TAI LIEU ON THI VAO 10 CUC HOT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (375.67 KB, 43 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề I. căn bậc hai

√

A2

=|A| ; 2. √A.B=√A.√B (víi A 0 vµ B 0).
3.

√

A

B=

√A

√B (víi A 0 vµ B > 0); 4.

√

A

.B=|A|.√B (víi B ≥0 ).
5. a) A√B=

√

A2

B (víi A ≥0 vµ B≥0 ) b) A√B=−

√

A2

B (víi A < 0 vµ

B≥0 ).
6.

√

A

B=
1

|B|√AB (víi AB 0 vµ B≠0¿ ); 7.

A

√B=
A√B

B (víi B > 0).

8. C

√A ± B=

C(√A∓B)

A − B2 (víi A 0 vµ B

≠ A ).

9. C

√A ±√B=

C(√A∓√B)

A − B (víi A 0, B≥0 và A B ).

Các dạng bài toán thờng gặp trong C§ I

Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức rồi thu gọn biểu thức đó.
Dạng 2: Tính giá trị của biẻu thức sau khi đã thu gọn.

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức bằng hoặc lớn hơn một số thực 
cho trớc.

Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN, ...của biểu thức sau khi đã thu gọn.
Để làm tốt các dạng bài tập trên đề nghị HS tập trung vo cỏc vn sau:

1) Việc tìm ĐKXĐ là v« cïng quan träng

2) Để thu gọn đợc biểu thức HS phải tìm đợc MTC và qui đồng mẫu số

(Trong quá trình tìm MTC cần chú ý đến hằng đẳng thức A2− B2=(A+B) (A − B) và

qui tắc đổi dấu )
I. Tìm điều kiện xác định

Chú ý: +

√

f(x) xác định khi và chỉ khi f (x)≥0

m=−8+3√10

m=−8−3√10

¿
¿
¿
¿

2(m−1)
3 .

4(m−1)
3 =m

−2⇔8(m−1)2=9(m2−2)⇔m2+16m −26=0

⇔

xác định khi

vµ chØ khi f(x) > 0
+ g(x)

√

f(x)−h(x) xác định khi và chỉ khi

f(x)≥0

√

f(x)− h(x)≠0

¿{

+ x −3

x+√x xác định

⇔

x ≥0
x+√x ≠0

⇔
¿x ≥0

x ≠0

⇔x>0

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

+ x −3

x −√x xác định

⇔

x ≥0
x −√x ≠0

⇔
¿x ≥0

x ≠1

⇔1≠ x>0

¿{

Ví dụ 1.1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau
a) √4x −1 ; b) √−4x −1 ; c)

√

x2

d) 2x −3

√x −1 ; e)
x

x −√x ; g)

√

−2

x −5
m)

√

x2

−4 ; n) 2x+1

√

x2+1 l)

√x

√x+1−

1
x −√x

II. BiĨu thøc liªn hợp và trục căn thức
Ví dụ 1.2: Tính giá trị các biểu thức sau:

A=

423=

(31)2=|31|=31
B=

4+23=

(3+1)2=|3+1|=3+1
C=

322=

(21)2=|21|=21

Chỳ ý: Khi cn thu gn các biểu thức trong căn ta cần liên tởng đến hai hằng đẳng thức 
quen thuộc (A ± B)2=A2±2 AB+B2 . Trong khi viết nên viết số lớn đứng trớc để khi bỏ dấu
giá trị tuyệt đối ta không phải đổi dấu.

Ví dụ 1.3: Khi thu gọn biểu thức K=

√

9−4√5 ta có thể biến đổi theo 2 cỏch sau:
Cỏch 1: K=

945=

(52)2=|52|=52

Cách 2: K=

945=

(25)2=|25|=(25)=52 vì 25<0

Rõ ràng là làm theo cách 1 thuận lợi hơn rất nhiều và không bị nhầm dấu.
Vận dụng:

1. Tính: A=

√

5+2√6 ; B=

√

5−2√6 ; C=

√

9−4√2

2. TÝnh √A biÕt

a=13−2√42; b¿ A=46+6√5; c¿ A=12−3√15¿d¿ A=13−4√30 ; e¿ A=7−4√3 ; g¿ A=11−4√2¿
Khi các biểu thức cần tính hay thu gọn mà ở MT đang chứa căn thỡ ta cn ngh n

việc trục căn thức - nhân với biểu thức liên hợp.
Chú ý:

+ 1

x a=

1.(√x+a)
(√x − a) (√x+a)=

√x+a
x − a2
+ 3 k

√x − a=

k.

(

√

3x2+a3

√x+a2

)

(√3 x − a)

(

√

3x2+a√3 x+a2

)

k.

(

√

3x2

+a√3 x+a2

)

x −a3

+ 3 k

√x+a=

k.

(

√

3 x2 a3

x+a2

)

(3 x+a)

(

3x2 a3 x+a2

)

k.

(

3x2a3

x+a2

)

x+a3
Ví dụ 1.4: Trục các căn thøc sau:

A= 1

√2−1=

1 .(√2+1)
(√2−1)(√2+1)=

√2+1

1 =√2+1
B= 3

√5−√2=

3(√5+√3)

(√5−√2)(√5+√2)=

3(√5+√3)

3 =√5+√3
C=3 1

√2−3=

1 .(√34+3√32+9)
(√32−3) (√34+3√32+9)=−

√4+3√32+9
7

VËn dụng: Làm mất căn ở mẫu trong mỗi biểu thức sau:
a)

√5−√3 b)

√8+√2 c)

√7−3

√3 d) 311 3 4
5

 e)

√4+3

√6+3

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

VÝ dơ 1.5: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
A =

√

4−2√3+

√

7−4√3; B = 6

√7+2+

√

8+3√7 . C=

√

4+2√3−

√

4−2√3

Lêi gi¶i

A =

√3−1¿2

2−√3¿2
¿
¿

√

4−2√3+

√

7−4√3=√¿

¿|√3−1|+|2−√3|=√3−1+2−√3=1 .

B = 6

√7+2+

√

2
8+3√7=

6(√7−2)
(√7+2)(√7−2)+

√

2(8−3√7)

(8+3√7)(8−3√7)

¿6(√7−2)

3 +

√

16−6√7
1

3−√7¿2
¿
¿

2√7−4+√¿

C=

√

4+2√3−

√

4−2√3=

√

(√3+1)2−

√

(√3−1)2=√3+1−√3+1=2

VÝ dơ 1.6: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

A=

√

x2−2

√

x2+1+2; B=

√

x2+2

√

x2−1(x>1); C=

√

x2+3−4

√

x2−1(1<x<√5)

D=

√

x+

√

x+1
2+

√

x+

4∀x ≥−
1

4; E=

x

+2y

x2 y2x>y>0

Lời giải

A=

x22

x2+1+2=

(

x2+11)2

|

x2+11

|

x2+11 (vì

√

x2−1≥1,∀x∈R )
B=

√

x2+2

√

x2−1=

√

(

√

x2−1+1)2=

√

x2−1+1(∀x>1)

C=

√

x2+3−4

√

x2−1=

√

(2−

√

x2−1)2=2−

√

x2−1,{∀ ∈R/1<x<√5}
x+1

4+¿
1
2

√¿
¿
¿2

x+¿
¿

D=

√

x+

√

x+1
2+

√

x+

1
4=√¿

E=

√

x2+2y

√

x2− y2=

√

(

√

x2− y2+y)2=

√

x2− y2+y ,∀x>y>0

XÐt mét sè vÝ dơ tỉng hỵp sau

VÝ dơ 1.7

Cho biĨu thøc: K = ( √a

√a+1−
1
a −√a):(

√a+1+
2
a −1) .

a) T×m ĐKXĐ rồi rút gọn K.

b) Tính giá trị của K khi a=3+22 .
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) §KX§:

a>0
a ≠1

⇔1≠ a>0 .

¿{

¿
K = ( √a

√a−1−
1
a −√a):(

√a+1+
2
a −1)

K ¿( √a
√a −1−

√a(√a −1)):(
1

√a+1+

(√a −1)(√a+1))
K = a −1

√a(√a −1):

√a −1+2
(√a −1)(√a+1)=

a −1

√a(√a−1).
a −1

√a+1=
a −1

√a

b) Ta cã: 1+√2¿
2⇒

√a=1+√2
a=3+2√2=¿
Do đó: K = a−1

√a =

3+2√2−1
1+√2 =

2(1+√2)
1+√2 =2 .

c) Với a > 0 ⇒√a>0 . Do ú K=a 1

a <0a1<0a<1 .

Kết hợp với ĐK, ta cã K<0⇔0<a<1 .

VÝ dơ 1.8: Cho biĨu thøc: P=( 4√x
2+√x+

8x
4− x):(

√x −1
x −2√x−

√x) .

a) Rót gän P.

b) Tìm giá trị của x để P = -1.

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m(√x −3).P>x+1 .

Lêi gi¶i
a) P=( 4√x

2+√x+
8x
4− x):( √

x −1
x −2√x−

√x) , §K: x ≠4, x ≠1, x>0 .

P = [ 4√x(2−√x)+8x

(2+√x)(2−√x) ]:[

√x −1−2(√x −2)

√x(√x −2) ]

P = 8√x+4x

(2+√x)(2−√x):

3−√x

√x(√x −2)=

4√x(2+√x)
(2+√x)(2−√x).

√x(2−√x)

√x −3 =

4x

√x −3 .

b) P = 4x

√x −3=−1⇔4x=3−√x⇔4x+√x −3=0⇔4x+4√x −3√x −3=0

⇔(√x+1)(4√x −3)=0 . V× x > 0 ⇒x= 9
16 .

c) Ta cã: m(√x −3).P>x+1⇔m(√x −3) 4x

√x −3>x+1⇔m. 4x>x+1

x(4m1)>1 . Vì x > 9 > 0 nên 4m - 1 > 0 ⇒m>1

4 vµ x>
1

4m−1 (1)

Do đó: 1

4m −1≤9⇔m ≥
5

18 tháa m·n (1)

VËy víi m≥ 5

18 th× víi mäi x > 9 ta cã: m(√x −3).P>x+1 .

VÝ dơ 1.9: Cho biĨu thøc: P=(√x − 1

x):(

x 1

x +

1x
x+x) .

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của biểu thức khi x= 2

2+3

c) Tìm giá trị cđa x tháa m·n: P√x=6√x −3−√x −4 .
Lêi gi¶i

a) P=(√x − 1

√x):(

√x −1

√x +

1−√x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

P =

√x+1¿2
¿
¿

x −1

√x :[

(√x −1)(√x+1)+1−√x

√x(√x+1) ]=

(√x −1)(√x+1)

√x .

√x(√x+1)

√x(√x −1)=¿

b) Ta cã:

√3−1¿2⇒√x=√3−1

x= 2
2+√3=

2(2−√3)

(2+√3)(2−√3)=4−2√3=¿

Do đó:

√3−1+1¿2
¿
¿

P=¿
.

c) P√x=6√x −3−√x −4 , §K: x ≥4 .

√x+1¿2
¿

¿√x√x=6√x −3−√x −4⇔x+2√x+1=6√x −3−√x −4
¿

√x −2¿2+√x −4=0

¿
⇔¿

VÝ dô 1.10: (TN.THCS: 2002): Cho biÓu thøc: A= √x
√x −1−

2√x −1

√x(√x 1) .
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A.

b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x = 36.
c) Tìm các giá trị của x để |A|>A .

d) Tìm x A = -3

Lời giải
a) ĐKXĐ: 1≠ x>0 .

Ta cã:

√x −1¿2
¿
¿

A= √x

√x −1−

2√x −1

√x(√x −1)=

√

x2−2

√x+1

√x(√x −1) =¿

b) Khi x = 36, ta cã A=√x −1

√x =

√36−1

√36 =

5
6 .

c) Ta cã: |A|>A⇔A<0⇔√x −1

√x <0x 1<0x<1 (vì x >0).

Đối chiếu với ĐK, ta có |A|>A⇔0<x<1 .
d) A = -3 ⇔√x −1

√x =−3⇔√x −1=−3 .√x⇔4√x=1⇔√x=

1
4⇔x=

16 (TM§K)

(Chú ý rằng nếu yêu cầu bài tốn là tìm x để |A|>A thì nó tơng đơng với việc ta

tìm x để A < 0)
Ví dụ 1.11: (TN.THCS 2005): Cho biểu thức: P=

(

1+ 1

√x 1

)

.
1
x x .

a) Tìm TXĐ và rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi x = 25.

c) Tỡm x để P. 5 2 6 ( x1)2 x  2008 2 3
Lời giải

a) §KX§: 1≠ x>0 .

P=

(

1+ 1

√x −1

)

.
1
x −√x

√x −1¿2
¿
¿√x −1+1

√x −1 .
1

√x(√x −1)=

√x

√x −1.
1

√x(√x −1)=
1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b) Thay x = 25, ta đợc:

√25−1¿2
¿
¿

P=1

c) P. 5 2 6 ( x1)2  x 2008 2 3

√x −1¿2
¿

√2+√3¿2
¿

√x −1¿2=x −2008+√2+√3

¿
¿

2+3=x 2008+2+3x 2008=0x=2008

Ví dụ 1.12: (Đề thi vào líp 10 THPT NghƯ An 2009 - 2010)
Cho biĨu thøc: A=x√x+1

x −1 −
x −1

√x+1

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x = 9

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
Lời giải

a) Điều kiện xác định

x ≥0
x −1≠0

⇔1≠ x ≥0

¿{

A=x√x+1
x −1 −

x −1

√x+1=

x√x+1

(√x −1)(√x+1)−

x −1

√x+1=

x√x+1−(x −1)(√x −1)
(√x −1) (√x+1) =

√x
√x −1

b) Thay x = 9

4 vào biểu thức A ta đợc: A=

√

9
4

√

94−1
=

3
2
3
2−1

c) A<1⇔ √x

√x −1<1⇔

√x

√x −1−1<0⇔
1

√x −1<0⇒x<1 .

Đối chiếu với điều kiện, ta đợc A<1⇔0≤ x<1 .

VÝ dô1.13: (Đề thi vào lớp 10 THPT - Nghệ An 2010-2011).
Cho biÓu thøc A= √x

√x −1−
2

√x+1−
2
x −1

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

c) Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm GTNN của B = A(x – 1).
Lời giải

a) §KX§ 1≠ x ≥0
A= √x

√x −1−
2

√x+1−
2

x −1=

√x
√x −1−

√x+1−

2
(√x −1) (√x+1)
¿√x(√x+1)−2(√x −1)−2

(√x −1) (√x+1) =

(√x)2+√x −2√x+2−2
(√x −1)(√x+1) =

√x(√x −1)
(√x −1) (√x+1)=

√x

√x+1 .

b) Thay x = 9 vào biểu thức A ta đợc: A= √9

√9+1=

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

B=A(x −1)= √x

√x+1(√x −1) (√x+1)=(√x)

−√x=

(

√x 1
2

)

1
4

1
4x

ĐKXĐ
Vậy MinB = 1

4 khi và chỉ khi x=
1

4 .

VÝ dô 1.14: Cho A= x+2
x√x −1+

x+1
x+√x+1−

√x −1

a) Rót gän A

b) TÝnh A víi x=4−2√3

Lêi giải
a) ĐKXĐ: 1 x 0

Ta có A= x+2

xx −1+
x+1
x+√x+1−

√x −1=

x+2

(√x −1) (x+√x+1)+

x+1
x+√x+1−

√x −1

= x+2+(x+1)(√x −1)−1 .(x+√x+1)
(√x −1)(x+√x+1) =

x+2+x√x − x+√x −1− x −√x −1
(√x −1) (x+√x+1)

= x(√x −1)

(√x −1) (x+√x+1)=
x
x+√x+1

b) x=4−2√3=(√3−1)2⇒√x=√3−1 → A= 4−2√3

4−2√3+√3−1+1=

4−2√3
4−√3 =

10−4√3

13 .

Bài tập tự làm
1.1. Thu gọn các biểu thức:

A=

23 .(6+2) ; B = 8+2√2
3−√2 −

2+3√2

√2 +

√2
1−√2

C =

√5−3¿2
¿

2−√5¿2
¿
¿

√¿

; D = (√10+√2)(6−2√5)

√

3+√5 .

(§S: A = 2; B = -1; C = 1; d = 16).

1.2. a) TÝnh A = 3√3+1¿2

−2√3(3−√3)+¿ .
b) Rót gän biĨu thøc: B = ( √b

a −√ab−

√a

√ab− b)(a√b − b√a)

(§S: A = 34; B = b - a víi §K: a > 0, b > 0 vµ a ≠ b ).
1.3. Rót gọn các biểu thức: A=(4+15)(106)

415 .

1.4. Giải phơng trình: 1

√x+3+√x+2+

√x+2+√x+1+
1

√x+1+√x=1.

1.5. CMR: A 8 2 10 2 5   8 2 10 2 5   2 10
1.6. Cho biĨu thøc: √

x
2 −

1
2√x¿

(√x −1

√x+1 −

√x+1

√x −1)
B=¿

a) Rót gän B.

b) Tìm các giá trị của x để B > 0.
c) Tìm các giá trị của x để B = -2.

(§S:

1+√x¿2

a/ B=1− x

√x ; b/ 0<x<1; c/ x=¿

)
1.7. Cho A=(x√x −1

x −√x −

x√x+1
x+√x ):

2(x −2√x+1)
x −1

a) Rót gän A.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

(§S: a/ A=√x+1

√x −1;b/x=4, x=9 )

1.8. Cho biÓu thøc: y= x2+√x
x −√x+1+1−

2x+√x

√x

a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.

b) Gi¶ sư x > 1, Chøng minh r»ng y |y|=0
c) Tìm GTNN của y.

(ĐS: a/ y=x(x −1); c/ yMin=

−1

4 khi x=
1
4 )

1.9. Cho biĨu thøc:

)
,
(
:

)

( 0 1

2
1
1
1
1
1
2











 x x x

x
x
x
x
x
x
x
A

a) Rót gän A.

b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.

(§S: a/ A= 2

x+√x+1 )

1.10. Cho biÓu thøc: K=(x+1
x −1−

x −1
x+1+

x2−4x −1

x2−1 ).

x+2003
x

a) Tìm ĐK của x để K xỏc nh & rỳt gn K

b) Với những giá trị nguyên nào của x thì K có giá trị nguyên.
( §S: a/ x ≠ ±1, x≠0; K=x+2003

x ; b/ x=±2003 )

1.11. BiÕt (

√

x2

+5+x)(

√

y2+5+y)=5 (1) Tính x + y.
(HD: Nhân cả hai vế cđa (1) víi (

√

x2

+5− x) vµ (

√

y2

+5− y) )

1.12. Cho biÓu thøc: T=1:

(

x+2
x√x −1+

√x+1
x+√x+1−

√x+1

x −1

)

a) Rót gän T.

b) Chøng minh r»ng: T>3 ∀x ≠1 vµ x>0

( a/T=x+1

√x +1;b/x+1>2√x⇒T>3 )

1.13. Cho biĨu thøc: A=

(

x√x
x+√x+1−

1
x

)

√x+1 . CMR A < 0 víi 0 < x < 1.

1.14. Cho biÓu thøc: P=

(

1
1−√x−

√x

)

(

2x+√x 1
1 x +

2xx+1x

1+xx

)

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị cđa P khi x=7−4√3 .
c) T×m GTLN cđa a khi P > a.

( a/P=1−√x+x

√x ;b/P=3;c/P=

√x+√x −1≥2

√

√x.√x −1=1 - đẳng thức khơng xảy ra. Vậy

P > 1. Do đó GTLN của a là a = 1).
1.15. Cho M=

(

x+2

x√x −1+

√x+1

x+√x+1−

√x −1
x −1

)

a) Rót gän M.

b) CMR: 1 > 3M với mọi ĐK thích hợp của x.
( a/M= √x

x+√x+1(1≠ x>0);b/
1
M=1+

x+1

√x >1+
2√x

√x =3⇒1>3M )

1.16. Cho biÓu thøc: A=

(

2x+1
xx 1

x 1

)

(

1

x+4
x+x+1

)

a) Rút gọn A.

b) Tìm các số nguyên x sao cho A cũng nhận giá trị nguyªn.
( a/A= √x

√x −3; b/ A=1+
3

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1.17. Cho: M=

(

√x

√x −1−
1
x −√x

)

(

√x+1+
2
x −1

)

a) Rót gän M.

b) T×m x sao cho M > 0 ( a/M=x −1

√x ;b/x>1 )

1.18. Cho: M=

(

√x+1

√x −1−

√x −1

√x+1+4√x

)

(

√x −
1

√x

)

a) Rót gän M.

b) TÝnh M khi x = 2.
1.19. Cho: A=

√

a+x2

x −2√a+

√

a+x2

x +2√a

a) Rót gän A.

b) Tìm ĐK của x và a để A2

>A .

c) Tìm các ĐK của x và a để |A|≤1
4 .

1.20. Cho biÓu thøc: A= 1

√x+1−
3
x√x+1+

2
x −√x+1 .

a) Rót gän A.

b) Chøng minh r»ng: A ≤1 .
( a/A= √x

x −√x+1;b/ H·y CM:A−1≤0 )

1.21. Cho biÓu thøc: A=

(

√x
2 −

1
2√x

)

(

x −√x

√x+1 −

x+√x

√x −1

)

víi (1≠ x>0).

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A > -6.

( a/A=2x; b/ 0<x<1 hoặc 1<x<9 ).

1.22. Đề thị vào lớp 10 năm học 2006 - 2007.

Cho biểu thức:

1x2

P=

(

x x+
1
1x

)

x+1

.
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.

b) Tìm x để P > 0.

( a/1≠ x>0, P=1−√x

√x ;b/0<x<1 )

1.23. Cho biÓu thøc: A=

(

2+√x
x −1 +

2
1+√x

)

3
x+√x .

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A.
b) Tính giá trị cña A khi x = 9.
c) Cho x > 1. T×m GTNN cđa A.

( a/1≠ x>0, A= x

√x −1;b/
9
2 )

1.24. Cho P=

(

√x

√x −1−
1
x −√x

)

(

1
1+√x+

2
x −1

)

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P > 0.

( a/ 1≠ x>0, P=x −1

√x ;b/x>1 ).

1.25.Cho biÓu thøc P=

(

√x −1−
1

√x

)

(

√x+1

√x −2−

√x+2

√x −1

)

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.
b) Tìm x để P=1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

( a/x ≠4,1≠ x>0, P=√x −2

3√x ;b/x=64 )

1.26. Cho biÓu thøc

1− x¿2
¿
¿

P=

(

√x −2
x −1 −

√x+2
x+2√x+1

)

.¿

a) Rót gän P.

b) TÝnh P víi x=7−4√3

c) T×m GTLN cđa P.

( a/P=√x − x ;b/P=3√3−5;c/MaxP=1
4⇔x=

1
4 ).

1.27. Cho biÓu thøc P=

(

√x

√x −1−
1
x −√x

)

(

√x+1+
2
x −1

)

a) Rót gän P.

b) Tìm các giá trị của x để P < 0.

c) Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn: P.√x=m−√x

( a/1≠ x>0, P=x −1

√x ;b/0<x<1;c/1≠m>−1 )

1.28. Cho biÓu thøc: P=

(

√x

√x −1−
1
x −√x

)

(

√x+1+
2
x −1

)

a) Rót gän P.

b) Tìm các giá trị của x để P < 0.

c) Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn: P.√x=m−√x

1.29. Cho biÓu thøc: P=

(

1
1−√x−

√x

)

(

2x+√x −1
1− x +

2x√x+x −√x
1+x√x

)

a) Rót gọn P.

b) Tính giá trị của P với x=743

c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a.
1.30.Cho biểu thức:

3 1 1

1 1 1

P

x x x

 

  

  

 

a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x

5
4
p

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

12 1
.
1
x
M
P
x




1.31. Rót gän biĨu thøc sau:

1 1

3 2 3 2

P 

  ( §S: 2 3)

1.32. Rót gän biĨu thøc: 2

1 1

:
x

A

x x x x x x




   (§S: x – 1 )

1.33. Rót gän biĨu thøc sau:

( ) 4 9 6

1 1

1 3

( ) :

a b b a b ab

B
a b
a b
b a
   

  
   

  ( §S:

1
ab)

1.34. Cho biĨu thøc :

2 1 9 6

1 : 3

9 1

3 1 3 1

x x x

P
x
x x
     
       

 
   

a) Rút gọn P
b) Tìm x để

6
5
P

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

(§S: a/ P =

( 0, 9

3 1

x x

x



 

 ); b/

9
4;

25
x x

; c/ Đặt x t m1 phơng trình ẩn t

luôn có hai nghiệm dơng
1
3
t

)

1.35. Cho biÓu thøc:

1 6 1

2 :

2 3 2 3 1

x x x

P

x x x x

     

     

       

   

a) Rót gän P

b) TÝnh giá trị của P khi x =

3 2 2
4

c) So s¸nh P víi
3
2

1.36. Cho biĨu thøc:

10 2 3 1

3 4 4 1

x x x

P

x x x x

 

  

   

a) Rót gän P

b) Chøng minh: P > -3 với mọi x thuộc TXĐ.
c) Tìm GTLN cđa P

1.37. Cho biĨu thøc:

2 2

:
1
1

x x x

P

x x

x x x x

    

     

      

 

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P > 2
c) Tìm GTNN của P

(§S: a/

( 0, 1); / 1 / min 2

1
x

P x x b x c P

x

    

 )

1.38. Cho biÓu thøc:

1 2 1

1 1 1

x x x

P

x

x x x x x x x x x

    

     

           

   

a) Rót gän P

b) Tìm x để P x 2

c) Tìm GTNN của P

d) Tìm m để có x thoả mãn ( x1)P m x 

(§S: a/



x -1

P = ,1 0, b/ x = 3 + 2 2

x +1 )

1.39. Cho biÓu thøc A=

(

√x

√x −1−
1
x −√x

)

√x −1

a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị ca A khi x=3+22

c) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

d) Tỡm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A√x=m−√x có nghiệm.

e) Tìm x để |A|>A

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

chuyên đề 2. Hàm số bậc nhất

1. Hàm số có dạng: y = ax + b ( a ≠0 ) đợc gọi là hàm số bậc nhất đối với biến số x.
2. Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x và có tính chất:

- Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.
- Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.

3. a đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b ( a ≠0 ).

4. Với hai đờng thẳng y = ax + b (d) và y=a'x+b'(d') , trong đó a và a

❑' kh¸c 0

ta cã:
*) a ≠ a'⇔

(d) và (d') cắt nhau.

*) a = a ' vµ b ≠ b'⇔

(d) vµ (d') song song víi nhau.

*) a=a'vµb=b'⇔(d) vµ (d') trïng nhau.

*) a.a'

=−1⇔(d)⊥(d')

Ví dụ 2.1: Viết phơng trình đờng thẳng thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) Có hệ số góc là 3 và đi qua điểm (1 ; 0).

b) Song song với đờng thẳng y=1

2x −2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

Lêi gi¶i

a) Phơng trình đờng thẳng có dạng: y = ax + b. Vì hệ số góc của đờng thẳng là 3, do
đó : a = 3.

Vì đờng thẳng đi qua điểm (1 ; 0). Thay x = 1, y = 0 vào phơng trình đờng thẳng, ta
đ-ợc: 0 = 3.1 + b ⇒b=−3 .

Vậy phơng trình đờng thẳng là: y = 3x - 3.
b) Phơng trình đờng thẳng có dạng: y = ax + b
Vì đờng thẳng song song với đờng thẳng y=1

2x −2 ⇒a=
1

2, b ≠2 .

Vì đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 ⇒b=2,(≠ −2) .
Vậy phơng trình đờng thẳng là: y=1

2x+2 .

VÝ dơ 2.2: Cho hµm sè: y = (2 - m)x + m - 1 (d).
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm bậc nhất.

b) Vi giá trị nào của m thì hàm số y đồng biến, nghịch biến.

c) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng
y = 3x + 2.

d) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng y = -x + 4 tại một điểm
trên trục tung.

e) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng y = -x + 4 tại một điểm
trên trục hoành.

g) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) vng góc với đờng thẳng y = 2x + 1
(k)

h) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) đi qua điểm M(-2; -1).
Lời giải

a) y là hàm bậc nhất khi và chỉ khi 2− m≠0⇔m≠2 .
b) Hàm số đồng biến khi 2 m>0m<2

Hàm số nghịch biến khi 2 m<0⇔m>2

c) Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 2 khi và chỉ khi:

2− m=3
m −1≠2

⇔
¿m=−1

m ≠3

⇔m=−1

¿{

¿
.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

e) Đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng y = -x + 4 tại một điểm trên trục hồnh
⇔(2−m)4+m−1=0⇔m=7

g) (d)⊥(k)⇔(2− m). 2=−1⇔m=5
2

h) §êng thẳng (d) đi qua M(-2; 1) 1=(2m) (2)+m1m=4
3

Vớ d 2.3: Xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị hàm số đi 
qua hai điểm A(1 ; 3) v B(2 ; 1).

Lời giải

Đồ thị hàm số y = ax + b ®i qua hai ®iĨm A(1 ; 3) và B(2 ; 1) nên:

3=a+b
1=2a+b

a=2

b=5

{

Chỳ ý: Ngoi cỏch gii trờn HS có thể tham khảo cách giải tổng quát sau:
Phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) là: x − x1

x2 x1

= y y1
y2 y1

.
áp dụng vào ví dụ 2.3 ta cã: x −1

2−1=

y −3

1−3⇔−2(x −1)=1(y −3)⇔y=−2x+5 .

VÝ dơ 2.4: Cho hµm sè y = kx + 3 – 2x + k

a) Xác định k để hàm số là hàm bậc nhất đồng biến.
b) Xác định k để đồ thị là đờng thẳng đi qua M(1;3)

c) Xác định k để đồ thị là đờng thẳng cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện
tích bằng 1.

Lêi giải
Hàm số có dạng y = (k 2).x + k – 3.

a) Để hàm số là hàm bậc nhất đồng biến thì k – 2 > 0 <=> k > 2.
b) Để hàm số đi qua M(1;3) thì 3 = (k – 2).1 + k + 3 <=> k = 1.

c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại A(0; k + 3), cắt trục hoành tại điểm B

(

− k+3
k −2;0

)

Do đó S=1
2|k+3|

|

k+3

k −2

|

=1⇔(k+3)

=2|k −2|⇔k2+6k+9=2|k −2|
+ NÕu k > 2 --> PTVN

+NÕu k < 2 --> PT cã nghiÖm k=−4−√11;k=−4+√11

Bài tập vận dụng
2.1. Cho hàm số y = x + m (d). Tìm m để (d):

a) §i qua ®iĨm A(1;2011).

b) Song song với đờng thẳng x - y + 3 = 0.
c) Tiếp xúc với (P): y=−1

4 x

2
.

( a/m=2010;b/m≠3;c/m=1 )
2.2. Cho hµm sè: y=

(

x√x+x+√x+
2
x+√x+1

)

1
x2−√x .

a) Rót gän y

b) Cho A(2 ; 5), B(-1 ; 1), C(4 ; 9). Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng và
đờng thẳng ABC song song với đờng thẳng ở câu a.

c) CMR đờng thẳng BC và hai đờng thẳng 2y + x - 7 = 0, y = 3 đồng quy.
(a/ ĐK: 1≠ x>0, y=2¿ x −2;b/❑

đờng thẳng AB: y = 2x + 1 thay tọa độ C vào đờng
thẳng AB; c/ đồng quy tại M(1 ; 3)).

2.3 Cho hµm sè y = 4x + 7.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B.

c) Cho biết vị trí tơng đối của hai đờng thẳng đó. Vẽ chúng trên cùng một mặt
phẳng tọa độ.

(a) A(-1 ; 3) thuộc đồ thị hàm số; b) y = −1
4 x+

4 ; c) hai đờng thẳng vng góc và cắt

nhau t¹i A(-1 ; 3) ).

2.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(0 ; 5), B(-3 ; 0), C(1 ; 1), 
M(-4,5 ; -2,5).

a) CMR: A, B, M thẳng hàng và A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính diện tích tam giác ABC.

(a/ Phng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A, B là: y=5

3x+5 , kiĨm tra xem ®iĨm M,

điểm C có thuộc đờng thẳng AB hay không; b/ Tam giác ABC vng, SΔABC=8,5 )
2.5. Cho hai đờng thẳng có phơng trình: 2x - y = -6 và x + y = 3.

a) Xác định tọa độ giao điểm M của hai đờng thẳng.

b) Hai đờng thẳng lần lợt cắt trục hồnh tại A và B. Tính diện tích tam giác
MAB.

c) Giả sử (x ; y) là tọa độ của điểm thuộc miền tam giác MAB. Tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của 2x + y.

a) M(-1 ; 4). b) SΔMAB=12 . c) Xét đờng thẳng có phơng trình 2x + y = k ( Dk ).

( Dk ) luôn song song hoặc trùng với đờng thẳng y = -2x và ( Dk ) cắt Oy tại (0 ; k).
Những điển có tọa độ(x ; y) thỏa 2x + y = k nằm trên ( Dk ) nên việc tìm GTLN, GTNN
của k tơng ứng với vị trí của ( Dk ) cắt miền tam giác MAB và

( Dk ) c¾t Oy sao cho k cao nhÊt vµ k thÊp nhÊt.

Do đó: - GTLN của k ứng với ( Dk ) đi qua B, nghĩa là 2.3 + 0 = k ⇒k=6 .

- GTNN của k ứng với ( Dk ) đi qua B, nghĩa là 2.(-3) + 0 = k ⇒k=−6 .
2.6. Cho ba đờng thẳng:

(d ❑1 ): y=(m2−1)x+(m2−5) víi m≠ ±1 .
(d ❑2 ): y = x + 1

(d ❑3 ): y = -x + 3.

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d ❑1 ) luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng nếu (d ❑1 ) // (d ❑3 ) thì (d ❑1 ) (d2) .

c) Xác định m để ba đờng thẳng trên đồng quy.
2.7. Cho các đờng thẳng:

(d ❑1 ): y = 4mx - ( m + 5) víi m 0 .
(d ❑2 ): y=(3m2+1)x+m2−4 .

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi đờng thẳng (d ❑1 ) luôn đi qua một điểm A cố
định; đờng thẳng (d ❑2 ) luôn đi qua một điểm B cố nh.

b) Tính khoảng cách AB.

c) Với giá trị nào của m th× (d ❑2 ) // (d ❑1 ).

d) Víi giá trị nào của m thì (d 2 ) và (d ❑1 ) c¾t nhau.

2.8. Cho điểm A(0;-1) và B(-4; 3). Viết phơng trình đờng thẳng (d) là đờng trung trực của 
AB. Tính góc α tạo bởi đờng thẳng d với trục Ox.

2.9. Cho hai ®iĨm A(1;3) vµ B(-2;1).

a) Hãy lập phơng trình đờng thẳng (k) đi qua A và B

b) Xác định khoảng cách từ O đến đờng thẳng (k)
c) Hãy lập phơng trình đờng thẳng đi qua C(2;-1) và:

c1 ) Song song với đờng thẳng (k)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

chuyên đề III. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

1. Phơng trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng ax + by = c, trong đó a , b , c∈R ,|a|+|b|≠0

2. Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm. Tập nghiệm của nó đợc
biểu diễn bởi đờng thẳng ax + by = c.

3. Để giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ngời ta thờng sử dụng hai phơng pháp: cộng
và thÕ (xem chi tiÕt SGK to¸n 9 tËp 2).

4. C¸c bớc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình:
Bớc1: Lập hệ phơng trình.

- Chn hai n v t K thích hợp cho chúng.

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.

Bíc 2: Giải hệ hai phơng trình nói trên.

Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem các nghiệm của hệ phơng trình, nghiệm nào thích hợp
với bài toán và đa ra kết luận.

Chú ý: 1) Hệ phơng trình:

ax+by=c
a'x

+b' y=c'
(a , b , c , a', b', c'≠0)

¿{

¿
- Cã v« sè nghiƯm nÕu: a

a'=
b
b'=

c
c. .
- V« nghiƯm nÕu: a

a'=
b
b'≠

c
c. .

- Cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu: a

a'≠
b
b' .

2) Trong chuyên đề III việc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình là

vơ cùng quan trọng (chiếm một tỷ lệ rất cao trong việc thi lên lớp 10 THPT hàng năm) do
đó chúng tơi tập trung đi sâu vào các bài tập và phơng pháp giải bài toán bng cỏch lp h
phng trỡnh.

Ví dụ 3.1: Giải các hệ phơng trình.
a)

4x+7y=16
4x 3y=24

{

(1) b)

(√5+2)x+y=3−√5

− x+2y=6−2√5

¿{

(2)
Lêi giải

4x+7y=16
4x 3y=24

10y=40

4x+7y=14

y=4

x=3

{

Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:

x=3
y=4

{

Chỳ ý: Trong hai phơng trình nên giữ lại phơng trình nào đơn giản nhất.

b) C1/ Từ phơng trình thứ hai, ta có: x = 2y+2√5−6 (*) thay vào phơng trình thứ
nhất ta đợc: (√5+2)(2y+2√5−6)+y=3−√5 ⇔y=3−√5

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:

x=0
y=35

{

C2/

(√5+2)x+y=3−√5
− x+2y=6−2√5

¿{

⇔

−2(√5+2)x −2y=2(√5−3)
− x+2y=6−2√5

¿{

(3)

Cộng vế theo vế hai phơng trình của hệ (3), ta đợc: x = 0, từ đó ta có y=3−√5 .

Chú ý: Mọi bài tốn giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn, ta đều giải đợc bằng phơng pháp
cộng hoặc phơng pháp thế. Nhng trớc khi giải đối với từng bài, ta phải chọn phơng pháp
đơn giản và tiện lợi nht.

Ví dụ 3.2: Cho hệ phơng trình:

kx y=5 (1)
x+y=1 (2)

{

a) Với giá trị nào của k thì hệ phơng trình có nghịêm (x ; y) = (2 ; -1)

b) Với giá trị nào của k thì hệ phơng trình có nghịêm duy nhất ? Hệ phơng trình vô
nghiệm.

Lời giải

a) Thay x = 2, y = -1 vào phơng trình (1), ta đợc: 2k - (-1) = 5 ⇒k=2 .
Và x = 2, y = -1 thỏa mãn phơng trình (2).

VËy víi k = 2, hƯ phơng trình có nghiệm là: (x ; y) = (2 ; -1)
b) Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ⇔k

1≠
−1

1 ⇔k ≠−1 .

HƯ ph¬ng trình vô nghiệm k

1=
1

1 
5

1k=1 .

Mt s vn đề cần quan tâm khi giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
+ Mối liên hệ giữa ba đại lợng vận tốc (v), quãng đờng (s) và thời gian (t) trong bài
tập chuyển động: s=vt;v=s

t ;t=
s
v

+ NÕu vËn tốc thực của thuyền (ca nô) là x km/h, vận tốc dòng chảy là y km/h thì
vận tốc của thuyền (ca nô) khi xuôi dòng là x + y km/h, khi ngợc dòng là x y km/h..

+ Nu một đội hồn thành cơng việc xong trong a (ngày) thì một ngày cả đội làm
đợc 1

a (c«ng viƯc).

+ Nếu 2 ngời chuyển động ngợc chiều nhau thì khi hai ngời gặp nhau có tổng
qng đờng bằng qng đờng ta đang xét.

Ví dụ 3.3: (Tốn chuyển động)

Hai ngời ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều
nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc
nh trờng hợp trên, nhng ngời đi chậm hơn xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sẽ gặp
nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tc mi ngi.

Lời giải
Gọi vận tốc ngời đi nhanh là x (km/h).

Vận tốc ngời đi chậm là y (km/h). ĐK: x > y > 0.

Nếu hai ngời cùng khởi hành đến khi gặp nhau, quãng đờng ngời đi nhanh đi đợc 2 km,
ngời đi chậm đi đợc 1,6 km, ta có phơng trình: 2

x=
1,6

y .

NÕu ngêi ®i chËm khởi hành trớc ( 1

10h ), ta có phơng trình:
1,8

x +
1
10=

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ta có hệ phơng trình:

2
x=

1,6
y
1,8

x +
1
10=

1,8
y

¿{

giải ra ra đợc: x = 4,5; y = 3,6 (TMĐK)

Vận tốc của ngời đi nhanh là 4,5 km/h, vận tốc của ngời đi chậm là 3,6 km/h.
Ví dụ 3.4: (Tốn chuyển động)

Một ơ tơ đi từ A đến B với vận tốc xác định và trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc ô
tô giảm 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút. Nếu vận tốc ơ tơ tăng 10 km/h thì thời gian
giảm 30 phút. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.

Lời giải
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h)

Và thời gian dự định đi của ô tô là y (h). ĐK: x > 10, y > 1/2.
Do đó, quãng đờng AB là xy (km)

Khi « t« gi¶m vËn tèc 10 km/h, ta cã PT: (x 10)(y+3

4)=xy3x40y=30 (1)

Khi ô tô tăng vận tốc 10 km/h, ta cã PT: (x+10)(y −1

2)=xy⇔− x+20y=10 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

3x −40y=30
− x+20y=10

¿{

¿
Giải ra ta đợc: x = 50, y = 3 (TMĐK)

Vận tốc dự định của ô tô là: 50 km/h, thời gian dự định là: 3 giờ.

Ví dụ: 3.5: Hai cơng nhân cùng sơn cửa cho một cơng trình trong 4 ngày thì xong việc. 
Nếu ngời thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi ngời thứ hai đến cùng làm tiếp trong
một ngày nữa thì xong cơng việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong vic.

Lời giải

Gọi thời gian ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là x (ngày)
Thời gian ngời thứ âhi làm một mình xong công việc là y (ngày)

ĐK: x > 4; y > 4.

Một ngày ngời thứ nhất làm đợc 1

x (c«ng viƯc)

Một ngày ngời thứ hai làm đợc 1

y (c«ng viƯc)

Hai ngời làm xong cơng việc trong 4 ngày. Do đó, một ngày hai ngời làm đợc 1

4 (c«ng

viƯc)

Do đó ta có phơng trình 1

x+
1
y=

4 (1)

Ngời thứ nhất làm trong 9 ngày rồi ngời thứ hai đến cùng làm 1 ngày nữa thì xong cơng
việc nên ta có phơng trình 10

x +

y=1 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình

1
x+

1
y=

1
4
10

x +
1
y=1

{

.Gii ra ta c (x; y) = (12; 6)(TMĐK)

VËy ngêi thø nhÊt lµm mét mình thì 12 ngày là xong công việc
Ngêi thø hai lµm mét mình thì 6 ngày là xong công việc

Vớ d 3.6: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian qui định. 
Nếu giảm 3 ngời thì thời gian kéo dài thêm sáu ngày. Nếu tăng thêm hai ngời thì xong
sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi theo qui định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu
ngày, biết rằng khả năng lao động của các thợ là nh nhau.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Gọi số thợ cần thiết là x (ngời). Thời gian cần thiết là y (ngày)
ĐK: x: nguyên dơng và y d¬ng

Coi tồn bộ cơng việc nh một đơn vị cơng việc, thì một ngời thợ trong một ngày làm c

xy (công việc)

Nếu giảm đi ba ngời thì thời gian kéo dài thêm 6 ngày. Nghĩa là x 3 (ngời) làm trong y
+ 6 (ngày) thì xong công viƯc, tøc lµ (x −3)(y+6) 1

xy=1⇔(x −3) (y+6)=xy (1)

Tơng tự nếu tăng thêm 2 (ngời) thì cần y – 2 (ngày), do đó ta có phơng trình

(x+2)(y −2) 1

xy =1⇔(x+2)(y −2)=xy (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình

(x 3)(y+6)=xy
(x+2) (y 2)=xy

x=8

y=10

{

(TMĐK)

Bài tập luyện tập
3.1. Giải các hệ phơng trình sau:

10x 9y=8
15x+21y=0,5

{

(√5+2)x+y=3−√5
− x+2y=6−2√5

¿{

¿
c)

x+2y=−4
2x − y=7

¿{

4x+3y=7
5x+2y=8

¿{

¿
e)

4x+3y=1
2x −3y=5

¿{

x − y=3
x3− y3=9

¿{

x+y+xy=11
x2y+xy2=30

¿{

xy=64
1
x−

1
y=

1
4

¿{

¿
t)

x+y+xy=2+3√2
x2+y2=6

¿{

xy+yx=12
xx+yy=28

{

3.2. Cho hệ phơng trình:

mx y=1
x

2
y
3=334

{

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1.

b) Tỡm giỏ trị của m để hệ phơng trình vơ nghiệm

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

3.3. Cho hệ phơng trình:

2x my=3
mx+3y=4

{

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1.

b) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm ( x0; y0 ) tháa m·n:

x0<0, y0>0

(a/ x = -5/7, y = 11/7; b/ m = -2;-1;0;1;2)
3.4. Cho hệ phơng trình:

mx+y=10
2x −3y=6

¿{

¿
a) Gi¶i hƯ khi m = 1.

b) Tìm m để hệ phơng trình vơ nghiệm.

(a/ x = 36/5,y = 14/5; b/ m = -2/3)
3.5. Cho hệ phơng trình:

2x y=4
x+ay=1

{

a) Khi a = 1, giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng.

b) Tỡm giỏ tr ca a hệ phơng trình có nghiệm là x = -3, y = -10.
(a/ x = 5/3, y = -2/3; b/ a = -2/5)

3.6. Cho hệ phơng trình:

ax+y=3 (1)
x −2y=2 (2)

¿{

a) Khi a=1

2 , giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thÕ.

b) Gọi (D1) và (D2) lần lợt là các đờng thẳng có phơng trình (1) và (2).
- Tìm a để (D1) cắt (D2) tại điểm có tọa độ (2 ; 0).

- T×m a biết rằng có điểm A trên (D1) và điểm B trên (D2)

thỏa mÃn:

xA=xB0
yA+3yB=0

{

(a/ x = 4, y = 1; b/ -/ a = 3/2, -/ a = 3/2)
3.7. Cho hệ phơng trình:

mx y=2m (1)
x −my=1+m (2)

¿{

a) Xác định m để hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất.
b) Xác định m để hệ phơng trình trên có nghiệm ngun.

c) Chứng tỏ rằng M(x ; y) với (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình ln nằm trên
một đờng thẳng cố định.

d) Tìm giá trị của m để biểu thức P = xy có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó
( với x, y là nghiệm của hệ phơng trình).

3.8. Tổng của hai số bằng 59. Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7. Tìm hai số
đó. (34 và 25)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

3.10 Hai nguời thợ cùng xây một bức tờng trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu ngời thứ 
nhất làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xõy c 3

4 bức tờng.

Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xây xong bức têng. (12 vµ 18)

3.11. Tìm một số có hai chữ số biết rằng hai lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số 
hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị đợc thơng là 2 và d
cũng là 2. (Số 83)

3.12. Mét xe lưa ph¶i vận chuyển một lợng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa 15 tấn hàng thì 
còn thừa lại 3 tấn, nếu xếp vào mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 5 tấn nữa. Hỏi xe lửa
có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng. (8 toa vµ 123 tÊn)

3.13. Hai đội xe chở cắt để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong 12 ngày

xong việc. Nhng hai đội chỉ cùng làm trong 8 ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp trong 7
ngày nữa thì xong việc. hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc

(Đội thứ nhất 21 ngày - đội thứ hai 28 ngày)

3.14. Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km và đi ngợc chiều nhau, 
sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trớc xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì
sau khi xe thứ hai đi đợc 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc mỗi xe

(Xe thø nhÊt 40km/h - xe thø hai 35km/h)
3.15. Hai vßi níc cïng chảy vào một cái bể nớc cạn, sau 4 4

5 giờ thì đầy bể. nếu lúc

đầu chỉ më vßi thø nhÊt, sau 9 giê më tiÕp vßi thứ hai thì sau 6

5 giờ nữa mới đầy bể.

Hỏi nếu một mình vòi thứ hai chảy thì bao lâu đầy bể (8 giờ)

3.16. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I 
vợt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vợt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã
làm đợc 404 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.

( xí nghiệp I: 200 dụng cụ, xí nghiệp II: 160 dụng cụ).
3.17. Hai trờng A và B có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9 đạt tỉ lệ 84%.

Tính riêng thì trờng A đỗ 80%, trờng B đỗ 90%. Tính xem mỗi trờng có bao nhiêu học
sinh lớp 9 dự thi.

(Trêng A: 150, trêng B: 100)

3.18. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đỗ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi 
rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nớc cịn bình thứ hai chỉ đợc nữa thể tích của
nó, hoặc bình thứ hai đầy nớc cịn bình thứ ba chỉ đợc một phần ba thể tích của nó. Hãy
xác định thể tích mỗi bình.

( V1=50l ,V2=40l ,V3=30l )

3.19. Hai bến sơng A và B cách nhau 40 km. Một ca nô xuôi từ A đến B rồi quay ngay về 
A với vận tốc riêng không đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút. Khi ca nơ khởi hành từ A thì lúc
đó, một khúc gỗ cũng trơi từ A theo dịng nớc và gặp ca nô trên đờng trở về tại một điểm
cách A 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dịng nớc.

3.20. Để làm xong một công việc, nếu A và B cùng làm thì mất 6 giờ; nếu B và C cùng 
làm thì mất 4,5 giờ; nếu A và C cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút. Hỏi nếu cả ba cùng làm
thì phải mất bao lâu mới xong cơng việc đó.

3.21. Một ơ tơ và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đờng sau 3 giờ thì gặp
nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km.
Tính vận tốc của mỗi xe.

3.21. Một ô tô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ tra. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì 
sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B lúc 11 giờ tra. Tính
độ dài AB và thời điểm xuất phát tại A.

3.22. Hai vßi níc cïng chảy vào một cái bể nớc cạn, sau 
4
4

5 giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu 
chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

3.23. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006. Nếu lấy số lớn chia cho số
nhỏ đợc thơng là 2 và số d là 124.

chuyên đề IV
 Hàm số y=ax2(a ≠0

) - phơng trình bậc hai một ẩn

*) Một số kiến thức trọng tâm
1. Hàm số y=ax2(a 0)

TH: a > 0

- Hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0, y = 0 là GTNN của hàm số,
đạt đợc khi x = 0.

TH: a < 0

- Hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0, y = 0 là GTLN của hàm số,
đạt đợc khi x = 0.

- Đồ thị hàm số y=ax2(a ≠0) tiếp xúc với đờng thẳng y = kx + c khi và chỉ khi 
phơng trình ax2

=kx+c cã nghiƯm kép.

2. Phơng trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a ≠0)

b2  4ac Δ'=b'

−ac(b=2b')

* Δ>0 phơng trình có hai nghiệm * '

>0 phơng trình có hai
ph©n biƯt nghiƯm ph©n biƯt

x1=− b+√Δ
2a , x2=

− b −√Δ

2a x1= b

'
+
a , x2=

b'

a

* =0 phơng trình có nghiÖm kÐp * '=0 phơng trình có nghiệm kép

x1=x2=− b

2a x1=x2=b

'
a

* <0 phơng trình vô nghiệm * Δ'

<0 phơng trình vô nghiệm
Hệ thức Vi - ét và ứng dụng

Nếu x1, x2 là nghiệm của phơng trình : a x2

+bx+c=0,(a ≠0) th×

x1+x2=b
a
x1x2=c

a

{

Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta gi¶i phơng trình: x2Sx

+p=0

(K cú u v v là: S2

−4P ≥0 )

* NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình ax2+bx+c=0 (a 0) cã hai nghiÖm:
x1=1, x2=

c
a .

* NÕu a - b + c = 0 thì phơng trình ax2

+bx+c=0 (a ≠0) cã hai nghiƯm:
x1=−1, x2=−c

a .

Ví dụ 4.1: Xác định hệ số a của hàm số y=ax2 , biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm 
A(-2 ; 1). Vẽ đồ thị hàm số đó.

Lêi gi¶i

a) A(-2 ; 1) ⇒x=−2, y=1 , thay vào phơng trình y=ax2 ta đợc :
−2¿2=1⇒a=1

4
a.¿

. Vậy hàm số đó là: y=1
4 x

2
.
b) Vẽ đồ thị: Lập bảng giá trị rồi vẽ
Ví dụ 4.2: Cho hàm số y=1

4x

có đồ thị là (P)

a) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A và B thuộc (P) nếu xA=−2; xB=4

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Lêi giải
a) Điểm A thuộc (P) có xA=2 yA=

1
4 x

2A

=1 . TT: yB 4
Phơng trình đờng thẳng qua A(-2; 1) và B(4; 4) là y=1

2x+2

b) Phơng trình đờng thẳng song song với AB là y=1

2x+k (d)

§êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) ⇔1

4x

2x+k cã nghiÖm kÐp

⇔x2−2x −4k=0 cã nghiÖm kÐp ⇔Δ'=1+4k=0⇔k=−1

Toạ độ điểm M là

(

1;1
4

)

Ví dụ 4.3: Cho đờng thẳng có phơng trình 2(m−1)x+(m−2)y=2(d)

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt Parabol y=x2 tại hai điểm A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm của AB theo m.

Lời giải

a) Xét hệ

2(m1)x+(m 2)y=2
y=x2

(m2)x2+2(m1)x 2=0

{

(1)

Để (d) cắt Parabol y=x2 tại hai điểm phân biệt thì phơng trình (1) có hai nghiệm phân
biệt.

a=(m 2)0
'

m2

'=m23>0

m2

m>3

m<3

b) Gọi I là trung điểm của AB thì xI=xA+xB
2 =

− b
2a=

1− m
m−2
I∈(d)⇔2(m −1)xI+(m−2)yI=2⇔2(m−1).1− m

m−2+(m −2)yI=2⇔ yI=

2(m2− m−1)

(m−2)2

Ví dụ 4.4: Cho Parabol (P): y=x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y = mx + 1

a) Chøng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và
B

b) Tỡm giá trị của m để tam giác OAB có diện tớch bng 3.
Li gii

Xét phơng trình tơng giao x2=mx+1x2mx1=0 (1)

a) Vì phơng trình (1) có hệ số a và c trái dấu nên phơng trình (1) luôn có hai
nghiệm phân biệt và trái dÊu

Do đó (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B mà xA<0<xB

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

SAOB=SOAI+SOIB=|xA|. OI+|xB|.OI

2 =

|xA|+|xB|
2 =

xB− xA
2 =√

Δ
a =

√

m2+4
1 =

√

m

V× SAOB=3⇒

√

m2

+4=3⇔m2=5⇔m=±√5

Bài tập vận dụng
4.1. Vẽ đồ thị hàm số (P): y=−x

4 và đờng thẳng (D): y = 2x + 3 trên cùng một hệ trục

tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phơng pháp đại số.
4.2. Cho hàm số y=ax2 có đồ thị (P) đi qua A(1 ; 1).

a) Xác định a.

b) Gọi (D) là đờng thẳng đi qua A và cắt tia Ox tại điểm M có hồnh độ bằng m
( m 1 ).

* Viết phơng trình đờng thẳng (D).

* Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xóc víi (P).

4.3. Cho Parabol (P) có phơng trình: y=x2 và đờng thẳng (D) có phơng trình:
y=x+m2+1

a) Chứng minh rằng với mọi m, (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Ký hiệu xA, xB lần lợt là hoành độ của điểm A và điểm B. Hãy xác định giá trị
của tham số m sao cho: xA2+xB2=10 . (b/ m = ±√2 ).

4.4. Cho hàm số y=ax2 có đồ thị là (P).

a) Xác định a biết rằng (P) đi qua điểm A( -2 ; -1) và vẽ (P).
b) Gọi B là điểm trên (P) có hồnh độ bằng 4.

Viết phơng trình đờng thẳng AB.

c) Viết phơng trình đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) và song song với AB.

4.5. Vẽ Parabol (P): y=x2 và đờng thẳng (D): y = -x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ. 
Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phơng pháp đại số.

4.6. Cho Parabol (P): y=1
2x

và đờng thẳng (d): mx + y = 2.

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi (d) luôn đi qua một điểm cố định C.
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

c) Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác AOB ứng với giá

trị tìm đợc của m.

d) Chứng minh rằng trung điểm I của AB khi m thay đổi luôn nằm trên một
Parabol cố định.

4.7. Cho (P)

2
1
4
y x

và đờng thẳng (d) y = mx -2m -1
a) Vẽ (P) và tìm m để (d) tiếp xúc với (P)

b) Chứng minh rằng các đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá
trị của tham số m.

c) Viết phơng trình đờng thẳng (k) vng góc với đờng thẳng (d) và tiếp xúc với
(P).

d) Viết phơng trình đờng thẳng (l) song song với (d) và tiếp xúc với (P).
Ví dụ 4.5: Cho phơng trình: x2+(m+1)x+5− m=0 . (1)

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng -1. Tìm nghiệm cịn lại.
b) Giải phơng trình khi m = -6.

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

d) Với m tìm đợc ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa x ❑1 và x2 độc lập đối với

Lêi gi¶i
a) Phơng trình (1) có một nghiệm bằng -1 nên:

12+(m+1)(1)+5m=0m=5
2

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Khi đó ta có phơng trình: x2

+7
2x+

2=0⇒ nghiệm còn lại của PT là:
5

b) Với m = -6 ta cã PT: x2−5x+11=0 cã Δ=−19<0 phơng trình vô
nghiệm.

c) Ta có: =m2+6m19 .

Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ=m2

+6m−19 >0.

Ta xÐt dÊu Δ

m −3−2√7 -3+2 √7

Δ + 0 - 0 +

VËy khi m < −3−2√7 hc m > -3+2 7 thì phơng trình có hai nghiệm phân biÖt.
d) Ta cã: x1+x2=− m−1 (1); x1x2=− m (2).

Tõ (2) suy ra: m = − x1x2+5 , thay vµo (1): x1+x2=x1x2−6
VËy hƯ thức cần tìm là: x1+x2 x1x2+6=0 .

Ví dụ 4.6: Giải các phơng trình sau:
a) x4

4x2+3=0 b) x+
1
x¿

−4(x+1

x)+3=0

Lêi gi¶i

a) Đặt x2=t (ĐK: t≥0) . Khi đó phơng trình đẫ cho trở thành: t2

−4t+3=0

V× a + b + c = 0, nên phơng trình có hai nghiệm: t1=1, t2=c

a=3 (TMĐK)

* Với t1=1x2=1x=1
* Với t2=3x2=3x=3

Vậy phơng tr×nh cã 4 nghiƯm : x = -1; 1; 3;3 .
b) ĐK: x 0 . Đặt x+1

x=t

Ta đợc: t2−4t

+3=0 .Theo c©u a/ t1=1, t2=

c
a=3

* t1=1⇒x+

x=1 (PT v« nghiƯm)

* t2=3⇒x+1

x=3⇔x

−3x+1=0 ⇔x1=3+√5
2 ; x2=

3−√5
2

VÝ dụ 4.7: Cho phơng trình x22(m1)x

+m22=0 (I)

a) Giải phơng trình (I) khi m = -2

b) Tỡm m phơng trình (I) có nghiệm?. Có hai ngiệm phân biệt?.
c) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu ?.

d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x12+x22=4

e) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x1=2x2
f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu .

g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm.
h) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng.

i) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm cịn lại.

j) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện 2x1−4x2=−3
Lời giải

a) Khi m = -2, phơng trình (I) trở thành: x2

+6x+2=0
Ta có '=b'2

ac=321. 2=7>0 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

x1=3+7

1 =3+7; x2=

37

1 =37

b) Phơng trình (I) có nghiệm '0(m 1)21.(m22)02m+30m3
2

Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt
'>0(m1)21.(m22)>02m+3>0m<3

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

c) Phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu c

a<0m

22<0

2<m<2

d) iu kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là: m≤3
2

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: x1+x2=−b

a =2(m−1); x1x2=

c
a=m

2−2
Do đó x12+x22=4 ⇔(x

1+x2)
2

−2xxx2=4⇔[2(m−1)]2−2 .(m2−2)=4⇔2m2−4m+2=0

⇔(x −1)2=0⇔x=1 (TM§K)

e) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là: m≤3
2

Khi đó theo Vi-et và đề bài ta có

x1+x2=2(m−1) (1)

x1x2=m2−2 (2)

x1=2x2 (3)

¿{ {

¿
Tõ (1) vµ (3) ta cã x2=2(m−1)

3 ; x1=

4(m −1)

3 thay vào (2) ta c
m=8+310

m=8310

2(m1)
3 .

4(m1)
3 =m

28(m1)2=9(m22)m2+16m 26=0

f) Phơng trình (I) có 2 nghiệm cùng dấu

'0
c
a>0

m3

2
m>2

m<2

2<m3
2

m<2

{

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

g) Phơng trình (I) có 2 nghiệm cùng âm

'0
 b

a <0
c
a>0

m 3

2
m1<0

m22>0

m 3

2
m<1
m>2

m<2

h) Phơng trình (I) có hai nghiệm cùng dơng

'0
 b

a >0
c

a>0

m3

2
m>1

m>2

m<2

2<m3

i) Phơng trình (I) có một nghiệm bằng 1

a+b+c=012(m1)+m22=0m22m+1=0(m1)2=0m=1
Khi ú nghim cũn li l x2=c

a=

m22

1 =
122

1 =1

j) Phơng trình (I) có nghiệm thoả ĐK: 2x14x2=3

ĐK: m3

2 ( phng trỡnh cú nghim)

Theo hệ thức Vi-et và yêu cầu bài toán, ta có:

x1+x2=2(m 1) (1)

x1x2=m2−2 (2)
2x1-4x2= -4 (3)

¿{ {

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Tõ (1) vµ (3) ta cã x1=4m−6
3 ;x2=

2m

3 thay vào (2), ta đợc

4m −6

3 .
2m

3 =m

−2⇔2m(4m−6)=9(m2−2)⇔m2+12m−18=0⇔
m=−6+3√6

m=−6−3√6

¿
¿
¿
¿
¿

(TM)

Bµi tËp vËn dơng

4.8. Cho phơng trình: x2−2(m+3)x+4m −1 (1)
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng.

b) T×m mét hƯ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.

4.9. phơng trình x22(m+1)(m+3)=0 (1)

a) Giải phơng trình (1) khi m = -2

b) Chng t rng phơng trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
c) Viết hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình độc lập với tham số m.

4.10. Cho phơng trình: (m3)x22 mx+m+2 (1)

a) Giải phơng trình với m = -5.

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

d) Gi¶ sử x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm giá trị nhỏ nhất của
biÓu thøc x12+x22 .

e) Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
4.11. (TS: L10: 2006 - 2007)

Cho phơng trình: x22(m+2)x+m29=0 (I)
a) Giải phơng tr×nh (I) víi m = 1.

b) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt.

c) Gọi hai nghịêm phân biệt của phơng trình (I) là x1 và x2 .
Hãy xác định giá trị của m để: |x1− x2|=x1+x2

(a/ x=3±√17;b/m>−13

4 ;c/m=3 )

4.12. Cho phơng trình bậc hai: x2mx

+m1=0 (I)
a) Giải phơng trình (I) với m = 3.

b) Chứng minh phơng trình (I) luôn có nghiệm với mäi m.

c) Gäi x ❑1 vµ x2 là các nghiệm của phơng trình (I). Tính x 1 + x2 vµ x

❑1 . x2 theo m. Tìm giá trị m để x12+x22 t giỏ tr nh nht.

4.13. Giải các phơng trình:
a) 4x4−5x2−9

=0 b)

(

x+1
x

)

−8

(

x+1

x

)

+7=0

c) x(x + 1)(x + 4)(x + 5) = 12.
4.14. Giải các phơng trình:

a) x2

+2(√3+1)x+2√3=0 b) x25x 14=0

4.15. Cho phơng trình bậc hai: x2

2x m2−4=0

a) Chứng tỏ rằng phơng trình đã cho ln có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình đã cho. Tỡm m : x12+x22=20

c) Giải phơng trình khi m = -2.
4.16. Cho phơng trình: 2x2

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

4.17. Cho phơng trình: x2(m+5)x m+6=0 (1)
a) Giải phơng trình với m = 1.

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm x = -2.

c) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn

A=x12+x22=13 .

4.18. Cho phơng trình: x2−2(m+1)x+m2−4m+5=0 (có ẩn số là x).
a) Định m để phơng trình có nghiệm.

b) TÝnh x12+x22 theo m (với x1, x2 là các nghiệm của phơng trình).

4.19. Cho phơng trình: x22(m1)x

+2m4=0 (có ẩn số là x).

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m.

b) Tìm GTNN cđa y = x12+x22 (víi x1, x2 lµ các nghiệm của phơng trình).

4.20. Cho phơng trình: x22(m1)x+m −3=0 (cã Èn sè lµ x).

a) Chøng minh r»ng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m.

b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghiệm đối nhau.
4.21. Cho phơng trình: x2

−2x+m=0 .Víi giá trị nào của m thì phơng trình:
a) Có nghiệm ?

b) Có hai nghiệm dơng ?
c) Có hai nghiệm trái dấu ?

4.22. Cho phơng trình: x2 2(m1)x2m1 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = 2

b) CMR với mọi giá trị của tham số m phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biƯt.

c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm tho món x12x2

d) Viết biểu thức liên hệ giữa x x1, 2không phụ thuộc vào

4.23. Cho phơng trình: a+1¿

=0
ax2−2(a+1)x

+¿ (1)
a) Tìm giá trị của a để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 .

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào a.
c) Tìm giá trị của a để phơng trình (1) có nghiệm khác 0 và x1=3x2

4.24. Cho ph¬ng trình: x22(m3)x 1=0 với m là tham số (1)

a) Xác định m để phơng trình (1) có một nghiệm là (-2)

b) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
Chuyên đề V

Giải toán bằng cách lập phơng trình
Dạng 1: Tốn chuyển động

Chó ý

+ Mối liên hệ giữa ba đại lợng vận tốc (v), quãng đờng (s) và thời gian (t) trong bài
tập chuyển động: s=vt;v=s

t ;t=
s
v

+ Nếu vận tốc thực của thuyền (ca nô) là x km/h, vận tốc dòng chảy là y km/h thì
vận tốc của thuyền (ca nô) khi xuôi dòng là x + y km/h, khi ngợc dòng là x y km/h..
VÝ dơ 5.1: (TN.THCS: 2002)

Một ca nơ chạy xi dịng từ bến A đến bến B, rồi quay trở lại A ngay mất tổng
cộng 4 giờ. Biết quãng đờng AB dài 30 km và vận tốc dòng chảy là 4 km/h. Tính vận tốc
ca nơ khi nớc n lng.

Lời giải

Gọi vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng là x (km/h): ĐK: x > 4.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Vì ca nơ đi đợc đúng một vịng, nên theo bài ra ta có phơng trình: 30

x+4+
30

x −4=4 . Gi¶i

ra ta đợc: x1=−1 (loại); x2=16 (TMĐK).

VËy vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng là: 16 km/h.
VÝ dơ 5.2:

Một ca nơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó,
cũng từ A về B một bè nứa trơi với vận tốc dịng nớc là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại
ngay và gặp bè nứa tại điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nơ.

Lời giải
Gọi x (km/h) là vận tốc thực của ca nô ( ĐK x > 4)

Vận tốc xi dịng của ca nơ là: x + 4 (km/h)
Vận tốc ngợc dịng của ca nơ là : x – 4 (km/h)
Thời gian ca nô đi đến lúc gặp bè nứa là 8:4 = 2 (giờ)
Thời gian xi dịng của ca nơ là 24

x+4 (giê)

Thời gian ngợc dòng đến chỗ gặp bè nứa của ca nơ là 16

x −4 (giê)

Theo bµi ra ta có phơng trình 24

x+4+
16

x 4=2

Gii phng trỡnh ta c x = 20 (TMĐK); x = 0 (loại)
Vậy vận tốc thực của ca nô là 20km/h

VÝ dô 5.3:

Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng một lúc đó một ơtơ khởi
hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp 18km/h. Sau khi hai xe gặp nhau, xe đạp
phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc mỗi xe.

Lời giải
Gọi vận tốc của xe đạp là x (km/h) (ĐK: x > 0)
Vận tốc của ôtô là x + 18 (km/h)

Quãng đờng từ chỗ gặp nhau đến B là 4x (km) và đến A là 108 – 4x (km)
Thời gian xe đạp đi đến chỗ gặp: 108−4x

x (giê)

Thời gian ôtô đi đến chỗ gặp: 4x

x+18 (giê)

Theo bài ra ta có phơng trình 1084x

x =

4x

x+182x

9x 486=0

Gii ra ta đợc x = 18 (TMĐK); x = -13,5 (loại)

Vậy vận tốc của xe đạp là 18 km/h và vận tốc của ơtơ là 36 km/h
Ví dụ 5.4:

Một ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Khi còn cách trung điểm
quãng đờng 60 km thì xe tăng vận tốc thêm 10 km/h, nên đã đến B sớm hơn dự định là 1
giờ. Tính quãng đờng AB

Lời giải
Gọi 2x (km) là quãng đờng AB (ĐK: x > 0)
Thời gian dự định đi từ A đến B là: 2x

40 =
x

20 (giê)

Thời gian đi đoạn đờng đầu là: x −60

40 (giê)

Thời gian đi đoạn đờng sau là: x+60

50 (giờ)

Theo bài ra ta có phơng trình x 60

40 +
x+60
50 +1=

x

20→ x=140

Vậy quãng đờng AB là 280 km

Bµi tËp vËn dông

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

5.2. Một ôtô đi trên quãng đờng dài 520 km. Khi đi đợc 240 km thì ôtô tăng vận tốc thêm
10 km/h và đi hết quãng đờng cịn lại. Tính vận tốc ban đầu của ơtơ, biết thời gian đi hết
quãng đờng là 8 giờ. ( ĐS: 60 km/h)

5.3. Một xe ô tô tải và một xe ô tô du lịch đi từ tỉnh A đến tỉnh B trên quãng đờng dài 300
km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe ô tô du lịch lớn hơn vận tốc xe ô tô tải là 10
km/h, nên ô tô du lịch đã đến trớc xe ô tô tải 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.

5.4. Hai ơ tơ khởi hành cùng một lúc trên quãng đờng từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô 
tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B trớc ô tô thứ hai là 2/5 giờ. Tính
vận tốc mỗi xe.

5.5. Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời đi từ A về B. Biết vận tốc của xe
du lịch lớn hơn vận tốc của xe khách là 20 km/h. Do đó nó đến B trớc xe khách 50 phút.
Tính vận tốc mỗi xe, biết quảng đờng AB dài 100 km.

5.6. Một ngời dự định đi từ A đến B cách nhau 36 km trong một thời gian nhất định. Đi 
đ-ợc nửa đờng, ngời đó nghỉ 18 phút nên để đến B đúng hẹn ngời đó phải tăng vận tốc thêm
2 km/h. Tính vận tốc ban đầu. (ĐS: 10 km/h)

5.7. Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sơng A. Sau đó 5 giờ 20 phút một ca nô cũng 
khởi hành từ A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Tìm vận tốc của thuyền, biết
vận tốc của ca nô nhanh hơn thuyền là 12 km/h. (ĐS: 3km/h)

5.8. Một ôtô khởi hành đi tự A đến B cách nhau 240 km. một giờ sau, ôtô thứ hai cũng 
khởi hành từ A đi đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc của ôtô thứ nhất là 10 km/h nên đã
đuổi kịp ôtô thứ nhất ở chính giữa quãng đờng AB. Tính vận tốc của mi xe.

(ĐS: 30 km/h và 40 km/h)

5.9. Lỳc 7 gi một ôtô đi từ A đến B. Lúc 7 giờ 30 phút một xe máy đi từ B đến A với vận 
tốc kém hơn vận tốc của ôtô là 24 km/h. Ơtơ đến B đợc 1 giờ 20 phút thì xe máy mới đến
A. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đờng AB dài 120km. (ĐS: 48 và 72)

5.10. Một ca nơ đi xi dịng nớc từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một ngời đi bộ đi từ 
bến A dọc theo bờ sông về hớng bến B. Sau khi chạy đợc 24 km, ca nô quay trở lại và gặp
ngời đi bộ tại địa điểm C cách bến A là 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng,
biết rằng vận tốc của ngời đi bộ và vận tốc của dòng nớc đều bằng 4km/h. (S: 20
km/h)

Dạng 2: Toán về năng suất (Làm chung làm riêng;...)
Chú ý

Nếu một đội hồn thành cơng việc xong trong a (ngày) thì một ngày cả đội
làm đợc 1

a (c«ng viƯc).

VÝ dơ 5.5:

Để hồn thành một cơng việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm
chung thì tổ hai đợc điều đi làm việc khác, tổ một hồn thành cơng việc cịn lại trong 10
giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong cơng việc đó ?

Lêi gi¶i

Gọi x (giờ) là thời gian tổ một hồn thành cơng việc (ĐK x > 0)
Trong 1 giờ tổ một làm đợc 1

x (c«ng viƯc)

Trong 1 giờ cả hai tổ làm đợc 1

6 (c«ng viƯc)

Trong 1 giờ tổ hai làm đợc 1

6−
1
x=

x −6

6x (c«ng viƯc)

Thêi gian tỉ hai hoàn thành công việc là 6x

x 6 (giờ)

Trong 2 giờ cả hai tổ làm đợc 1

3 (công việc)

Phần việc còn lại tổ một làm là 11
3=

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Ta có phơng trình 10 .1
x=

3x=15

Vậy tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ. Tổ hai HTCV trong 10 giê.
VÝ dơ 5.6:

Hai vßi nớc cùng chảy vào bể không có nớc trong 3 giờ thì đầy. Nếu vòi một chảy
nửa bể rồi nghỉ và cho vòi hai chảy tiếp cho đầy bể thì mất tổng cộng 8 giờ. Hỏi nếu mỗi
vòi chảy riêng sẽ đầy bể trong bao lâu.

Lời giải

Tổng thời gian vòi một và vòi hai chảy một mình đầy bĨ lµ 8.2 = 16 (giê)
Gäi x (giê) lµ thêi gian vòi một chảy một mình đầy bể ( 0 < x < 16)
16 – x (giê) lµ thêi gian vòi hai chảy một mình đầy bể

Ta có phơng trình: 1

x+
1
16− x=

1
3

Giải ra ta đợc x = 12 (TMĐK); x = -4 (K.TMK)

Vậy vòi một chảy đầy bể trong 12 giờ, vòi hai chảy đầy bể trong 4 giờ.
Ví dô 5.7:

Lớp 9A đợc phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh,
nhng khi lao động có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong.
Tính số học sinh lớp 9A.

Lời giải
Gọi x là số học sinh của lớp 9A (x nguyên, x > 8)
Theo dự định mỗi học sinh phải trồng 480

x (cây)

Thực tế, mỗi em trồng 480

x 8 (cây)

Ta có phơng trình 480

x 8
480

x =3x

8x 1280=0

Gii ra ta đợc x = 40 (TMĐK); x = -32 (K.TMĐK)

Vậy số học sinh của lớp 9A là 40.

VÝ dơ 5.8:(§Ị thi vào lớp 10 tỉnh NA năm học 2006-2007)

Trong một kỳ thi tun sinh líp 10, hai trêng THCS A vµ B cã tÊt c¶ 450 häc sinh
dù thi. BiÕt sè häc sinh tróng tun cđa trêng A b»ng 3/4 sè häc sinh dù thi cña trêng A,
sè häc sinh tróng tun cđa trêng B b»ng 9/10 sè häc sinh dù thi cđa trêng B. Tỉng sè
häc sinh tróng tun cđa hai trêng b»ng 4/5 sè häc sinh dù thi cđa c¶ hai trêng. TÝnh sè
häc sinh dự thi mỗi trờng.

Lời giải

Gi s hc sinh d thi của trờng A là x (ĐK: 0 < x < 450 & x Z ).
Do đó: số học sinh dự thi của trờng B là: 450 - x.

Sè häc sinh tróng tun cđa trêng A lµ: 3x

4 ; cđa trêng B lµ:

9(450− x)

10 .

Theo bµi ra ta có phơng trình: 3x

4 +

9(450 x)
10 =

4
5. 450
x=300 (TMĐK).

Vây số học sinh dự thi cđa trêng A lµ: 300; cđa trêng B lµ: 150
Bµi tập vận dụng

5.11. Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 chiếc nữa nêm mỗi xe
chở ít hơn 8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc?. (ĐS:12 chiếc)

5.12. Lp 9A dự định trồng một số cây trong sân trờng; nếu mỗi em trồng 4 cây thì tổng
số cây trồng vợt quá mức dự định là 52 cây; nếu mỗi em trồng 2 cây thì tổng số cây trồng
ít hơn mức dự định 24 cây.

Tính số học sinh lớp 9A và số cây dự định trồng.

(ĐS: Số học sinh lớp 9A: 38; Số cây dự định trồng: 100)

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

A

5.14. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp 
dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ hai đã vợt mức 21% . Vì vậy trong thời
gian qui định họ đã hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm đợc giao của
mỗi tổ theo kế hoạch là bao nhiêu ?.

5.15. Trong một phịng có 80 ngời họp, đợc sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt
đi hai dãy ghế thì mỗi dãy ghế cịn lại phải xếp thêm hai ngời mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có
mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế đợc xếp bao nhiờu ngi ngi ?

Dạng 3: Toán về hình chữ nhật, tam giác vuông,...

Chú ý

+ Hình chữ nhật có cạnh là a và b thì: Chu vi lµ: 2.(a + b)
DiƯn tÝch lµ S = a.b
Ví dụ 5.9: Một khu vờn hình chữ nhật cã chiỊu dµi b»ng 7

4 chiỊu réng vµ cã diÖn tÝch

b»ng 179m2 . TÝnh chu vi khu vờn ấy.

Lời giải
Gọi x(m) là chiều rộng khu vờn (ĐK x > 0)
Chiều dài khu vờn là: 7

4 x(m) .

Theo bài ra ta có phơng trình x.7

4 x=1792x=32 (giá trị âm của x loại)

Chiu rng khu vờn là 32(m), chiều dài khu vờn là 56(m). Do đó chu vi khu vờn là: 176
(m)

VÝ dơ 5.10:(§Ị thi vào lớp 10 tỉnh NA năm học 2009-2010)

Mt tha ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Tính diện
tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi
thửa ruộng khơng thay đổi.

Lêi giải

Gọi chiều rộng thửa ruộng hình chữ nhật là x(m), (ĐK x > 0)
Chiều dài thửa ruộng hình chữ nhật là x + 45 (m)

Chu vi thửa ruộng hình chữ nhËt lµ: 2.(2x + 45) (m)

Nếu giảm chiều dài 2 lần và tăng chiều rộng 3 lần thì chu vi thửa ruộng khơng thay đổi ,
nên ta có phơng trình: 2

{

x+45

2 +3x

}

=2(2x+45)⇔7x+45=4x+90⇒x=15

Vậy chiều rộng của thửa ruộng là 15 (m), chiều dài là 60 (m). Do đó diện tích của thửa
ruộng là 15 .60=900(m2) .

Bµi tËp vận dụng
5.16. Một khu vờn hình chữ nhật có chiều réng b»ng 2

5 chiỊu dµi vµ cã diƯn tÝch b»ng

360 m ❑2 . TÝnh chu vi khu vờn ấy. (ĐS: 84m)

5.17. Tính các kích thớc của hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2 , biết rằng nếu tăng 
mỗi kích thớc lên 3 cm thì diện tích tăng 48 cm 2 . (5m và 8m)

5.18. Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m. Tính các cạnh góc vuông, biết chúng 
hơn kém nhau 2m. (ĐS: 6m và 8m)

5.19. Một mảnh vờn hình chữ nhật có diện tích 320m2 . Nếu tăng chiều rộng thêm 10m 
và giảm chiều dài đi 16 m thì diện tích mảnh đất khơng thay đổi. Tính kích thớc của
mảnh vờn. (ĐS: 10m và 32m)

Phần II: Hình học
Chuyên đề VI

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

B
C
H
a
b
c
h
,
b
,
c



1. b2 ab,
2. c2

=ac,
3. a2=b2+c2

4. h2
=b,c,
5. a.h = b.c
6. 1

h2=

1
b2+

1
c2

7. b = a.sinC = a. cosC; c =asinC = acosB; 
8. b = c.tgB = c.cotgC; c = b.tgC = b.cotgB;
9. sinα=c

a; cosα=
b

a; tgα=
c

b; cotgα=
b
c.

10. NÕu α+β=900⇒Sinα=cosβ ; cosα=sinβ ; tgα=cotgβ .

Ví dụ 6.1: Cho tam giác ABC vng tại A, có AB = 12 và AC = 5. Tính độ dài đờng cao 
AH của tam giác đó.

Lêi gi¶i

Gäi AH = h, BC = a, CA = b = 5, AB = c = 12, HB = c ,

Và HC = b ,

Cách 1

Sử dụng hệ thøc: 1

h2=
1
b2+

1
c2

⇒h2= b

c2

b2+c2⇒h=

√

b2c2
b2+c2=

√

122. 52
122+52=

60
13 .

C¸ch 2

áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ABC, ta có:

a=

√

b2+c2=

√

122+52=13 . L¹i cã: ac,=c2⇒c,=c

2
a=
122
13 =
144
13

áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng AHB, ta có: AH2

=AB2−BH2

144
13 ¿

122−¿

⇒h=

√

c2− c,2=√¿

Ví dụ 6.2: Cho hình thang ABCD có ∠ B = ∠ C = 90 ❑0 , hai đờng chéo vuông góc 
với nhau tại H. Biết rằng AB=3√5 cm, HA=3 cm . Chứng minh rằng:

a/ HA : HB : HC : HD = 1 : 2 : 4 : 8.

b/ 1

AB2 −

1
CD2=

1
HB2 −

1
HC2 .

Lêi gi¶i

a) Muốn chứng tỏ HA, HB, HC, HD tỉ lệ với 1,2,4,8 trớc tiên ta tính độ dài của các đoạn
thẳng đó:

¸p dơng hƯ thøc: b2

=ab, vào tam giác vng ABC ta đợc:
AB2=AC. AH⇒AC=AB2

AH =15 cm⇒HC=12cm

¸p dơng hƯ thøc: h2

=b,c, vào các tam giác

vuụng BAC v CBD ta đợc:

BH2=HA .HC=36⇒BH=6 cm;CH2=HB . HD⇒HD=24 cm
VËy: HA: HB : HC : HD = 3 : 6 : 12 : 24 = 1 : 2 : 4 : 8.
b) ¸p dơng hƯ thøc: 1

h2=
1
b2+

c2 vào các tam giác vng BAC và CBD ta đợc:
1

HB2=
1
AB2+

1
BC2 ;

1
HC2 =

1
BC2+¿

1
CD2

Trừ từng vế của hai đẳng thức trên ta đợc: 1

HB2 −
1
HC2=

1
AB2 −

1
CD2
A
B
C
H

5 h 12

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

VÝ dô 6.3: Cho cotgα=a

− b2

2 ab trong đó α là góc nhọn, a > b > 0. Tính cos α .

Lêi gi¶i
Ta cã: cotgα=a

− b2

2 ab ⇒tgα=
2 ab
a2−b2 .

a2− b2¿2
¿

a2

+b2¿2
¿
¿
¿
¿

1+4a

2b2
¿

1+tg2α= 1

cos2α ⇒cos

α= 1
1+tg2α=

6.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH, đờng phân giác AD. Biết AB = 63 cm, 
CH = 112cm, tính HD.

6.2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đờng trung tuyến AD và BE vng góc với nhau
tại G. Biết AB = √6 cm . Tính cạnh huyền BC.

6.3. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đờng 
thẳng CD tại F.

Chứng minh rằng: 1

AB2=
1
AE2+

1
4 AF2

6.4. Tính giá trị của biÓu thøc: C=5cos2α

+2sin2α biết sinα=2

3
chuyên đề VII

Các bài tập về tứ giác nội tiếp đờng tròn

Trong phần này chúng tôi chỉ giới thiệu một số chủ đề quan trọng thờng gặp trong
các đề thi gần đây.

a. Các bài tốn về tứ giác nội tiếp đờng trịn.
b. Qu tớch

c. Ba điểm thẳng hàng

d. Cỏc bi toỏn v tỉ số giữa các cạnh, giữa diện tích các tam giỏc,...
e. Chng minh cỏc im ng qui.

f. Tia phân giác, các góc bằng nhau,...
g. Diện tích, thể tích các hình & các mặt,...

Cỏch chng minh mt t giỏc ni tip đờng trịn
C1) Chứng minh tổng số đo hai góc đối bằng 180 ❑0 .

C2) Chứng minh tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
C3) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai cịn lại dới một
góc α

C4) Chứng minh tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định đợc). Điểm 
đó là tâm của đờng trịn ngoại tiếp tứ giác.

Để chứng minh tỉ số giữa các cạnh: Phần lớn là dựa vào tính chất tam giác đồng dạng,

tính chất đờng phân giác,...

VÝ dơ 28:(TN. THCS: 2004 - 2005)

Cho nữa đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R; H là điểm nằm giữa O và B. Đờng thẳng
vng góc với AB tại H cắt nửa đờng tròn ở C. Gọi I là trung điểm của cung AC.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

A



B

O H

C



I



K

c/ Trong trêng hỵp OH = 1

3 R , Chøng minh r»ng BIIK (K là trung điểm của

OA).

Li gii:
a/ Tứ giác OICH nội tiếp đờng tròn:

Ta cã: OI⊥AC ( T/c dây cung không qua tâm ) CIO900 (1)

Mặt khác: CHA900 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta có: I và H cùng nhìn CO dới mét gãc vu«ng

Do đó t sgiác OICH nội tiếp đờng trịn đờng kính CO.
b/ AI.AC = AO.AH

XÐt ΔAIO vµ ΔAHC cã:

Δ Δ



   






H I 90 (c/m trê n)

AIO AHC(g.g)
Â chung

⇒AI

AH=
AO

AC ⇒AI . AC=AO . AH

OH=1

3R (gt)=
1
3OC⇒

OH
OC=

3 (3)
IK//=1

2OC⇒IK=
1
2R
BK=3

2R

}

⇒IK

BK=
1

3 (4)
Tõ (3) vµ (4)⇒OH

Oc =
IK
BK(¿

3) hay Δ OHC Δ KIB

Mµ H 900  I 900 hay BI⊥IK
VÝ dô 29: (TN.THCS: 2001 - 2002):

Cho hai đoạn thẳng AB và AC vng góc với nhau ( AB < AC ). Vẽ đờng tròn tâm
O đờng kính AB và đờng trịn tâm O ❑' đờng kính AC. Gọi D là giao điểm thứ hai của

hai đờng trịn đó.

a/ Chøng minh: Ba điểm B, D, C thẳng hàng.

b/ Gi giao im ca OO ❑' với cung nhỏ AD của đờng tròn (O) l N. Chng

minh A là phân giác góc DAC.

Lời giải:
a/ Chứng minh: ba điểm B, D, C thẳng hàng. (hình H1)
Ta có: ADB = 90 ❑0 ( góc nội tiếp nhắn nửa đờng trịn)
ADC = 90 ❑0 ( góc nội tiếp nhắn nửa đờng trịn)

Do đó: ADB + ADC = 180 ❑0 ⇒ ba điểm B, D, C thẳng hàng.
b/ Chứng minh AI là phân giác góc DAC.

Nhận thấy: OO ❑' là đờng trung bình của tam giác ABC, do đó OO

❑' //BC.

Mặt khác AD⊥BC (c/m trên ) do đó

OO ❑' AD ⇒DN=NA (t/c đờng kính và dây cung )

Do đó: DAI = CAI hay AI là phân giác của
góc DAC.

VÝ dơ 30:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội
tiếp trong đờng trịn ( O ; R) , hai đờng
cao AD và BE cắt nhau



A

B

C
D

O

'

O

N

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

t¹i H ( D∈BC, E∈AC,AB<AC ). (h×nh H1)
a/ Chứng minh các tứ giác AEDB, CDHE

là tứ giác néi tiÕp.

b/ Chøng minh: CE.CA = CD.CB vµ DB.DC = DH.DA. (h×nh H1)
c/ Chøng minh OC vu«ng gãc víi DE.

d/ Đờng phân giác trong AN của góc A của tam giác ABC cắt BC tại N và cắt đờng

trong (O) tại K ( K khác A). Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACN. Chứng
minh KO và CI cắt nhau tại một im thuc ng trũn (O).

Lời giải:

a/ Tứ giác AEDB cã AEB = ADB = 90 ❑0⇒ A vµ E cïng nh×n AB díi mét gãc 90 ❑0 .

VËy AEDB là t giác nội tiếp.

Tứ giác CDHE có: CDA + CEH = 90 ❑0 . VËy tø gi¸c CDHE nội tiếp.
b/ Xét hai tam giác vuông: CEB và CDA cã:

C chung ⇒Δ CEB Δ CDA

⇒CE

CD=
CB

CA hay CE. CA=CB. CD

XÐt hai tam giác vuông DBH và DAC có:

DBH = DAC (cùng chắn cung DE của đờng tròn
ngoại tiếp AEDB).

⇒Δ DBH Δ DAC ⇒DB

DA =
DH

DC ⇒DB. DC=DH . DA

c/ KỴ tiÕp tun Cx cđa (O), ta cã: ACx = ABC (gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AC) (1)
vµ DEC = BAC ( góc ngoài tứ giác nội tiếp ABDE) (2)
Tõ (1) vµ (2), ta cã ACx = DEC (ở vị trí so le trong)

DE//Cx mà OC Cx ( vì Cx là tiếp tuyến) OCDE .
d/ Nèi KC, ta cã: NCK = BAK = BAC

2 ( cïng ch¾n BK).

NAC = BAC

2 ( vì AN là phân giác )

NAC = NIC

2 (gãc néi tiếp - góc ở tâm).

NKC=NIC
2

Ta lại có: NIC=180

NIC

2 (do tam giác NIC cân tại I )

ICN+NCK=180

2 
NIC

2 +
NIC

2 ⇒ICK=90

0 .

Ta có CI cắt (O) tại M. (3)
Vậy tam giác MCK vuông tại C và M , C , K∈(O) . Do đó MK đi qua O (4)
Từ (3) và (4) suy ra KO và CI cắt nhau tại M (O) .

VÝ dô 31:

Cho nữa đờng trịn tâm O, đờng kính AB. Điểm H nằm giữa hai điểm A và B ( H không
trùng với O). Đờng thẳng vng góc với AB tại H, cắt nữa đờng tròn trên tại điểm C. Gọi
D và E lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ H đến AC và BC.

a/ Tø gi¸c HDCE là hình gì? Vì sao?
b/ Chứng minh ADEB là tø gi¸c néi tiÕp.

c/ Gọi K là tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác ADEB. Chứng minh DE = 2KO.
Lời giải

a/ XÐt tø gi¸c HDCE, cã:

ACB ¿900 ( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn) (1)

H

A

B D C

O

K

N

M

E

I

x

C

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>



O

H

M

E

F

A B

Q

I

x y

P

K

HEC = 90 ❑0 (gt) (2)
HDC = 90 ❑0 (gt) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác HDCE là hình chữ nhật.

b/ Xét tứ giác ADEB, có:

ADE + HBE = 90 ❑0 + HDE + HBE (4)
Ta cã: HDE + DEH = 90 ❑0 vµ HBE + BHE = 90

❑0

Mặt khác BHE + EHC = 90 ❑0 mà DEH = EHC, (t/c hình chữ nhật).
Từ đó ta có: HBE = HED.

Do đó HDE + HBE = 90 ❑0 (5)
Từ (4) và (5) suy ra tứ giác ADEB nội tiếp đờng tròn.

c/ Nối B với K cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB tại F.

Ta có OK = 2 AF ( t/c đờng trung tuyến của tam giác ) (6)
Ta có: AF//CH ( cùng vng góc với AB) (*)
EH//CA ( theo câu a). Ta sẽ chứng minh E, H, F thẳng hàng: Thật vậy.

Cã: EBH = DHA ( v× cïng phơ víi EHB)

AFH + FHA = 90 0 mặt khác CBA = AFH ( góc nội tiêpd cùng chắn cung AC)
Suy ra: FHA + AHD = 90 0 mặt khác DHE = 90

hàng.

Do ú HF//AC (**)
Từ (*) và (**) suy ra, tứ giác ACHF là hình bình hành, do đó CH = AF

Hay AF = DE (7)
Tõ (6) và (7), ta có đpcm.

Vớ d 32: Cho nữa đờng trịn (O) đờng kính AB. Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax và By. Qua

một điểm M thuộc nữa đờng tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By tại E và F.

a/ Chøng minh tø giác AEMO nội tiếp.

b/ AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì?
c/ Vẽ MH AB, MH cắt EB tại K. So sánh MK và KH.

d/ Cho AB = 2R. Gi r là bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác EOF.
Chứng minh: 1

3<
r
R<

1
2 .

Lêi gi¶i:
a/ EMO = EAO = 1v

⇒ tứ giác AEMO nội tiếp đờng tròn đờng kính EO.

b/ EM = EA; OM = OA ⇒ OE là đờng trung trực của AM

⇒OE⊥AM⇒MPO=900

T¬ng tù: MQO=900

và AMB = 1v (nội tiếp nữa đờng trịn)

Tø gi¸c MPOQ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
c/ Gọi I là giao điểm của BM và Ax, ta có:

EA = EM ⇒ EMA = EAM

⇒ EIM = EMI ⇒ EI = EM = EA.
MH // IA nên theo định lí Tales ta có:

MK
EI =

BK
BE =

EA . Mặt khác EI = EA nên MK = KH.

A B

H

D



O

K

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

d/ Chú ý: “Trong tam giác vuông cạnh huyền là a, cạnh góc vng là b và c, đờng cao
h và bán kính đờng trịn nội tiếp là r thì ta có: a.h=r.(a+b+c)=2 .S ”

Trong tam giác vuông EOF có: EF.OM = r.(OE + OF + EF)
EF.R = r.(OE + OF + EF)

⇒ r

R=
EF

OE+OF+EF mµ OE+OF>EF ⇒
r
R=

OE+OF+EF<
EF

2 EF=
1
2

Mặt khác: OE+OF+EF<3 EF r

R=
EF

OE+OF+EF>
EF

3 EF=
1
3 .

Vậy 1

3<
r
R<

1
2 .

116. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa A vẽ nữa đờng trịn đờng kính BH cắt Ab tại E và nửa đờng trịn đờng kính CH cắt
AC ti F. Chng minh rng:

a/ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b/ EF l tip tuyn chung ca hai đờng trịn đờng kính BH và CH.
c/ Tứ giác BCFE nội tiếp.

117. Cho đờng trịn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho

AI=2

3AO . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I.

Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N và B. Nối AC
cắt MN tại E.

a/ Chứng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp.

b/ Chøng minh ΔAME Δ ACM vµ AM2=AE. AC
c/ Chøng minh AE . AC−AI . IB=AI2 .

d/ Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất.

upload.123doc.net. Cho đờng tròn (O;R), đờng thẳng d khơng đi qua O và cắt đờng trịn
tại hai điểm A và B. Từ một điểm C trên d (C nằm ngồi đờng trịn) kẻ hai tiếp tuyến CM;
CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đờng thẳng OH cắt CN
tại K.

a/ Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên đờng tròn.
b/ Chứng minh KN.KC = KH.KO.

c/ Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại I. Chứng minh I cách đều CM; CN; MN.
d/ Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt tại E
và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất.

119. Cho đờng trịn tâm O, bán kính R có AB là đờng kính cố định cịn CD là đờng kính
di động. Gọi d là tiếp tuyến của đờng tròn kẻ từ B, d cắt các đờng thẳng AC, AD lần lợt
tại P và Q.

a/ Chøng minh tø gi¸c CPQD néi tiÕp.

b/ Xác định vị trí của CD để diện tích tứ giác CPQD bằng ba lần diện tích tam giác
ACD.

120. Cho hai đờng tròn (O ❑1 ) và (O ❑2 ) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với

hai đờng tròn (O ❑1 ) và (O ❑2 ) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có
tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O ❑1 ) và

(O ❑2 ) theo thứ tự tại C và D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I.
a/ Chứng minh IA vng góc với CD.

b/ Chøng minh tø gi¸c IEBF néi tiÕp.

c/ Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF.

121. Cho đờng tròn (O;R), hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung
nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA. Trên tia đối của tia AB lấy điểm S. Nối SC cắt (O) tại M; MD
cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. Chứng minh:

a/ BMD = BAC. Từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp.
b/ HK//CD.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

122. Cho Tam giác ABC vng ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nữa mặt phẳng bờ
BC chứa điểm A, vẽ nữa đờng trịn đờng kính BH cắt AB tại E, vẽ nữa đờng tròn đờng
kính HC cắt AC tại F.

a/ Chøng minh tø gi¸c AEHF là hình chữ nhật.
b/ Chứng minh AE.AB = AF.AC

c/ Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp

d/ Biết góc B b»ng 30 ❑0 , BH = 4cm. TÝnh diÖn tích hình viên phân giới hạn bởi 
dây BE và cung BE.

123. Cho tam giác ABC (AB = AC) nội tiếp trong đờng tròn (O). Các đờng cao AG, BE,
CF cắt nhau tại H.

a/ Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đờng trịn
ngoại tiếp tứ giác đó

b/ Chøng minh AF.AC = AH.AG

c/ Chứng minh GE là tiếp tuyến của đờng trịn (I).

d/ Cho bán kính đờng trịn tâm (I) là 2cm, BAC = 50 ❑0 . Tính độ dài cung FHE 
của đờng trịn tâm I và diện tích hình quạt trịn IFHE (làm trịn đến chữ số thập phân thứ
hai).

124. Cho nữa đờng trịn (O,R) đờng kính AB cố định.Qua A và B vẽ các tiếp tuyến với
nữa đờng tròn (O).

Từ một điểm M tùy ý trên nữa đờng tròn ( M khác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ ba với nữa
đ-ờng tròn cắt các tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự tơng ứng là H và K.

a/ Chøng minh tø gi¸c AHMO là tứ giác nội tiếp.
b/ Chứng minh AH + BH = HK.

c/ Chứng minh ΔHAO và ΔAMB đồng dạng và HO . MB=2R2 .

d/ Xác định vị trí của điểm M trên nữa đờng trịn sao cho tứ giác AHKB có chu vi
nhỏ nhất.

125. Cho tam giác ABC (AB = AC). Các đờng cao AG, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm I của đờng trịn ngoại tiếp tứ
giác đó.

b) Chứng minh GE là tiếp tuyến của đờng tròn tâm I.
c) Chứng minh AH.BE = AF.BC.

d) Cho bán kính đờng trịn I là r và BAC = α . Hãy tính độ dài đờng cao BE của
tam giác ABC.

126. Cho nửa đờng trịn đờng kính AB và một điểm C thuộc cung AB. Vẽ CH vng góc 
với AB. Gọi I, K lần lợt là tâm các đờng tròn nội tiếp các tam giác CAH, CBH. Đờng
thẳng IK cắt CA, CB lần lợt ở M và N.

a) Chøng minh tø gi¸c MIHA néi tiÕp
b) Chøng minh CM = CN

c) Xác định vị trí của C để tứ giác ABMN nội tiếp đợc

d) Vẽ CD vng góc với MN. CMR khi C chuyển động trên cung AB thì CD ln
đi qua mt im c nh.

127. (Đề thi vào THPT Hà Néi 2009 - 2010).

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ
BC chứa A vẽ nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB tại E và nửa đờng tròn đờng kính CH

cắt AC tại F. Chứng minh rằng:

a) Tø giác AEHF là hình chữ nhật

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40></div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Giới thiệu một số đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Trong những năm gần đây

Tun sinh vµo líp 10 THPT - Nghệ An
Năm học 2006 - 2007 (120 Phút)

Bài 1(2,0 ®iĨm) Cho biĨu thøc:

1−√x¿2
¿

P=

(

√x − x+
1
1−√x

)

√x+1

¿
.

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tìm x để P > 0.

Bài 2. (1,5 điểm):

Trong một kỳ thi tuyển sinh líp 10, hai trêng THCS A vµ B cã tÊt c¶ 450 häc sinh
dù thi. BiÕt sè häc sinh tróng tun cđa trêng A b»ng 3/4 sè häc sinh dù thi cđa trêng A,
sè häc sinh tróng tun cđa trêng B b»ng 9/10 sè häc sinh dù thi cđa trêng B. Tỉng sè
häc sinh tróng tun cña hai trêng b»ng 4/5 sè häc sinh dù thi cđa c¶ hai trêng. TÝnh sè
häc sinh dù thi mỗi trờng.

Bài 3 (2,5 điểm):

Cho phơng trình: x22(m+2)x+m29=0 (I)
a) Giải phơng trình (I) với m = 1.

b) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt.

c) Gọi hai nghịêm phân biệt của phơng trình (I) là x1 và x2 . Hãy xác định giá
trị của m để: |x1− x2|=x1+x2

Bài 4 (4 điểm): Cho nữa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, M là điểm nằm trên nữa 
đờng trịn đó sao cho cung AM lớn hơn cung BM (M khác B). Đờng thẳng d là tiếp tuyến
tại M của nửa đờng trong (O ; R). Kẻ AD, BC vng góc với d (D và C thuộc ng thng
d).

a) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng CD.
b) Chứng minh AD.BC = CM 2 .

c) Chứng minh đờng trịn đờng kính CD tiếp xúc với đờng thẳng AB.

d) Kẻ MH vng góc với đờng thẳng AB (H thuộc đờng thẳng AB). Hãy xác định
vị trí của điểm M để diện tích tam giác DHC bằng 1/4 diện tích tam giác AMB

HÕt

Tun sinh vào lớp 10 THPT - Nghệ An
Năm học 2007 - 2008 (120 Phút)

Phần I. trắc nghiệm (2 điểm)

Em hóy chọn một phơng án trả lời đúng trong các phơng án (A, B, C, D) của từng 
câu sau, rồi ghi phơng án đã chọn vào bài làm.

Câu 1. Đồ thị hàm số y = 3x - 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ là:

A. 2; B. -2; C. 3; D. 2

Câu 2. Hệ phơng trình

x y=1
x+y=3

{

có nghiệm là:

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Câu 3. Sin300 bằng:
A. 1

2; B.√
3

2 ; C .√
2

2 ; D.
1

√3

Câu 4. Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đờng tròn (O). Biết MNP = 700 . Góc MQP có số 
đo là:

A. 1300; B. 1200; C .1100; D. 1000

Phần II. Tự luận ( 8 điểm)

Câu 1 (3 ®iÓm). Cho biÓu thøc A=

(

√x

√x −1−
1
x −√x

)

√x −1 .

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0.

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A√x=m−√x có nghiệm.
Câu 2 (2 điểm). Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Xe máy thứ nhất có 
vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy thứ hai là 10 km/h, nên đến
tr-ớc xe máy thứ nhất là 1 giờ. Tính vận tốc trung bình của mỗi xe máy, biết rằng quãng
đ-ờng AB dài 120 km.

Câu 3 ( 3 diểm). Cho nữa đờng tròn tâm O, đờng kính AB. Điểm H nằm giữa hai điểm A 
và B ( H không trùng với O). Đờng thẳng vuông góc với AB tại H, cắt nữa đờng trịn trên
tại điểm C. Gọi D và E lần lợt là chân các đờng vng góc kẻ từ H đến AC v BC.

a/ Tứ giác HDCE là hình gì? Vì sao?
b/ Chứng minh ADEB là tứ giác nội tiếp.

c/ Gi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB. Chứng minh DE = 2KO.
--- Hết

---Tun sinh vµo líp 10 THPT - Nghệ An
Năm học 2009 - 2010 (120 Phút)

Câu I (3,0 ®iĨm): Cho biĨu thøc A=x√x+1
x −1 −

x −1

√x+1

1) Nêu điều kiện xác định và rút gọn A
2) Tính giá trị của A khi x = 9

3) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1
Câu II (2,5 điểm): Cho phơng trình bậc hai

2x2−(m+3)x+m=0 (víi m lµ tham sè) (1)
1) Giải phơng trình (1) khi m = 2

2) Tỡm cỏc giá trị của tham số m để phơng trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x1+x2=

2x1x2 .

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Câu IV (3,0 điểm): Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính 
thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC
và AD lần lợt tại E và F.

1) Chøng minh r»ng BE. BF=4R2

2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đợc trong đờng tròn

3) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm
trên một đờng thẳng cố định ./.

--- HÕt

---TuyÓn sinh vào lớp 10 THPT - Nghệ An
Năm học 2010 - 2011 (120 Phút)

Câu I (3,0 điểm).Cho biểu thức A= √x

√x −1−
2

√x+1−
2
x −1

1) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

3) Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm GTNN của B = A(x – 1).
Câu II (2,0 điểm). Cho phơng trình bậc hai (tham số m).

x2−(m+1)x+2m −2=0 (1)
1) Giải phơng trình (1) khi m = 2.

2) Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phơng trình (1).

Câu III (1,5 điểm). Hai ngời cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm 
xong. Nếu một mình ngời thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình ngời thứ hai làm
trong 3 giờ thì cả hai ngời làm đợc 75% cơng việc.

Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng
suất làm việc của mỗi ngời là không thay đổi).

Câu IV (3,5 điểm). Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn 
thẳng AO (H khác A và O ). Đờng thẳng đi qua điểm H và vng góc với AO cắt nửa
đ-ờng tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa
đờng tròn (O) tại D cắt đờng thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC.

1) Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đờng tròn.
2) Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân

3) Gọi F là tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có
số đo khơng đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C).

</div>

TAI LIEU ON THI VAO 10 CUC HOT

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub>√</sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

√

<sub>√</sub>

√

(

√

<sub>)</sub>

(

<sub>√</sub>

)

(

√

)

(

√

<sub>)</sub>

(

<sub></sub>

)

(

<sub>)</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

|

|

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√