Rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc phân dạng và phương pháp giải các bài toán tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp trường THPT lang chánh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH QUA VIỆC PHÂN DẠNG VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN NHẰM
NÂNG CAO KẾT QUẢ THI TỐT NGHIỆP THPT
TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

Người thực hiện:
Lê Thị Tuyết
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn

MỤC LỤC

THANH HỐ NĂM 2021


MỤC LỤC
Mục
1

Nội dung

Trang

Mở đầu

2

1.1

Lí do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

3

2.1

Cơ sở lí luận của SKKN

3

2.2

Thực trạng trước khi áp dụng SKKN

3

2.3

Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

4

2

2.3.1 Sử dụng tích chất cơ bản của tích phân

4

2.3.2 Phương pháp đổi biến

6

2.3.3 Dùng phương pháp tích phân từng phần

9

2.3.4 Tính tích phân của hàm số khi biết đẳng thức giữa

f  x  và f � x 

11

2.4

Hiệu quả của SKKN

17

3

Kết luận, kiến nghị

17

3.1

Kết luận

17

3.2

Kiến nghị

17

Tài liệu tham khảo

18

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Nghị quyết số 29 NQ/TW của Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI về
đổi mới giáo dục toàn diện đã đặt ra nhiều yêu cầu mới trong sự nghiệp phát
triển giáo dục và đào tạo hiện nay. Để đáp ứng những yêu cầu này, địi hỏi người
thầy phải ln tìm tịi, nghiên cứu để đưa ra những phương pháp dạy học phù
hợp với từng đối tượng học sinh.
Ý thức được vai trò của người thầy trong sự nghiệp đổi mới giáo dục, tôi
luôn học tập, nghiên cứu để nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương
pháp học dạy học, tạo ra hứng thú trong học tập cho các em.
Toán học là một mơn có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Những kiến thức
cà kĩ năng của toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong
cuộc sống một cách chính xác và hệ thống. Vì vậy, tốn học luôn nhận được sự
quan tâm đặc biệt của học sinh, nhất là đối với các học sinh chuẩn bị bước vào
kì thi Tốt nghiệp trung học phổ thơng. Các dạng toán xuất hiện trong các đề thi
rất đa dạng từ mức độ nhận biết đến vận dụng cao, đòi hỏi học sinh phải phát
huy phải phát huy tối đa tính sáng tạo và nắm bắt bản chất vấn đề để giải quyết
một cách nhanh chóng.
Một trong những dạng tốn thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Tốt
nghiệp THPT là những bài tốn liên quan đến tích phân hàm ẩn. Đối với dạng

toán này, hệ thống bài tập sách giáo khoa chỉ đề cập đến những bài toán ở mức
độ dễ, trên lớp khơng có nhiều thời gian để học sinh rèn luyện, các tài liệu trên
internet cũng khá nhiều, nhưng hầu như cũng chỉ đưa ra bài giải mà ít giải thích
tại sao và làm thế nào để biến đổi được như vậy. Do đó, học sinh thường lúng
túng trong việc tìm ra hướng giải, thậm chí khơng có định hướng trong việc tìm
ra lời giải, dẫn tới việc khoanh “lụi” đáp án.
Nhằm giúp các em có hứng thú học tập phần tích phân hàm ẩn, trang bị tốt
kĩ năng giải toán và chuẩn bị thật tốt cho kì thi THPT Quốc gia, tơi chọn đề tài
“Rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc phân dạng và phương pháp giải các
bài tốn tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp trường
THPT Lang Chánh” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích của nghiên cứu là giúp học sinh làm rõ vấn đề cịn lúng túng,
thậm chí khơng tìm ra hướng giải quyết của dạng tốn tích phân hàm ẩn. Góp
phần gây hứng thú học tập cho học sinh. Hơn nữa, nghiên cứu còn là một tài liệu
tốt để phục vụ cho công tác dạy học và ôn thi cho học sinh của mình và chia sẻ
đến các đồng nghiệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu tổng hợp về các phương pháp giải tích phân hàm ẩn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2


Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu các tài liệu liên quan đến đề
tài của mình như sách giáo khoa, các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề minh
họa, đề thi thử của các trường trên cả nước.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi đã
tiến hành khảo sát ở hai lớp 12A3, 12A4 trường THPT Lang Chánh, năm học
2019-2020.

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Từ đề thi tốt nghiệp THPT của
những năm trước, cùng với các đề minh họa, đề thi của các Sở, các trường trên
cả nước, tôi đưa ra một số dạng tích phân hàm ẩn thường gặp, hướng tư duy và
lời giải cho các bài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Ta đã biết, “tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản
chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện
tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” [1]. Hồn cảnh (tình
huống) có vấn đề kích thích con người tư duy. Vì thế trong dạy học cũng như
trong công tác giáo dục, phải đưa học sinh vào tình huống có vấn đề và hướng
dẫn để các em tự giải quyết vấn đề.
Việc định hướng và phát triển năng lực tư duy cho học sinh ở trường THPT
là yếu tố cần thiết cho tất cả các mơn học nói chung và mơn tốn nói riêng. Bởi
lẽ lượng kiến thức và bài tập trong bộ môn này khá đa dạng, phức tạp. Ở mỗi
chương, mỗi bài đều gây những khó khăn nhất định, điều này đặt học sinh vào
những tình huống có vấn đề cần giải quyết. Chương “Nguyên hàm - tích phân và
ứng dụng” [2] cũng khơng ngoại lệ.
Các bài tích phân học sinh tiếp cận trong sách giáo khoa chủ yếu là dạng
hàm tường minh, tức là hàm đã cho dưới dạng một biểu thức chứa biến, cịn
dạng hàm số bị ẩn đi (tích phân hàm ẩn) thì chỉ được đề cập đến ở mức độ thơng
hiểu, áp dụng tính chất của tích phân. Cịn những bài tốn tích phân hàm ẩn ở
mức độ vận dụng, vận dụng cao thì sách giáo khoa và sách bài tập chưa đề cập
đến. Nếu tham khảo trên internet, trên các phần mềm giải tốn thì hầu như chỉ
có bài giải mà khơng giải thích chi tiết tại sao lại làm được như vậy. Để giúp học
sinh hiểu được bản chất, phương pháp định hướng trong việc tìm ra lời giải, tơi
xin trình bày trong phần nội dung của đề tài.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong q trình giảng dạy, tơi khảo sát hai lớp 12A3 và 12A4 của trường
THPT Lang Chánh về mức độ nắm bắt phần kiến thức tích phân hàm ẩn của

chương “Nguyên hàm-Tích phân và ứng dụng” thì nhận được kết quả sau
3


Bảng 1: Kết quả trước khi tiến hành nghiên cứu
Làn điểm
Số HS,
Cộn
Lớp
5 đến < 6.5 đến 8 đến <
�
chiếm (%) < 5
9 đến 10 g
6.5
<8
9
HS
5
18
11
5
0
39
12A
3
%
12.8
46.2
28.2
12,8

0
100
HS
7
16
14
4
0
41
12A
4
%
17.1
39.0
34.2
9.7
0
100
Từ kết quả khảo sát và thực tế giảng dạy tại hai lớp, tôi nhận thấy rằng: Đa
số các em chỉ làm được các bài tích phân dạng tường minh, cịn các bài tích
phân hàm ẩn thì các em cịn mơ hồ, cịn lúng túng, thậm chí chưa có định hướng
cho bài giải, việc nhận biết để phân dạng còn yếu,nhất là những bài ở mức độ
vận dụng, vận dụng cao gặp trong các đề thi. Chính vì điều này, tơi xây dựng
“Rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc phân dạng và phương pháp giải các
bài tốn tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp trường
THPT Lang Chánh” để giúp các em có thể giải quyết bài tốn này trong đề thi,
tạo niềm tin và gây hứng thú trong học tập.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.
Từ việc nghiên cứu các đề thi THPT Quốc gia, đề thi minh họa và các đề
thi của các Sở, các trường trên cả nước, tôi rút ra một số dạng thường gặp và

cách giải những dạng tốn đó sẽ được trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm
này. Phần kiến thức cơ sở đã được trình bày rất hệ thống trong sách giáo khoa
[2] nên tôi xin phép không nêu lại trong sáng kiến kinh nghiệm này. Dưới đây là
phương pháp giải của một số dạng tích phân hàm ẩn.
2.3.1. Sử dụng tích chất cơ bản của tích phân.
Dạng tốn này ở mức độ cơ bản, được khai triển từ sách giáo khoa. Phương
pháp giải dạng toán này là áp dụng các tính chất của tích phân:
f x ,g x
Cho các hàm số     liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc
K . Khi đó ta có
a

 Tính chất 1:
 Tính chất 2:
 Tính chất 3:
 Tính chất 4:

f  x  dx  0.
�
a

b

a

a

b

f  x  dx   �

f  x  dx.
�
b

c

c

a

b

a

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx.
�
b

b

b

a

a

a

�
dx= �
f  x  dx  �
g  x  dx.
�
�f  x   g  x  �
�

4


 Tính chất 5:
Ví dụ 1. [3]

b

b

a

a

kf  x  dx  k �
f  x  dx
�

2

2

f  x  dx  2.
�

Biết
Tính giá trị của
A. 4 .
B. 5 .
Định hướng lời giải:
Áp dụng tính chất 5 ta có
1

2

2

1

1

với k ��.

3 f  x  dx.
�
1

C. 6 .

D. 10 .

3 f  x  dx  3�

f  x  dx  3.2  6.
�

Vậy ta chọn đáp án C.
Ví dụ 2. [5]
4

4

�f  x  dx  4

g  x  dx  3
�

4

dx
�
�
�f  x   2 g  x  �
�

Biết 3
và 3
, khi đó 3
A. 5 .
B. 10 .
C. 5 .
Định hướng lời giải:
Áp dụng tính chất 4 và tính chất 5 ta có:

4

4

4

3

3

3

bằng?
D. 10 .

dx  �
f  x  dx  2 �
g  x  dx  4  2.3  10
�
�
�f  x   2 g  x  �
�

.

Vậy ta chọn đáp án B.
Ví dụ 3. [5]
f x
1;2 , f  1  8, f  2   1.
Cho hàm số   liên tục, có đạo hàm trên 

2

Tính

 x  dx.
�f �

1

A. 7 .
B. 7 .
Định hướng lời giải:
2

 x  dx  f  x 
�f �

2
1

Ta có
Vậy D là đáp án cần tìm.
Ví dụ 4. [5]
1

D. 9 .

C. 9 .
 f  2   f  1  1  8  9.

10

Cho hàm số
6

f  x  dx  3.
�
2

Tính

f  x

liên tục trên

2

10

0

6

 1;10

thỏa mãn

�f  x  dx  7,
0

P�
f  x  dx  �
f  x  dx.

A. 4 .
B. 10 .
Định hướng lời giải:
Áp dụng tính chất 3 ta được

C. 7 .

5

D. 4 .


10

2

6

10

f  x  dx  �
f  x  dx
�f  x  dx  �f  x  dx  �
0

0

2

2

10

6

10

6

0

2

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  7  3  4.
�

6
Suy ra 0
Vậy đáp án đúng là A.
Ví dụ 5. [5]
2

 4 f  x   2 x  dx  1.

�

2

f  x  dx.
�

Cho
Tính 1
A. 1 .
B. 3 .
C. 3 .
Định hướng lời giải:
Áp dụng tính chất 5 và định nghĩa tích phân ta được:
1

D. 1 .

2

 4 f  x   2 x  dx  1
�
1
2

2

1

1

� 4�
f  x  dx  �
2xdx  1
2

� 4�
f  x  dx  3  1
1

2

��
f  x  dx  1.
1

Vậy A là đáp án cần tìm.
2.3.2. Phương pháp đổi biến.
b

Thơng thường, nếu trong bài toán xuất hiện dạng

u  x   t.

sẽ đặt
Đối với dạng này cần lưu ý:
cận.
Ví dụ 1. [5]

f�

u  x �
.u �
 x  .dx
�
�
�
a

b

b

a

a

f  x  dx  �
f  t  dt
�

thì ta

và phải đổi

1

f x
Cho hàm số   liên tục trên � và thỏa mãn

�f  x  dx  9.

5

Tính

2

 f  1  3x   9  dx.
�
0

A. 11 .

B. 21 .
u  x   1  3x

Nhận xét: Hàm
Định hướng lời giải:

C. 21 .

D. 11 .

nên ta sẽ đặt 1  3x  t. Sau đó đưa về

1
1  3x  t � 3dx  dt � dx   dt.
3
Đặt
Đổi cận: x  0 � t  1; x  2 � t  5.

6


5

I  �
 f  t   9

1
dt 1 �1
�1
 ��
f  t  dt  �
9dt �  9  54   21.
3 3 �5
5
�3

1
Suy ra
Vậy C là đáp án của bài tốn.
Ví dụ 2. [5]
f x
f 0 3
Cho hàm số   liên tục có đạo hàm trên � thỏa mãn  
và
2

f  x   f  2  x   x 2  2x  2, x ��.

Tính

f  x  dx.
�
0

5
8
7
4
A. 3 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 3 .
Nhận xét: Đối với những dạng này, thơng thường ta hay lấy tích phân hai
vế rồi dùng phương pháp đổi biến số để tính tích phân.
Định hướng lời giải:
Lấy tích phân 2 vế với cận từ 0 đến 2 hai vế của biểu thức giả thiết, ta
được:
2
2
2
casio
8
2
f
x
d
x


f
2

x
d
x

x

2x

2
d
x





 


�
�
�
3
0
0
0
Đặt 2  x  t � dx  dt.

Đổi cận: x  0 � t  2; x  2 � t  0.
Khi đó

2

0

2

0

2

0

2

f  2  x  dx   �
f  t  dt  �
f  t  dt  �
f  x  dx.
�
2

2�
f  x  dx 

0

8

4
��
f  x  dx  .
3
3
0
2


Thay vào   ta được: 0
Chú ý: Theo góc nhìn khác, bài tốn hồn tồn có thể được giải quyết khi
áp dụng bài tốn tổng quát sau :
f x
A. f  x   B.u�
. f  u   C. f  a  b  x   g  x 
Cho hàm số   thỏa mãn
u  a  a
�
b
b
�
1
�
f
x
d
x

g  x  dx.
 

�
�
u  b  b
�
A

B

C
a
+) Với
thì a
u a  b
�
b
b
�
1
�
f  x  dx 
g  x  dx.
�
�
u  b  a
�
A

B

C

a
a
+) Với
thì
b

b

f  a  b  x  dx  �
f  x  dx.
�
f
x
a
;
b




a
a
Nếu
liên tục trên
thì
Thật vậy, trong ví dụ này, nếu ta thay a  0; b  2; A  1; B  1; C  0 thì
2
2
1
4

f  x  dx 
x 2  2x  2  dx  .

�
�
1   1 0
3
0

7


Ngồi hai cách giải như ví dụ 2, tơi xin đưa ra hướng giải quyết theo một
f x
góc nhìn khác nữa, đó là tìm một hàm   thỏa mãn giả thiết, sau đó thay trực
tiếp vào tích phân cần tính. Sau đây là một ví dụ minh họa.
Ví dụ 3. [5]
f  x
 0;1 thỏa mãn
Cho
hàm
số
liên
tục
trên
1

2 f  x   3 f  1  x   1  x2 .



A. 10 .

Tính

f  x  dx.
�
0


B. 20 .
Định hướng lời giải:


D. 30 .


C. 15 .

t  1  x � 2 f  1  t   3 f  t   1   1  t   2t  t 2 .
2

Đặt

Suy ra

3 f  x   2 f  1  x   2x  x 2
�
3 f  x   2 f  1  x   2x  x 2
�
�

2 f  x   3 f  1  x   1  x2
�
�

Kết hợp với giả thiết, ta suy ra hệ
1
f
x

3 2x  x 2  2 1  x 2


f
1

x
 ta được
5
Khử 
1
casio 
11
2
2
f
x
d
x

3

2x

x

2
1

x
d
x
 
 20 .
�
�
5
0
0
Suy ra









Đối với một số bài, việc đổi biến số hay tìm hàm thỏa mãn đề bài lại gặp
khó khăn. Khi này, ta lại cần biến đổi chính biểu thức tích phân cần tính để tìm
ra hướng giải. Sau đây là một ví dụ minh họa.

Ví dụ 4. [5]
f x
0;1 .
Cho hàm số   liên tục và nhận giá trị dương trên   Biết rằng
1
dx
I �
.
f  x  . f  1  x   1. Tính
0 1  f  x

3
1
A. 2 .
B. 2 .
C. 1 .
Định hướng lời giải:
Đặt x  1  t � dx  dt.
Đổi cận: x  0 � t  1; x  1 � t  0.
0
1
1
dt
dt
dx
I  �
�
�
1 1 f 1 t
0 1 f 1 t 

0 1  f 1 x
Ta được

1
1
1
2  f  x  f  1  x
1
1
2I  �
dx  �
d x= �
dx= �
dx  1
0 1 f  x
0 1 f  1 x
0 1 f  x  1 f 1 x 
0
1

Suy ra

D. 2 .

8


1
I .
2

Vậy
2.3.3. Dùng phương pháp tích phân từng phần.

�u  g  x 
�
�
g  x . f �
 x  dx,
�
dv  f �
 x  dx
Thông thường, nếu bài tốn xuất hiện a
ta sẽ đặt �
Ví dụ 1. [3]
f  x  có đạo hàm liên tục trên �. Biết f  5   1 và
Cho hàm số
b

1

xf  5x  dx  1.
�
0

5

x f�
 x  dx.
�
2

Tính

0

A. 15 .
B. 23 .
Định hướng lời giải:
du  2xdx
u  x2
�
�
�
��
�
dv  f �
 x  dx �v  f  x  dx
Đặt �

123
C. 5 .

D. 25 .

5

5

5

0

0

0

I  x2 f  x  0  �
2xf  x  dx  5 f  5   2 �
xf  x  dx  5  2 �
xf  x  dx
5

Khi đó,

1

xf  5x  dx  1
�

Từ giả thiết

0

, bằng phép đổi biến 5x  t ta suy ra

5

xf  x  dx  25
�
0

Vậy I  25  2.25  25.
Ví dụ 2. [4]
1

f x
Cho hàm số   thỏa mãn

 x  1 f �
 x  dx  10
�
0

và

2 f  1  f  0   2.

1

I �
f  x  dx.

0
Tính tích phân
A. 1 .
B. 8 .
Định hướng lời giải:
u  x 1
du  dx
�

�
��
�
dv  f �
 x  dx �v  f  x 
�

C. 12 .

1

Khi đó

1

 x  1 f �
 x  dx  10 �  x  1 f  x  0  �f  x  dx  10
�
1

0

0

1

� 2 f  1  f  0   �
f  x  dx  10
0

1

��
f  x  dx  2  10  8.
0

9

D. 8 .


Đối với một số bài tốn, thơng qua phương pháp tích phân từng phần, ta
f x
phải tìm được một hàm   thỏa mãn bài toán bằng cách tạo ra hàm số dưới
f x
f �x
dấu tích phân có dạng tích của các biểu thức chứa   hoặc   bằng 0, từ

f x .
đó rút ra   Sau đây là một ví dụ minh họa.
Ví dụ 3. [4]
f  x
0;1
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên   thỏa mãn
2
1
1
1
1

2
f  1  0, �
�
I1  �
x f  x  dx  .
I �
f  x  dx.
 x �
�f �
�dx=7
3
0
0
0
và
Tính tích phân
7
7
A. 4 .
B. 5 .
C. 1 .
D. 4 .
Định hướng lời giải:
�
du  f �
 x  dx
�
u  f  x
�
1

� � x3
�
1
2
2
dv  x dx �
v
I1  �
x f  x  dx  .
�
3
3
�
0
Xét
Đặt
1
1
1
x3
x3
1
I1 
f  x  � . f �
 x  dx 
��
x3 f �
 x  dx  1
3
3

3
0
0
0
Khi đó,
2

1

Suy ra

1

�
7x 3 f �
 x �
 x  dx  0
�
�f �
�dx + �
0

0

1

��
f�
dx  0
 x �

 x   7x 3 �
�f �
�
0

1

Do

2

�
 x �
�
�f �
�dx �0
0

Vì thế

f�
 x   7x 3

nên

f�
 x  �0

7x 4 7
f 1  0 ta được f  x    4  4

Kết hợp điều kiện  
1
1
� 7x 4 7 � 7
I �
f  x  dx  �

 � .
�
4� 5
0
0� 4
Vậy

f x
f �x .
2.3.4. Tính tích phân của hàm số khi biết đẳng thức giữa   và  
Phương pháp: Đối với dạng tốn này, ta có thể biến đổi theo hai hướng:
f x
f �x
Hướng 1: Cô lập   và   sau đó lấy ngun hàm hoặc tích phân
f �x
hai vế. Lưu ý khi làm theo hướng này,   phải để trên tử.
f x
f �x
Hướng 2: Tìm mối liên hệ giữa   và   để đưa về biểu thức đạo
f x .
hàm của tích hoặc thương, sau đó lấy ngun hàm để tìm  
10

Ví dụ 1. [5]

f x  x 1f �
f x 0
x ��, f  0   1
 x  với
Cho hàm số  
với
và  
x �1 . Mệnh đề nào đúng?
f 3  2.
2  f  3  4 .
4  f  3  6 . D. f  3  f  6  .
A.  
B.
C.
Định hướng lời giải:
f�
 x  1
 
f  x  x 1 f �
x
f  x
x

1

Từ
suy ra


Lấy tích phân hai vế của   với cận từ 0 đến 3 ta được
3
f�
 x  dx  3 1 dx � ln �f 3 � ln �f 0 � 2
�
�
� � � �
x 1
0 f  x
0
2
� ln �
�f  3 �
� 2 � f  3   e

2 7 2

Tương tự, lấy tích phân   với cận từ 0 đến 6, ta tính được e
Vậy ta chọn đáp án D.
Ví dụ 2. [5]
f 0 1
f x
Cho hàm số   liên tục và có đạo hàm trên � thỏa mãn  
và
1

xf  x  dx.
�
 

Tính 0
3
1
2
1
1
1
2e .
e.
3e .
A. 1  e .
B.
C.
D.
f x
f �x .
Nhận xét: Từ giả thiết, ta không cô lập được   và   Vì vậy, ta giải
x
quyết bài toán theo hướng thứ hai bằng cách nhân cả hai vế với e .

f�
 x   2xf  x   2xe  x .
2

2

Định hướng lời giải:
Từ giả thiết suy ra



ex . f �
 x   2xe x . f  x   2x � f  x  .e x
2

2

2

 � 2x

f  x  .e x  x 2  C
2

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
f 0 1
Do  
nên C  1.
x2  1
f  x  x
e
Suy ra
2

1

1

x  x 2  1

xf  x  dx  �
�

x2

dx  1 

3
.
2e

e
0
Vậy 0
Ví dụ trên nảy sinh ra một vấn đề: Làm sao để biết được nhân hai vế của
x
đẳng thức với e , liệu nhân biểu thức khác được không và cách tìm biểu thức
2

11


nhân và như thế nào? Vấn đề này sẽ được giải quyết bằng dạng toán tổng quát
sau
f x
Cho hàm số   liên tục và có đạo hàm trên K thỏa mãn
f�
 x   p  x  . f  x   q  x    (với p  x  , q  x  cho trước).
P x
p x .

Gọi   là một nguyên hàm của hàm của   Khi đó, nhân cả hai vế
P x 

của   với e
ta được
P x
e .f �
 x   e P x . p  x  . f  x   e P x .q  x 



� f  x  .e

P x 

 � e   .q  x  .
P x

f x .
Lấy nguyên hàm hai vế, ta chọn được hàm  
Ví dụ 3. [5]
f x
�\  1;0 thỏa mãn
Cho hàm số   liên tục và có đạo hàm trên
f  1  2ln 2 và x  x  1 f �
 x   f  x   x 2  x  1 . Biết f  2   a  b ln 3.

2
2
Tính giá trị a  b .

3
A. 4 .

9
C. 9 .
D. 2 .
x x  1
Nhận xét: Ta có thể quy lạ về quen bằng cách chia cả hai vế cho 
rồi áp dụng bài toán tổng quát ở trên để tìm biểu thức để nhân.
Định hướng lời giải:
1
f  x   1  
 1 � f �
 x 
x  x  1
1
x
P  x  �
dx  ln
C
x  x  1
x 1
Ta có
27
B. 4 .

x
x
0
P  x   ln

.
x  1 Khi đó, nhân cả hai vế
Chọn x  1
và C  0 ta được
x
1
x
x
P x 
�
f
x

f
x





2
e 
x 1

 x  1
x  1 ta được: x  1
của   với
� x
�x
�

f
x
  �
�
x

1
�
� x 1
Hay
Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta được:
2
� 2 x
�x
�
f  x  �dx  � dx
�
�
x

1
x 1
�
�
1
1

12

2

x
2
�
f  x   1  ln
x 1
3
1
2
1
2
� f  2   f  1  1  ln
3
2
3
3 3
f  2    ln 3.
2 2
Từ đó rút ra
3
3
a  ;b  
2
2
Suy ra
9
a 2  b2  .
2
Vậy

�
f �x
f�
 x  , ta làm
Đối với các bài tốn có đẳng thức liên quan đến   và
tương tự như trên.
Ví dụ 4. [5]
f x
Cho hàm số   liên tục trên �, có đạo hàm cấp hai và thỏa mãn
2
�
f�
 x . f 2  x  2 f �
 x   . f  x   2x  3 với mọi x ��và f  0   f �
 0   1.
3
Tính f  2  .
A. P  3 .
B.
Định hướng lời giải:



11
3.

C.



23
3 .

D. 6 .

�
2
�
�
�
f
x
.
f
x




 x  . f 2  x   x 2  3x  C
� 2x  3 � f �
Từ giả thiết suy ra �
f �0  f  0   1 nên C  1.
Do  
2
2
�
f
x

.
f
x

x
 3x  1.




Suy ra
f 3  x  x 3 3x 2
 
 x  C1
3
2
Lấy nguyên hàm hai vế ta được 3
1
C

1
f 0  1 nên
3.
Do  

f 3  x  x3 3x 2
1
 
x
3

2
3
Vậy 3

3
f
 2   3 .
x

3
Thay
vào biểu thức ta được
f x
f �x
Đôi khi, mối liên hệ giữa   và   bị ẩn đi, từ giả thiết lại khơng thể
f x .
tìm chính xác hàm   Chính vì thế, ta phải tìm cách tạo ra mối liên hệ giữa
f  x  và f �
 x  rồi lấy nguyên hàm hoặc tích phân hai vế. Sau đây là một ví dụ
minh họa.

13


Ví dụ 5. [5]

f  x

Cho hàm số
3

f ( x)  2 f ( x)  1  x.  

liên

tục

 2;1 và

trên

thỏa

mãn

1

Tính tích phân
5
A. 4 .

�f  x  dx.

2

7
B. 4 .

11
D. 4 .

9
C. 4 .

f x ,
Nhận xét: Từ giả thiết khó suy ra   vì thế ta sẽ tạo ra mội liên hệ giữa
f  x
f �x
f �x
và   bằng cách nhân cả hai vế của giả thiết với   . Từ đó bài toán
được giải quyết dễ dàng hơn.
Định hướng lời giải:
f 3 (1)  2 f (1)  0 � f  1  0
Từ giả thiết suy ra
f 3 (2)  2 f (2)  3 � f  2   1.
Và

f �x
Nhân cả hai vế của   với   ta được
f�
 x   f 3 ( x)  2 f ( x)    1  x  f �
 x
Lấy tích phân với cận từ 2 đến 1 hai vế ta được
1

 x   f 3 ( x )  2 f ( x )  dx 
�f �

2

1

1 x f �
 x  dx
�

2

1
1
�f  x 
�
��
 f 2  x  �   1  x  f  x  2  �
f  x  dx
4

2
�
�2
1
7
f  x  dx  .
�
4
Từ đó ta tính được 2
4

1

Một số bài tập tự luyện:

y  f  x  thoả
Câu 1. Cho hàm số
f�
 x   x3 f 2  x  x ��. Giá trị của f  1 bằng
2
1
 .
 .
A. 3
B. 2
C. 1.

mãn

f  2  

4
19

3
 .
D. 4

và

�
f ' x    f  x  . f �
x   15 x 4  12 x
f

x




Câu 2. Cho hàm số
thỏa mãn
,
2
x �� và f  0   f '  0   1 . Giá trị của f  1 bằng?
5
9
.
.
2
2
A.
B.
C. 9.
D. 8.
2

14


Câu

3.

Cho

hàm

f  x

số

liên

tục

trên

 0;1

thỏa

mãn

1

6 x 2 . f  x3   4 f  1  x   3 1  x 2


A. 8 .


B. 20 .

Câu 4. Cho hàm số

. Tính

f  x

f  x  dx
�
0

.


C. 16 .

liên tục trên đoạn

 1;2


D. 4 .
thỏa mãn

2

f ( x)  2 xf ( x 2  2)  3 f (1  x)  4 x3 . Tính

A. I  3 .

B. I  5 .

�f  x  dx

1

.
I

15 .
C.

Câu 5. Cho hàm số f  x  liên tục trên �và thỏa mãn

D. I  6 .
f  x 2  3x  1  x  2

.

5

Tính

I �
f  x  dx.
1

37
A. 6 .

527
61

464
B. 3 .
C. 6 .
D. 3 .
f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn
Câu 6. Cho hàm số
1
1
1
2
1
1
f  0   1; �
�
f  x  dx
 2x  1 f  x  dx   .
�
�
�f  x  �
�dx  30
30 Tích phân 0
0
và 0
bằng
11
A. 30 .

11
B. 12 .

11
C. 4 .

1
D. 30 .

1
2
f  2  
f�
x   x3 �
f  x �
f
x



�
�
3
Câu 7. [3] Cho hàm số
thỏa mãn
và
f 1
với mọi x ��. Giá trị của   bằng
4
71
79
4





A. 35 .
B. 20 .
C. 20 .
D. 5 .
f x ,g x
1;3
Câu 8. Cho     là hai hàm số liên tục trên   thỏa mãn điều kiện
3

�
dx  10
�
�f  x   3g  x  �
�
1

Tính
A. 9.

3

�
2 f  x  g  x �
dx  6.
�
�
�

đồng thời 1

3

2

1

1

f  4  x  dx  2 �
g  2 x  1 dx.
�

B. 6.

C. 7.

D. 8.
f x
�\  0 thỏa mãn
Câu 9. [5] Cho hàm số   xác định và liên tục trên
x 2 f 2  x    2x  1 f  x   xf �
 x   1 với mọi x ��\  0 , f  1  2. Tính
2

f  x  dx.
�
1

15


ln 2
1
3
ln 2 3
 1.
 ln 2  .
 ln 2  .

 .
2
2
2
2
2
A.
B.
C.
D.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong phạm vi bài viết, tôi đã tập trung đề cập đến phương pháp giải các
bài tích phân hàm ẩn, với cách thức triển khai ý tưởng về mặt phương pháp
thơng qua một số ví dụ và hướng dẫn học sinh giải. Sau đó lấy các bài tập trong
các đề thi tốt nghiệp THPT, đề minh họa và các đề thi của một số tỉnh thành trên
cả nước để học sinh luyện tập.
Để kiểm chứng tính khả thi của SKKN, tôi đã chọn lớp thực nghiệm là

12A3 và lớp đối chứng là 12A4. Sau một tháng áp dụng SKKN vào lớp thực
nghiệm, tôi khảo sát học sinh và thu được kết quả sau
Bảng 2: Kết quả sau thực nghiệm
Làn điểm
Số HS,
Cộn
Lớp
5 đến < 6.5 đến 8 đến <
chiếm (%) < 5s
g
9 đến �10
6.5
<8
9
HS
0
7
15
13
4
39
12A
3
%
0.0
17.9
38.5
33.3
10.3
100

HS
5
12
20
4
0
41
12A
4
%
12.2
29.3
48.8
9.7
0.0
100
So sánh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước thực nghiệm (bảng 1), ta
thấy rằng mức độ nắm bắt kiến thức của các em ở hai lớp là tương đương nhau.
Đa phần, học sinh làm bài ở mức 5 đến 6 điểm, không xuất hiện điểm ở mức 9
đến 10 và vẫn còn nhiều học sinh ở mức dưới 5. Sau khi áp dụng giảng dạy theo
SKKN cho học sinh lớp thực nghiệm, điểm số được cải thiện rõ rệt. Cụ thể, số
học sinh đạt điểm dưới 5 khơng có, điểm từ 9 đến 10 đã xuất hiện 4 bài, và số
bài đạt điểm cao nhiều hơn so với trước khi tiến hành thực nghiệm.
Từ bảng số liệu trên cho thấy việc hướng dẫn học sinh giải một số bài tốn
tích phân hàm ẩn và ứng dụng tích phân đã đem lại kết quả tốt lên rất nhiều.
Học sinh đã khơng cịn lúng túng, bỡ ngỡ trước một số dạng bài tốn tích phân
hàm ẩn đó nữa. Các em đã biết phân dạng và nắm được phương pháp giải của
một số dạng, từ đó tích cực, chủ động hơn trong việc làm bài tập và có ý thức tự
học ở nhà.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận.
Trên đây là những kinh nghiệm đúc rút từ quá trình giảng dạy của bản thân.
Hy vọng với nội dung và cách thực hiện nêu trên học sinh có thể giải quyết tốt
những bài tốn tích phân hàm ẩn và tư duy để làm được những bài tốn tích
phân phức tạp hơn.
3.2. Kiến nghị.


16


Với nội dung có hạn của đề tài tơi đã nghiên cứu, tôi mong Sở giáo dục,
nhà trường và đồng nghiệp góp ý kiến mở rộng nội dung, để sáng kiến của tơi
trở thành tài liệu hữu ích cho các em học sinh trong quá trình học tập, và mong
rằng sáng kiến sẽ trở thành tài liệu tham khảo tốt cho đồng nghiệp.
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

TÁC GIẢ

Lê Thị Tuyết

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tâm lý học đại cương, Nguyễn Quang Uẩn (chủ biên), NXB đại học sư
phạm.
2. Sách giáo khoa giải tích 12, Trần Văn Hạo (chủ biên), NXB giáo dục.

3. Đề thi tốt nghiệp THPT các năm từ 2017 đến 2020 của Bộ giáo dục.
4. Các đề minh họa các năm từ 2017 đến 2020 của Bộ giáo dục.
17


5. Đề thi thử THPT Quốc gia của một số tỉnh thành.

18