Các chuyên đề nâng cao – Đại số 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>1. Chuyên đề : Đa thức</b>

<i>Bài 1: Tớnh giỏ trị của biểu thức:</i>

a. A = <i>x</i>417<i>x</i>317<i>x</i>217<i>x</i>20_{tại x = 16.}
b. B = <i>x</i>5 15<i>x</i>416<i>x</i>3 29<i>x</i>213<i>x</i>_{tại x = 14.}

c. C = <i>x</i>14 10<i>x</i>1310<i>x</i>1210<i>x</i>11... 10 <i>x</i>2 10<i>x</i>10_{tại x = 9}
d. D = <i>x</i>15 8<i>x</i>148<i>x</i>13 8<i>x</i>12 ... 8 <i>x</i>28<i>x</i> 5_{tại x = 7.}
<i>Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:</i>

a. M =

1 1 1 650 4 4

2 . .3

315 651 105 651 315.651 105  

b. N =

1 3 546 1 4

2 . .

547 211 547 211 547.211 

<i>Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:</i>

A = <i>x x</i>3



2 <i>y</i>2



<i>y x</i>2



3 <i>y</i>3



với x = 2; <i>y</i> 1.

a. M.N với <i>x</i> 2.Biết rằng: M = 2<i>x</i>23<i>x</i>5_{; N =}<i>x</i>2  <i>x</i>3_.

<i>Bài 4: Tính giá trị của biểu thức, biết x = y + 5:</i>

a. <i>x x</i>



2



<i>y y</i>



 2 2



 <i>xy</i>65

b. <i>x</i>2<i>y y</i>



 2<i>x</i>



75

<i>Bài 5: Tính giá trị của đa thức:</i>



1





1



2

<i>x</i> <i>y</i>  <i>y xy</i>  <i>x y</i>_{biết x+ y = -p, xy = q}
Bài 6: Chứng minh đẳng thức:

a.



<i>x a x b</i>

 



 

 <i>x b x c</i>

 



 

 <i>x c x a</i>

 





<i>ab bc ca x</i>   2 ; Biết rằng: 2x =
a + b + c

b. 2<i>bc b</i> 2<i>c</i>2 <i>a</i>2 4<i>p p a</i>







; Biết rằng: a + b + c = 2p
Bài 7:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó sơ a gồm 52 số1, số b gồm 104 số 1.
Hỏi tích ab chia hết cho 3 khơng? Vì sao?

<i>Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:</i>
<i>M a a b a c</i>





 





; <i>N b b c b a</i>





 





; <i>P c c a c b</i>





 





Bài 9: Cho biểu thức: M =



<i>x a x b</i>

 



 

 <i>x b x c</i>

 



 

 <i>x c x a</i>

 





<i>x</i>2. Tính

M theo a, b, c, biết

1 1 1

2 2 2

<i>x</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
.

<i>Bài 10: Cho biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, </i>
y là các số nguyên A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại B chia hết
cho 13 thì A cũng chia hết cho 13.

<i>Bài 11: Cho biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y</i>
a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B.

b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết
cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17.

Bài 12: Chứng minh rằng:

a. 81 277 9  913_{chia hết cho 405.}
b. 122 1<i>n</i> _11<i>n</i>2_{chia hết cho 133.}

Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…,



1



2
<i>n n</i>

, …

Chứng minh rằng tổng hai hằng số liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính
phương.

<b>2. Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên</b>

<b>I. Một số hằng đẳng thức cơ bản</b>

1. (a  b)2_{= a}2_{ 2ab + b}2_;

(a + b + c)2_{= a}2_{+ b}2_{+ c}2_{+ 2ab + 2bc + 2ca ;}

2

1 2 n

(a + + +a ... a ) =

=             

2 2 2

1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n

a a ... a 2(a a a a ... a a a a ... a a ... a a )_;

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(a  b)4_{= a}4_{ 4a}3_{b + 6a}2_b2_{ 4ab}3_{+ b}4_;
3. a2_{– b}2_{= (a – b)(a + b) ;}

a3_{– b}3_{= (a – b)(a}2_{+ ab + b}2_{) ;}

an_{– b}n_{= (a – b)(a}n – 1_{+ a}n – 2_{b + a}n – 3_b2_{+ … + ab}n – 2_{+ b}n – 1_{) ;}
4. a3_{+ b}3_{= (a + b)(a}2_{– ab + b}2₎

a5_{+ b}5_{= (a + b)(a}4_{– a}3_{b + a}2_b2_{– ab}3_{+ b}5_{) ;}

a2k + 1_{+ b}2k + 1_{= (a + b)(a}2k_{– a}2k – 1_{b + a}2k – 2_b2_{– … + a}2_b2k – 2_{– ab}2k – 1_{+ b}2k_{) ;}
<b>II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n</b><b>_{Tam giác Pascal}</b>

Đỉnh 1

Dòng 1 (n = 1) 1 1

Dßng 2 (n = 2) 1 2 1

Dßng 3 (n = 3) ₁ ₃ ₃ ₁

Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1

Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ
dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dịng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 =
1 + 2, ở dịng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Khai triển (x + y)n_thành

tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Ngời
ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n khơng q lớn.
Chẳng hạn, với n = 4 thì :

(a + b)4_{= a}4_{+ 4a}3_{b + 6a}2_b2_{+ 4ab}3_{+ b}4

vµ víi n = 5 th× :

(a + b)5_{= a}5_{+ 5a}4_{b + 10a}3_b2_{+ 10a}2_b3_{+ 10ab}4_{+ b}5

<b>II. Các ví dụ</b>

<i><b>Ví dụ 1</b></i>. Đơn giản biÓu thøc sau :

A = (x + y + z)3_{– (x + y – z)}3_{– (y + z – x)}3_{– (z + x – y)}3_.

Lêi gi¶i

A = [(x + y) + z]3_{– [(x + y) – z]}3_{– [z – (x – y)]}3_{– [z + (x – y)]}3

= [(x + y)3_{+ 3(x + y)}2_{z + 3(x + y)z}2_{+ z}3_{] – [(x + y)}3_{– 3(x + y)}2_{z + 3(x +}
y)z2_{– z}3_{] – [z}3_{– 3z}2_{(x – y) + 3z(x – y)}2_{– (x – y)}3_{] – [z}3_{+ 3z}2_{(x – y) + 3z(x – y)}2
+ (x – y)3_{] = 6(x + y)}2_{z – 6z(x – y)}2_{= 24xyz}

<i><b>VÝ dô 2</b></i>. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥_{4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Lêi gi¶i
a) x2_{+ y}2_{= (x + y)}2_{– 2xy = a}2_{– 2b}

b) x3_{+ y}3_{= (x + y)}3_{– 3xy(x + y) = a}3_{– 3ab}

c) x4_{+ y}4_{= (x}2_{+ y}2₎2_{– 2x}2_y2_{= (a}2_{– 2b)}2_{– 2b}2_{= a}4_{– 4a}2_{b + 2b}2

d) (x2_{+ y}2_)(x3_{+ y}3_{) = x}5_{+ x}2_y3_{+ x}3_y2_{+ y}5_{= (x}5_{+ y}5_{) + x}2_y2_{(x + y)}

Hay : (a2_{– 2b)(a}3_{– 3ab) = (x}5_{+ y}5_{) + ab}2__x5_{+ y}5_{= a}5_{– 5a}3_{b + 5ab}2

<i> Chó ý : a6_{+ b}6_{= (a}2₎3_{+ (b}2₎3_{= (a}3₎2_{+ (b}3₎2</i>
<i> a7_{+ b}7_{= (a}3_{+ b}3_)(a4_{+ b}4₎</i>_–<i>_a3_b3_{(a + b)}</i>

<i> = (a2_{+ b}2_)(a5_{+ b}5₎</i>_–<i>_a2_b2_(a3_{+ b}3₎</i>

<i><b>Ví dụ 3</b></i>. Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) a3_{+ b}3_{+ c}3_{– 3abc = (a + b + c)(a}2_{+ b}2_{+ c}2_{– ab – bc – ca) ;}

b) (a + b + c)3_{– a}3_{– b}3_{– c}3_{= 3(a + b)(b + c)(c + a)}

Lêi gi¶i

a) a3_{+ b}3_{+ c}3_{– 3abc = (a + b)}3_{+ c}3_{– 3abc – 3a}2_{b – 3ab}2

= (a + b + c)[(a + b)2_{– (a + b)c + c}2_{] – 3ab(a + b + c)}

= (a + b + c) [(a + b)2_{– (a + b)c + c}2_{– 3ab]}

= (a + b + c)(a2_{+ b}2_{+ c}2_{– ab – bc – ca)}

b) (a + b + c)3_{– a}3_{– b}3_{– c}3_{= [(a + b + c)}3_{– a}3_{] – (b}3_{+ c}3₎

= (b + c)[(a + b + c)2_{+ (a + b + c)a + a}2_{] – (b + c)(b}2_{– bc + c}2₎

= (b + c)(3a2_{+ 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]}

= 3(a + b)(b + c)(c + a)
<i><b>VÝ dô 4. </b></i>Cho x + y + z = 0.

Chøng minh r»ng : 2(x5_{+ y}5_{+ z}5_{) = 5xyz(x}2_{+ y}2_{+ z}2₎

Lêi giải

Vì x + y + z = 0 nªn x + y = –z  (x + y)3_{= –z}3

Hay x3_{+ y}3_{+ 3xy(x + y) = –z}3__{3xyz = x}3_{+ y}3_{+ z}3

Do đó : 3xyz(x2_{+ y}2_{+ z}2_{) = (x}3_{+ y}3_{+ z}3_)(x2_{+ y}2_{+ z}2₎

= x5_{+ y}5_{+ z}5_{+ x}3_(y2_{+ z}2_{) + y}3_(z2_{+ x}2_{) + z}3_(x2_{+ y}2₎

Mµ x2_{+ y}2_{= (x + y)}2_{– 2xy = z}2_{– 2xy (v× x + y = –z). T¬ng tù :}

y2_{+ z}2_{= x}2_{– 2yz ; z}2_{+ x}2_{= y}2_{– 2zx.}

V× vËy : 3xyz(x2_{+ y}2_{+ z}2_{) = x}5_{+ y}5_{+ z}5_{+ x}3_(x2_{– 2yz) + y}3_(y2_{– 2zx) +}

z3_(z3_{– 2xy) = 2(x}5_{+ y}5_{+ z}5_{) – 2xyz(x}2_{+ y}2_{+ z}2₎

Suy ra : 2(x5_{+ y}5_{+ z}5_{) = 5xyz(x}2_{+ y}2_{+ z}2_{) (đpcm)}

<b>Bài tập:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Tính giá trị của biểu thức : A = a4_{+ b}4_{+ c}4_.

2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x 1)2007_{+ y}2008_{+ (z + 1)}2009_.

3. Cho a2_{– b}2_{= 4c}2_{. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a}

– 5b)2_.

4. Chøng minh r»ng nÕu:

5. (x – y)2_{+ (y – z)}2_{+ (z – x)}2_{= (x + y – 2z)}2_{+ (y + z – 2x)}2_{+ (z + x}

– 2y)2

th× x = y = z.

6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2_{+ b}2_)(x2_{+ y}2_{) = (ax + by)}2_{và x, y khác 0 th×}

a b
x =y _.

b) Chøng minh r»ng nÕu (a2_{+ b}2_{+ c}2_)(x2_{+ y}2_{+ z}2_{) = (ax + by + cz)}2

và x, y, z khác 0 thì

a b c
x= =y z _.

7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng :

a) 5(x3_{+ y}3_{+ z}3_)(x2_{+ y}2_{+ z}2_{) = 6(x}5_{+ y}5_{+ z}5_{) ;}

b) x7_{+ y}7_{+ z}7_{= 7xyz(x}2_y2_{+ y}2_z2_{+ z}2_x2_{) ;}

c) 10(x7_{+ y}7_{+ z}7_{) = 7(x}2_{+ y}2_{+ z}2_)(x5_{+ y}5_{+ z}5_).

8. Chứng minh các hằng đằng thức sau :

a) (a + b + c)2_{+ a}2_{+ b}2_{+ c}2_{= (a + b)}2_{+ (b + c)}2_{+ (c + a)}2_;

b) x4_{+ y}4_{+ (x + y)}4_{= 2(x}2_{+ xy + y}2₎2_.

9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2_{+ b}2_{+ (a + b)}2_{= c}2_{+ d}2_{+ (c + d)}2_.

Chøng minh r»ng : a4_{+ b}4_{+ (a + b)}4_{= c}4_{+ d}4_{+ (c + d)}4

10. Cho a2_{+ b}2_{+ c}2_{= a}3_{+ b}3_{+ c}3_{= 1.}

Tính giá trị của biểu thøc : C = a2_{+ b}9_{+ c}1945_.

11. Hai số a, b lần lợt thỏa mÃn các hệ thøc sau :

a3_{– 3a}2_{+ 5a – 17 = 0 vµ b}3_{– 3b}2_{+ 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b.}

12. Cho a3_{– 3ab}2_{= 19 vµ b}3_{– 3a}2_{b = 98. H·y tÝnh : E = a}2_{+ b}2_.

13. Cho x + y = a + b vµ x2_{+ y}2_{= a}2_{+ b}2_{. Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau :}

a) x3_{+ y}3_{; b) x}4_{+ y}4_{; c) x}5_{+ y}5_{; d) x}6_{+ y}6_;

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>3. Chuyên đề:</b></i>

<b>Phân tích đa thức thành nhân tử</b>

<b>I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiu hng t khỏc:</b>

<i><b>Bài 1:</b></i> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

, 5 6 d, 13 36

, 3 8 4 e, 3 18

, 8 7 f, 5 24

, 3 16 5 h, 8 30 7

, 2 5 12 k, 6 7 20

<i>a x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>b</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>c x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>g</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>i</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

   

 

<i><b>Bài 2</b></i>: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

<i><b>(a thc ó cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)</b></i>

3 2 3

3 2 3

3 2 3 2

3 2 3 2

1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6

5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

    

     

      

3 2 3

3 3 2

3 2 3 2

3 3

9, 6 486 81 10, 7 6
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4
15, 2 4 16, 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

    

     

  2

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 4 3 2

12 17 2

17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1

21, 3 14 4 3 22, 2 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

    



</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử</b>

1) <b>Dng 1</b>: <i><b>Thờm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu</b></i>
<i><b>của hai bình phơng: A</b><b>2</b></i> _–<i><b>_B</b><b>2</b><b>_{= (A}</b></i><i><b>_{B)(A + B)}</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2<b>) Dạng 2</b>: <i><b>Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

<b>III- Phng phỏp i bin</b>

<i><b>Bài 1</b></i>:Phân tích các đa thức sau thành nhân tö





2

2 2 2 2

4 4

4 4

4 4 4

4 4 4 2

1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64

5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

 

 

 

  1

7 2 7 5

5 4 5

8 7 5 4

5 10 5

1,

1 2,

1

3,

1 4,

1

5,

1 6,

1

7,

1 8,

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

































2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

4

1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11

<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>xy y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x a x</i> <i>a x</i> <i>a x</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>x</i> <i>x</i>

        

         

         

 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20
11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>xy y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

        

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i><b>Bài 2</b></i>: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

<b>IV- Phơng pháp xét giá trị riêng</b>

Phng phỏp: Trc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi
gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại.

VÝ dơ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Giải

a, Giả sư thay x bëi y th× P = <i>y y z</i>2(  )<i>y z y</i>2(  ) 0
Nh vËy P chøa thõa sè x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi(ta nói đa
thức P có thể hốn vị vịng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa
số x – y thì cũng chúa thừa số y – z, z – x. Vậy P phải có dạng

P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(khơng chúa biến) vì P có
bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có
bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x
= 2, y = 1, z = 0

ta đợc k = -1

VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x y)(y z)(x - z)

<i><b>Các bài to¸n</b></i>

4 3 2

2 2 2 2 2

1, 6 7 6 1

2, ( )( ) ( )

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y z</i> <i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>

   

      

2 2 2

2 2 2

, P = (

)

(

)

(

)

, Q = (

)

(

)

(

) (

) (

)(

)

<i>a</i>

<i>x y z</i>

<i>y z x z x y</i>

<i>b</i>

<i>a b c a</i>

<i>b c a b</i>

<i>c a b c</i>

<i>a b c b c a c a b</i>











 



 



 



 

 

 

2 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i><b>Bµi 1</b></i>: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

<i>M</i> <i>a b c a</i>  <i>b c a b</i>  <i>c a b c</i>   <i>a b c b c a c a b</i>     

2 2 2

( ) ( ) ( )

<i>N</i> <i>a m a</i> <i>b m b</i> <i>c m c</i>  <i>abc</i>_{, víi 2m = a+ b + c.}

<i><b>B</b></i>

<i><b> </b><b>à</b><b> i 2:</b><b> </b></i> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

3 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 2 3 2

3 3 3

2 2

) ( )( ) .

) ( 2 ) (2 ) .

) ( ) ( ) ( ).

) ( )( ) ( )( ) ( )( )

) ( ) ( ) ( ) ( 1).

) ( ) ( ) ( ) .

) (

<i>a A</i> <i>a b c ab bc ca</i> <i>abc</i>
<i>b B a a</i> <i>b</i> <i>b a b</i>

<i>c C ab a b</i> <i>bc b c</i> <i>ac a c</i>

<i>d D</i> <i>a b a</i> <i>b</i> <i>b c b</i> <i>c</i> <i>c a c</i> <i>a</i>
<i>e E a c b</i> <i>b a c</i> <i>c b a</i> <i>abc abc</i>

<i>f f</i> <i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i>
<i>g G a b a b</i>

     

   

     

        

       

     

  2 2 2 2

4 4 4

) ( ) ( ).

) ( ) ( ) ( ).

<i>b c b c</i> <i>a c c a</i>
<i>h H</i> <i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i>

   

     

<b>V-Phong pháp h s bt nh</b>

Bi 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

4 3 2

4 3 2

2 2

4 3 2

4

) 6 12 14 3

) 4 4 5 2 1

) 3 22 11 37 7 10

) 7 14 7 1

) 8 63

<i>a A x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>b B</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>c C</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>d D x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>e E</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

    

     

 

<i><b>Bài tập: </b></i>

Ví dụ . Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :

A = x3_{– 3(a}2_{+ b}2_{)x + 2(a}3_{+ b}3₎

Lêi gi¶i

Đặt S = a + b và P = ab, th× a2_{+ b}2₌S2- 2P_{; a}3_{+ b}3₌S3- 3SP_{. V× vËy :}

A = x3_{– 3(}S2- 2P_{)x + 2(}S3- 3SP_{) =}

3 3 2 3

(x - S )- (3S x- 3S )+(6Px- 6SP)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

= (x- S)(x2 +Sx- 2S2+6P)

= (x – a – b)[x2_{+ (a + b)x – 2(a + b)}2_{+ 6ab]}

= (x – a – b)[x2_{+ (a + b)x – 2(a}2

Ph©n tÝch các đa thức sau thành nhân tử :
a) x3_{+ 4x}2_{– 29x + 24 ;}

b) x4_{+ 6x}3_{+ 7x}2_{– 6x + 1 ;}

c) (x2_{– x + 2)}2_{+ (x – 2)}2_;

d) 6x5_{+ 15x}4_{+ 20x}3_{+ 15x}2_{+ 6x + 1 ;}

e) x6_{+ 3x}5_{+ 4x}4_{+ 4x}3_{+ 4x}2_{+ 3x + 1.}

f) x8_{+ x}4_{+ 1;}

g) x10_{+ x}5_{+ 1 ;}

h) x12_{+ 1 ;}

i) (x + y + z)3_{– x}3_{– y}3_{– z}3_;

k) (x + y + z)5_{– x}5_{– y}5_{– z}5_.

<i><b>4. Chuyên </b></i>

:

<b>Xỏc nh a thc</b>

* Định lí Beout (BêZu) và ứng dụng:
1) Định lí BêZu:

D trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị của f(x)
tại x = a): <i>f</i>(<i>x</i>)=(<i>x</i><i>a</i>)<i>q</i>(<i>x</i>)+<i>f</i>(<i>a</i>)

(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.

áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực
hiện nh sau:

Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm

của f(x) khơng.

Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: <i>f</i>(<i>x</i>)=(<i>x</i>−<i>a</i>)<i>p</i>(<i>x</i>)
Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a.

Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu cịn phân tích đợc. Sau
đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :

Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở
hai đa thøc ph¶i cã hƯ sè ph¶i cã hƯ sè b»ng nhau.

VÝ dô: <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>ax2</i>+2<i>bx</i>−3 ; <i>Q</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>2−4<i>x</i>−<i>p</i>
NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã:

a = 1(hƯ sè cđa lịy thõa 2)

2b = - 4 (hƯ sè cđa lịy thõa bËc 1)

- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)
*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x)
Gäi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)

Khi ú ta cú: <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>Q</i>(<i>x</i>).<i>M</i>(<i>x</i>)+<i>N</i>(<i>x</i>) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : <i>x=α</i>

( <i>α</i> là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ
số của các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị
chia, số d).

VÝ dô: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)

Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã:

<i>a</i>2<i>x</i>3+3<i>ax2</i>−6<i>x</i>−2<i>a</i>=(<i>x</i>+1).<i>Q</i>(<i>x</i>) _.

Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược:

−

<i>a</i>

2

+

3

<i>a</i>

+

6

−

2

<i>a</i>

=

0

⇒−

<i>a</i>

2

+

<i>a</i>

+

6

=

0

⇒[

<i>a</i>

=−

2

<i>a</i>

=

3

Với a = -2 thì <i>A</i>=4<i>x</i>3−6<i>x</i>2−6<i>x</i>+4<i>, Q</i>(<i>x</i>)=4<i>x</i>210<i>x</i>+4
Vi a = 3 thỡ <i>A</i>=9<i>x</i>3+9<i>x</i>26<i>x</i>6<i>,Q</i>(<i>x</i>)=9<i>x</i>26

<b>*Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK)</b>

<b>Bài tập áp dụng</b>
<i><b>B</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i><b>Bài 2:</b></i> Phân tích đa thức <i>P x</i>( )<i>x</i>4 <i>x</i>3 2<i>x</i> 4 thành nhân tử, biết rằng một nhân
tử có dạng: <i>x</i>2<i>dx</i>2

<i><b>Bài 3:</b></i> Với giá trị nào của a và b thì đa thức : <i>x</i>3+<i>ax2</i>+2<i>x</i>+<i>b</i> _{chia hết cho đa}

thức: <i>x</i>2+<i>x</i>+1 _{. HÃy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau.}

<i><b>Bi 4:</b></i> Xỏc nh giá trị k để đa thức: <i>f</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>4−9<i>x</i>3+21<i>x</i>2+<i>x</i>+<i>k</i> chia hết cho
đa thức: <i>g</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>2−<i>x</i>−2 .

<i><b>Bài 5:</b></i> Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức: <i>f</i> (<i>k</i>)=<i>k</i>3+2<i>k</i>2+15 _{chia hết}
cho nhị thức: <i>g</i>(<i>k</i>)=<i>k</i>+3 _.

<i><b>Bài 6: </b></i>Với giá trị nào của a và b thì đa thức: <i>f</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>4−3<i>x</i>3+3<i>x</i>2+<i>ax</i>+<i>b</i> _chia
hết cho đa thức: <i>g</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>2−3<i>x</i>+4 _.

<i><b>Bài 7:</b></i> a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>4+<i>ax2</i>+<i>bx</i>+<i>c</i>

Chia hết cho (<i>x</i>−3)3 _.

b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: <i>Q</i>(<i>x</i>)=6<i>x</i>4−7<i>x</i>3+<i>ax2</i>+3<i>x</i>+2
chia hết cho đa thức <i>M</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>2−<i>x</i>+<i>b</i> _.

c) Xác định a, b để <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>3+5<i>x</i>2−8<i>x</i>+<i>a</i> _{chia hết cho} <i>M</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>2+<i>x</i>+<i>b</i>
.

<i><b>Bài 8:</b></i> Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức:

<i><b>(Để học tốt Đại số 8)</b></i>

<i><b>Bài 9:</b></i> Xác định hằng số a sao cho:

a) 10<i>x</i>2−7<i>x</i>+<i>a</i> _{chia hết cho} 2<i>x</i>−3 _.

b) 2<i>x</i>2+<i>ax</i>+1 _{chia cho} <i>x</i>−3 _{dư 4.}

c) <i>ax5</i>+5<i>x</i>4−9 _{chia hết cho} <i>x</i>−1 _.

<i><b>Bài 10:</b></i> Xác định các hằng số a và b sao cho:
a) <i>x</i>4+<i>ax2</i>+<i>b</i> _{chia hết cho} <i>x</i>2−<i>x</i>+1 _.

b) <i>ax3</i>+<i>bx2</i>+5<i>x</i>−50 _{chia hết cho} <i>x</i>2+3<i>x</i>+10 _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

c) <i>ax4</i>+<i>bx2</i>+1 _{chia hết cho} (<i>x</i>−1)2 _.
d) <i>x</i>4+4 _{chia hết cho} <i>x</i>2+<i>ax</i>+<i>b</i> _.

<i><b>Bài 11:</b></i> Tìm các hăng số a và b sao cho <i>x</i>3+<i>ax</i>+<i>b</i> _{chia cho} <i>x</i>+1 _{thì dư 7,}

chia cho <i>x</i>−3 _{thì dư -5.}

<i><b>Bài 12:</b></i> Tìm các hằng số a, b, c sao cho <i>ax3</i>+<i>bx2</i>+<i>c</i> chia hết cho <i>x</i>+2 _{, chia}

cho <i>x</i>2−1 _{thì dư} <i>x</i>+5 _.

<i><b>(Một số vấn đề phát triển Đại số 8)</b></i>

<i><b>Bài 13:</b></i> Cho đa thức: <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>4+<i>x</i>3−<i>x</i>2+<i>ax</i>+<i>b</i> _và <i>Q</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>2+<i>x</i>−2 _{. Xác định}
a, b để P(x) chia hết cho Q(x).

<i><b>Bài 14: </b></i>Xác định a và b sao cho đa thức <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>ax4</i>+<i>bx3</i>+1 _{chia hết cho đa}
thức <i>Q</i>(<i>x</i>)=(<i>x</i>−1)2

<i><b>Bài 15:</b></i> Cho các đa thức <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>4−7<i>x</i>3+<i>ax2</i>+3<i>x</i>+2 _và <i>Q</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>2−<i>x</i>+<i>b</i> _{. Xác}
định a và b để P(x) chia hết cho Q(x).

<i><b>(23 chuyên đề toán sơ cấp)</b></i>

<i><b>Dạng 2: </b></i><b>Phương pháp nội suy NiuTơn</b>

<i><b>Phương pháp:</b></i>

<i><b>Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1</b></i>
<i><b>điểm </b></i> <i>C</i>1<i>,C</i>2<i>,C</i>3<i>,</i>⋯<i>,Cn</i>+1 <i><b> ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:</b></i>

<i>P</i>(<i>x</i>)=<i>b</i>₀+<i>b</i>₁(<i>x</i>−<i>C</i>₁)+<i>b</i>₂(<i>x</i>−<i>C</i>₁)(<i>x</i>−<i>C</i>₂)+⋯+<i>b_n</i>(<i>x</i>−<i>C</i>₁)(<i>x</i>−<i>C</i>₂)⋯(<i>x</i>−<i>C_n</i>)

<i><b> Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị </b></i> <i>C</i>1<i>,C</i>2<i>,C</i>3<i>,</i>⋯<i>,Cn</i>+1 <i><b> vào biểu</b></i>
<i><b>thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số </b></i> <i>b</i>0<i>,b</i>1<i>,b</i>2<i>,</i><i>,bn</i> <i><b>.</b></i>

<b>Bài tập áp dụng</b>

<i><b>Bi 1:</b></i> Tỡm a thc bậc hai P(x), biết: <i>P</i>(0)=25<i>,P</i>(1)=7<i>, P</i>(2)=−9 _.

<b>Giải</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<i>Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào <b>(1)</b> ta được: </i>

<i>b</i>₀=25

7=25+<i>b</i>₁⇔<i>b</i>₁=−18

−9=25−18 .2+<i>b</i>₂.2.1⇔<i>b</i>₂=1

<i>Vậy, đa thức cần tìm có dạng:</i>

<i>P</i>(<i>x</i>)=25−18<i>x</i>+<i>x</i>(<i>x</i>−1)⇔<i>P</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>2−19<i>x</i>+25 <i>_.</i>

<i><b>Bài 2:</b></i> Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: <i>P</i>(0)=10<i>,P</i>(1)=12<i>, P</i>(2)=4<i>, P</i>(3)=1

<b>Hướng dẫn:</b> Đặt <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>b</i>0+<i>b</i>1<i>x</i>+<i>b</i>2<i>x</i>(<i>x</i>−1)+<i>b</i>3<i>x</i>(<i>x</i>−1)(<i>x</i>−2) <i><b>(1)</b></i>

<i><b>Bài 3:</b></i> Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho (<i>x</i>−1)<i>,</i>(<i>x</i>−2)<i>,</i>(<i>x</i>−3) _đều

được dư bằng 6 và P(-1) = - 18.

<b>Hướng dẫn:</b> Đặt <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>b</i>0+<i>b</i>1(<i>x</i>−1)+<i>b</i>2(<i>x</i>−1)(<i>x</i>−2)+<i>b</i>3(<i>x</i>−1)(<i>x</i>−2)(<i>x</i>−3) <i><b>(1)</b></i>
<i><b>Bài 4:</b></i> Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:

<i>P</i>(−1)=0

<i>P</i>(<i>x</i>)−<i>P</i>(<i>x</i>−1)=<i>x</i>(<i>x</i>+1)(2<i>x</i>+1)<i>,</i>(1)
a) Xác định P(x).

b) Suy ra giá trị của tổng <i>S</i>=1.2.3+2.3.5+…+<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)<i>,</i>(<i>n</i>∈<i>N</i>¿) .

<b>Hướng dẫn: </b>Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

<i>P</i>(−1)−<i>P</i>(−2)=0⇔<i>P</i>(−2)=0<i>,</i>

<i>P</i>(0)−<i>P</i>(−1)=0⇔<i>P</i>(0)=0

<i>P</i>(1)−<i>P</i>(0)=1.2.3⇔<i>P</i>(1)=6

<i>P</i>(2)−<i>P</i>(1)=2.3.5⇔<i>P</i>(2)=36 

<i>Đặt </i> <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>b</i>0+<i>b</i>1(<i>x</i>+1)+<i>b</i>2(<i>x</i>+1)<i>x</i>+<i>b</i>3(<i>x</i>+1)<i>x</i>(<i>x</i>−1)+<i>b</i>4(<i>x</i>+1)<i>x</i>(<i>x</i>−1)(<i>x</i>−2) <i>(2)</i>

Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:

0=<i>b</i>₀

0=<i>b</i>₁⇔<i>b</i>₁=0,

6=<i>b</i>₂.2.1⇔<i>b</i>₂=3,

36=3.3.2+<i>b</i>₃.3.2.1⇔<i>b</i>₃=3

0=3.(−1)(−2)+3.(−1)(−2)(−3)+<i>b</i>₄(−1)(−2)(−3)(−4)⇔<i>b</i>₄=1

2

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

<i>P</i>(<i>x</i>)=3(<i>x</i>+1)<i>x</i>+3(<i>x</i>+1)<i>x</i>(<i>x</i>−1)+

1

2(<i>x</i>+1)<i>x</i>(<i>x</i>−1)(<i>x</i>−2)=
1

2<i>x</i>(<i>x</i>+1)

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<i><b>(Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)</b></i>

<i><b>Bài 5:</b></i> cho đa thức <i>P</i>(<i>x</i>)=<i>ax2</i>+<i>bx</i>+<i>c,</i>(<i>a,b ,c</i>≠0) _{. Cho biết} 2<i>a</i>+3<i>b</i>+6<i>c</i>=0

1) Tính a, b, c theo <i>P</i>(0)<i>, P</i>

(

1

2

)

<i>,P</i>(1) _.

2) Chứng minh rằng: <i>P</i>(0)<i>, P</i>

(

1

2

)

<i>,P</i>(1) _{không thể cùng âm hoặc cùng dương.}

<i><b>Bài 6:</b></i> Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:

<i>P</i>(0)=19

<i>P</i>(1)=85

<i>P</i>(2)=1985

<b>5. Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ</b>

<i><b>Ví dụ 1. </b></i>

a) Chøng minh r»ng ph©n số

3n 1

5n 2

+

+ _{là phân số tối giản}__n__{N ;}

b) Cho ph©n sè

2

n 4
A

n 5

+
=

+ _(n__{N). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009}

sao cho phân số A cha tối giản. Tính tổng ca tt c cỏc s t nhiờn ú.
Li gii

a) Đặt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d  d
= 1.

VËy ph©n sè

3n 1

5n 2

+

+ _{là phân số tối giản.}

b) Ta có

29

A n 5

n 5

= - +

+ _{. Để A cha tối giản thì phân số}
29

n+5_{phải cha tối}

giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của
29.

Vì 29 là số nguyªn tè nªn ta cã n + 5  29

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009

 1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69}

Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài.

Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690.

<i><b>VÝ dô 2</b></i>. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iỊu kiƯn

1 1 1 1

a + + =b c a+ +b c_.

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :

2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1 1 1

a +b +c =a +b +c _.

Lêi gi¶i

Ta cã :

1 1 1 1

a + + =b c a+ +b c _

1 1 1 1

0
a + + -b c a+ +b c =



a b a b

0
ab c(a b c)

+ ₊ + ₌

+ + _

c(a b c) ab

(a b). 0

abc(a b c)

+ + +

+ =

+ +

 (a + b)(b + c)(c + a) = 0 

a b 0
b c 0
c a 0

é + =

ê

ê + =
ê

ê + =

ë _

a b
b c
c a

é
=-ê
ê
=-ê
ê

=-ë __®pcm.

Từ đó suy ra : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1 1 1 1 1 1

a +b +c =a +( c)- +c =a

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1 1

a +b +c =a + -( c) +c =a

 2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1 1 1

a +b +c =a +b +c _.

<i><b> Ví dụ 3.</b></i> Đơn giản biểu thøc :

3 3 3 4 2 2 5

1 1 1 3 1 1 6 1 1

A

(a b) a b (a b) a b (a b) a b

ỉ ư_÷ ỉ ư_÷ ổ ử_ữ

ỗ ỗ ỗ

= _ỗ_ỗ + ữ_ữ+ _ỗ_ỗ + ữ_ữ+ _ỗ_ỗ + ữ_ữ

ố ứ ố ứ ố ứ

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Lời giải

Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a2_{+ b}2_{= (a + b)}2_{– 2ab =}S2- 2P

a3_{+ b}3_{= (a + b)}3_{– 3ab(a + b) =}S3- 3SP_.

Do đó :

1 1 a b S
;
a b ab P

+

+ = = 1₂ 1₂ a2 ₂ ₂b2 S2 ₂2P;

a b a b P

+

-+ = =

3 3 3

3 3 3 3 3

1 1 a b S 3SP

.

a b a b P

+

-+ = =

Ta cã : A =

3 2

3 3 4 2 5

1 S 3SP 3 S 2P 6 S

. . .

S P S P S P

-

-+ +

=

2 2 4 2 2 2 2 4

2 3 4 2 4 4 3 4 3

S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S

S P S P S P S P S P

- - - + - +

+ + = =

Hay A = 3 3 3
1 1

.
P =a b

<i><b> VÝ dô 4</b></i>. Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức
sau không phụ thuộc vào giá trị của x :

(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

- - -
-= + +
- - - _.
Lêi gi¶i
<i> C¸ch 1</i>

2 2 2

x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca

S(x)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

- + + - + + - + +

= + +

- - - _{= Ax}2_–

Bx + C

víi :

1 1 1

A

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

= + +

- - - _;

a b b c c a

B

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

+ + +

= + +

- - - _;

ab bc ca

C

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

= + +

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Ta cã :

b a c b a c

A 0

(a b)(b c)(c a)

- + - +

-= =

- - - _;

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B

(a b)(b c)(c a)

+ - + + - + +

-=

- -

-2 2 2 2 2 2

b a c a a c

0

(a b)(b c)(c a)

- + - +

-= =

- - - _;

ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C

(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)

- + - + - - + - + - +

-= =

- - -

(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
1
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)

- - + - - - -

-= = =

- - - _.

VËy S(x) = 1x (đpcm).

<i> Cách 2</i>

Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc khơng vợt q 2. Do
đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm.

NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x.
Suy ra S(x) = 1 x  ®pcm.

VÝ dơ 9. Cho
1

x 3

x

+ =

. Tính giá trị của các biểu thức sau :

a)
2
2
1
A x
x
= +

; b)

3
3
1
B x

x
= +

; c)

4
4
1
C x
x
= +

; d)

5
5
1
D x
x
= +
.
Lêi gi¶i
a)
2
2
2
1 1

A x x 2 9 2 7

x x
ổ ử_ữ
ỗ
= + = +_ỗ _ữ_ữ- = - =
ỗố ứ _;
b)
3
3
3

1 1 1

B x x 3 x 27 9 18

x x x

ổ ử_ữ ổ ử_ữ
ỗ ỗ
= + = +_ỗ_ỗ ữ_ữ- _ỗ_ỗ + ÷_÷= - =
è ø è ø _;
c)
2
4 2
4 2
1 1

C x x 2 49 2 47

x x

ổ ử_ữ

ỗ

= + =_ỗ_ỗố + ữ_ữ- = - =

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

d)

2 3 5

2 3 5

1 1 1 1

A.B x x x x D 3

x x x x

ổ ửổ_ữ ử_ữ

ỗ ỗ

=_ỗ_ỗ + _ữ_ữ_ỗ_ỗ + _ữ_ữ= + + + = +

è øè ø __{D = 7.18 – 3 =}

123.

<i><b>Ví dụ 5</b></i>. Xác định các số a, b, c sao cho : 2 2

2 ax b c

(x 1)(x 1) x 1 x 1

+

= +

+ - + - _.

Lêi gi¶i
Ta cã :

2 2

2 2 2

ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)

x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)

+ + - + + + + - +

-+ = =

+ - + - +

Đồng nhất phân thức trên víi ph©n thøc 2
2

(x +1)(x- 1)_{, ta đợc :}

a c 0 a 1
b a 0 b 1
c b 2 c 1

ì + = ì

=-ï ï

ï ï

ï ï

ï _{- = Û} ï 

=-í í

ï ï

ï _- ₌ ï ₌

ï ï

ï ï

ỵ ỵ _{. VËy} 2 2

2 x 1 1

(x 1)(x 1) x 1 x 1

-= +

+ - + - _.

<b>6. Chuyên đề: Giải phơng trình</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

*<i><b>Cách giải</b></i>: (Biến đổi và đưa hết về một vế sau đó rút gọn thành dạng
ax+b=0)

TH1:a=0 nếu b0 thì phương trình (1)vơ nghiệm
nếu b=0 thì phương trình (1) vô số nghiệm
TH2:a0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=

<i>b</i>
<i>a</i>



*<i><b>Ví dụ:</b></i> a)3x+1=7x-11

b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi và chuyển về một vế)
b2: -4x+12=0 (rút gọn về dạng ax+b=0)
b3: x=

12
3
4





b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)
 _{1,2-x+0,8+1,8+2x=0}
 _x+3,8=0

 _{x= -3,8}

<i><b>*Các bài tập tương tự:</b></i>

a)7x+21=0 b)12-6x=0

c)5x-2=0 d)-2x+14=0

e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0
g)

4 5 1

3<i>x</i> 62 _h)

5 2

1 10

9 <i>x</i> 3<i>x</i>



  

i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7

l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0

n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x)
p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q)

3 1 2

6

5 3

<i>x</i>  <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

v)
3 13
2 5
5 5
<i>x</i> <i>x</i>
   
   
   

    _w)

3 2 3 2( 7)

5

6 4

<i>x</i>  <i>x</i>

 

s)

7 20 1,5

5( 9)
8 6
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> 
  
y)

5( 1) 2 7 1 2(2 1)
5

6 4 7

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>

  

<b>II/Phương trình tích:</b>

<i><b>*Cách giải:</b></i> Pt:A.B=0 

0
0
<i>A</i>
<i>B</i>





 _{(A=0 (1) B=0 (2) )}

Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc nhất cách giải tương
tự phần trên

(Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa về dạng A.B=0 bằng cách
phân tích thành nhân tử )

<i><b>*Ví dụ:</b></i>

a)(4x-10)(24+5x)=0


4 10 0 (1)

24 5 0 (2)

<i>x</i>
<i>x</i>
 

 _ _
 

Từ (1) x=

10 5

4 2₍₂₎ _x=
24
5



Vậy phương trình có 2 nghiệm x=

10 5

4 2_{hoặc x=}
24
5

b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)
 _{(x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0}
 _{(x-1)(2x+11)=0}



1 0 1

11
2 11 0

2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
   

 _
 _ _ _ _


</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2)

2( 3) 4 3
0

7 5

<i>x</i> <i>x</i>

 

 

 

 

c)(3,3-11x)

7 2 2(1 3 )
0

5 3

<i>x</i>  <i>x</i>

 

 

 

  _d)( 3 <i>x</i> 5)(2<i>x</i> 2 1) 0 

e)(2<i>x</i> 7)(<i>x</i> 10 3) 0  _f)(2 3 <i>x</i> 5)(2,5<i>x</i> 2) 0
g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)
i)(2x2_{+1)(4x-3)=(2x}2_+1)(x-12) _k)(2x-1)2_{+(2-x)(2x-1)=0}
l)(x+2)(3-4x)=x2_+4x+4 _m)(x-1)(x2_+5x-2)-(x2_-1)=0
n)x3_{+1=x(x+1) 0)x}2_{+(x=2) (11x-7)=4}
p)x3_+x2_{+x+1=0 q)x}2_-3x+2=0

r)4x2_{-12x+5=0 s)-x}2_+5x-6=0
t)2x2_{+5x+3=0 y)}





2

2 3( 2) 0

</div>

<!--links-->
Sử dụng phối hợp các PPDH để nâng cao hiệu quả dạy học phương trình, bất phương trình.pdf

• 114
• 632
• 0