DE CHON HSG TOAN 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN </b>

<b>NĂM HỌC : 2011 - 2012</b>

<b> Mơn : TỐN </b>

<i>T<b>hời gian làm bài : 150 phút ( không kể phát đề ) </b></i>

<b>Bài 1</b>

: (6.0 điểm)

a- Cho biểu thức A=2(9

2009

_{+ 9}

2008

_{+ 9 + 1) .Chứng minh rằng A bằng tích của hai số}

tự nhiên liên tiếp.

b-

Tìm

một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương

.

.

<b>Bài 2</b>

: (4.0 điểm)

a-Chứngminhrằng:

<i>a</i>

2



<i>b</i>

2



<i>c</i>

2



<i>d</i>

2



<i>ab ac ad</i>





b-

Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1.

Tìm GTNN của biểu thức A = x

4

_{+ y}

4

_{+ z}

4

<b>Bài 3</b>

:(3.0 im)

Giải phơng trình

(4<i>x −</i>1)

√

<i>x</i>2+1=2<i>x</i>2+2<i>x</i>+1

<b>Bài 4 (4đ) </b>

Cho tam giác đều ABC từ 1 điểm M thuộc miền trong tam giác kẻ MH, MK, ML

vng góc với cạnh AB, BC , AC và có độ dài lần lượt là x, y, z. Gọi H là độ dài

đường cao tam giác đều

Chứng minh rằng

2 2 2 1 2

3

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>  <i>h</i>

<b>Baøi 5 (3ñ) </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

ÁP ÁN VÀ BI U I M CH M

Đ Ể Đ Ể Ấ

Bài Đáp án Điểm

Bài 1
(6.0 đ)
Câu
a























 











2009 2008
2009 2008
2009 2008
2010

2
1005
1005 1005
1005 1005

2 9 9 ... 9 1

4 8 9 9 ... 9 1

4 9 1 9 9 ... 9 1

4 9 1

9 1

4

9 1 9 1

9 1 ; 9 1 là hai số chẵn liên tiếp
4

2. .2 1

1
4
<i>A</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
<i>A</i>

<i>A</i>
<i>A</i> <i>vì</i>
<i>k</i> <i>k</i>

<i>nên A</i> <i>k k</i> <i>vớ</i>

    
     
     
 
 _ 
 
 
 
 
  


   <i>i k N</i>  *

0.5đ
0,5 đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu
b

Gọi số chính phương đó là abcd .

Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2_{= y}3

với x, y N

Vì y3_{= x}2_{nên y cũng là một số chính phương.}

Ta có : 1000 abcd 9999 <i>⇒</i> 10 y 21 và y chính phương

<i>⇒</i> y = 16 <i>⇒</i> abcd = 4096

0.5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
Bài 2
(4.0 đ)
Câu
a

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 ₂

Ta có

=

4

4

4

4

0

2

2

2

4

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>d</i>

<i>ab ac ad</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>ab b</i>

<i>ac c</i>

<i>ad d</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>d</i>

















































































_



_



_



_



_



_

















1,0đ
1,0đ

Câu
b

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có







 

 















2

2 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2

2 2 2 4 4 4

1

1

1 1 1

1

1

3

minP = khi x = y = z =

3

3

3

<i>xy yz zx</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(3.0 đ)

Phơng trình đã cho tơng đơng vi phng trỡnh:

(4<i>x </i>1)

<i>x</i>2+1=2(<i>x</i>2+1)+2<i>x </i>1 (1)

Đặt <i>_t</i>₌



<i>_x</i>2

+1 (đk t >1), phơng trình (1) trở thµnh:

(4x-1)t=2t2_+2x-1 <i>_⇔</i> _2t2_{-(4x-1)t+2x-1=0 (2)}

Coi (2) là phơng trình bậc hai ẩn t, khi đó phơng trình (2) cú:

4<i>x </i>32<i></i>0,<i>xR</i>

4<i>x </i>12<i></i>8(2<i>x </i>1)=
<i></i>=

Phơng trình (2) ẩn t có các nghiệm là:

t1=2x-1 và t2= 1

2 (loại)

Với t1=2x-1, ta cã:

√

<i>x</i>2+1=2<i>x −</i>1

<i>⇔</i>

2<i>x −</i>1<i>≥</i>0

¿

2<i>x −</i>1¿2
¿
<i>x</i>2

+1=¿

<i>⇔</i>
<i>x ≥</i>1

2
3<i>x</i>2<i>−</i>4<i>x</i>=0

¿{

<i>⇔</i>
<i>x ≥</i>1

2

<i>x</i>=0

¿
<i>x</i>=4

3
¿
¿
¿
¿
¿
¿

<i>⇔x</i>=4

3

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: <i>x</i>=4

3
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,75đ
0,25đ
Bài 4
(4.0đ)
 
 
2
2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

Gọi cạnh của đều ABC là a ta có:
S

2

maø: 2

2

2

2

<i>ABC</i> <i>S</i> <i>BMC</i> <i>S</i> <i>AMC</i> <i>S</i> <i>AMB</i>

<i>ah</i> <i>ax</i> <i>ay</i> <i>az</i>
<i>h</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>h</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>h</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i> <i>xz</i> <i>yz</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>

<i>y</i> <i>z</i> <i>yz</i>
<i>x</i> <i>z</i> <i>xz</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i> <i>xz</i> <i>yz</i>

<i>h</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i> <i>x</i>

  
   
   
   
     
 
 
 
     
     
   

 









2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

3

1
3

<i>z</i> <i>yz</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>h</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>h</i>

      
   
   
1,0đ
0,5đ
1,0đ
1,0đ
0,5đ
Bài 5

(3.0đ) Vẽ đường cao AH ta có: 0,5đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>









AH

1 _. 1 _.

2 2

1
2

2

Vậy M . . Khi AM BC M là chân đường cao vẽ từ A đến cạnh BC

<i>ABM</i> <i>ACM</i> <i>ABC</i>

<i>ABC</i>

<i>ABC</i>

<i>ABC</i>

<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>

<i>AM BI</i> <i>AM CK S</i>

<i>AM BI CK</i> <i>S</i>

<i>S</i>

<i>BI CK</i> <i>BC</i>

<i>AH</i>

<i>BI CK</i> <i>BC</i>

  







 

 

 

   

  

0,5đ

</div>

<!--links-->