De thi hoc sinh gioi lop 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (105.09 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phòng Giáo dục & Đào tạo

___________________ Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010

Môn toán 9

Thời gian làm bài 150 phút
(không kể thời gian giao đề)

__________________________________

§Ị thi gåm 01 trang
Họ và tên thí sinh:... Chữ ký giám thị 1...

Số báo danh:... Chữ ký giám thị 2...

Bài 1 (4 điểm):

Cho biÓu thøc





5 2

3 2

4 3 7 12

x

x x

A

x x x x



 

  

    víi x0; x 9; x 16

a) Rót gän biĨu thøc A.

b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
 Bài 2 (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y là ẩn, a là tham số):

2
2 1

x ay

ax y

 







a) Giải hệ phơng trình theo tham số a.

b) Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mãn bt ng
thc x0y0 < 0.

Bài 3 ( 3,5 điểm):

Cho biÕt:

1 1 1

z x y

 

   

  vµ x > 0; y > 0. Chøng minh r»ng: x z  z y  x y

Bài 4 (5 điểm):

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn tâm O đờng kính AC. Trên tia AB lấy điểm D
sao cho AD = 3AB. F là giao điểm của DC với đờng tròn tâm O (B và F cùng nằm trên
nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AC). Đờng thẳng Dy vng góc với DC tại D, cắt

tiếp tuyến Ax của đờng tròn tâm O tại E. H là giao điểm của AF với BC, M là giao
điểm của DH với AC.

a) Chøng minh tø gi¸c AEDH là hình bình hành.
b) Chứng minh tam giác BED là tam giác cân.

c) Gọi N là giao điểm của DM với BF. Chứng minh BN.MF = NF.BM
Bài 5 (3 điểm):

Cho ABC,



BAC



2 





0 0

0  90

; AD là tia phân giác của BAC(D BC ).
Chứng minh r»ng:

. .sin
2

ABD

S  AB AD 

sin

2 .
BC
AB AC


================== Hết =================

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phòng Giáo dục & Đào tạo Đáp án Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010
Môn toán 9

__________________________________
 Bài 1 (4 ®iĨm):

a) Rót gän biĨu thøc A.

Víi x0; x 9; x 16 ta cã:







 



5 2

3 2

4 3 4 3

x

x x

A

x x x x



 

  

   

0,5 ®



 





 



3 3 2 4 5 2

4 3

x x x x x

x x

      



  0,5 ®



 



9 2 8 5 10

4 3

x x x x

x x

     



 

0,5 ®



 



3 9 3

4 3

x

x x

 

 



  0,5 ®

b) Tìm số ngun x để biểu thức A có giá trị ngun.

Víi x lµ số nguyên và x0; x

9; x 16 thì A có giá trị là số nguyên khi và

chỉ khi 4 x là ớc của 3 0,5 đ

Do ú 4 x nhận các giá trị -3; -1; 1; 3 0,5 đ
Khi đó x nhận các giá trị 49; 25; 9; 1 0,75 đ
Vì x



9 nên a nhân các giá trị 1; 25; 49. 0,25 đ
Bài 2 (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y là ẩn, a là tham số):

2
2 1

x ay

ax y

a) Giải hệ phơng trình theo tham sè a.

Từ pt (1) ta có x = 2 - ay thay vào pt (2) ta đợc (2 + a2)y = 2a - 1 0,5 đ

V× a2+ 2 0 víi mäi a nªn 2
2 1
a 2

a

y 

 0,5 ®

Tìm đợc 2 2

(2 1) 4

2 2

a 2 a 2

a a a

x  ay

0,5 đ

Vậy với mọi giá trị của a. Hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhÊt:

2
4
a 2

2 1
a 2

a

x

a
y







 




 

 



0,5 ®

b) Tìm số ngun a lớn nhất để hệ ph ơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mãn bất

đẳng thức x0y0 < 0.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

y
x

E

A

N
I

B
H

M O C

F
D

V× a2+ 2 > 0 víi mäi a, hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mÃn:

x0y0 < 0  (a + 4)(2a – 1) < 0 0,5 ®
4 0

2 1 0

a
a

 


 

 

 (3) hc

4 0
2 1 0

a
a

 




 

 (4) 0,5 ®

Giải (3) ta đợc

4
1
2

a
a

 








 0,5 ®

Giải (4) ta đợc -4 < a <
1

2 0,5 ®

HƯ phơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mÃn x0y0 < 0  - 4 < a <
1

2 (5) 0,25 đ
=> Số nguyên lớn nhất thoả mÃn (5) là a = 0 0,25 đ
Bài 3 ( 3,5 điểm):

Cho biÕt:

1 1 1

z x y

 

   

  vµ x > 0; y > 0. Chøng minh r»ng: x z  z y  x y .

1 1 1

z x y

 

   

  vµ x > 0; y > 0 => z < 0 vµ xy + yz + xz = 0 0,5 ®

=> z2= z2+ xy + yz + xz = z(x + z) + y(x + z) = (x + z)(y + z) (1) 0,5 ®

=> (x + z)(y + z) > 0 0,25 ®

Tõ

1 1 1

z x y

 

   

  =>

1 1 1

y z

x z y yz

  

     

  => 0

y z
yz




Mµ yz < 0 nªn y + z > 0 => x + z > 0

0,25 đ
0,25 đ
Vì z < 0 nên từ (1) =>



x z y z

 





 z 0,5 ®
2z + 2



x z y z

 





0 0,5 ®
(x + z) + (y + z) + 2



x z y z

x + y 0,25 đ
Vì x + z và y + z là những số dơng nªn ta cã:



 



2 2

x z  y z  x y 0,25 ®

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

D
N
M

B C

A

Bài 4 (5 điểm):

a) Tứ giác AEDH là hình bình hành.
Kéo dài DH cắt AC t¹i M

Chỉ ra đợcEA AC DM;  AC AF; DC (0,75 đ)
Chỉ ra đợc AE//DH; AH//DE (0,25 đ)
Suy ra tứ giác AEDH là hình bình hành. (0,25 đ)
b) Tam giác BED là tam giác cân.

Gäi I là trung điểm của BD. (0,25 đ)

Tứ giác AEDH là hình bình hành => DE = AH (0,25 đ)
AD = 3AB và I là trung ®iĨm cđa BD => AB = BI = ID (0,25 đ)
Tứ giác AEDH là hình bình hành => DE // AH => EDI HAB (0,25 ®)

Suy ra đợcEDI HAB (0,25 đ)

Suy ra DIE ABH mà ABH 900=>DIE900=> EIBD (0,25 đ)

BED

cú EI va là đờng cao vừa là đờng trung tuyến nên BED cân (0,25 đ)
c) Chứng minh BN.MF = NF.BM

Chøng minh

DB DH

DBH DMA

DM DA

    DA DH

DM DB

(0,5 đ)

ADH vàMDB có

DA DH

DM DB ; Chung D => ADH MDB (0,25 ®)

=> DAH DMB (1) (0,25 đ)

Tơng tự nh chứng minh trên ta cã DMF DCH (2) (0,25 ®)
Mµ DAH DCH (cïng phơ víi ADC) (3) (0,25 ®)
Tõ (1); (2); (3) => DMF DMB=> MN là tia phân giác của gãc BMF (0,25 ®)

BMF có MN là đờng phân giác =>

. .

BN BM

BN MF NF BM

NF MF (0,25 đ)

Bài 5 (3 điểm):
a)

. .sin
2

ABD

S AB AD

Kẻ BM vuông góc với AD tại M

AD là phân giác của BAC => BAD =DAC = 0,25 ®

Chỉ ra đợc

1
.
2

ABD

S  BM AD

(1) 0,5 ®

Chứng minh đợc BM = AB.sin (2) 0,25 đ

Tõ (1); (2) =>

. .sin
2

ABD

S  AB AD 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b)
sin

2 .
BC

AB AC

Kẻ CN vuông góc với AD tại N

Cú c BM = AB.sin ; CN= AC.sin => BM + CN = (AB + AC).sin 0,5 đ

Có đợc BM + CN  BC 0,5 đ

=> (AB + AC).sin  BC =>

sin BC

AB AC

0,25 đ

Mà AB AC 2 AB AC. 0,25 ®

=> 2 .

BC BC

AB AC  AB AC => sin 2 .

BC
AB AC

 

0,25 ®
* Chó ý:

+ Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tơng ứng.

+ Các bớc tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bớc liên quan với 
nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó.

</div>

De thi hoc sinh gioi lop 9

<b>Môn toán 9</b>







<i>BAC</i>



2













 





 

 

 

 





 





 





 







 





 







 



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về