Phân tích một số sai lầm dễ mắc trong các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Giải tích 12, nội dung “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số” là một nội dung trọng tâm, chiếm một thời lượng lớn của chương
trình. Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia hàng năm số câu hỏi liên quan đến
khảo sát và vẽ đồ thi hàm số cũng chiếm một tỉ lệ lớn (khoảng 10/50 câu) và có đủ
cả bốn mức độ nhận thức (nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao). Trong
q trình giảng dạy và ơn thi THPT Quốc gia tôi nhận thấy nhiều học sinh dễ mắc
sai lầm khi giải các bài toán liên qua đến khảo sát hàm số. Các sai lầm chủ yếu là
do nắm không vững, hiểu sai vấn đề, nhận thức chưa không đầy đủ về một nội dung
nào đó, ngộ nhận bài tốn để đưa bài toán về những bài toán đơn giản hoặc quen
thuộc.... Nhằm giúp các em nắm vững kiến thức, hiểu đầy đủ hơn một nội dung
kiến thức và khắc phục một số sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới khảo sát
hàm sô tôi chọn đề tài “Phân tích một số sai lầm dễ mắc trong các bài tốn liên
quan tới khảo sát hàm số”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Phân tích cho học sinh thấy một số sai lầm dễ mắc trong các bài toán liên quan
tới khảo sát hàm số. Qua đó giúp học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề, vận dụng
giải đúng bài toán.
Bồi dưỡng cho học sinh thêm về mặt phương pháp, kỹ năng giải tốn. Qua đó
giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số (Chương I, Giải tích 12). Từ đó phân tích một số sai lầm mà học sinh dễ
mắc phải và biện pháp khắc phục.
1


1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.

- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung kiến thức Chương I, Giải tích 12: “Ứng dụng đạo hàm đề khảo sát
và vẽ đồ thị hàm số”.
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và
phạm vi nghiên cứu của đề tài)
- Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
- Liên hệ giữa giữa tính đơn điệu của hàm số với dấu của đạo hàm (Điều kiện
cần, điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên K).
- Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số.
- Định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số (cần phân biệt điểm cực trị của hàm
số với cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số).
- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
- Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số.
- Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số.
2


- Một số nội dung kiến thức liên quan: Công thức tính đạo hàm của các hàm
số, tương giao đồ thị của các hàm số, tam thức bậc hai, định lí Vi-ét...
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong thực tế, khi học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
thường gặp phải những khó khăn sau:
- Khơng nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,
khơng hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
- Hiểu sai điểm cực trị của hàm số với cực trị của hàm số và điểm cực trị của
đồ thị hàm số.
- Nhầm lẫn cực đại của hàm số với giái trị lớn nhất của hàm số, cực tiểu của
hàm số với giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
trên một miền D.
- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc
đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề.
Để giải khắc phục và hạn chế một số sai lầm dễ mắc trong các bài toán liên
quan tới khảo sát hàm số tôi đã làm như sau:
- Bổ sung, củng cố lại những nội dung kiến thức mà học sinh năm chưa vững,
đang còn hiểu sai về bản chất.
3


- Tiến hành khảo sát để phân loại đối tượng học sinh trong một lớp thành
nhiều nhóm, từ đó có phương pháp giảng dạy cho từng nhóm.
- Đưa ra một số thí dụ để phân tích cho học sinh thấy được một số sai lầm dễ
mắc trong các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số.
Thí dụ 1. Tìm m để hàm số

y = x3 − 3x2 − 3mx (1)

đồng biến trên khoảng

( 1;+∞ ) .
Lời giải sai 1. Hàm số (1) đồng biến trên khoảng

y' = 3x2 − 6x − 3m

Phân tích: Nếu
¡,

có

( 1;+∞ )

khi đạo hàm

∆ = 9 + 9m≤ 0 ⇔ m≤ −1.

∆'≤ 0

thì

y' ≥ 0

với mọi

x∈ ¡

suy ra hàm số (1) đồng biến trên khoảng

, suy ra hàm số (1) đông biến trên

(1;+∞).

xảy ra khả năng hàm số (1) đồng biến trên khoảng

Nhưng khi

(1;+∞)

∆'> 0

vẫn có thể

(khi cả hai nghiệm của

của y’ đều nhỏ hơn hoặc bằng 1). Do đó lời giải trên chỉ mới đề cập tới 1 trường
hợp, còn thiếu 1 trường hợp nữa.
Lời giải sai 2.

Hàm số (1) đồng biến trên khoảng

( 1;+∞ )

khi

y' = 3x2 − 6x − 3m≥ 0,∀x∈ (1;+∞)

x2 − 2x) = −1
⇔ m≤ x2 − 2x,∀x∈ (1;+∞) ⇔ m≤ xmin(
∈(1;+∞ )
.

4

Phân tích: Nếu bài tốn này, giả thiết

( 1;+∞ )

được thay bởi

[ 1: +∞ )

thật tuyệt vời. Nhưng ở đây, các bạn lưu ý, xét trên tập hợp
f (x) = x2 − 2x

thì lời giải trên

( 1;+∞ )

thì hàm số

min(x2 − 2x)

khơng có giá trị nhỏ nhất. Tức là khơng tồn tại

x∈(1;+∞ )

. Do

min(x2 − 2x) = −1

đó kết luận

x∈(1;+∞ )

là sai.

Lời giải sai 3. Hàm số (1) đồng biến trên khoảng

( 1;+∞ )

khi

y' = 3x2 − 6x − 3m> 0,∀x∈ (1;+∞)
⇔ m< x2 − 2x,∀x∈ (1;+∞).

Lập bảng biến thiên của hàm số

Do đó

m< −1

f (x) = x2 − 2x

là các giá trị cần tìm.

5


Phân tích: Vì hàm số (1) có

y' = 0

khi

y' = 3x2 − 6x − 3m

là tam thức bậc hai, phương trình

có khơng q hai nghiệm, nên (1) đồng biến trên khoảng

( 1;+∞ )

khi và chỉ

y' = 3x2 − 6x − 3m≥ 0,∀x∈ (1;+∞)

Điều kiện

y' = 3x2 − 6x − 3m> 0,∀x∈ (1;+∞)

đưa ra ở lời giải vừa nêu trên là

không đúng, do đó ở kết luận đã bị thiếu một giá trị

m= −1.

Trên cơ sở phân tích vừa thảo luận ở trên, tôi đề xuất một hướng giải quyết cho bài
tốn như sau.
Lời giải đúng 1. Hàm số (1) có đạo hàm
* Nếu

∆ ' ≤ 0 ⇔ m≤ −1

thì

y' ≥ 0

y' = 3x2 − 6x − 3m,∆ ' = 9(m+ 1)

với mọi

x∈ ¡

, suy ra (1) đồng biến trên khoảng

( 1;+∞ ) .
* Nếu

∆ ' > 0 ⇔ m> −1

x1,2 = 1± m+ 1.

thì phương trình

y' = 0

Hàm số (1) đồng biến trên khoảng

có hai nghiệm phân biệt

( 1;+∞ )

khi cả hai nghiệm của

y’=0 đều nhỏ hơn hoặc bằng 1, tức là
m> −1

m> −1
1+ m+ 1 ≤ 1⇔ 
m= −1

1− m+ 1 ≤ 1

(vô nghiệm).

Từ hai trường hợp trên ta suy ra

m≤ −1

là các giá trị cần tìm.
6


y' = 3x2 − 6x − 3m
Lời giải đúng 2. Hàm số (1) có đạo hàm
là tam thức bậc hai, nên

đạo hàm có hữu hạn nghiệm trên khoảng

( 1;+∞ )

khi và chỉ khi

y' ≥ 0,∀x∈ ( 1;+∞ ) ,

Bảng biến thiên của hàm số

Do đó

m≤ −1

( 1;+∞ )

hay

, do đó (1) đồng biến trên khoảng

m≤ x2 − 2x,∀x∈ (1;+∞)

.

f (x) = x2 − 2x, x∈ (1;+∞).

là các giá trị cần tìm.

Thí dụ 2. Tìm m để hàm số

y = 2x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x (2)

có hai cực trị

trái dấu.

Lời giải sai. Hàm số (2) có hai cực trị trái dấu khi đạo hàm
có hai nghiệm trái dấu, điều này tương đương với

y' = 6(x2 + mx − m− 1)

1(−m− 1) < 0 ⇔ m> −1.

Phân tích: Đề bài yêu cầu tìm m để hàm số (2) có hai cực trị trái dấu chứ khơng
u cầu tìm m để hàm số (2) có hai điểm cực trị trái dấu. Điều kiện

m> −1

là điều

7


kiện cần và đủ để hàm số (2) có hai điểm cực trị trái dấu. Ta nhớ lại rằng nếu
điểm cực trị của hàm số
điểm

M(x0; f (x0))

y = f (x)

thì giá trị

f (x0 )

hoặc

là

được gọi là cực trị của hàm số và

được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số đó.

Lời giải đúng 1. Hàm số (2) có đạo hàm

x = −m− 1

x0

x = 1.

−m− 1≠ 1⇔ m≠ −2.

y' = 6(x2 + mx − m− 1)

và

y' = 0

khi

Do đó đồ thị hàm số (2) có hai cực trị khi và chỉ khi

Lúc này giả sử

A(1: −3m− 4), B(−m− 1;m3 + 6m2 + 9m+ 4)

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (2). Hàm số (2) có hai cực trị trái dấu khi

yA.yB < 0

, tức là

m≠ −2

2
(−3m− 4)(m+ 4)(m+ 1) < 0

 m< −4
 4
⇔  − < m< − 1
m≠ −2
 3

2

(3m+ 4)(m+ 4)(m+ 1) > 0  m> −1
.
Lời giải đúng 2. Do đặc điểm của đồ thị hàm số bậc ba, ta thấy hàm số (2) có hai
cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình

2x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x = 0

có ba

8

nghiệm phân biệt, hay phương trình

2x2 + 3mx − 6(m+ 1) = 0

có hai nghiệm phân

 m< −4
∆ = 9m + 48m+ 48 > 0  4
⇔  − < m< − 1

−
6(
m
+
1)
≠
0
 3

 m> −1

biệt khác 0. Điều này tương đương với
.
2

Thí dụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số
thẳng

∆1 : 3mx + y + 4 = 0

y = 2x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x (2)

cắt đường

tại ba điểm phân biệt.

Lời giải sai. Xét phương trình
x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x = −3mx − 4

⇔ x3 + 3mx2 − 3mx − 6x + 4 = 0
⇔ (x − 1) 2x2 + (3m+ 2)x − 4 = 0
x = 1
⇔ 2
2x + (3m+ 2)x − 4 = 0

Do đó đồ thị hàm số (2) cắt
2x2 + (3m+ 2)x − 4 = 0

∆1

tại ba điểm phân biệt khi phương trình

có hai nghiệm phân biệt, tức là

∆ = (3m+ 2)2 + 32 > 0.

Điều này luôn đúng. Vậy với mọi m đồ thì đồ thị hàm số (2) ln cắt

∆1

tại ba điểm

phân biệt.
9


2x2 + (3m+ 2)x − 4 = 0
Phân tích: Phương trình
có hai nghiệm phân biệt thì phương

trình

x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x = −3mx − 4

đồ thị hàm số (2) chưa chắc đã cắt

∆1

tại ba điểm phân biệt.

Lời giải đúng. Đồ thị hàm số (2) cắt
x3 + 3mx2 − 6(m+ 1)x = −3mx − 4
2x2 + (3m+ 2)x − 4 = 0

có

chưa chắc đã có ba nghiệm phân biệt, nên

∆1

tại ba điểm phân biệt khi phương trình

có ba nghiệm phân biệt, hay phương trình

hai

nghiệm

phân

biệt

khác

1.

Tức

là

∆ = (3m+ 2)2 + 32 > 0
⇔ m≠ 0.
 2
2.1 + (3m+ 2).1− 4 ≠ 0

Vậy với

m≠ 0

thì đồ thị hàm số (2) cắt

Thí dụ 4. Tìm m để hàm số
x1, x2

sao cho

tại ba điểm phân biệt.

y = x3 − 3x2 + mx + 2 (3)

có hai điểm cực trị

x1 − 2x2 = 1.

Lời giải sai 1. Hai điểm cực trị
trình

∆1

3x2 − 6x + m= 0

x1, x2

của hàm số (3) chính là nghiệm của phương

(phương trình

y' = 0

). Theo định lí Vi-ét ta có

10


x1 + x2 = 2; x1.x2 =

m
.
3

Trước hết, do

51 m
5
. = ⇔ m= .
33 3
3

tới

m=
Vậy với

x1 + x2 = 2; x1 − 2x2 = 1,

5
3

nên

5
1
x1 = , x2 = .
3
3

Dẫn

là giá trị cần tìm.

Phân tích: Lời giải vừa nêu trên chưa tìm điều kiện để hàm số (3) có cực trị. Ta
cũng thấy rằng để có thể áp dụng định lí Vi-ét ta cũng phải tìm điều kiện để
phương trình bậc hai

3x2 − 6x + m= 0

có nghiệm.

Lời giải sai 2. Hàm số (3) có hai điểm cực trị khi đạo hàm

∆ ' = 9 − 3m> 0 ⇔ m< 3.

nghiệm phân biệt, hay

3x − 6x + m= 0

x1 =

2

hai

điểm

cực

có hai nghiệm
trị

của

hàm

Với

y' = 3x2 − 6x + m

m< 3

thì phương trình

3+ 9 − 3m
3− 9 − 3m
, x2 =
3
3

số

(3).

Lúc

này

có hai

, đây chính là

x1 − 2x2 = 1

khi

3+ 9− 3m
3− 9− 3m
5
− 2.
= 1 ⇔ 9 − 3m = 2 ⇔ m= .
3
3
3
x1 =
Phân tích: Lời giải trên chưa xét khả năng

3+ 9 − 3m
3− 9 − 3m
, x2 =
.
3

3

Lởi giải đúng 1. Hàm số (3) có hai điểm cực trị khi đạo hàm
hai nghiệm phân biệt, hay

∆ ' = 9 − 3m> 0 ⇔ m< 3.

y' = 3x2 − 6x + m

Hai điểm cực trị

x1, x2

có

của hàm
11


3x2 − 6x + m= 0
số (3) chính là nghiệm của phương trình
. Theo định lí Vi-ét ta có

x1 + x2 = 2; x1.x2 =

m
.
3

51 m

5
. = ⇔ m=
33 3
3

tới

m=
Vậy

5
3

Trước hết, do

x1 + x2 = 2; x1 − 2x2 = 1,

(thỏa mãn điều kiện

m< 3

nên

Dẫn

).

là giá trị cần tìm.

Lời giải đúng 2. Hàm số (3) có hai điểm cực trị khi đạo hàm

hai nghiệm phân biệt, hay

3x − 6x + m= 0

∆ ' = 9 − 3m> 0 ⇔ m< 3.

x1,2 =

2

có hai nghiệm

của hàm số (3). Lúc này
 3+


 3−



5
1
x1 = , x2 = .
3
3

9 − 3m
3−
− 2.
3

9 − 3m
3+
− 2.
3

x1 − 2x2 = 1

3± 9 − 3m
3

Với

y' = 3x2 − 6x + m

m< 3

có

thì phương trình

, đây chính là hai điểm cực trị

khi

9 − 3m
=1
5
3
⇔ 9 − 3m = 2 ⇔ m= .
3

9 − 3m
=1
3

Đối chiếu với điều kiện

m< 3

ta lấy

Thí dụ 5. Tìm m để hàm số

5
m= .
3

y = mx4 (4)

đạt cực tiểu tại điểm

x0 = 0.

12


Lời giải sai. Ta có

x0 = 0

khi và chỉ khi

y' = 4mx3

, và

y'' = 12mx2.

4m.03 = 0
 y'(0) = 0
⇔

2
 y"(0) > 0 12m.0 > 0

Hàm số (4) đạt cực tiểu tại điểm

(vơ nghiệm).

Vậy khơng có giá trị nào của m để hàm số (5) đạt cực tiểu tại điểm

Phân tích: Nếu

 y'(x0 ) = 0

 y"(x0 ) > 0

thì

x0

x0 = 0.

là điểm cực tiểu của hàm số y, nhưng ngược lại,

 y'(x0) = 0

x0
 y"(x0 ) > 0
nếu là điểm cực tiểu của hàm số y thì chưa chắc đã có
. Trong trường

hợp xảy ra

y'(x0 ) = y"(x0 ) = 0

thì chưa kết luận được

x0

có là điểm cực trị của hàm

số hay khơng, nếu là điểm cực trị thì cũng chưa biết nó là điểm cực đại hay điểm
cực tiểu. Khi đó, muốn biết cụ thể, ta có thể sử dụng định nghĩa hoặc bảng biến
thiên của hàm số.
Lời giải đúng. Ta có

y' = 4mx3.

Nếu

m= 0

thì

y' = 0,∀x∈ ¡

và

y'

khơng đổi

dấu nên hàm số (4) khơng có cực trị .
Nếu

m< 0

thì hàm số (4) có bảng biến thiên

13


Do đó

m< 0

cũng khơng thỏa mãn bài tốn.

Cuối cùng, khi

Vậy với

m> 0

m> 0

thì hàm số (4) có bảng biến thiên

thì hàm số (4) đạt cực tiểu tại điểm

x0 = 0.

Thí dụ 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
tiếp tuyến đi qua điểm

y = x3 − 3x2 (C1)

biết

M(1;−2).

Lời giải sai. Kiểm tra thấy

M(1;−2)∈ (C1)

. Đạo hàm của hàm số

y = x3 − 3x2

là

(C1)
y' = 3x2 = 6x, y'(1) = −3
. Vậy tiếp tuyến của đồ thị
đi qua điểm M chính là tiếp

tuyến của đồ thị

(C1)

tại M và có phương trình

y = −3(x − 1) − 2 ⇔ y = −3x + 1.

14


Phân tích: Tiếp tuyến của

(C1)

đi qua M thì M có thể là tiếp điểm, cũng có thể

khơng phải là tiếp điểm, nên lời giải trên chưa xét đầy đủ các trường hợp.
Lời giải đúng.

y = k(x − 1) − 2

nghiệm

Đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k có phương trình

. Đường thẳng này là tiếp tuyến của

(C1)

khi hệ phương trình sau có

 x3 − 3x2 = k(x − 1) − 2
 2
3x − 6x = k

⇒ x3 − 3x2 = (3x2 − 6x)(x − 1) − 2 ⇔ x = 1.

Thay

x=1

vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

k = −3.

y = −3( x − 1) − 2 ⇔ y = −3x + 1.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi tôi cùng các đồng nghiệp nghiên cứu, trao đổi và áp dụng sáng kiến
này vào hai nhóm học sinh có lực học và sĩ số ngang nhau thì chúng tơi nhận thấy

các học sinh của nhóm được áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thì các em ít mắc sai
lầm hơn khi giải các bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số.
Chúng tôi chọn hai nhóm học sinh: Nhóm thực nghiệm gồm hai lớp 12A2 và
12A5, nhóm đối chứng gồm hai lớp 12A1 và 12A4. Cho học sinh hai nhóm làm
một số bài tập khảo sát.
Bài tập 1. Tìm m để hàm số

y = 2x3 − 3(m+ 1)x2 + 6mx − 3m.

a) Có hai cực trị cùng dấu.
15


b) Đồng biến trên khoảng

(−∞;1)

.

Bài tập 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a) Biết tiếp tuyến đi qua điểm

y = − x4 − x2 + 6

M(0;6).

b) Biết tiếp tuyến song với đường thẳng có phương trình

6x + y − 10 = 0.

m2 + 15
y= x −
+ mx + 1
8
3

Bài tập 3. Tìm m để đồ thị hàm số
điểm

đạt cực đại tại

x0 = 1.

Kết quả của hai nhóm được thể hiện thơng qua bảng thống kê sau:
- Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2020 - 2021 ở hai lớp
12A2 và 12A5 (Nhóm đối chứng)
Lớp 12 A1 (sĩ số 40)
Mức độ

Số lượng

Phần trăm

Không giải được

03

7,5 %

Giải sai phương pháp

18

45%

Giải đúng phương pháp

19

47,5 %

Số lượng

Phần trăm

Không giải được

07

16,6 %

Giải sai phương pháp

25

59,5 %

Giải đúng phương pháp

10

23,9 %

Lớp 12 A4 (sĩ số 42)
Mức độ

16


- Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2020 - 2021 ở hai lớp
12A2 và 12A5 (Nhóm thực nghiệm)
Lớp 12A2 (sĩ số 39)
Mức độ

Số lượng

Phần trăm

Không giải được

02

5,2 %

Giải sai phương pháp

09

23%

Giải đúng phương pháp

28

71,8 %

Số lượng

Phần trăm

Không giải được

04

9,5 %

Giải sai phương pháp

11

26,2 %

Giải đúng phương pháp

27

64,3 %

Lớp 12 A5 (sĩ số 42)
Mức độ

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các các em học sinh như một tài liệu
tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng dụng của đạo
hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc và đầy đủ hơn
về những sai lầm thường mắc phải khi giải các dạng toán liên quan tới khảo sát
hàm số. Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và
phương pháp giải tốn cho riêng mình; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng
những lí thuyết đã được trang bị để làm tốn. Từ đó thấy được sự lơgic của tốn
học nói chung và của chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm
là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài tốn ; hơn nữa, những bài
tốn được giải bằng cơng cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đẹp hơn.
17


Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối
khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống. Các em thường
quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định
lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học. Đó là chưa kể sách giáo khoa
hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang
tính hàn lâm ; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội học
sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học và sau Đại học).
Ở cấp độ trường phổ thông Nguyễn Mộng Tuân, đề tài có thể áp dụng để cải
thiện phần nào chất lượng bộ mơn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng
cao chất lượng dạy và học; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm,
định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp các em
tránh khỏi lúng túng trước một bài tốn đặt ra và khơng mắc phải những sai lầm
thường gặp.
3.2. Kiến nghị

Trong khuôn khổ của bài viết này, tơi khơng có tham vọng sẽ phân tích được
hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy,
tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường PT
Nguyễn Mộng Tuân, Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa và của
quý thầy cơ.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 17 tháng 05 năm 2021.
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, khơng sao chép nội
dung của người khác.

Lê Văn Tiến

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 (cơ bản và nâng cao hiện hành), Nhà xuất bản Giáo
dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo.
2. Sách giáo viên Giải tích 12 (Cơ bản và nâng cao hiện hành), Nhà xuất bản Giáo
dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo.
3. Sách Bài tập Giải tích 12 (Cơ bản và nâng cao hiện hành), Nhà xuất bản Giáo
dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo.
4. Đề thi THPT Quốc gia từ năm 2015 đến năm 2020.
5. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, Trần Phương - Nguyễn Đức
Tấn, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
6. Báo toán học và tuổi trẻ.

19