Giáo trình Toán tài chính (Nghề: Kế toán doanh nghiệp và Tài chính doanh nghiệp) - CĐ Kinh tế Kỹ thuật TP.HCM

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


GIÁO TRÌNH
MƠN HỌC: TỐN TÀI CHÍNH
NGÀNH: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP
VÀ TÀI CHÍNH DOANH NGHIỆP
TRÌNH ĐỘ: TRUNG CẤP

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2017


ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


GIÁO TRÌNH
NGÀNH: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP
VÀ TÀI CHÍNH DOANH NGHIỆP
TRÌNH ĐỘ: TRUNG CẤP

THÔNG TIN CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI
Họ tên: Nguyễn Thị Mai Thảo
Học vị: Thạc sỹ
Đơn vị: Khoa Kế tốn Tài chính
Email:

TRƯỞNG KHOA

TỔ TRƯỞNG

CHỦ NHIỆM

BỘ MƠN

ĐỀ TÀI

HIỆU TRƯỞNG
DUYỆT

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2017


TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể được phép
dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo.
Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh
thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.


LỜI GIỚI THIỆU
Tốn Tài chính là một mơn học nhằm giúp các bạn học sinh các ngành kinh tế, tài
chính, kế toán nắm bắt được một số kiến thức cơ bản của tốn tài chính với các ứng dụng
thực tế trong tài chính, qua đó có thể tiếp tục tìm hiểu sâu thêm về lĩnh vực này. Nhằm
phục vụ cho học sinh ngành tài chính và kế tốn nên quyển giáo trình này có tính chất bổ
túc các kiến thức về tài chính và đồng thời cố gắng giảm nhẹ hình thức tốn học cho học
sinh dễ tiếp cận và tiếp thu tốt hơn.
Cấu trúc của quyển giáo trình này gồm 6 chương được tóm tắt lại nội dung để phù

hợp với chương trình mơn học bậc trung cấp, là tài liệu cần thiết cho học sinh ngành kinh
tế, tài chính, kế tốn ứng dụng vào chương trình đào tạo và giảng dạy của Trường Cao
đẳng Kinh tế kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh.
Chương 1: Lãi đơn
Chương 2: Lài kép
Chương 3: Chiết khấu giấy tờ có giá
Chương 4: Tài khoản vãng lai
Chương 5: Niên kim
Chương 6: Vay vốn
Trong mỗi chương ngồi nội dung lý thuyết cịn có ví dụ cụ thể để học sinh dễ dàng
nắm bắt kiến thức nhanh hơn, và sau mỗi chương cịn có phần bài tập để học sinh vận
dụng kiến thức đã học để giải các bài tập qua đó tiếp thu kiền thức sâu hơn.
Mặc dù rất cố gắng, tuy nhiên giáo trình khí tránh khỏi những sai sót. Rất mong
nhận được ý kiến đóng góp của q bạn đọc để Giáo trình này được hồn thiện hơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày….. tháng …… năm 20….
Chủ biên: Nguyễn Thị Mai Thảo

1


MỤC LỤC
LỜI GIỚI THIỆU ................................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1: LÃI ĐƠN ..................................................................................................... 10
1.1. Phương pháp lãi đơn .................................................................................................... 10
1.2. Giải thích các khái niệm cơ bản .................................................................................. 10
1.3. Các ký hiệu được sử dụng trong chương ..................................................................... 11
1.4. Dẫn nhập phương pháp lãi đơn ................................................................................... 11
1.4.1. Bài toán đặt vấn đề ................................................................................................... 11
1.4.2. Lãi suất tương đương ................................................................................................ 13
1.4.3 Một số công thức cơ bản vận dụng............................................................................ 14

1.4.3.1 Tính giá trị vốn đầu tư ban đầu Co ......................................................................... 14
1.4.3.2. Tính thời hạn đầu tư n ........................................................................................... 15
1.4.3.3 Tính lãi suất r .......................................................................................................... 16
1.5. Lãi suất trung bình ....................................................................................................... 16
1.5.1. Lãi suất trung bình của một khoản vốn gốc cố định ................................................ 16
1.5.1.1. Bài toán đặt vấn đề ................................................................................................ 16
1.5.1.2.Bài toán minh họa ................................................................................................... 16
1.5.2. Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn khác nhau ................................................ 17
1.5.2.1. Bài toán đặt vấn đề ................................................................................................ 17
1.5.2.2. Bài toán minh họa .................................................................................................. 18
1.6. Lãi suất thực ................................................................................................................ 19
1.6.1. Trường hợp trả lãi đầu kỳ ......................................................................................... 19
1.6.2. Trường hợp lãi ghép định kỳ .................................................................................... 19
1.7. Bài tập chương 1 .......................................................................................................... 21
CHƯƠNG 2: LÃI KÉP ...................................................................................................... 22
2.1. Phương pháp lãi kép .................................................................................................... 22
2.2. Dẫn nhập phương pháp lãi kép .................................................................................... 22
2.2.1. Bài toán đặt vấn đề ................................................................................................... 22
2.2.2. Lãi suất tương đương ................................................................................................ 23
2.2.3. Các công thức cơ bản ............................................................................................... 24


2.2.3.1. Tính giá trị vốn đầu tư ban đầu C0 ........................................................................ 24
2.2.3.2 Tính mức lãi suất đầu tư r ....................................................................................... 25
2.2.3.3. Tính thời hạn đầu tư n ........................................................................................... 25
2.2.4. Lãi suất trung bình .................................................................................................... 26
2.2.5. Lãi suất thực hay lãi suất hiệu dụng ......................................................................... 27
2.2.5.1. Trường hợp ghép lãi với tần suất nhiều lần trong năm ......................................... 27
2.2.5.2. Trường hợp thanh tốn lãi đầu kỳ ......................................................................... 28
2.2.5.3. Trường hợp có chi phí ngồi lãi ............................................................................ 28

2.3. So sánh lãi đơn và lãi kép ............................................................................................ 29
2.3.1. Lãi kép đắt hơn lãi đơn ............................................................................................. 29
2.3.2 Vận dụng phép toán lãi đơn và lãi kép ...................................................................... 31
2.3.2.1 Lựa chọn kỳ hạn tiền gởi ........................................................................................ 31
2.3.2.2 Phương pháp xây dựng biểu lãi suất tiết kiệm ....................................................... 32
2.4. Bài tập chương 2 .......................................................................................................... 33
CHƯƠNG 3: CHIẾT KHẤU GIẤY TỜ CÓ GIÁ ............................................................. 36
3.1. Tiếp cận các khái niệm cơ bản .................................................................................... 36
3.2. Các giấy tờ ngắn hạn thường được chiết khấu ............................................................ 37
3.2.1. Thương phiếu............................................................................................................ 37
3.2.2.Tín phiếu kho bạc ...................................................................................................... 37
3.2.3. Tín phiếu ngân hàng trung ương .............................................................................. 38
3.2.4. Chứng chỉ tiền gởi .................................................................................................... 38
3.2.5. Sổ tiết kiệm ............................................................................................................... 38
3.3. Chiết khấu thương phiếu ............................................................................................. 38
3.3.1. Các ký hiệu: .............................................................................................................. 38
3.3.2. Chiết khấu thương mại ............................................................................................. 38
3.3.2.1. Phí chiết khấu e ..................................................................................................... 38
3.3.2.2. Thời giá thương phiếu a ........................................................................................ 39
3.3.3. Chiết khấu hợp lý ..................................................................................................... 39
3.3.4. Thương phiếu tương đương ...................................................................................... 40
3.3.4.1. Xác định ngày đáo hạn .......................................................................................... 40


3.3.4.2. Xác định ngày ngang giá ....................................................................................... 41
3.3.5. Thời gian đáo hạn trung bình ................................................................................... 41
3.3.6. Lãi suất chiết khấu hiệu dụng ................................................................................... 42
3.3.7. Giá trị trao đổi chiết khấu (agio) .............................................................................. 42
3.3.8. Tỷ suất chi phí chiết khấu thực tế ............................................................................. 43
3.4. Chiết khấu tín phiếu kho bạc ....................................................................................... 44

3.4.1. Giá phát hành tín phiếu kho bạc: .............................................................................. 44
3.4.2. Lãi suất tín phiếu kho bạc ......................................................................................... 45
3.4.3. Tỷ suất sinh lời của tín phiếu.................................................................................... 45
3.4.4. Giá bán lại tín phiếu ................................................................................................. 46
3.5. Chiết khấu chứng chỉ tiền gửi và sổ tiết kiệm ............................................................. 46
3.5.1. Chứng chỉ tiền gửi (CDs): ........................................................................................ 46
3.5.2. Sổ tiết kiệm (SB) ...................................................................................................... 47
3.6. Bài tập chương 3 .......................................................................................................... 48
CHƯƠNG 4: TÀI KHOẢN VÃNG LAI ........................................................................... 51
4.1. Các khái niệm liên quan .............................................................................................. 51
4.2. Tài khoản vãng lai ....................................................................................................... 51
4.2.1. Các nghiệp vụ của tài khoản vãng lai ....................................................................... 51
4.2.2. Số dư trên tài khoản vãng lai .................................................................................... 51
4.2.3. Các yếu tố của tài khoản vãng lai ............................................................................. 51
4.2.3.1. Lãi suất .................................................................................................................. 52
4.2.3.2. Ngày khóa sổ tài khoản ......................................................................................... 52
4.2.3.3. Ngày giá trị ............................................................................................................ 52
4.3. Phương pháp trình bày tài khoản vãng lai ................................................................... 52
4.3.1. Tài khoản vãng lai có lãi suất qua lại và bất biến..................................................... 52
4.3.1.1. Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp trực tiếp ..................................... 53
4.3.1.2. Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp gián tiếp ..................................... 54
4.3.1.3. Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp Hambourg .................................. 54
4.3.1.4. Trình bày theo thứ tự thời gian của ngày giá trị .................................................... 55
4.3.2. Tài khoản vãng lai có lãi suất không qua lại ............................................................ 56


4.4. Tài khoản tiền gởi thanh toán ...................................................................................... 58
4.5. Tài khoản cho vay luân chuyển ................................................................................... 59
4.5.1. Tài khoản cho vay ln chuyển khơng thu phí ......................................................... 59
4.5.1.1. Trường hợp tính lãi vào ngày cuối tháng .............................................................. 59

4.5.1.2. Trường hợp tính lãi vào một ngày định kỳ trong tháng ........................................ 60
4.5.2. Tài khoản cho vay ln chuyển có thu phí ............................................................... 60
4.6. Bài tập chương 4 .......................................................................................................... 61
CHƯƠNG 5: NIÊN KIM ................................................................................................... 63
5.1. Cơ sở lý thuyết thời giá tiền tệ .................................................................................... 63
5.2. Giá trị tương lai và giá trị hiện tại ............................................................................... 63
5.3. Phân biệt khoản tiền và chuỗi tiền ............................................................................... 63
5.3.1. Thời điểm phát sinh khoản tiền ................................................................................ 63
5.3.2. Thời điểm phát sinh chuỗi tiền ................................................................................. 63
5.3.3. Phân biệt chuỗi tiền .................................................................................................. 63
5.4. Các ký hiệu .................................................................................................................. 64
5.5. Giá trị tương lai của một khoản tiền ............................................................................ 65
5.5.1. Đặt vấn đề ................................................................................................................. 65
5.5.2. Giá trị tương lai trong điều kiện lãi suất thay đổi..................................................... 65
5.5.3 Giá trị tương lai của 1 khoản tiền 1 đồng. ................................................................. 65
5.5.4 Giá trị tương lai khi tần suất ghép lãi nhhiều lần trong năm ..................................... 66
5.6 Giá trị hiện tại của một khoản tiền ............................................................................... 66
5.6.1. Giá trị hiện tại trong điều kiện lãi suất thay đổi ....................................................... 67
5.6.2. Giá trị hiện tại của 1 khoản tiền 1 đồng ................................................................... 67
5.6.3. Giá trị hiện tại khi tần suất ghép lãi nhiều lần trong năm ........................................ 67
5.7. Giá trị tương lai của chuỗi tiền .................................................................................... 68
5.7.1. Giá trị tương lai của chuỗi tiền cuối kỳ tổng quát .................................................... 68
5.7.2. Giá trị tương lai của chuỗi tiền đều .......................................................................... 69
5.7.3. Chuỗi tiền đều ghép lãi liên tục ................................................................................ 69
5.7.4. Giá trị tương lai của chuỗi tiền 1 đồng ..................................................................... 70
5.7.5. Tính giá trị kỳ khoản cố định a ................................................................................. 70


5.7.6. Tính số kỳ khoản n ................................................................................................... 70
5.7.7. Tính lãi suất của chuỗi tiền đều r.............................................................................. 71

5.7.8. Giá trị tương lai của chuỗi tiền phát sinh đầu kỳ ..................................................... 72
5.7.8.1. Trường hợp chuỗi tiền tổng quát ........................................................................... 72
5.7.8.2. Giá trị tương lai của chuỗi tiền đều đầu kỳ ........................................................... 72
5.8. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền ...................................................................................... 72
5.8.1. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tổng quát ................................................................... 73
5.8.2. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền đều ............................................................................. 73
5.8.3. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền đều 1 đồng................................................................. 73
5.8.4. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền đều vô hạn ................................................................. 74
5.8.5. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền đều ghép lãi liên tục .................................................. 74
5.8.6. Giá trị hiện tại chuỗi tiền đều vô hạn ghép lãi liên tục ............................................. 75
5.8.7 Giá trị hiện tại của chuỗi tiền bất kỳ.......................................................................... 75
5.8.8. Tính giá trị chuỗi tiền đều a ...................................................................................... 76
5.8.9. Tính số kỳ khoản n ................................................................................................... 76
5.8.10. Lãi suất của chuỗi tiền đều r ................................................................................... 77
5.8.11. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền đầu kỳ...................................................................... 77
5.9. Bài tập chương 5 .......................................................................................................... 78
CHƯƠNG 6: VAY VỐN ................................................................................................... 81
6.1. Các phương thức trả nợ ............................................................................................... 81
6.2. Trả nợ vay và lãi một lần khi đáo hạn ......................................................................... 81
6.2.1. Vay ngắn hạn khơng ghép lãi ................................................................................... 81
6.2.2. Vay ngắn hạn có ghép lãi ......................................................................................... 82
6.2.3. Vay dài hạn ............................................................................................................... 82
6.2.3.1. Ghép lãi hàng năm ................................................................................................. 82
6.2.3.2. Ghép lãi nhiều hơn 1 lần trong năm ...................................................................... 83
6.2.4. Trả lãi định kỳ .......................................................................................................... 83
6.2.5. Trả lãi theo phương thức vốn và lãi chia đều ........................................................... 84
6.3. Trả nợ theo phương thức dư nợ giảm dần ................................................................... 84
6.3.1. Các ký hiệu ............................................................................................................... 84

6.3.2. Bảng kế hoạch trả nợ ................................................................................................ 85
6.3.2.1. Cấu trúc.................................................................................................................. 85
6.3.2.2. Đặc điểm của bảng kế hoạch trả nợ ....................................................................... 85
6.3.3. Trả nợ theo phương thức vốn gốc cố định ............................................................... 86
6.3.3.1. Đặt trưng của phương thức trả nợ cố định phần vốn gốc ...................................... 86
6.3.3.2. Tính các chỉ tiêu tổng ............................................................................................ 88
6.3.4. Trả nợ theo phương thức kỳ khoản cố định ............................................................. 91
6.3.4.1. Xác định tổng số tiền trả mỗi kỳ ........................................................................... 91
6.3.4.2. Xác định số nợ gốc trả trong kỳ đầu tiên............................................................... 91
6.3.4.3. Xác định số nợ gốc trả trong các kỳ sau ................................................................ 92
6.3.4.4. Quan hệ giữa phần vốn gốc và tổng số tiền trả nợ mỗi năm ................................. 93
6.3.4.5. Xác định tổng số nợ gốc trả giữa hai kỳ ................................................................ 93
6.3.4.6. Xác định tổng số nợ gốc trả trong m đầu kỳ ......................................................... 94
6.3.4.7. Xác định số dư nợ vào đầu năm thứ m .................................................................. 94
6.3.4.8. Xác định số lãi trong năm thứ m ........................................................................... 95
6.3.4.9. Xác định tổng số lãi trả giữa hai kỳ ....................................................................... 96
6.3.4.10. Xác định tổng số lãi trả giữa hai kỳ ..................................................................... 96
6.4. Bài tập chương 6 .......................................................................................................... 98
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 100


GIÁO TRÌNH MƠN HỌC
Tên mơn học: Tốn Tài chính
Mã mơn học: MH2104070
Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trị của mơn học:
- Vị trí: Mơn học Tốn tài chính thuộc nhóm các mơn học cơ sở được bố trí giảng
dạy sau khi đã học xong các môn học chung.
- Tính chất: Mơn học Tốn tài chính là mơn học bắt buộc cung cấp cho sinh viên các
kiến thức về nền tảng và cách thức ứng dụng thực tế liên quan đến tài chính chủ yếu
nghiên cứu các vấn đề về lãi suất, tính tốn thời giá của tiền tệ, các phương thức chiết

khấu chứng từ có giá, nội dung liên quan đến tài khoản vãng lai và tính tốn phương thức
đầu tư, cách thức trả nợ để áp dụng vào thực tiễn tại doanh nghiệp.
Mục tiêu của môn học:
+ Về kiến thức:
- Trình bày được phương pháp, khái niệm cơ bản liên quan đến việc tính lãi.
- Trình bày được phương pháp tính lãi kép để tính tiền lãi phát sinh trong trường hợp
lãi nhập vốn.
- Trình bày được các khái niệm cơ bản liên quan đến giấy tờ có giá.
- Trình bày được các khái niệm, phương pháp liên quan đến tài khoản vãng lai, tài
khoản tiền gởi thanh tốn và tài khoản cho vay ln chuyển.
- Trình bày được giá trị tương lai và giá trị hiện tại.
- Trình bày được các phương thức trả nợ vay mà ngân hàng đang áp dụng.
+Về kỹ năng:
- Tính tốn tình huống liên quan lãi đơn, các chỉ số lãi đơn, tính lãi suất trung bình
và lãi suất thực.
- Tính toán được giá trị vốn ban đầu, mức lãi suất đầu tư, thời hạn đầu tư, lãi suất
thay đổi, lãi suất trung bình và lãi suất thực của một khoản vốn.
- So sánh được điểm khác biệt giữa lãi đơn và lãi kép.
- Tính tốn trị giá chiết khấu của các giấy tờ có giá như: thương phiếu, tín phiếu
Kho bạc, chứng chỉ tiền gửi và sổ tiết kiệm.
- Tính toán được tiền lãi tiền của tài khoản vãng lai, tài khoản tiền gửi thanh toán và
tài khoản cho vay luân chuyển.


- Phân biệt khoản tiền và chuỗi tiền.
- Tính tốn được giá trị tương lai, giá trị hiện tại của một khoản tiền và một chuỗi
tiền.
- Tính tốn được khoản nợ vay phải trả khi đáo hạn hợp đồng trong trường hợp trả
nợ gốc và lãi một lần.
- Tính tốn được khoản nợ phải trả theo phương thức dư nợ giảm dần.

- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm:
+ Người học tiếp nhận và nghiên cứu đầy đủ nội dung bài giảng, rèn luyện kỹ năng
trình bày tóm tắt nội dung chính trong từng chương.
+ Rèn luyện tư duy Logic hình thành phương pháp học chủ động, nghiêm túc, nhớ
lâu về phương pháp tính tốn, cách xử lý tình huống từ các ví dụ, bài tập.


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính
CHƯƠNG 1: LÃI ĐƠN
Giới thiệu:

Trong chương 1 bao gồm các nội dung: Phương pháp lãi đơn; Giải thích các khái niệm cơ
bản; Các ký hiệu được sử dụng trong chương; Dẫn nhập phương pháp lãi đơn; Lãi suất trung
bình; Lãi suất thực.
Mục tiêu:
- Trình bày được phương pháp, khái niệm cơ bản liên quan đến việc tính lãi.
- Tính tốn tình huống liên quan lãi đơn, các chỉ số lãi đơn, tính lãi suất trung bình và lãi
suất thực.
Nội dung chính:
1.1. Phương pháp lãi đơn
Phương pháp lãi đơn được sử dụng để tính lãi của các kỳ trên cơ sở giá trị vốn gốc ban
đầu trong suốt tất cả các kỳ này. Hay nói cách khác, phương pháp lãi đơn chỉ tính lãi trên vốn
gốc mà khơng tính lãi trên lãi. Điều này có nghĩa là trong điều kiện lãi suất cố định, tiền lãi sinh
ra của các kỳ sẽ bằng nhau nếu tính theo phương pháp lãi đơn.
Thông thường phương pháp lãi đơn được sử dụng trong các phép tốn tài chính ngắn hạn,
nhưng không nhất thiết khi nào cũng phải như vậy.
1.2. Giải thích các khái niệm cơ bản
Vốn gốc: Là số tiền mà ngân hàng cho các tổ chức, doanh nghiệp hay cá nhân vay. Số

tiền này được thể hiện trong hợp đồng tín dụng. Vốn gốc cịn được hiểu là số tiền mà nhà đầu tư
bỏ ra để thực hiện hay tham gia một dự án đầu tư nào đó.
Vốn thu hồi: Vốn thu hồi có quan hệ mật thiết với vốn gốc, nó thể hiện số vốn gốc sau
một quá trình đầu tư nay đáo hạn mà nhà đầu tư thu hồi lại.
Tiền lãi: Cịn gọi là lợi tức, chính là số tiền lời sinh ra từ vốn gốc. Thuật ngữ tiền lãi
không nên bị nhầm lẫn với thuật ngữ lãi suất.
Lãi suất: Cịn gọi là lợi suất, chính là tỷ lệ giữa tiền lãi với giá trị vốn gốc. Lãi suất
thường được thể hiện dưới dạng một số % hoặc cũng có thể là số thập phân.
Thời hạn: Là khoảng thời gian đầu tư vốn. Đơn vị thời hạn có thể là năm, nửa năm, quý,
tháng, tuần, ngày...

KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

10


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính

Kỳ khoản thứ i: Dúng để gọi tên kỳ i cụ thể nào đó, chẳng hạn i = 1 có nghĩa là kỳ khoản
thứ 1 tức là khoản tiền phát sinh đầu tiên hay số tiền trả nợ đầu tiên. Nếu kỳ khoản có đơn vị là
năm thì gọi là năm thứ 1, tương tự nếu i = 10 thì gọi là năm thứ 10.
1.3. Các ký hiệu được sử dụng trong chương
C0

Giá trị vốn gốc

Cn

Giá trị vốn thu hồi

Ii

Tiền lãi phát sinh trong kỳ thứ p

n

I
i 1

i

 I 2  ...  I n

Tổng lãi phát sinh từ kỳ thứ 1 đến kỳ thứ n

N

Số kỳ khoản (thời hạn đầu tư)

R

Lãi suất

re

Lãi suất hiệu dụng (lãi suất thực)

r

Lãi suất trung bình

1.4. Dẫn nhập phương pháp lãi đơn
1.4.1. Bài toán đặt vấn đề
Giả sử bạn có số vốn C0 dự kiến sẽ nhàn rỗi trong n tháng tới. Bạn quyết định gởi tiết
kiệm ngân hàng kỳ hạn n tháng để hưởng lãi suất r phần trăm 1 tháng. Hỏi số lãi bạn được
hưởng là bao nhiêu và khi hất hạn bạn được nhận tổng cộng bao nhiêu.
Tiền lãi phát sinh tháng thứ nhất:
Do vốn đầu tư tháng thứ nhất C0 nên:
I1  C0 r

Tiền lãi phát sinh trong tháng thứ hai:
Theo định nghĩa lãi đơn, tiền lãi sẽ chỉ tính trên vốn gốc C0 trong suốt các kỳ nên:
I 2  C0 r

Lập luận tương tự, tiền lãi tháng thứ i bất kỳ cũng sẽ bằng:
I i  C0 r

Và tiền lãi tháng cuối cùng cũng bằng:
I n  C0 r

KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

11


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính

Điều dễ dàng nhận thấy rằng tiền lãi của bất kỳ tháng nào cũng đều bằng giá trị vốn gốc
C0 nhân với lãi suất r, tức là: I1 = I2 ...= In=C0r
Như vậy tổng tiền lãi phát sinh trong suốt thời gian gởi tiết kiệm là:
n

I
i 1

i

 I1  I 2  ...I n  C0 r  C0 r  ...C0 r

Hay viết lại:
n

I
i 1

i

 nC0 r

(1.1)

Còn tổng số tiền bạn thu về khi hết hạn gởi gồm phần tiền vốn cộng với phần tiền lãi phát
sinh:
n

Cn  C0   I i  C0  nC0 r

i 1

Hay viết lại:
Cn  C0 (1  nr)

(1.2)

Ví dụ 1.1
Giả sử bạn có số vốn 100 triệu đồng và bạn dự kiến sẽ không dùng đến ít nhất là 6 tháng
tới. Bạn thấy lãi suất của ngân hàng A loại kỳ hạn 6 tháng là 1% một tháng. Nếu bạn quyết định
gởi vào ngân hàng A này thì tổng tiền lãi bạn được hưởng là bao nhiêu? Tính chung cả số tiền
gởi của bạn nữa thì sau 6 tháng gởi ngân hàng bạn có bao nhiêu tiền?
Giải:
Sử dụng công thức (1.1)
6

I
i 1

i

 nC0 r  6 x100.000.000 x0,01  6.000.000 triệu đồng

Sau đó lấy vốn gốc cộng lãi:
6

C6  C0   I i  100.000.000  6.000.000  106.000.000 triệu đồng
i 1

Hoặc bạn cũng có thể dùng cơng thức (1.2) để tính:

C6  C0 (1  nr)  100.000.000(1  6 x0,01)  106.000.000 triệu đồng

Ví dụ 1.2
Vào ngày 25/08/200X, bạn và ngân hàng ký một hợp đồng tín dụng với điều khoản như
sau: Số tiền vay 25 triệu đồng, thời hạn 9 tháng, lãi suất 1,2% một tháng. Lãi được tính theo
KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

12


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính

phương pháp lãi đơn, song 3 tháng sẽ thanh toán 1 lần. Đến ngày đáo hạn trả cả gốc lẫn lãi kỳ
cuối (nếu có). Bạn hãy cho biết số tiền sau mỗi 3 tháng phải trả là bao nhiêu? Ngày đáo hạn bạn
phải trả tổng cộng là bao nhiêu? Hãy thử lập bảng lịch trình trả nợ.
Giải:
Sau mỗi 3 tháng, bạn phải trả tổng số tiền lãi phát sinh trong 3 tháng. Do tiền lãi được
tính theo phương pháp lãi đơn nên tiền lãi mỗi tháng đều bằng nhau. Vận dụng cơng thức (1.1)
ta có:
3

6

9

I  I  I
i 1

i

i

4

i

 mC0 r  3x 25.000 .000 x0,012  900 .000 đồng

7

Vậy sau mỗi 3 tháng bạn phải trả tổng cộng 900.000 đồng
Đến ngày đáo hạn bạn phải trả số nợ gốc cộng với tiền lãi của kỳ 3 tháng thứ 3 (từ tháng
7 đến hết tháng 9) mà bạn chưa trả. Vậy tổng cộng bạn phải trả là:
9

C9  C0   I i  25.000.000  900.000  25.900.000 đồng
i 7

Bảng lịch trình trả nợ
Ngày

Trả gốc

Trả lãi

Tổng cộng

25/11/200X

-

900.000

900.000

25/2/200X+1

-

900.000

900.000

25/5/200X+1

25.000.000

900.000

25.900.000

25.000.000

2.700.000

27.700.000

Tổng cộng

1.4.2. Lãi suất tương đương
Hai mức lãi suất nào đó được gọi là tương đương khi chúng đều sinh ra hai mức lợi tức
như nhau từ cùng một số vốn đầu tư ban đầu sau một thời hạn nhất định.
Gọi r là lãi suất yết theo năm đã biết, rm là lãi suất theo tháng tương đương cần tìm.
Bảng 1.1. Bảng hệ số tương đương

1
k

r

Năm

Nửa năm

Quý

Tháng

Ngày

rk

(r )

(rsa )

(rq )

(rm )

( rd )

Năm (r)

1

2

4

12

360

1/2

1

2

6

180

Nửa năm
(rsa )

KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

13


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính
Q (rq )

1/4

½

1

3

90

1/12

1/6

1/3

1

30

1/360

1/180

1/90

1/30

1

Tháng
(rm )

Ngày ( rd )
Ví dụ 1.3

Bạn có số tiền 200 triệu đồng nhàn rỗi và bạn quyết định sẽ gởi tiết kiệm ngân hàng với
thời hạn 18 tháng. Biết lãi suất tiết kiệm là 12% một năm. Hỏi bạn sẽ nhận tổng cộng bao nhiêu
tiền khi đáo hạn?
Giải:
Áp dụng công thức (1.2)
Quy đổi lãi suất 12% một năm về 1 tháng tương đương ta có:
rm 

r 12%

 1%
12 12

Thay vào cơng thức (1.2) ta tính được số tiền thu về sau 18 tháng:
C18m  200.000.000 x(1  18 x0,01)  236.000.000 đồng

Vậy khi đáo hạn bạn nhận được 236 triệu đồng, trong đó 26 triệu đồng là tiền lãi, cịn lại là
tiền vốn của bạn
1.4.3 Một số công thức cơ bản vận dụng
1.4.3.1 Tính giá trị vốn đầu tư ban đầu Co
Từ công thức (1.2), chúng ta dễ dàng suy ra
C0 

Cn
1  nr

(1.4)

Hoặc từ cơng thức (1.1) suy ra:
n

C0 

I
i 1

i

nr

(1.5)

Ví dụ 1.5
Giả sử bạn muốn có được số tiền 15 triệu đồng sau 9 tháng nữa để mua chiếc xe honda
Wave α đi làm. Biết lãi suất ngân hàng hiện nay là 9% một năm. Vậy bây giờ bạn nên gởi tiết

kiệm bao nhiêu?

KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

14


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính
Giải:

Trong trường hợp này do đã biết trước giá trị vốn thu hồi nên chúng ta áp dụng cơng thức
(1.4) để tính. Kết quả tính được là:
C0 

15.000.000
 14.051 .522,25 đồng
0,09
1  9x
12

Như vậy, bây giờ bạn gửi 14 triệu đồng để sau 9 tháng nữa bạn có 15 triệu đồng mua xe
cho mình.
Ví dụ 1.6
Một số vốn mang đầu tư trong 20 tháng thu được khoản lợi tức 50 triệu đồng. Biết dự án
đó có tỷ suất sinh lợi (lãi suất) là 1,25% một tháng. Hãy xác định giá trị vốn đầu tư ban đầu?
Giải:
Áp dụng cơng thức (1.5) ta tính được:
C0 

50.000.000
 200.000.000 đồng
20 x0,0125

Vậy dự án có vốn đầu tư ban đầu là 200 triệu đồng
1.4.3.2. Tính thời hạn đầu tư n
n

C n  C0
C0 r

(1.6)

Hoặc:
n

n

I
i 1

i

Co r

(1.7)

Ví dụ 1.7
Chúng ta tiếp tục sử dụng ví dụ 1.6 cho tình huống sau:

Giả sử bây giờ bạn chỉ có 14 triệu đồng thì phải gởi trong bao lâu?
Giải:
Áp dụng công thức (1.6) ta tính được:
n

15.000.000  14.000.000
 0,79 năm
14.000.000 x0,09

KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

15


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính
1.4.3.3 Tính lãi suất r
r

C n  C0
C0 n

(1.8)

Hoặc tính lãi suất từ lượi tức:
n

r

I
i 1

i

Co n

(1.9)

Ví dụ 1.9
Chúng ta tiếp tục sử dụng ví dụ 1.6 cho tình huống giả định: bạn chỉ có 14 triệu đồng
nhưng lại không thể kiên nhẫn chờ thêm nửa tháng nữa. Vì vậy bạn sẽ mong đợi lãi suất của
ngân hàng tăng lên bao nhiêu?
Giải:
Áp dụng công thức (1.8) ta tính được:
r

15.000.000  14.000.000
 0,0079
14.000.000 x9

(tức 0,79% một tháng)
1.5. Lãi suất trung bình
1.5.1. Lãi suất trung bình của một khoản vốn gốc cố định
1.5.1.1. Bài toán đặt vấn đề
Giả sử cách nay n1 tháng bạn có vay số tiền C0 tại ngân hàng A với mức lãi suất một
tháng là r1 phần trăm. Nay do lạm phát tăng cao nên ngân hàng đề nghị điều chỉnh lại mức lãi
suất r2 phần trăm một tháng, áp dụng cho n2 tháng còn lại theo thời hạn vay của bạn.
r 

n1r1  n2 r2 n1r1  n2 r2

n
n1  n2

1.5.1.2.Bài toán minh họa
Giả sử bạn vay ngân hàng số tiền với thời hạn là 6 tháng. Lãi suất trong hai tháng đầu
tiên là 1% một tháng, còn bốn tháng còn lại là 1,4% một tháng. Bạn muốn cố định mức lãi suất
thì theo bạn ngân hàng sẽ neo lãi suất bao nhiêu?
Giải:
Theo dữ liệu bài tốn , ta có các thơng số sau:
n1 = 2; r1=1%
KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

16


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính
n2 = 4; r2 = 1,4%
Áp dụng cơng thức trên ta tính được:
r

2 x0,01  4 x0,014
 0,0127
24

Vậy lãi suất trung bình một tháng trong 6 tháng là 1,27%
Từ bài toán đặt vấn đề ta rút ra cơng thức tổng qt tính lãi suất trung bình cho trường

hợp vốn gốc cố định:
m

r

n r
j 1
m

j j

n
j 1

(1.10)
j

1.5.2. Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn khác nhau
1.5.2.1. Bài tốn đặt vấn đề
Bạn có số tiền C0 định gởi vào ngân hàng nhằm hưởng lãi. Bạn quyết định chia số vốn
này thành 3 phần CA , CB , CC và lần lượt gởi vào 3 ngân hàng A, B, C với mức lãi suất tương
ứng rA , rB , rC . Hỏi sau n kỳ gởi , bạn nhận được tổng mức lợi tức của cả 3 phần vốn này là bao
nhiêu? Nếu bạn quyết định gửi ln C0 vào ngân hàng O nào đó sau n kỳ thì mức lãi suất của
ngân hàng O này phải là bao nhiêu thì sẽ đảm bảo mức sinh lời khơng đổi như phương án chia
vốn?
Giải:
Trước hết tính tiền lãi sinh ra tương ứng từ 3 phần vốn gửi tại 3 ngân hàng:
Tiền lãi từ ngân hàng A: I A  nCArA
Tiền lãi từ ngân hàng B: I B  nCB rB
Tiền lãi từ ngân hàng C: I C  nCC rC

Vậy tổng tiền lãi từ 3 ngân hàng:
I  I A  I B  I C  n(C A rA  CB rB  CC rC )

Bây giờ xét phương án không chia vốn:
I 0  nCo ro

Trong đó: r0 là mức lãi suất tại ngân hàng O
Để thoả mãn yêu cầu tiền lãi của 2 phương án là như nhau ta có phương trình:
KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

17


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính
I = I0
Tức là:
n(C A rA  CB rB  CC rC )  nC0 r0

Suy ra
r0 

C A rA  CB rB  CC rC
C0

Ở đây r0 gọi là mức lãi suất trung bình của 3 mức lãi suất rA, rB, rC
1.5.2.2. Bài toán minh họa
Bạn có số tiền 900 triệu đồng, chia ra làm 3 phần 400 triệu, 200 triệu và 300 triệu. Ba số
tiền này sẽ được gởi vào ba ngân hàng A, B, C với các mức lãi suất tương ứng 1,2% một tháng,

1% một tháng, và 0,9% một tháng. Hỏi tổng số tiền lãi từ cả ba ngân hàng là bao nhiêu sau 9
tháng gởi? Biết rằng ngân hàng D đang phát hành chứng chỉ tiền gởi có mệnh giá 900 triệu
đồng, kỳ hạn 9 tháng với mức lãi suất 1,05% một tháng, bạn mua khơng?
Giải:
Trước hết, ta tính tổng lãi của cả 3 ngân hàng:
I = 9x(400x1,2%+200x1%+300x0,9%) = 85,5 triệu đồng
Để có cơ sở quyết định nên mua chứng chỉ tiền gửi khơng, bạn cần tính lãi suất trung
bình của 3 mức lãi suất trên:
r

400 x1,2%  200 x1%  300 x0,9%
 1,06%
900

Như vậy, do lãi suất trung bình của 3 mức lãi suất trên lớn hơn mức lãi suất chứng chỉ
tiền gửi nên gửi vào ba ngân hàng trên có lợi hơn.
Từ bài tốn đặt vấn đề ta có thể lập cơng thức tổng qt như sau:
m

r

C r
j 1
m

j j

C
j 1

(1.11)
j

Trong đó:
C j là giá trị của khoản gốc thứ j ( j  1, m)
rj là lãi suất áp dụng cho khoản vốn gốc tương ứng Cj ( j  1, m)

KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

18


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính
1.6. Lãi suất thực
1.6.1. Trường hợp trả lãi đầu kỳ

Ví dụ: Ngân hàng A đang công bố mức lãi suất tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng là 1% một
tháng, trả lãi đầu kỳ. Ngân hàng B mức lãi suất 12,6% một năm, trả lãi cuối kỳ. Bạn gởi tiền vào
ngân hàng nào có lợi hơn?
Giải:
- Nếu bạn gởi số tiền C0 vào ngân hàng A, số lãi bạn được hưởng là:
I A  nC0 rA  6 x0,01xC0  0,06C0

Do ngân hàng thanh toán ngay tiền lãi nên số tiền thực gởi chỉ là:
C  C0  I  C0  0,06C0  0,94C0

Chỉ gởi số tiền 0,94C0 mà vẫn hưởng được mức lợi tức là 0,06C0, vậy tỷ suất sinh lời thực
tế là:

re 

0,06C0 1
x  0,010638 (hay 1,0638% một tháng)
0,94C0 6

Rõ ràng ngân hàng A lãi suất danh nghĩa thấp hơn ngân hàng B nhưng thực tế gởi ở ngân
hàng A sẽ có lợi hơn.
Từ ví dụ ta dễ dàng xác lập cơng thức tính lãi suất thực tế cho trường hợp trả lãi đầu kỳ:
re 

r
(1  nr)

(1.13)

Trong đó:
r: là lãi suất danh nghĩa (đầu kỳ)
n: là thời hạn đầu tư
1.6.2. Trường hợp lãi ghép định kỳ
Ví dụ: Bạn đi vay ngân hàng số tiền C0, trả cả gốc lẫn lãi sau khi đáo hạn 12 tháng với lãi
suất r là 12% một năm. Theo hợp đồng tín dụng ngân hàng sẽ ghép lãi định kỳ 3 tháng 1 lần.
Hãy xác định tổng số tiền bạn phải trả khi đáo hạn, và cho biết trong đó số lãi phải trả là bao
nhiêu? Tỷ suất chi phí thực tế của khoản vốn vay này là bao nhiêu?
Giải:
Trước hết ta tính tổng số lãi phát sinh trong kỳ hạn 3 tháng đầu (từ tháng 1 đến tháng 3):
3

I
i 1

i

 3x

r
r
xC0  C0
12
4

KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

19


Chương 1. Lãi đơn

Tốn tài chính

Số lãi này sẽ được ghép vào vốn gốc C0 theo điều khoản của hợp đồng tín dụng. Nghĩa là
đầu kỳ hạn 3 tháng thứ hai (tức đầu tháng thứ 4), dư nợ vay lúc này là:
3
r
r
C0   I i  C0  C0  C0 (1  )
4
4
i 1

Tiếp tục tính tổng số lãi phát sinh trong kỳ hạn 3 tháng thứ hai (từ tháng thứ 4 đến tháng
thứ 6):
6

I
i 4

i

r r
r r
 3xC0 (1  ) x  C0 (1  )
4 12
4 4

Tương tự ngân hàng sẽ ghép số lãi này vào vốn đầu kỳ hạn 3 tháng thứ hai:
r
r r
r
r
r
C0 (1  )  C0 (1  )  C0 (1  )(1  )  C0 (1  ) 2
4
4 4
4
4
4

Đây chính là số dư nợ vào đầu kỳ hạn 3 tháng thứ 3 (tức là từ tháng 7 đến tháng thứ 9).
Tương tự ta tiếp tục tính lãi cho kỳ hạn 3 tháng thứ 3 này:

9

I
i 7

i

r
r
r r
 3xC0 (1  ) 2 x  C0 (1  ) 2
4 12
4 4

Vậy tổng số dư nợ vào đầu kỳ hạn 3 tháng cuối cùng:
r
r r
r
r
r
C0 (1  ) 2  C0 (1  ) 2  C0 (1  ) 2 (1  )  C0 (1  )3
4
4 4
4
4
4

Số lãi phát sinh trong kỳ hạn 3 tháng cuối:
12

I

i 10

i

r
r
r r
 3xC0 (1  )3 x  C0 (1  )3
4 12
4 4

Tổng số tiền trả nợ sau kỳ hạn thứ 4 (tức sau 12 tháng và cũng là đáo hạn):
r
r r
r
C12  C0 (1  )3  C0 (1  )3  C0 (1  ) 4
4
4 4
4

Trong đó tổng số lãi phải trả:
12

3
6
9
12
r

I

I

I

I

I i  C12  C0  C0 ((1  ) 4  1)





i
i
i
i
4
i 1
i 1
i 4
i 7
i 10

Vậy tỷ suất chi phí thực tế với (r = 12% một năm):
1
re 

C0

r
C0 ((1  ) 4  1)
12% 4
4
 (1 
)  1  12,55% (một năm)
C0
4

Từ ví dụ trên ta xác định lãi suất thực tế trong trường hợp ghép lãi nhiều lần như sau:
KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

20


Tốn tài chính

Chương 1. Lãi đơn

r k
re  (1  )  1 (1.14)
k

Trong đó: k là tần số ghép lãi trong năm
1.7. Bài tập chương 1
Bài 1:
Một doanh nghiệp vay ngân hàng 280 triệu đồng, lãi suất 1,22% một tháng. Thời hạn vay 9
tháng. Tính khoản lãi doanh nghiệp phải trả?
Bài 2:

Bạn mua chịu một món hàng trị giá 15 triệu đồng. Người bán hàng cho bạn chịu trong 90 ngày
với lãi suất 12% một năm. Hỏi sau khoảng 2 tháng, ngồi số tiền 15 triệu bạn phải có để trả
món hàng thì bạn phải dành thêm bao nhiêu nữa để trả phần lãi phát sinh?
Bài 3:
Vay ngân hàng số vốn trả sau 18 tháng số lãi 78 triệu đồng. Biết lãi suất vay vốn 8% một năm.
Hãy xác định số vốn đã vay?
Bài 4:
Một số vốn đầu tư được thực hiện trong 18 tháng thu được khoản lợi tức là 20 triệu đồng. Biết
dự án có tỷ suất sinh lợi (lãi suất) 7% một năm. Hãy xác định giá trị vốn đầu tư ban đầu?
Bài 5:
Số vốn 1.100 triệu đồng được choa làm 3 phần đem gửi vào 3 ngân hàng với lãi suất và thời hạn
như sau:
- Ngân hàng A: 200 triệu, lãi suất 9% một năm, từ 10/3 đến 25/8
- Ngân hàng B: 400 triệu đồng, lãi suất 3% một quý, từ 10/3 đến 10/10
- Ngân hàng C: 500 triệu đồng, lãi suất 1,2% một tháng, từ 10/3 đến 31/12
Yêu cầu:
a. Hãy tính lãi suất trung bình các khoản vốn trên.
b. Tổng số lãi phải thu được từ các phần vốn là bao nhiêu?

KHOA KẾ TOÁN TÀI CHÍNH

21


Chương 2. Lãi kép

Tốn tài chính
CHƯƠNG 2: LÃI KÉP
Giới thiệu:

Trong chương 2 bao gồm các nội dung: Phương pháp lãi kép; Dẫn nhập phương pháp lãi
kép; So sánh lãi đơn và lãi kép.
Mục tiêu:
- Trình bày được phương pháp tính lãi kép để tính tiền lãi phát sinh trong trường hợp lãi
nhập vốn.
- So sánh được điểm khác biệt giữa lãi đơn và lãi kép.
- Tính tốn được giá trị vốn ban đầu, mức lãi suất đầu tư, thời hạn đầu tư, lãi suất thay đổi,
lãi suất trung bình và lãi suất thực của một khoản vốn.
Nội dung chính:
2.1. Phương pháp lãi kép
Khác với phương pháp lãi đơn, với phương pháp lãi kép tiền lãi sau mỗi kỳ đầu tư sẽ
được ghép vào vốn đầu kỳ để làm cơ sở tính lãi cho kỳ đầu tư kế tiếp. Hay nói cách khác, tiền
lãi phát sinh sau mỗi kỳ sẽ được vốn hóa để sinh ra mức lãi mới.
2.2. Dẫn nhập phương pháp lãi kép
2.2.1. Bài tốn đặt vấn đề
Bạn có số tiền nhàn rỗi C0 và dự định gởi tiết kiệm tại ngân hàng. Tham khảo biểu lãi suất
tiết kiệm tại ngân hàng loại kỳ hạn 1 tháng là r phần trăm 1 tháng. Từ đó bạn quyết định gởi 1
tháng cho đến khi cần dùng đến số tiền sau n tháng. Hãy tính thử xem bạn sẽ có bao nhiêu tiền
sau n tháng gởi?
Tiền lãi phát sinh trong tháng thứ 1:
I1  C0 r

Do đây là tiền gởi kỳ hạn 1 tháng, nên sau 1 tháng tổng số tiền bạn nhận về:
C1  C0  I1  C0  C0 r  C0 (1  r )

Tiền lãi phát sinh trong tháng thứ 2:
I 2  C1r  C0 (1  r )r

Vậy tổng số tiền bạn nhận về sau kỳ gởi thứ 2:
C2  C1  I 2  C0 (1  r )  C0 (1  r )r  C0 (1  r ) 2

KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH

22