗng của R. Gọi y là một véc tơ bất kì, đặt

dC (y) := inf||x − y|| ∀x ∈ C.
Khi đó ta nói dC (y) là khoảng cách từ y tới C . Nếu tồn tại π ∈ C sao cho

dC (y) = ||π − y||, thì ta nói π là hình chiếu vng góc của y trên C .
Định lý 1.1.14. (Định lý tồn tại duy nhất) Cho C là một tập lồi đóng khác
rỗng. Khi đó:
5


(i) Với mọi y ∈ R, π ∈ C hai tính chất sau là tương đương:
a) π = pC (y),
b) y − π ∈ NC (π), trong đó NC (π) là nón pháp tuyến của tập C tại π .
(ii) Với mọi y ∈ Rn , hình chiếu pC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy
nhất.
(iii) Nếu y ∈
/ C , thì pC (y) − y, x − pC (y) = 0 là siêu phẳng tựa của C
tại pC (y) và tách hẳn y khỏi C , tức là

pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0,

∀x ∈ C

và

pC (y) − y, y − pC (y) < 0.
(iv) Ánh xạ y → pC (y) có các tính chất sau:
a) pC (x) − pC (y) ≤ x − y

∀x, ∀y , (tính khơng giãn).

b) pC (x) − pC (y), x − y ≥ pC (x) − pC (y)

1.2

2

, (tính đồng bức).

Hàm lồi
Trong mục này chúng tơi trình bày định nghĩa về hàm lồi, các tính

chất cơ bản của hàm lồi, ví dụ, đặc biệt đi sâu vào khái niệm, tính chất cơ
bản của dưới vi phân hàm lồi.

1.2.1

Định nghĩa, ví dụ
Cho C ⊆ Rn là tập lồi và một ánh xạ f : C → R. Ta kí hiệu

domf := {x ∈ C | f (x) < +∞}
Tập domf được gọi là miền hữu dụng (effective domain) ca f. Tp

epif := {(x, à) C ì R | f (x) ≤ µ}
6


được gọi là trên đồ thị (epigraph) của hàm f.

Định nghĩa 1.2.1. Cho C là tập khác rỗng, C ⊆ Rn là lồi và f : C → R.
Khi đó ta nói f là hàm lồi (convex function) trên C , nếu epif là một tập
lồi trong Rn+1 .
Xét hàm f : Rn → R ∪ {+∞}, định nghĩa trên là tương đương với

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1). (1.1)

Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là lồi chặt (strictly convex function)
trên C nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y),

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1). (1.2)

Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là lồi mạnh (strongly convex function)
trên C với hệ số η > 0, nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta có:

1
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ) x − y 2 .
2

(1.3)

Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là một hàm lõm (concave function) trên

C , nếu −f lồi trên C .
Ví dụ 1.2.2. Hàm affine f (x) := aT x + α trong đó a ∈ Rn , α ∈ R được gọi
là hàm lồi. Hơn nữa khi α = 0, thì hàm trên được gọi là hàm tuyến tính.

Định nghĩa 1.2.3. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} và C ⊆ Rn là một tập lồi
khác rỗng và η là một số thực. Ta nói η là hệ số lồi của f trên C , nếu với
mọi λ ∈ (0, 1), mọi x, y ∈ C , ta có:

1
f [(1 − λ)x + λy] ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) − ηλ(1 − λ) x − y 2 .
2
Nếu η = 0 thì f là hàm lồi trên C . Hơn nữa nếu η > 0 thì f là hàm lồi
mạnh trên C với hệ số η.
7


Một hàm f được gọi là chính thường (proper function) nếu domf = 0 và

f (x) > −∞ với mọi x. Hàm f được gọi là đóng (closed function), nếu epif
là một tập đóng trong Rn+1 .
Mệnh đề 1.2.4. Nếu f là một hàm lồi trên Rn thì các tập mức

Lf (α) := {x|f (x) ≤ α},
lf (α) := {x|f (x) < α}
là lồi với mọi α ∈ R.

1.2.2

Các tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.2.5. Cho E là một tập lồi đóng khác rỗng, một hàm f :
Rn → R được gọi là nửa liên tục dưới đối với E tại một điểm x, nếu như
với mọi dãy xk ⊂ E , xk → x ta có lim inff (xk ) ≥ f (x). Hàm f được gọi là
nửa liên tục trên, đối với E , tại x nếu −f nửa liên tục dưới, đối với E , tại x.

Nói một cách khác với mọi dãy xk ⊂ E , xk → x thì lim supf (xk ) ≤ f (x).
Hàm f được gọi là liên tục đối với E, tại x nếu như nó vừa nửa liên tục
trên và nửa liên tục dưới, đối với E , tại x.
Mệnh đề 1.2.6. (Tính liên tục) Cho f : Rn → R ∪ {+∞}, khi đó các điều
kiện sau là tương đương:
(i) Trên đồ thị của f là một tập đóng trên Rn+1 , tức là f = f .
(ii) Với mọi số thực α, tập mức dưới Lf (α) := {x|f (x) ≤ α} là một tập
đóng.
(iii) Hàm f là nửa liên tục dưới trên R.
Chứng minh. Ta sẽ tiến hành chứng minh các điều kiện trên là tương đương:
(i) → (ii). Giả sử xj → x, f (xj ) ≤ α. Khi đó (xj , α) ∈ epif .
8


Do đó epif đóng nên (x, α) ∈ epif . Vậy x ∈ Lf (α).
(ii) → (iii). Giả sử xj → x. Nếu lim inff (xj ) < f (x), khi đó tồn tại

α < f (x) sao cho f (xj ) ≤ α với mọi j đủ lớn. Vậy xj ∈ Lf (α).
Do xj → x và Lf (α) đóng nên x ∈ Lf (α). Tức là f (x) ≤ α điều này mâu
thuẫn với giả thiết α < f (x).
(iii) → (i). Giả sử (xj , µj ) ∈ epif và (xj , µj ) → (x, µ).
Khi đó f (xj ) ≤ µj với mọi j. Do (iii), suy ra lim inff (xj ) ≥ f (x).
Vậy µ ≥ f (x). Suy ra (x, µ) ∈ epif do đó epif là tập đóng.
Mệnh đề 1.2.7. Cho f là một hàm lồi chính thường trên Rn và x0 ∈

int(domf ), khi đó các điều kiện sau là tương đương.
(i) f liên tục tại điểm x0 .
(ii) f bị chặn trên trong lân cận của x0 .
(iii) int(epif ) = ∅.
(iv) int(domf ) = ∅ và f liên tục trên tập int(domf ).

Mệnh đề 1.2.8. Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên Rn . Khi đó

f liên tục tại mọi điểm x ∈ int(domf ). Nếu f nhận giá trị thực trên tồn
khơng gian, thì nó liên tục tại mọi điểm.
Hệ quả 1.2.9. Cho f là một hàm lồi chính thường trên Rn . Khi đó với mọi
tập com-pắc C ⊆ int(domf ), tập f (C) là com-pắc.
Định nghĩa 1.2.10. Một hàm f : Rn → R được gọi là Lipschitz địa phương
tại x với hằng số Lipschitz L nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho

||f (x) − f (y)||

L||x − y|| ∀x, y ∈ U.

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên D nếu nó Lipschitz địa phương
tại mọi điểm thuộc D.
9


Hàm lồi cịn có tính liên tục Lipschitz. Mệnh đề sau đây sẽ chỉ ra mối liên
hệ đó.
Mệnh đề 1.2.11. (Tính Lipschitz) Giả sử f là một hàm lồi chính thường
trên Rn và bị chặn trên trong một lân cận của một điểm nào đó thuộc một
tập mở D ⊆ domf . Khi đó f Lipschitz địa phương trên tập D.
Chứng minh. Giả sử 0 ∈ D và f (x) ≤ γ < ∞ với mọi x ∈ B , trong đó

> 0 và B là quả cầu mở đơn vị có tâm ở gốc.
Giả sử x ∈ D. Khi đó tồn tại ρ > 1 sao cho điểm y = ρx ∈ D, Với λ =

1
ρ

tập hợp

V := {v|v = (1 − λ)x + λy, x ∈ B},
là một lân cận của điểm x := λy. Do f lồi và bị chặn trên bởi γ trong tập

B, nên với mọi v ∈ V, ta có:
f (v) ≤ (1 − λ)f (x ) + λf (y) ≤ (1 − λ)γ + λf (y).

(1.4)

Vậy f bị chặn trên trong lân cận V của x.
Hơn nữa với mọi z ∈ V , tồn tại z ∈ V sao cho x =

1
(z + z ). Vì f
2

là hàm lồi nên ta có:

1
1
f (x) ≤ f (z) + f (z ).
2
2
Từ đây và (1.4), ta được

f (z) ≥ 2f (x) − f (z ) ≥ 2f (x) − (1 − λ)γ − λf (y).
Vậy f bị chặn dưới trên V. Kết hợp lại ta có f bị chặn trong tập V. Do D
mở thuộc domf . Chọn δ > 0 sao cho quả cầu B(x) := x + 2δB ⊂ D và

|f (u)| ≤ L0 < ∞ với mọi u ∈ B(x). Lấy x1 , x2 ∈ x + δB, x1 = x2 . Ký hiệu
α = ||x1 − x2 || và đặt
x3 = x2 +

δ
(x2 − x1 ).
α
10

(1.5)


Khi đó x3 ∈ B(x), bởi vì x2 ∈ x + δB. Theo (1.5) ta có:

x2 =

δ
α
x1 +
x3
α+δ
α+δ

Do f lồi, nên

f (x2 ) ≤

α
δ

f (x1 ) +
f (x3 )
α+δ
α+δ

Suy ra

α
f (x2 ) − f (x1 ) ≤
[f (x3 ) − f (x1 )]
α+δ
α
α
≤ |f (x3 ) − f (x1 )| ≤ (|f (x1 )| + |f (x3 )|)
δ
δ
Do |f (x1 )| ≤ L0 , |f (x3 )| ≤ L0 và α = x1 − x2 , nên ta có:
f (x2 ) − f (x1 ) ≤

2L0
x1 − x2
δ

Thay đổi vai trị của x1 và x2 , ta có:

f (x1 ) − f (x2 ) ≤

2L0
x1 − x2
δ

Kết hợp lại

|f (x1 ) − f (x2 )| ≤

2L0
||x1 − x2 || ∀x1 , x2 ∈ x + δB
δ

Vậy f Lipschizt trong lân cận x + δB của x với hằng số là L =

2L0
.
δ

Hệ quả 1.2.12. Nếu f : Rn → R lồi, thì f Lipschitz địa phương trên tồn
Rn (do đó liên tục).

1.2.3

Dưới vi phân của hàm lồi
Cho một hàm n biến. Khi cố định một hướng và xét hàm nhiều biến

trên hướng đó, thì ta có một hàm một biến. Giả sử y = 0 là một hướng cho
trước xuất phát từ điểm x0 . Khi đó mọi điểm x thuộc đường thẳng đi qua

x0 và có hướng y đều có dạng x = x0 + λy với λ ∈ R. Nếu đặt
ζ(λ) := f (x0 + λy)
11

suy ra ζ lồi trên R khi và chỉ khi f lồi trên Rn .
Định nghĩa 1.2.13. (Đạo hàm theo hướng)
Cho f : Rn → R ∪ {+∞} và x0 ∈ R sao cho f (x0 ) < +∞. Nếu với một véc
tơ y ∈ Rn mà giới hạn

f (x0 + λy) − f (x0 )
x→0
λ
lim

tồn tại (hữu hạn hay vơ hạn), thì ta nói f có đạo hàm theo hướng y tại điểm

x0 .
Ta sẽ ký hiệu giới hạn này là f (x0 , y).
Định nghĩa 1.2.14. (Dưới vi phân)
Cho f : Rn → R ∪ {+∞} ta nói x∗ ∈ Rn là dưới đạo hàm của hàm f tại x
nếu

x∗ , z − x + f (x)

f (z) ∀z.

Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x). Tập

∂f (x) có thể bằng rỗng trong Rn . Khi ∂f (x) = ∅, thì ta nói hàm f khả dưới
vi phân tại x. Theo định nghĩa trên, một điểm x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi
nó thỏa mãn một hệ vơ hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy ∂f (x)
là giao của các nửa khơng gian đóng. Vậy ∂f (x) ln là một tập lồi đóng.
Ví dụ 1.2.15. Cho hàm f (x) = ||x||, x ∈ Rn . Tại điểm x = 0 hàm này

khơng khả vi, nhưng nó khả dưới vi phân và

∂f (0) = {x∗ | x∗ , x

||x||, ∀x} .

Mệnh đề 1.2.16. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường. Khi
đó ta có:
(i) x∗ ∈ ∂f (x) khi và chi khi f (x, y) ≥ x∗ , y ∀y. Nếu x ∈ ri(domf ) thì
12


f (x, y) = supx∗ ∈∂f (x) x∗ , y với mọi y.
(ii) Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn thì với mọi x ∈ dom(∂f ), ta
có: f (x) = f¯(x) và ∂f (x) = ∂ f¯(x).
Mệnh đề 1.2.17. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường. Khi
đó
(i) Nếu x ∈
/ dom f thì ∂f (x) = ∅.
(ii) Nếu x ∈ int(domf ) thì ∂f (x) = ∅ và com-pắc. Ngược lại, nếu ∂f (x) =
∅, com-pắc thì x ∈ ri(domf ).

1.3

Hàm tựa lồi
Trong mục này chúng tơi trình bày định nghĩa về hàm tựa lồi, các

tính chất cơ bản của hàm lồi, ví dụ minh họa, đặc biệt đi sâu vào khái niệm,
tính chất cơ bản của dưới vi phân hàm tựa lồi.

1.3.1

Định nghĩa, ví dụ

Định nghĩa 1.3.1. Cho Γ là một tập con của Rn , một hàm θ xác định trên

Γ ⊂ Rn được gọi là tựa lồi (quasiconvex) tại x ∈ Γ nếu


x∈Γ





θ(x) ≤ θ(¯
x) 
⇒ θ[(1 − λ)¯
x + λx] ≤ θ(¯
x),


0≤λ≤1




(1 − λ)¯
x + λx ∈ Γ 
θ được gọi là tựa lồi trên Γ nếu nó là tựa lồi tại mỗi điểm x ∈ Γ.

Định nghĩa 1.3.2. Một hàm θ xác định trên Γ ⊂ Rn được gọi là tựa lồi

13


chặt (strictly quasiconvex) tại x ∈ Γ nếu


x∈Γ





θ(x) < θ(¯
x) 
⇒ θ[(1 − λ)¯
x + λx] < θ(¯
x),


0<λ<1




(1 − λ)¯
x + λx ∈ Γ 

θ được gọi là tựa lồi chặt trên Γ nếu nó là tựa lồi chặt tại mỗi điểm x ∈ Γ.

Theo định nghĩa trên một hàm θ xác định trên tập lồi Γ là tựa lồi chặt nếu
và chỉ nếu

x1 , x2 ∈ Γ
θ(x2 ) < θ(x1 )

⇒ θ[(1 − λ)x1 + λx2 ] < θ(x1 ).

0<λ<1
Ví dụ 1.3.3. Cho hàm số y = x3 hàm số này được gọi là hàm tựa lồi hơn
nữa nó cịn là hàm tựa lồi chặt.

1.3.2

Các tính chất cơ bản

Định lý 1.3.4. Cho θ là một hàm xác định trên tập lồi Γ ⊂ Rn , đặt

Λα = {x | x ∈ Γ, θ(x) ≤ α}
Khi đó θ là tựa lồi trên Γ ⇔ Λα là tập lồi với mỗi α ∈ R.
Chứng minh. “ ⇒” Chọn x1 , x2 ∈ Γ, θ x2 ≤ θ x1 và 0 ≤ λ ≤ 1. Nếu ta
đặt α = θ x1 thì theo tính lồi của Λα khi đó ta có:

(1 − λ)x1 + λx2 ≤ α = θ x1 ,
và do đó θ là tựa lồi trên Γ.
“ ⇐” Đặt θ là tựa lồi trên Γ, α là một số thực và đặt x1 , x2 lần lượt là các
14


điểm trên Λα . Khơng mất tính tổng qt ta đặt θ(x2 ) ≤ θ(x1 ).

Vì x1 , x2 ∈ Λα nên θ(x2 ) ≤ θ(x1 ) ≤ α.
Do θ là tựa lồi, Γ là tập lồi nên 0 ≤ λ ≤ 1 và

θ (1 − λ)x1 + λx2 ≤ θ x1 ≤ α.
Do đó (1 − λ)x1 + λx2 ∈ Λα và Λα là tập lồi.
Định nghĩa 1.3.5. Cho θ là một hàm xác định trên Γ ⊂ Rn . Khi đó một
điểm x ∈ Γ được gọi là cực tiểu địa phương (local minimum) hay cực đại
địa phương (local maximum) của θ nếu tồn tại một hình cầu mở Bδ (¯
x) xung
quanh x với bán kính δ > 0

x ∈ Bδ (¯
x) ∩ Γ ⇒ θ(¯
x) ≤ θ(x)

(local minimum),

x ∈ Bδ (¯
x) ∩ Γ ⇒ θ(x) ≤ θ(¯
x)

(local maximum).

Định lý 1.3.6. Cho θ là một hàm xác định trên tập lồi Γ ⊂ Rn , đặt x ∈ Γ
là cực tiểu địa phương (cực đại địa phương). Nếu θ là tựa lồi chặt tại x, thì

θ(x) sẽ là cực tiểu toàn cục (cực đại toàn cục) của θ trên Γ.
Chứng minh. Nếu x là cực tiểu địa phương (cực đại địa phương), thì tồn tại
một hình cầu Bδ (x) sao cho

x ∈ Bδ (x) ∩ Γ ⇒ θ(x) ≤ θ(x).
Giả sử tồn tại x ∈ Γ nhưng x ∈
/ Bδ (x) sao cho θ(x) < θ(x).
Theo tính tựa lồi chặt của θ tại x và tính lồi của Γ ta có:

θ[(1 − λ)x + λx] < θ(x),
Nhưng vì λ <

0 < λ < 1.

δ
, nên ta có:
||x − x||
(1 − λ)x + λx ∈ Bδ (x) ∩ Γ.
15


Và do đó

θ(x) ≤ θ[(1 − λ)x + λx],

1.3.3

0<λ<

δ
.
||x − x||

Đạo hàm và dưới vi phân của hàm tựa lồi

Định lý 1.3.7. Cho Γ là một tập mở trên R và đặt θ là một hàm khả vi
trên Γ. Khi đó

x1 , x2 ∈ Γ
θ là khả vi

và θ x2 ≤ θ x1 ⇒ ∇θ x1

x2 − x1 ≤ 0

và tựa lồi tại x1

Γ là lồi , θ là khả vi trên Γ
θ tựa lồi trên Γ ⇐

x1 , x2 ∈ Γ

⇒ ∇θ x1

x2 − x1 ≤ 0

θ x2 ≤ θ x1
Chứng minh. “ ⇒” Nếu x1 = x2 trường hợp này là tầm thường.
Giả sử rằng x1 = x2 . Do Γ là tập mở, khi đó tồn tại hình cầu mở Bδ (x1 )
δ
quanh x1 ⊂ Γ. Thì với mỗi µ sao cho 0 < µ < 1 và µ <
, ta có:
||x2 − x1 ||

x = x1 + µ(x2 − x1 ) = (1 − µ)x1 + µx2 ∈ Bδ (x1 ) ⊂ Γ
thì

θ(x2 ) ≤ θ(x1 ) ⇒ θ(x) ≤ θ(x1 )
⇒

θ[(1 − λ)x1 + λx] ≤ θ(x1 )
0<λ≤1
λ∇θ(x1 )(x − x1 ) + α[x1 , λ(x − x1 )]λ x − x1 ≤ 0

⇒

0<λ≤1
lim α[x1 , λ(x − x1 )] = 0

λ→0

16


⇒

∇θ(x1 )(x − x1 ) + α[x1 , λ(x − x1 )] x − x1 ≤ 0
0<λ≤1

⇒ ∇θ(x1 )(x − x1 ) ≤ 0, (λ → 0)
⇒ ∇θ(x1 )(x2 − x1 ) ≤ 0, (µ > 0).
“ ⇐” Đặt x1 , x2 ∈ Γ và θ(x2 ) ≤ θ(x1 ) sao cho

(x1 , x2 ) = {x|x = (1 − λ)x1 + λx2 , 0 < λ < 1}

và

Ω = {x|θ(x1 ) < θ(x), x ∈ (x1 , x2 )}.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra tính tựa lồi của θ trên Γ bằng cách chỉ ra rằng Ω là tập
rỗng.
Thật vậy giả sử rằng tồn tại x ∈ Ω.
Do θ(x2 ) ≤ θ(x1 ) < θ(x) với x ∈ Ω, theo giả thiết của định lý ta có:

∇θ(x)(x1 − x) ≤ 0,

(x ∈ Ω)

∇θ(x)(x2 − x) ≤ 0,

(x ∈ Ω).

và

Do 0 < λ < 1, điều đó kéo theo ∇θ(x)(x2 − x1 ) = 0,

(x ∈ Ω).

Và do θ(x1 ) < θ(x) và θ là liên tục trên Γ suy ra Ω là tập mở đối với (x1 , x2 ),
nó chứa x do đó tồn tại x3 = (1 − µ)x + µx1 ,

0 < µ ≤ 1, sao cho x3 là

điểm đóng của Ω, suy ra θ(x3 ) = θ(x1 ). Vậy với x ∈ Ω ta có:

0 < θ(x) − θ(x1 ) = θ(x) − θ(x3 )∇θ(x)(x − x3 ) = µ∇θ(x)(x − x1 ).

Hơn nữa

x = (1 − λ)x1 + λx2 với mọi λ, 0 < λ < 1,
17


nên

0 < µ∇θ(x)(x − x1 ) = µλ∇θ(x)(x2 − x1 ) với mọi λ > 0, µ > 0.
Do x ∈ Ω, ta suy ra mâu thuẫn.
Vậy

∇θ(x)(x2 − x1 ) = 0, với mọi (x ∈ Ω).

Định nghĩa 1.3.8. Cho θ là một hàm khả vi trên một tập mở Γ ⊂ Rn . θ
được gọi là giả lồi tại x ∈ Γ nếu nó phân biệt tại x và thỏa mãn


x∈Γ
⇒ θ(x) ≥ θ(x)

∇θ(x)(x − x) ≥ 0

θ được gọi là giả lồi trên Γ nếu nó là giả lồi tại mỗi điểm x ∈ Γ.
Định lý 1.3.9. Cho θ là một hàm khả vi trên tập mở Γ ⊂ Rn và x ∈ Γ.
Khi đó ta có:
(i) Nếu Γ là lồi, thì

θ(x) = min θ(x) ⇒ ∇θ(x)(x − x) ≥ 0 với mọi x ∈ Γ,
x∈Γ

θ(x) = max θ(x) ⇒ ∇θ(x)(x − x) ≤ 0 với mọi x ∈ Γ.
x∈Γ

(ii) Nếu θ là giả lồi tại x. Thì

θ(x) = min θ(x) ⇐ ∇θ(x)(x − x) ≥ 0 với mọi x ∈ Γ,
x∈Γ

θ(x) = max θ(x) ⇐ ∇θ(x)(x − x) ≤ 0 với mọi x ∈ Γ.
x∈Γ

Chứng minh. (i) Đặt x là một điểm thuộc Γ. Do Γ là lồi nên

(1 − λ)x + λx ∈ Γ với 0 ≤ λ ≤ 1.
18