De Dap An Olympic Toan 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

đề thi Olympic năm học 2009 - 2010
<b>Mơn: tốn - lớp 8</b>

<i><b>(Thêi gian lµm bài 120 phút)</b></i>

<b>---Câu1: Cho biểu thức: A = </b>

(

1

1<i>− x</i>+

2

<i>x</i>+1<i>−</i>

5<i>− x</i>

1<i>− x</i>2

)

:

1<i>−</i>2<i>x</i>
<i>x</i>3<i>_{− x}</i>

a) Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x ngun để A nhận giá trị ngun.

<b>C©u2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử:</b>
(3x – 2)3_{– (x – 3)}3_{– (2x + 1)}3

b) áp dụng giải phơng trình:

(3x – 2)3_{– (x – 3)}3_{= (2x + 1)}3

<b>Câu3: a) Giải phơng trình: </b> ||2<i>x</i>|<i>−</i>1| = 2x + 1

b) Cho sè thùc x tho· m·n: <i>x</i>

<i>x</i>2<i>− x</i>+1=

1
2
Tính giá trị của biểu thức: B = <i>x</i>

4<i></i>₃<i>_x</i>3

+18<i>x </i>1
<i>x</i>3<i></i>₂<i>_x</i>2

+<i>x</i>+1
<b>Câu4: Cho x, y là các số thực không âm thoà mÃn:</b>

x2_{– 2xy + x - 2y} _{0. Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức:}

M = x2_{– 5y}2_{+ 3x}

<b>Câu5: Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đờng cao AH. Trên tia HC lấy </b>
HD = HA. Đờng vng góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) Chøng minh: AE = AB

b) Gäi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM.

<b>---Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010</b>
<b>Môn: toán - lớp 8</b>

<b>Câu1: (3đ)</b>

a) (2đ) +)Điều kiện:

¿

<i>x ≠ ±</i>1

<i>x ≠</i>0

<i>x ≠</i>1

2
¿{ {

¿

+) Quy đồng mẫu số và biến đổi đợc: A = 2<i>x</i>
1<i>−</i>2<i>x</i>
b) (1đ) Ta có A = 2<i>x</i>

1<i>−</i>2<i>x</i> = -1 +
1

1<i>−</i>2<i>x</i> . Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và
chỉ khi 1 – 2x = <i>±</i>1 <i>⇔</i> x = 0 hoặc x = 1.

Đối chiếu ĐK ban đầu x = 0 và x = 1 không thoà mÃn. Vậy không có giá trị x
nào thoà mÃn yêu cầu bài toán.

<b>Câu2:(4đ) </b>

a) (2đ) Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 th× a3_{+ b}3_{+ c}3_{= 3abc}

¸p dơng ta cã: (3x – 2)3_{– (x – 3)}3_{– (2x + 1)}3

= (3x – 2)3_{+ ( - x + 3)}3_{+ ( - 2x - 1)}3

= 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1).
b) (2®) Ta cã: (3x – 2)3_{– (x – 3)}3_{= (2x + 1)}3

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>⇔</i> 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) = 0
<i>⇔</i> x = 2

3 hoặc x = 3 hoặc x = -
1
2
<b>Câu3:(4đ) </b>

a)(2đ) +) Với x 0: Phơng trình đã cho trở thành
|2<i>x −</i>1| = 2x + 1 . Giải đợc x = 0

+) Với x 0: Phơng trình đã cho trở thành
|2<i>x</i>+1| = 2x + 1. Giải đợc x <i>−</i>1

2
Suy ra nghiệm của phơng trình đã cho là: <i>−</i>1

2 <i>≤ x ≤</i>0

b)(2đ) Từ giả thiết suy ra x2_{x + 1 = 2x hay x}2_{= 3x – 1.}

Suy ra x 0 vµ x3_{= (3x – 1)x = 3x}2_{– x = 8x – 3}

x4_{= (8x – 3)x = 8x}2_{– 3x = 21x -8}

Do đó B = <i>x</i>
4<i>₋</i>₃<i>_x</i>3

+18<i>x −</i>1
<i>x</i>3<i>−</i>2<i>x</i>2+<i>x</i>+1 =

21<i>x −</i>8<i>−</i>3(8<i>x −</i>3)+18<i>x −</i>1

8<i>x −</i>3<i>−</i>2(3<i>x −</i>1)+<i>x</i>+1 =

15<i>x</i>

3<i>x</i> =

15

3 =5

<b>Câu4: (3đ) Ta có x</b>2_{2xy + x - 2y =(x – 2y)(x + 1)} ₀ ¿

<i>⇒x ≤</i>2<i>y</i>¿ vì x 0

nên x + 1 > 0).

Do đó M = x2_{– 5y}2_{+ 3x} _4y2_{– 5y}2_{+ 6y = -y}2_{+ 6y = -(y – 3)}2_{+ 9}

9.

M = 9 khi vµ chØ khi y = 3, x = 6.
VËy giá trị lớn nhất của M là 9.
<b>Câu5: (6đ) </b>

a)(3®) Ta cã <i>Δ</i> CDE ~ <i>Δ</i> CAB(hai tam giác vuông có góc C chung)
<i></i>CE

CB=
CD

CA <i></i>CAD ~ <i></i>CBE<i></i>^<i>A</i>1=^<i>B</i>1<i></i>^<i>E</i>1=^<i>D</i>1=45<i></i> (Vì <i></i> AHD vuông
cân) <i></i>ABE vuông cân <i></i> AE = AB(đfcm).

b)(3đ) Từ <i></i> ABE vuông cân kết hợp với GT suy ra AM BE.Kéo dài AM cắt
BC t¹i K. Ta cã: <i>Δ</i> AHK ~ <i>Δ</i> BMK <i>⇒</i> AK

BK =
HK

MK <i>⇒Δ</i>AKB ~ <i>Δ</i> HKM

<i>⇒∠</i>MHK =∠BAK=45<i>∘</i> (vì <i>Δ</i> ABE vng cân nên AM vừa lầ đờng trung
tuyến vừa là đờng phân giác suy ra <i>∠</i>BAK=45<i>∘</i> ) <i>⇒∠</i>AHM=45<i>∘</i>

A

C

B

_H

E

D

K

M

1

1 C_A

</div>

<!--links-->