Một số kỹ thuật cơ bản trong bất đẳng thức cauchy giúp học sinh làm các bài toán liên quan tại trường THPT quan hóa

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT QUAN HÓA
TRƯỜNG THPT QUAN HÓA
---------------------------------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
TÊN ĐỀ TÀI
‘‘ MỘT SÔ KĨ THUẬT CƠ BẢN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
‘‘ MỘT GIÚP
SƠ KĨHỌC
THUẬT
CƠLÀM
BẢNCÁC
TRONG
ĐẲNG
CAUCHY
SINH
BÀI BẤT
TỐN
LIÊNTHỨC
QUAN
CAUCHY TẠI
GIÚP
HỌC
SINH
LÀM
CÁC

BÀI
TỐN
LIÊN
TRƯỜNG THPT QUAN HĨA’’
QUAN TẠI TRƯỜNG THPT QUAN HÓA’’

Người thực hiện : Lê Văn Ngọ
Người thực hiện : Lê Văn Ngọ
Chức vụ : Giáo viên
Chức vụ : Giáo viên
SKKN thuộc mơn : Tốn
SKKN thuộc mơn : Tốn

THANH HÓA ,NĂM 2021
MỤC LỤC
THANH HÓA ,NĂM 2021
1


1.
2.
3.
4.

A. PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài……………………………………………………………01
Mục đích nghiên cứu………………………………………………………..01
Đối tượng nghiên cứu………...…………………………………………….01
Phương pháp nghiên cứu……...……………………………………………01
B. PHẦN NỘI DUNG

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Định nghĩa bất đẳng thức...........................................................................02
2. Tính chất của bất đẳng thức.......................................................................02
3. Một số ví
dụ ...............................................................................................03
4. Bất đẳng thức Cauchy................................................................................04
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ ...........................................................................06
III. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
1.
2.
3.
4.

Kĩ thuật chọn điểm rơi……….….…………..…………………………..06
Kĩ thuậ tách thêm bớt…………..………………….……………………10
Kĩ thuật Côsi ngược dấu…………..…………………………………….12
Bài tập vận dụng …………………………………..…..………………..13

IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI……………...…….…………..….…………....14
V. KẾT LUẬN ……………………………...…………………………………14

2


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Trường THPT Quan Hóa đóng tại TT Hồi Xuân, Huyện Quan Hóa , tỉnh
Thanh Hóa là một trong những huyện nghèo nhất cả nước . Phần lớn học sinh ở đây
là dân tộc Thái, Mường , H Mông… điều kiện kinh tế rất khó khăn ảnh hưởng rất

lớn tới chất lượng học tập của học sinh .
Đối với các em học sinh Khối 10 đa phần có điểm trúng tuyển đầu vào rất
thấp, các Em khi học gần như đã mất hết các kiến thức nền tảng dẫn đến việc dạy
cho các Em rất khó khăn vất vả trong các mơn nói chung và đối với mơn Tốn nói
riêng.
Trong kiến thức Tốn lớp 10, Bất đẳng thức là một trong những chuyên đề
quan trọng và khó . Khi gặp các vấn đề này học sinh thường chán nản và bỏ qua.
Nhằm nâng cao chất lượng học tập, tạo hứng thú, say mê cho các em trong
các mơn học trong nhà trường nói chung và mơn Tốn nói riêng và để phát triển
phẩm chất, trí tuệ, tăng cường ý thức và năng lực vận dụng những điều đã học vào
cuộc sống trong giai đoạn hiện nay.
Từ những lý do trên tôi chọn đề tài : ‘‘Một số kỹ thuật cơ bản trong Bất
đẳng thức Cauchy giúp học sinh làm các bài toán liên quan tại trường THPT
Quan Hóa’’
2. Mục đích nghiên cứu:
Tìm hiểu sâu hơn vấn đề “bất đẳng thức CauChy” trong trường phổ thông.
Đưa ra một số kỹ thuật của bất đẳng thức CauChy trong việc giải tốn. Từ đó giúp
học sinh
hiểu và nắm được các phương pháp chứng minh BĐT thông thường cũng như
nâng cao. Bên cạnh đó rèn luyện cho các em kỹ năng tư duy trong tính tốn
trong các bài toán chứng minh.
Một vấn đề thường gặp trong đại số, làm cho học sinh lúng túng đó là
những bài toán về bất đẳng thức đại số như bất đẳng thức Cauchy (Cơsi ). Thơng
thường những bài tốn về loại này là những vấn đề khó. Thực sự nó là một phần
quan trọng của đại số và những kiến thức về bất đẳng thức trong đại số cũng làm
phong phú hơn phạm vi ứng dụng đại số trong cuộc sống.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất , bất
đẳng thức và các bài toán liên quan bằng định lý Cauchy là một phần quan trọng
của đại số 10 trong chương Toán THPT. Một số kỹ thuật trong chứng minh bất

đẳng thức CahuChy.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận
“Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận
dụng một cách thông minh những điều đã học”.
Phương pháp quan sát
3


Nhìn nhận lại q trình học tập mơn tốn của học sinh trong năm học vừa qua.
Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh của trường
trong giai đoạn hiện nay
B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Định nghĩa bất đẳng thức
A, B

Giả sử
là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó :
được gọi là bất đẳng thức .
2. Tính chất của bất đẳng thức
+) Tính chất giao hốn
Với các số thực
+) Tính chất bắc cầu

A

và

B

bất kì, ta ln có :

A, B, C

Với các số thực
bất kỳ ta ln có :
+) Tính chất liên hệ với phép cộng
A, B

A > B; A < B; A ≥ B; A ≤ B

A≤ B ⇔ B≥ A

A ≤ B, B ≤ C ⇒ A ≤ C

Với các số thực
và M bất kì, ta ln có :
Với các số thực A,B,C,D bất kỳ , ta ln có :

A ≤ B ⇔ A± M ≤ B ± M

A ≤ B; C ≤ D ⇒ A + C ≤ B + D

A ≤ B; C ≤ D ⇒ A − D ≤ B − C

+) Tính chất liên hệ với phép nhân
Với các số thực A, B bất kì, ta ln có :
A ≤ B; M > 0 ⇒ AM ≤ BM

A ≤ B; M < 0 ⇒ AM ≥ BM

Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta ln có :
0 < A < B
⇒ 0 < A.C < B.D

0 < C < D

+) Tính chất liên hệ với lũy thừa
Với các số thực A, B bất kì, ta ln có
•
•

A ≥ B ≥ 0 ⇔ An ≥ B n ≥ 0

A ≥ B ⇔ An ≥ B n ,

A ≥ B ⇔ A ≥B ≥0
n

•

với

, với

n

n

là số thực dương.

là số tự nhiên lẻ .

n

n

, với là số tự nhiên chẵn.
m
m ≥ n > 0; A ≥ 1 ⇒ A ≥ An
•
.
m ≥ n > 0;0 < A < 1 ⇒ Am ≤ An
•
4


+) Một số bất đẳng thức cần nhớ
A2 ≥ 0

•

A2 k ≥ 0

•

A ≥0

•

với
với
với

∀A
∀A

và k là số tự nhiên

∀A

A+ B ≥ A + B

•

A− B ≤ A − B

•
3.Một số ví dụ
Phương pháp giải

Để chứng minh bất đẳng thức
+) Ta chứng minh

A− B ≥ 0

A−B

A≥ B

ta có thể sử dụng các cách :

. Để chứng minh điều đó ta sử dụng hằng đẳng

thức để phân tích
thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm
+) Xuất phát từ bất đẳng thức đúng, biến đổi tương đương về bất đẳng thức
cần chứng minh
Ví dụ 1 :

∀x, y, z

chứng minh rằng :
x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx

Giải :
x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ≥ 0

Ta xét hiệu
A = x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx
Đặt :
A=

1
.2( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx )
2

A=

1 2
.( x − 2 xy + y 2 + x 2 − 2 xz + z 2 + y 2 − 2 yz − z 2 )
2

A=

1 
2
2
2
. ( x − y) + ( x − z) + ( y − z)  ≥ 0

2 
∀x, y, z

với

∀x, y, z

Ví dụ 2 :
chứng minh rằng :
2
2
2
x + y + z ≥ 2 xy − 2 xz + 2 yz
Giải :
5


A = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy + +2 xz − 2 yz

Xét hiệu :
⇒ A = ( x − y + z)2 ≥ 0

đúng với

∀x; y; z ∈ ¡

.

x 2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ 2( x + y + z )

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :
Giải :
A = x 2 + y 2 + z 2 + 3 − 2( x + y + z )
Xét hiệu :

với

∀x, y, z

= x 2 −2 x + 1 + y 2 − 2 y + 1 + z 2 − 2 z + 1
= ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ 0
2

Đẳng thức xảy ra khi
Ví dụ 4 : Chứng minh

2

x = y = z =1

∀a, b, c, d

.

ta đều có :

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 ≥ a ( b + c + d + 1)

A = a + b + c + d + 1 − a ( b + c + d + 1)
2

Giải : Ta xét hiệu :

2

2

2

.

2

= a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 − ab − ac − ad − a
2

2

2

2

2
a
a
a
a
=  ÷ − ab + ( b ) +  ÷ − ac + c 2 +  ÷ − ad + d 2 +  ÷ − a + 1
 2
 2
 2
 2
2

2

2

2

a
 a
 a
 a 
=  − b ÷ +  − c ÷ +  − d ÷ +  − 1÷ ≥ 0
2
 2
 2

 2 

Đẳng thức xảy ra khi

a
a

−
b
=
0
b
=
2

2


a
a
 −c = 0
c =
2

2 ⇔ a = 2
⇔


b = c = d = 1
a − d = 0

d = a
2

2
a
a
 −1 = 0
 =1
2
2

(a

10

Ví dụ 5: Chứng minh rằng :
Giải : Xét hiệu

+ b10 ) ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a8 + b8 ) ( a 4 + b 4 )

A = ( a10 + b10 ) ( a 2 + b 2 ) − ( a8 + b8 ) ( a 4 + b 4 )

6


= a12 + a10b 2 + a 2b10 + b12 − a12 − a 8b 4 − a 4b8 + b12
= a 8 b 2 ( a 2 − b 2 ) + a 2b 8 ( b 2 − a 2 )
= a 2b 2 ( a 2 − b 2 ) ( a 6 − b 6 )
= a 2b 2 ( a 2 − b 2 )

2

(a

a=0

4

+ a 2b 2 + b 4 ) ≥ 0

b=0

a=b

Đẳng thức xảy ra khi
hoặc
hoặc
.
4. Bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy hay gọi gọi bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân ( AM – GM ) của n số thực khơng âm .Vì có nhiều cách chứng minh bất đẳng
thức này nhưng cách chứng minh theo phương pháp qui nạp của Cauchy là hiệu
quả nhất nên nhiều người nhầm lẫn bất đẳng thức này do Cauchy phát hiện ra.
Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm :
4.1. Định lý 1 : Cho hai số khơng âm

a, b

⇔ a =b

ta có :

a+b
≥ 2 ab
2

.Đẳng thức xảy ra

Chứng minh :
Ta thấy với a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức ln đúng. Vì vậy, chúng ta chỉ
chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương mà thôi.
a+b
≥ ab ⇔ a + b ≥ 2 ab
2
⇔ a − 2 ab + b ≥ 0
⇔

(

a− b

)

2

≥0

Đẳng thức xảy ra khi
(đpcm)

a =b

. Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ a, b dương

4.2.Định lý 2 : Với ba số thực không âm

a, b

và

c

a+b+c 3
≥ abc
3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chứng minh :

a =b=c

Sử dụng BĐT cho hai cặp số không âm

ta có :

.
a, b

và

c, 3 abc

ta được :

7


a + b + c + 3 abc ≥ 2 ab + 2 c. 3 abc

⇔ a + b + c + 3 abc ≥ 4 



ab . c. 3 abc  = 4 3 abc


⇔ a + b + c ≥ 3 3 abc
a+b+c
⇔
≥ 3 3 abc
3

a = b = c.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4.3.Định lý 3 : Bất đẳng thức Cauchy tổng quát:
Cho n số thực khơng âm
Ta có :

a1 , a2,..., an

.

a1 + a2 + ... + an n
≥ a1.a2 ...an
n

a1 = a2 = ... = an

( với

n≥2

).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
( Bất đẳng thức này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n )
Lưu ý :
• Bất đẳng thức Cauchy chỉ áp dụng cho các số không âm .
• Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau .
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Ta xét ví dụ sau :
Ví dụ : Cho

x≥2

P = x+

. Tìm GTNN của biểu thức :

1
x

.
x

Lỗi thường gặp : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương và
được:
x+

Suy ra GTNN của

P

ta

1
1
≥ 2 x. = 2
x
x
x=

bằng 2 khi và chỉ khi
x =1

1
x

1
x

hay

x =1
x≥2

Ta thấy với cách làm trên thì
khơng thỏa mãn điều kiện
do đó cách giải
trên khơng chính xác.
Qua khảo sát học sinh ở 2 lớp 10A4; 10A6 ở trường THPT Quan Hóa năm học
2020 – 2021 thu được mẫu thống kê sau :
Lớp
Làm sai
Làm đúng
Chưa có cách làm
10A4
18/41
2/41
21/41
10A6
15/39
1/39
23/39
8


Khi đó ta hướng dẫn cho học sinh một số kĩ thuật sau , với từng dạng học sinh sẽ

đưa ra cách giải quyết vấn đề tốt hơn.
III. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
1. Kĩ thuật chọn điểm rơi
Chọn điểm rơi thực chất là dự đoán dấu “ = ” của đẳng thức xảy ra khi nào để từ đó
ta có những đánh giá phù hợp để đưa ra cách giải hợp lý. Trong bất kỳ bài toán
chứng minh bất đẳng thức , nếu khơng bảo tồn được dấu “=” thì phép chứng minh
đó khơng chính xác.
Ví dụ 1 : Cho
Giải : ta có
Với

x≥2

x≥2

P = x+

. Tìm GTNN của biểu thức :

x 3x 1
P= +
+
4 4 x

⇔

Mặt khác :

.

..

. Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta được :

Đẳng thức xảy ra khi

1
x

x 1
x 1
+ ≥2 .
4 x
4 x
x 1
+ ≥1
4 x

x 1
= ⇔x=2
4 x

3 x 3.2 3
≥
=
4
4
2

với

x≥2

3x x 1 3
+ + ≥ +1
4 4 x 2
5
⇔P≥
2

⇒

P=

Vậy GTNN của
Ví dụ 2 : Cho

a≥3

5
2

x=2

khi

.
S =a+

. Tìm GTNN của

S =a+

+)Lỗi thường gặp:

1
a

.

1
1
≥ 2 a. = 2
a
a

⇒ GTNN : MinS = 2
a=

Đẳng thức xảy ra khi

1
⇒ a = ±1
a

( Mâu thuẫn với giả thiết

a≥3

)

9


+) Lời giải đúng : Nhận thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự đốn
khi

a =3

thì

S

nhận giá trị nhỏ nhất. Do đó bất đẳng thức Cô si xảy ra dấu bằng tại

các tham số tham gia bằng nhau nên tại “ điểm rơi :
1
a

a

đẳng thức Cơsi trực tiếp cho hai số và
S =a+

( vì

a =3

MinS =

thì

Ví dụ 3 : Cho

a≥2

10
3

. Tìm GTNN của

+)Lỗi thường gặp:
GTNN của

S

bằng

9
4

khi

Mặc dù chọn điểm rơi

1
a2

.

1 a 1 7a

a 1 7a
2
7a
2
7.2 9
= + 2+
≥a . 2 +
=
+
≥
+
=
2
a
8 a
8
8 a
8
4
8a 8
8.2 8

a=2

a=2

MinS =

và

9
4

là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã

mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số .Nếu
sai.
+)Lời giải đúng :

a≥2

thì

2
2
1
≥
=
8a
8.2 2

là đánh giá

1  a a 1  6a
=  + + ÷+
a2  8 8 a2  8

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số

Với

).

.
S =a+

S =a+

S ≥ 33

” ta không sử dụng bất

1 a 1 8a
a 1 8.3 10
= + +
≥2 . +
=
a 9 a 9
9 a 9
3

Vậy với

S =a+

1
3≠
3

a =3

a a 1 
 ; ; 2÷
8 8 a 

ta được :

a a 1 6a 3 6a 3 6.2 9
. . +
= +
≥ +
=
8 8 a2 8 4 8 4 8
4

a=2

S=

thì GTNN của

9
4

.

10


a, b, c > 0



3
a + b + c ≤ 2

Ví dụ 4 : Cho
S = a+b+c +

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1
+ +
a b c

S = a+b+c+

+)Lỗi thường gặp :
Suy ra GTNN của

S =6
a=b=c=

Đẳng thức xảy ra khi
⇒ a+b+c =3>

3
2

1 1 1
1 1 1

+ + ≥ 6 6 a.b.c. . . = 6
a b c
a b c

1 1 1
= = =1
a b c
a +b+c ≤

( trái với giả thiết

3
2

)

a=b=c=

+)Lời giải đúng : ta dự đoán điểm rơi
S = 4a + 4b + 4c +

nên khi đó ta có :

1 1 1
1 1 1
3 15
+ + − 3a − 3b − 3c ≥ 6 6 4a.4b.4c. . . − 3 ( a + b + c ) ≥ 12 − 3. =
a b c
a b c
2 2

S=

Vậy GTNN của
Ví dụ 5 : cho
Giải : ta có :

1
2

a≥6

15
2

a =b=c =

. Đẳng thức xảy ra khi
S = a2 +

. Tìm GTNN của biểu thức

1
2

.

18
a

a2 +

18  a 2
18  
1  2
a 2 18 
1  2
a a 
1  2
=
+
+
1
−
a
≥
2
.
+ 1 −
+ 1 −
 
÷
÷a = 6
÷a
a 2 6
a  2 6
2 6 a  2 6
6  2 6

≥6

6 6 
1  2
+ 1 −
÷.6 = 36 + 3 6
6  2 6

Đẳng thức xảy ra khi
Vậy với

a=6

thì

a2
18
=
⇔a=6
2 6
a

MinS = 36 + 3 6

 a, b > 0

a + b ≤ 1

Ví dụ 6 : Cho
+)Lỗi thường gặp:

.

S=

, Tìm GTNN của biểu thức

1
1
1
+ 2 + 2
3
a + b a b ab
3

11


S=

1
1
1
2
2
9
2 1
1 
+ 2 +
+ 2 +
≥ 3 3
+  2 + 2÷
3

2
2
2
2
a + b 3a b 3ab 3a b 3ab
a + b + 3a b + 3ab 3  a b ab 
3

=

MinS =

59
3

9

( a + b)

3

2 1 1 1
2
4
59
+ .  +  ≥ 9+
.
≥
2
3 ab  a b 

 a+b  a +b 3
3
÷
 2 

. Đẳng thức xảy ra khi

a 3 + b3 = 3a 2b

a = b
a + b = 1


( Vô nghiệm )
1
2

a =b =

+)Lời giải đúng : Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
S=

1
1
1
1
1
25
+ 2 +
+ 2 +

≥
≥
3
3
2
2
a + b 2a b 2ab 2a b 2ab
( a + b ) + ab ( a + b )
3

nên :
25

( a + b)

3

( a + b)
+

3

≥ 20

4

1
a =b= .
2

S = 20

Vậy GTNN của
.Dấu bằng xảy ra khi
2. Kĩ thuật tách, thêm bớt
Kĩ thuật thêm bớt là một trong những kĩ thuật phong phú đa dạng hơn , địi
hỏi chúng ta phải có cách nhìn bao quát với phương pháp đa dạng phong phú hơn.
Ví dụ 1 : Cho

x, y , z ≥ 0

và

xyz = 1

. Chứng minh rằng :

x3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z

Giải : Ta thấy đây là dạng bất đẳng thức đối xứng do đó nếu cho
điều kiện ban đầu thì ta được
3 số là

x3

x = y = z =1
3

3

(1)

y +1+1 ≥ 33 y = 3y
3

Tương tự ta cũng được :

3

(2)

z + 1 + 1 ≥ 3 z = 3z
3

3

3

Cộng các bất đẳng thức theo vế ta được :
hay

3

3

2( x + y + z) ≥ 6

x + y + z + 2 ( x + y + z ) ≥ x3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ 3 ( x + y + z )
3

Do đó :

x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3

(3)

x + y + z + 6 ≥ 3( x + y + z )
3

Mặt khác :

thay vào

nên ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Côsi cho

x + 1 + 1 ≥ 3 x = 3x
3

;1;1 ta được :

x= y=z

3

3

⇔ x3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z

( đpcm)
12

x = y = z =1

Đẳng thức xảy ra khi

a, b, c ≥ 0

Ví dụ 2 : Cho
Giải :
VT =

và

.

a + b + c =1

. Chứng minh :

a
b
c
3
+
+
≤
a +1 b +1 c +1 4

.

a + 1 −1 b + 1 −1 c + 1 −1
1
1 
9
9 3
 1
+
+
= 3−
+
+
= 3− =
÷≤ 3 −
a +1
b +1
c +1
a +b+c+3
4 4
 a +1 b +1 c +1
a =b =c =

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

1
3

.
a2 + 2

∀a ∈ ¡

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với
a +2
2

a +1
2

Giải : Ta có

=

(a

2

+ 1) + 1

a +1
2

a2 + 1

ta có :

= a2 + 1 +

1
a2 + 1

1

a2 + 1 +

a +1
2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được :
1

a2 + 1 =

a +1
2

Đẳng thức xảy ra khi
a+

Ví dụ 4: Chứng minh rằng
VT = a +

Giải : Ta có

≥2

1
≥3
b ( a − b)

với

1
a2 +1

=2

∀a > b > 0

1
1
= b + ( a − b) +
b ( a − b)
b ( a − b)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được :
b = a −b =

Đẳng thức xảy ra khi :
a>b>0

1
=3
b ( a − b)

1
⇔ a = 2; b = 1
b ( a − b)
a+

. Chứng minh rằng :

VT + 1 = a + 1 +

Giải : ta có

a 2 + 1.

⇔ a2 + 1 = 1 ⇔ a = 0

VT ≥ 3 3 b. ( a − b ) .

Ví dụ 5 : Cho

≥2

4

( a − b ) ( b + 1)

2

= ( a − b) +

4

( a − b ) ( b + 1)

2

≥3

?

b +1 b +1
4
+
+
2
2
2
( a − b ) ( b + 1)

13


≥ 4 4 ( a − b) .

Vậy

VT ≥ 3

b +1 b +1
4
.
.
=4
2
2 ( a − b ) ( b + 1) 2
a −b =

khi và chỉ khi

Ví dụ 6 : Cho

1

 a ≥ 2

a >1
 b

b +1
4
=
2
2
( a − b ) . ( b + 1)
⇔ a = 2; b = 1.

, Chứng minh rằng :

2a 3 + 1
≥3
4b ( a − b )

?

4b ( a − b ) ≤ b + ( a − b )  = a 2
2

Giải : Ta có
Vậy :

2a 3 + 1
2a 3 + 1
1
1
≥
= a + a + 2 ≥ 3 3 a.a. 2 = 3
2
4b ( a − b )
a
a
a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

b = a − b
a = 1


1 ⇔

1
a
=
b=

2


a

2

a2
b2
c2
a +b+c
+
+
≥
b+c a+ a+b
2

a, b, c

Ví dụ 7 : Cho
là các số dương . Chứng minh rằng :
Giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương ta có :
a2
b+c
a2 b + c
+
≥2
.
=a
b+c
4
b+c 4

Tương tự ta có :

b2
c+a
+
≥b
c+a
4
c2
a +b
+
≥c
a+b
4

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức lại với nhau ta được :
a2
b+c
b2
c+a
c2
a +b
+
+
+
+
+
≥ a+b+c
b+c

4
c+a
4
a +b
4
⇔

a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
b+c c+a a+b
2

Đẳng thức xảy ra khi :
3. Kĩ thuật Côsi ngược dấu

a=b=c

14


Ví dụ 1 : Cho

a , b, c

là các số dương thỏa mãn :

a+b+c = 3

. Chứng minh rằng :

a
b
c
3
+ 2
+ 2
≥
2
b +1 c +1 a +1 2

Giải : Ta sẽ sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu như sau :
a
ab 2
ab 2
ab
=
a
−
≥
a
−
=a−
2
2
1+ b

1+ b
2b
2
2

Tương tự :

(1)
2

b
bc
bc
bc
=b−
≥b−
=b−
2
2
1+ c
1+ c
2c
2
2

(2)

2

c

ca
ca
ca
=c−
≥c−
=c−
2
2
1+ a
1+ a
2a
2

(3)
Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta được :
a
b
c
ab + bc + ca 3
+ 2
+ 2
= a+b+c−
≥
b +1 c +1 a +1
2
2
2

Đẳng thức xảy ra khi

a = b = c = 1.

, vì ta có

Ví dụ 2 : Chứng minh với mọi số thực dương
a+b+c+d = 4

ab + bc + ca ≤ 3

a , b, c , d

thỏa mãn điều kiện

a
b
c
d
+
+
+
≥2
2
2
2
1 + b c 1 + c d 1 + d a 1 + a 2b

ta có :
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy :

b ( a + ac )

a
ab 2 c
ab 2 c
ab c
b a.ac
=
a
−
≥
a
−
=
a
−
≥
a
−
≥
a
−
1 + b 2c
1 + b 2c
2
2
4
2b c
⇒

Tương tự :

a
1
≥ a − ( ab + abc )
2
1+ b c
4

b
1
≥ b − ( bc + bcd )
2
1+ c d
4

c
1
≥ c − ( cd + cda )
2
1+ d a
4
d
1
≥ d − ( da + dab )
2
1+ a b
4

(1)
(2)
(3)

(4)

Cộng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3),(4) ta được :
a
b
c
d
1
+
+
+
≥ a + b + c + d − ( ab + bc + cd + da + abc + bcd + cda + dab )
2
2
2
2
1+ b c 1+ c d 1+ d a 1+ a b
4

15


ab + bc + cd + da ≤

Mặt khác từ bất đẳng thức Cauchy ta suy ra :
abc + bcd + cda + dab ≤

Do đó :

1

2
( a+b+c+d) = 4
4

1
3
( a+b+c+d) = 4
16

a
b
c
d
+
+
+
≥ a +b+c +d −2 = 2
2
2
2
1 + b c 1 + c d 1 + d a 1 + a 2b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c = d =1

Ví dụ 3 : Chứng minh với mọi số thực dương

.
a , b, c , d

ta ln có :

a
b
c
d
a +b+c+d
+ 2 2+ 2
+ 2
≥
2
2
2
a +b b +c c +d
d +a
2
3

3

3

3

2

Giải : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số ta có :
a3
ab 2

ab 2
b
=
a
−
≥
a
−
=a−
2
2
2
2
a +b
a +b
2 ab
2
b3
c
c3
d
≥
b
−
≥c−
2
2
2
2
b +c

2 c +d
2

Tương tự ta được :
;
Cộng các vế của bất đẳng thức lại ta được :

và

d3
a
≥d−
2
2
d +a
2

a3
b3
c3
d3
b
c
d
a a +b+c+d
+
+
+
≥ a− +b− +c− +d − =
2

2
2
2
2
2
2
2
a +b b +c c +d
d +a
2
2
2
2
2

Đẳng thức xảy ra khi

a = b = c = d.

a, b, c ≥ 0

a +b+c = 3

Ví dụ 4 : Cho
và
. Chứng minh :
Giải :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được :

a2

b2
c2
+
+
≥1
a + 2b 2 b + 2c 2 b + 2a 2

2
a2
2ab 2
2ab 2
2
3
=
a
−
≥
a
−
=
a
−
ab
(
)
3
4
a + 2b 2
a + 2b 2
3

3 ab

Tương tự :

2
2
b2
2
c2
2
3
3
≥
b
−
bc
≥
c
−
ac
(
)
(
)
b + 2c 2
3
c + 2a 2
3

;

Do đó ta chỉ cần chứng minh :
2

2

2
2
2
2

a + b + c −  ( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ÷ ≥ 1
3


2

⇔ ( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ≤ 3

16


Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì
2

2

2

a + ab + b ≥ 3 ( ab ) 3 ; b + bc + c ≥ 3 ( bc ) 3 ; c + ca + a ≥ 3 ( ca ) 3

Ngoài ra

ab + bc + ca ≤ 3

nên ta có điều cần phải chứng minh.

Ví dụ 5 : Chứng minh với mọi số thực dương

a , b, c

a +1 b +1 c +1
+
+
≥3
b2 + 1 c2 + 1 a2 + 1

có tổng bằng 3 thì :

Giải :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

( a + 1) b 2 ≥ a + 1 − b2 ( a + 1) = a + 1 − ab − b
a +1
=
a
+
1
−
b2 + 1

b2 + 1
2b
2

Tương tự ta cso 2 bất đẳng thức với b và c rồi cộng lại ta được :
a +1 b +1 c +1 
ab + b  
bc + c  
ca + a 
+ 2
+ 2
≥  a +1−
÷+  b + 1 −
÷+  c + 1 −
÷
2
b +1 c +1 a +1 
2  
2  
2 
= 3+

Đẳng thức xảy ra khi

a + b + c − ab − bc − ca
≥3
2

a = b = c = 1.

Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi

a , b, c , d

dương có tổng bằng 4 thì :

1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
≥2
2
a +1 b +1 c +1 d +1

Giải : Ta có đánh giá sau :

1
a2
a2
a
= 1− 2
≥ 1−
= 1−
2
a +1
a +1
2a

2

1
b
1
c
1
d
≥ 1−
≥ 1−
≥ 1−
2
2
b +1
2 c +1
2 d +1
2
2

Tương tự :
;
;
Cộng các vế của bất đẳng thức trên ta được :

1
1
1
1
+ 2
+ 2

+ 2
≥2
a +1 b +1 c +1 d +1
2

Đẳng thức xảy ra khi

a = b = c = d =1

17


4. Các bài tập vận dụng
1. Cho

a , b, c

là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :

abc = 1

. Chứng minh rằng :

a + b +1
b + c +1
c + a +1
+
+
≥3 3
ab

bc
ca
3

2. Cho
3. Cho
4. Cho

a ≥ 2; b ≥ 3; c ≥ 4

a, b, c > 0

a + b + c ≤ 1
a, b, c

3

3

3

P=

. Tìm GTLN :

3

3

ab c − 4 + bc a − 2 + ca b − 3

abc
P=

. Tìm GTNN của các biểu thức :

dương thỏa mãn :

abc = 1

.
.

1
1
1
1
+
+ +
2
2
a +b +c
ab bc ca
2

. Tìm GTNN của biểu thức :

bc
ca
ab
Q= 2

+ 2
+ 2
a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b)

5.Cho

6. Cho
7. Cho

 x, y , z > 0

x + y = 1

x, y , z > 0

a , b, c > 0

P=

. Tìm GTNN của

. Chứng minh
và

a+b+c =3

x
y
+
1− x

1− y

4 ( y + z ) 9 ( x + z ) 16 ( y + x )
+
+
≥ 26
x
y
z

.

. Chứng minh :

a
b
c
3
1
1
1
+
+
≤ ≤
+
+
2
2
2
1+ a 1+ b 1+ c

2 1+ a 1+ b 1+ c

8. Cho

x + y = 1, x, y > 0

A=

Tìm GTNN của biểu thức

1
1
+
2
x +y
xy
2

3

9. Cho

a+b ≥ 0

10. Cho

x, y , z

. Chứng minh

a 3 + b3  a + b 
≥
÷
2
 2 

là các số dương thỏa mãn :

1 1 1
+ + =4
x y z

. Chứng minh :

1
1
1
+
+
≤1
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

18


IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Với một số kĩ thuật được nêu trong đề tài và cách chỉ ra lỗi sai ngay từ bạn đầu để
học sinh định hướng trước được một vài kĩ thuật trong bài toán chứng minh và các
bài toán liên quan khi sử dụng đến bất đẳng thức Cauchy.
Một số kết quả đạt được qua bài kiểm tra thường xuyên tại 2 lớp 10A4 và 10A6 :

Lớp
Điểm : 1-3
Điểm : 3 – 5
Điểm : 5 – 7
Điểm : 7-10
10A4
13/41
15/41
9/41
4/41
10A6
15/39
11/39
11/39
2/39
V. KẾT LUẬN:
Khi nói về Tốn học là nhắc đến tính tư duy,suy luận logic . Chính vì vậy khi
giảng giải một bài toán giáo viên phải theo quy luật này thì học sinh mới thấy được
cái hay, cái đẹp trong tốn từ đó mới kích thích sự say mê tim tòi, hứng thú cho học
sinh, tạo cho các em có tính tự học cao.
Với việc trình bày các bài tốn cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa ngay sau
đó, sẽ giúp tăng cường bài giảng cho các thầy , cô giáo và với các em học sinh sẽ
dễ hiểu và biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo các kiến thức
đã học làm cơ sở cho việc tiếp thu bài mới một cách thuận lợi, vững chắc.
Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát
huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độc lập và
thơng qua việc thảo luận, tranh luận ,biết lí luận chặt chẽ khi giải tốn.
Với khn khổ của đề tài tơi xin trình bày một khía cạnh để chứng minh bất
đẳng thức. Rất mong được hội đồng chun mơn nhà trường góp ý bổ sung để đề
tài hồn thiện hơn qua đó phát triển năng lực , phẩm chất học sinh .

Xin chân thành cám ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 2 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

19


Lê Văn Ngọ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Nhà xuất bản giáo dục.
Phan Huy Khải. Tuyển tập các bài toán Bất Đẳng Thức – Tập 1. Nhà xuất bản
giáo dục -1996.
Trần Văn Hạo (Chủ biên ) . Bất đẳng thức Cau chy. Nhà xuất bản giáo dục –
2001
Trần Phương ( Chủ biên) .15 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Nhà
xuất bản giáo dục – 2001
Nguyễn Vũ Thanh. Phương pháp giải bất đẳng thức- Nhà xuất bản tổng hợp

đồng tháp –1994
Lê Hồng Đức. Phương pháp giải toán bất đẳng thức. Nhà xuất bản Hà Nội–
2003
Trần Văn Hạo.( Chủ biên). Chuyên đề Bất đẳng thức. Nhà xuất bản giáo dục.
TS. Trần Vui.(Chủ biên). Một số xu hướng đổi mới trong dạy học Toán ở trường
THPT. Nhà xuất bản giáo dục.

20