Chuyen de Phuong trinh vo ti

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (259.85 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Cơng Thuận
Tổ: Tốn - Lý-Tin-KT

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
25

CHUYÊN ĐỀ 4

PHƯƠNG TR

ÌNH VƠ T

Ỷ

(phương trình chứa ẩn số dưới dấu căn bậc hai)

I. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

1. Phương pháp luỹ thừa hai vế:

Dạng tổng quát:

2 2

0; ( ) 0
( )

( )

c f x
f x c

f x c

 



  




hoặc 2 2

( ) 0; ( ) 0
( ) ( )

( ) ( )

g x f x
f x g x

f x g x

 


  




hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 2
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

h x g x h x

f x g x h x

f x g x f x g x h x

  


   
  


2

2 2 2

( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0
4 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )]

h x h x f x g x
f x g x h x f x g x

    

 
  



Ví dụ 1: Giải phương trình:

a. x2 = 2 - x b. x 3 x25

Giải: a. x2 = 2 - x 2 2 2

2 0 2

2 4 4
2 (2 )

x x

x x x

x x
 
  

 
   
   



2 2 2

5 6 0 ( 2)( 3) 0

x x

x x x x

 
 
 
    
 

2
2
3
x
x
x



 

 



Vì x  2 nên x = 3 (loại ). Vậy phương trình x2 = 2 - x có một nghiệm x = 2
b. x 3 x25

ĐK: 3 0 3

2 0 2

x x
x x
   
 

 
  
 
2
x

  (1)

Với x2: x 3 x25 2 2

( x 3 x 2) 5

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Cơng Thuận
Tổ: Tốn - Lý-Tin-KT

CÁC CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
26

 x   3 x 2 2 (x3)(x2) 25

2 (x3)(x2)24 2 x  (x3)(x2) 12x (*)

ĐK: 12 - x 0 x12

(*) 2 2

(x 3)(x 2) (12 x)

      x2 + x - 6 = 144 - 24x + x2
 25x = 150  x = 6 (2)

Đối chiếu vớiđiều kiện (1) và (2) x = 6 thỏa mãn. Vậy phương trình x 3 x25
có một nghiệm x = 6

2. Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu : 
Dạng tổng quát: f x( ) g x( ) h x( )

Cách giải:

Bước 1: Biếnđổi f(x) = [A(x)]2  0 và g(x) = [B(x)]2  0
Bước 2: Biếnđổi f x( ) g x( )h x( )









2 2

( ) ( ) ( )

( ) 0

A x B x h x

h x



  

 






( ) ( ) ( )
( ) 0

A x B x h x
h x

  

 




Bước 3: Bỏ dấu trị tuyệtđối và giải ta tìm được x

Ví dụ 2: Giải phương trình:

2 2

2 1 4 4 3

x  x  x  x 

Giải: Vì x2 - 2x + 1 = (x - 1)2  0 và x2 + 4x + 4 = (x + 2)2  0 nên:

2 2

2 1 4 4 3

x  x  x  x   x 1 x2 3 (*)
Nếu x > 1 thì (*)  x - 1 + x + 2 = 3

 2x = 2  x = 1 ( không thỏađiều kiện x > 1)
Nếu  2 x1 thì (*)  1 - x + x + 2 = 3  0x = 0

Phương trình (*) nghiệmđúng với mọi  2 x1

Nếu x < -2 phương trình (*)  1 - x - x - 2 = 3
 -2x = 4

 x = -2 ( không thỏađiều kiện x < -2)

Vậy phương trình 2 2

2 1 4 4 3

x  x  x  x  có nghiệm  2 x1

3. Phương pháp đặt ẩn phụ ( phương pháp hữu tỷ hóa):

Dạng tổng quát: f x( ) g x( ) h x( )

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-KT

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
27

Bước 1: Đặt điều kiện

( ) 0
( ) 0
( ) 0

f x
g x
h x





 


Bước 2: Đặt ẩn phụ t = f x( ) ( t  0) và biếnđổi g x( ) theo ẩn t

Bước 3: Thay ẩn t vào phương trình f x( ) g x( ) h x( ) và giải phương trình

theo ẩn t .

Bước 4: Thay gía trị củaẩn t vào bước 2 ta tìm được x.
Ví dụ: Giải phương trình:

1 1 3

1 1 2

x x

 

 

 

Giải: Điều kiện:
1
0
1
1
1 1
0
1
x
x
x

x x
x



  
 

 
   
 
 


Đặt t = 1
1

x
x



 ( t > 0)

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1
1

x x

x x x x t

x
x
 
    
   



1 1 3

1 1 2

x x
x x
 
 
 
1 3
2
t
t

    2t2 - 2= 3t  2t2 - 3t -2 = 0 (*)
Giải phương trình (*) ta được: t1 = 2 và t2 = -0,5 ( loại ).

Thay t = 2 ta được: 1
1

x
x



 = 2

1
4
1
x
x

  

 x + 1 = 4x - 4

 x = 5

3 ( thỏađiều kiện x > 1)

Vậy phương trình 1 1 3

1 1 2

x x

 

 

  có một nghiệm x =

5
3

Chú ý: + Ngoài các phương pháp giải nêu trên, khi giải phương trình vơ tỷ ta có thể vận
dụng tính chất của bất đẳng thức để giải hoặc nhân với lượng liên hợp để đưa về dạng 
phương trình đơn giản hơn.

+ Trong quá trình biến đổi ta cần lưu ý điều kiện nghiệm của phương trình trung 
gian. Nếu phương trình trung gian có nghiệm nhưng nghiệm đó khơng thỏa điều kiện 
nghiệm của phương trình ban đầu thì phương trình ban đầu vơ nghiệm

+ Phương trình dạng 2n+1 f x( ) g x( ). Ta biến đổi thành phương trình: 
f(x) = g(x)2n+1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Cơng Thuận
Tổ: Tốn - Lý-Tin-KT

CÁC CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
28

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1. Giải các phương trình:

a. x 1 x1 b. 1x 2x 1

c. 14x x4 x1 d. x 1 5x 1 3x2
e. x 1 x10 x2 x5

2. Giải các phương trình sau:

a. x2 x 1 x2 x 1 2 b. x4 x4   x 2 x4 6

c. 3 + x2 x 1 2 x2 x1 d. x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5
3. Giải phương trình:

a.3x x2x8 x 0 b. 3x2 + 2x = 2 2