GIAI PHUONG TRINH VO TI TREN MTCT

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b>Mở đầu.</b></i>

Hin nay vic s dng mỏy tính bỏ túi cho phép học sinh có thể tính nhanh giá trị
đúng (hoặc gần đúng) nghiệm của phơng trình ,giúp cho học sinh tránh đợc
những sai sót trong lời giải,kiểm tra nhanh kết quả tìm đợc.

Phơng trình vơ tỉ là một trong những dạng bài tốn khó đối với học sinh cấp
THCS, trong phần phơng trình nói chung,cả trong chơng trình và trong các bài
tốn của đề thi.Đặc biêt là các kì thi HSG và thi vào lớp 10 PTTH.Giải phơng
trình vơ tỉ nói chung có nhiều phơng pháp và rất đa dạng.Tuy nhiên đa số các bài
tốn giải phơng trình vơ tỉ thờng gặp ,học sinh có thể giải đợc bằng cách áp dụng
một trong những phơng pháp sau.

<i><b>Một vài phơng pháp giải phơng trình vơ tỉ</b></i>
<i><b>dạng đơn gin.</b></i>

<b>I.</b><i><b>Phơng pháp nâng lên lũy thừa</b></i>

<b>1. Ví dụ 1.</b>

Giải phơng tr×nh
X + _√<i>x −</i>1<i>₫</i> = 7
<i><b>Lêi gi¶i:</b></i>

X + _√<i>x −</i>1<i>₫</i> =7 (1)
§K: x ≥ 1 (*)

(1) <i>⇔</i> √<i>x −</i>1<i>₫</i> =7 x (2).
ĐK:x 7 (**)

Bình phơng hai vế

(2) <i>⇔</i> (7-x)2_{= x- 7}

<i>⇔</i> x2 _{- 15x + 50 = 0}

<i></i> x1=5; hoặc x2=10 (loại)
Tập nghiệm của phơng trình là:
S = {5} .

<b>Dùng máy tính kiểm tra kết quả:</b>

(Ta thực hiện lần lợt các bớc từ trên xuống dới với máy CASIO fx-570MS).

<b>*Bớc 1.</b>

<i><b>Viết phơng trình vào máy : </b></i>

ALPHA X ( ALPHA X - 1 ) ALPHA = 7

<b>*Bớc2.</b><i><b>Lệnh cho máy giải nh sau</b></i><b> :</b>

<b>SHIFT</b> <b>SOLVE</b> <b>₌</b> <b>SHIFT</b> <b>SOLVE</b>

<i><b>TiÕp tôc:</b></i>

<b>SHIFT</b> <b>SOLVE</b> <b>SHIFT</b> <b>SOLVE</b>

+ √ ( <i>_{_}</i> ₁ <i>)</i> 7

=

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>lặp lại lệnh trên vơí các nghiêm ± thứ nhất và thứ 2,………,thứ n,để máy </b>
<b>tính giải…</b>

<b>*Bớc3.</b><i><b>Chờ cho máy giải xong và lấy kết quả,so sánh với đáp số của lời gii.</b></i>

<b>Máy tính cho kết quả phơng trình chỉ có một nghiệm duy nhất X = 5</b>

<b>Ghi nhớ là</b> : Phơng tr×nh bËc n nÕu cã nghiƯm ,th× sÏ cã không quá n nghiệm.

<b>II. Phng phỏp t n ph:</b>

<b>1.Dùng ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:</b>
<b>Ví dụ1.</b>

Giải phơng tr×nh

√

<i>x −</i>

_√

<i>x</i>2<i>₋</i>₁ ₊

√

<i>x</i>+

√

<i>x</i>2<i>−</i>1 = 2 (1)

<i><b>Lêi gi¶i:</b></i>

√

<i>x −</i>

_√

<i>x</i>2<i>₋</i>₁ ₊

√

<i>x</i>+

√

<i>x</i>2<i>−</i>1 = 2 (1)

Đặt



<i>_x</i>



<i>_x</i>2

<i></i>1 = t
§K: t > 0;

<i>⇒</i>

_√

<i>_x+</i>

_√

<i>_x</i>2<i>₋</i>₁ ₌ 1

<i>t</i>

(1) cã d¹ng:
t + 1

<i>t</i> = 2. (2)

(2) <i>⇔</i> t2_{- 2t +1 = 0}

<i>⇔</i> t =1
<i>⇔</i>

_√

<i>_{x −}</i>

_√

<i>_x</i>2

<i>−</i>1 =1
<i>⇔</i> x - 1 =

_√

<i>_x</i>2

<i>−</i>1
<i>⇔</i> 1- 2x + x2 _{= x}2_{- 1}

<i>⇔</i> 2x – 2 = 0
<i>⇔</i> x = 1
S = {1} .

<b>*</b><i><b>Sư dơng m¸y tính làm tơng tự ta cũng có kết quả phơng trình chỉ có một </b></i>
<i><b>nghiệm duy nhất X= 1</b></i>

<b>3.Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình tích</b>
<b>a.Dùng một ẩn phụ</b>

<i><b>Ví dụ1: </b></i>

Giải phơng trình:
x2 ₊

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

x2 ₊

√<i>x+</i>1 = 1 (1)
§K : x ≥ -1 (*)

<i>⇔</i> x2_-1+

√<i>x+</i>1 =0

<i>⇔</i> (x+1)(x-1) + _√<i>x+</i>1 =0

<i>⇔</i> (x+1)(x+1-2) + _√<i>x</i>+1 =0

Đặt <i>x+</i>1 = t
ĐK: t ≥ 0

(1) <i>⇔</i> t2_(t2_-2)+t=0
<i>⇔</i> t [ t3_-2t+1]=o

(1) <i>⇔</i> t(t-1)(t2_{+t-1) = 0}
<i>⇔</i> hc t1 = 0

hc t2 = 1

hc t3 = <i>−</i>1+√5
2
hc t4 = <i>−</i>1<i>−</i>√5

2 (lo¹i)

<b>S</b> = { 0 ; -1 ; 1<i>−</i>√5

2 } <b>.</b>

<b>Kết quả của máy tính là</b> <b>:</b>

Một nghiệm X1 = 0 và hai nghiệm âm.
X2=-1 ;

x3- 0,618033908 (giỏ trị gần đúng của 1<i>−</i>√5

2 }

<b>b.Sư dơng 2 Èn phơ đa về phơng trình tích</b>

<i><b>Ví dụ 1.</b></i>

Giải phơng trình

2(x2 _{+ 2) = 5}

√

<i>x</i>3

+1 (1)

<i><b>Lêi gi¶i:</b></i>
2(x2 _{+ 2) = 5}

√

<i>x</i>3

+1 (1)

§K: x -1(*)
Đặt : <i>x+</i>1 = u

<i>x</i>2<i>_x</i>

+1 = v .

ĐK: U 0 và V ≥ 0 (**) <i>⇒</i>

(1) <i>⇔</i>

<i> </i> U2 _{= x + 1}

V2 _{= x}2 – x + 1

<i>⇔</i> (2u-v)(u-2v) = 0

<i>⇔</i> hc u = 2v ,hc v = 2u

 víi u = 2v <i>⇔</i> _√<i>x+</i>1 = 2

_√

<i>_x</i>2

<i>− x</i>+1
<i>⇔</i> <i> 4x2_{-5x +3 = 0}</i> <i>_{; (2)}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 Víi v = 2u <i>⇔</i>

_√

<i>x</i>2<i>− x</i>+1 = 2 √<i>x+</i>1 ; (3)
( 3) <i>⇔</i> x2 _{- 5x - 3 = 0}

x1 = 5+√37
2
x2 = 5<i>−</i>√37

2
S =

{

5+√37

2 <i>;</i>

5<i>−</i>√37
2

<b>KÕt qu¶ Máy tính cho hai nghiệm là</b> <b>:</b>

X1 = 5,541381265 ≈ 5+√37
2
X2 = - 0,541381265 ≈ 5<i>−</i>√37

2

<b>4.Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình đẳng cấp</b>

<i><b>VÝ dụ 1</b></i>

Giải phơng trình
2x2 _{- 3x + 2 = x.}

3<i>x −</i>2 (1)
<i><b>Lêi gi¶i:</b></i>

2x2 _{- 3x + 2 = x.}

√3<i>x −</i>2 (1)
§K : x ≥ ₃2

(1) <i>⇔</i> 2x2_{- (3x-2) = x.}

3<i>x </i>2
Đặt :y = 3<i>x </i>2

ĐK : y ≥ 0 (*)

(1) <i>⇔</i> 2x2_-y2 _{= xy (2), Có hai cách giải phơng trình (2)}
*Cách 1 :Đặt y = tx.

(2) <i></i> 2x2_-t2_x2 _{= tx}2
<i>⇔</i> x2_(2-t2_{-t) = 0}

<i>⇔</i> t1=1
t2 =- 2

*Víi t1= 1 <i>⇔</i> _√3<i>x −</i>2 = x
<i>⇔</i> x2_{-3x+2 = 0}

x1 = 1 hc
x2 = 2

*víi : t2 = - 2 <i>⇔</i> y = -2x <i>⇔</i> y < 0 (lo¹i).
VËy S = {1<i>;</i>2}

*Cách 2<i><b> : (T</b><b> ơng tự phần 5 sau đây).</b></i>
Giải phơng trình bậc 2 đối với ẩn y ;
(2) <i>⇔</i> y2_{+ xy -2x}2_{= 0 . (3)}

<i>⇔</i> hoặc y1 = x hoặc y2 =- 2x (loại)
+ Với y1 ta cã x1= 1 ; x2 = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Kết quả Máy tính cũng cho hai nghiệm là</b> <b>:</b>

X1 = 1
X2 =2

<b>5.Dùng ẩn phụ đa về phơng trình bậc 2 đối với ẩn phụ </b>

<i><b>VÝ dơ1</b></i> <i><b>:</b></i>

Gi¶i phơng trình dạng :
x2₊

<i>x+a</i> =a (1)
<i><b>Lêi gi¶i:</b></i>

x2₊

√<i>x+a</i> =a (1)
§K : x≥ - a (*)...
(1) <i>⇔</i> _√<i>x+a</i> = a-x2
§K: a- x2 ≥ 0 (**)

Bình phơng hai vế ta đợc :

x+ a = a2 _{- 2.a.x}2 _{+ x}4_{. (2)}

(2) <i>⇔</i> a2 – (2x2_{+ 1).a + x}4 – x = 0. (3)
Giải phơng trình bậc hai với ẩn a ta đợc hai nghiệm:
Hoặc a1 = x2_{+ x + 1}

*§K : (*) vµ (**) ; ta cã : x2 + x + 1 – a = 0. (I)
Hc a2 = x2 – x

§K : (*) vµ (**) ; ta cã : x2 – x a = 0. (II)

<b>Tiếp tục giải phơng trình bậc hai (I) và (II) hoặc</b> <b> dùng dồ thị ta có thể biện </b>
<b>luận số nghiệm của phơng trình (1) dƠ dµng.</b>

<i><b>( Có phụ bản đồ thị minh họa trang sau).</b></i>
2.Vớ d 2:

Giải phơng trình

6x2 - 10x + 5 - (4x – 1).

_√

₆<i>_x</i>2<i>₋</i>₆<i>_x</i>₊₅ _{= 0 (1)}
<i><b>Lêi gi¶i:</b></i>

6x2 - 10x + 5 - (4x 1).



₆<i>_x</i>2<i></i>₆<i>_x</i>₊₅ _{= 0 (1)}

Đặt

_√

₆<i>_x</i>2<i>₋</i>₆<i>_x</i>

+5 = t

§K : t ≥ 0 (*)

(1) <i>⇔</i> t2 – (4x-1)t – 4x = 0

Giải phơng trình bậc hai đối ẩn t ta đợc :
*Hoặc t1 = -1 .(loại)

* Hc t2= 4x , (2)
Víi x ≥ 0 (**)

(2) <i>⇔</i>

_√

₆<i>_x</i>2

<i>−</i>6<i>x</i>+5 = 4x
<i>⇔</i> 6x2 – 6x + 5 = 16x2
<i>⇔</i> x = <i></i>3<i></i>59

10 .Kết hợp (*) và (**) ta có :
S =

{

<i>−</i>3+√59

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>M¸y tÝnh cho kÕt qđa</b> <b>X </b>≈ 0,468114574…≈ <i>−</i>3+√59

10

<b>6.Sư dơng hai Èn phơ đa về hệ phơng trình hai ẩn</b>

<i><b>a.Ví dụ 1</b></i>

Giải phơng trình.

<i>x</i> + 8<i> x</i> = 4
<i><b>Lời giải:</b></i>

<i>x</i> + _√8<i>− x</i> = 4 (1)
§K: 0 ≤ x ≤ 8 (*)
Đặt: U = <i>x</i>

V = √8<i>− x</i> . ĐK: U 0 và V 0 (**).Phơng tr×nh (1)
<i>⇔</i>

U + V = 4

U2_{+ V}2_{= 8}
<i>⇔</i> U = V = 2

Hay _√<i>x</i> = _√8<i>− x</i> = 2

<i>⇔</i> x = 4

<b>S = </b> {4} <b>.</b>

<i><b>Phơng trình này máy tính khơng giải đợc.</b></i>

<i><b> (Ta có thể cho máy tìm nghiệm phơng trình </b></i> _√<i>x</i> = 4 - _√8<i>− x</i> sẽ đợc
nghiệm x 4 )

<b>b.Ví dụ 2</b><i><b>.</b></i>

Giải phơng tr×nh :
4

√97<i>− x</i> + 4

√<i>x</i> = 5
<i><b>Lêi gi¶i:</b></i>

4

√97<i>− x</i> + 4

√<i>x</i> = 5 , (1)
ĐK: 0 x 97 (*)

Đặt:
4

97<i> x</i> = U
4

√<i>x</i> = V .

§K: U ≥ 0 vµ V≥ 0 (**). Tõ (1)
Ta cã hÖ:

U + V = 5
U4_{+ V}4_{= 97}

<i>⇔</i> U1 = 3 hc U2 = 2
V1 = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>⇔</i> hoặc x1 = 81 hoặc x2 = 16.Kết hợp với (*) ta đợc :

<b>S = </b> {81<i>;</i>16}

<b>M¸y tÝnh cịng cho kÕt quả hai nghiệm là</b> <b>:16 và 81</b>

<i>***HếT***</i>

<i><b>Vĩnh Hùng,ngày 8 tháng 3 năm 2009.</b></i>

<b> GV viết sáng kiến.</b>

<i><b> Trịnh Văn Dũng</b></i>

<b>Tài liệu tham khảo:</b>

1.Hng dn s dng mỏy tớnh bỏ túi CASIO fx-570 MS và tơng đơng.
2.Đề thi HSG THCS và thi vào lớp 10 THPT các năm trớc 2009.
3.Toỏn s cp.

<i>4.Toán học& tuổi trẻ.</i>

</div>

<!--links-->