DE THI HSG 678

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (266.88 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trờng THCS Thanh Xuân

Tổ KH Tự nhiên

---***--- thi cõu lc b em yờu thớch
mụn toỏn lp 6

Năm học: 2011-2012

Thời gian: 120 phút.

Bài 1

(4 điểm)

:

a) Cho p và 8p-1 là các số nguyên tố. Chứng tỏ rằng: 8p+1 là hợp số.

b) Chứng tỏ rằng: A=3+3

+3

+

+3

chia hết cho 13.

Bài 2

(6 điểm)

: So sánh:

a) 5

vµ 124

;

b)

23. 3535 2323

A= ; B=

35.2323 2322

và

3535
C=

3534

.

Bài 3

(4 điểm)

:

a) Tìm số tự nhiªn a sao cho a+7 chia hÕt cho a+1.

b) Chøng tá r»ng:

1 1 1 1

A= ... 1

1.2 2.3 3.4   50.51

.

Bài 4

(4 điểm)

: Cho 2012 điểm trong đó có đúng 12 điểm thẳng hàng. Cứ qua

hai điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng. Hỏi vẽ đợc tất cả bao nhiêu đờng thẳng

từ 2012 điểm đó?

Bài 5

(2 điểm)

: Không quy đồng mẫu số biểu thức trong ngoặc, tìm số

nguyªn x biÕt r»ng:





2009 2010 2011

. 2012 3 6036
2010 2011 2009 x x

 

   

.

---

Hết

---Họ và tên:

Lớp

: . . . .

Đáp án và biểu điểm chấm đề thi clb mụn Toỏn 6

Bài ý Đáp án Biểu điểm

1 a Cho p và 8p-1 là các số nguyên tố. Chứng tỏ rằng: 8p+1 là

hợp số. 2điểm

Vì p, 8p-1 là các số nguyên tố nên p3.
Với p=3 thì 8p+1=8.3+1=25 là hỵp sè
Víi p>3, xÐt tÝch A=(8p-1)8p(8p+1) 3

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

8p+13 mà 8p+1>3 nên 8p +1 là hợp số.

b Chứng tỏ r»ng: A=3+32+33+…+399 chia hÕt cho 13. 2®iĨm
A=3+32+33+…+399=(3+32+33)+(34+35+36)+…+(397+398+399)

=3(1+3+32)+34(1+3+32)+…+397(1+3+32)

=3.13+34.13++397.13

A13

0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
2 a So sánh: 530

và 124

10 2điểm

Ta có : 530=53.10=1253

Mà 125>124
Nên 1253>12410

Hay 530>12410

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b

So sánh:

23. 3535 2323

A= ; B=

35.2323 2322

và

3535
C=

3534

4điểm

Ta có : A=

23.35.101
1
35.23.101 ; 
B=

2323 2322 1 1

1 1

2322 2322 2322


   

3535 3534 1 1

1 1

3534 3534 3534


   

V× 2322<3534 nên

1 1

23223534B>C>1
Vậy A<B<C.

1,0đ
1,0đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ

3 a Tìm số tự nhiên a sao cho a+7 chia hÕt cho a+1 2®iĨm
a+7 =(a+1)+6a+16a+1

Do a nên a+1 , bởi vậy a+1 phải là các ớc nguyên
d-ơng của 6.

Mà các ớc nguyên dơng của 6 là : {1;2;3;6}
Nên a+1=1a=0, . . .

Vậy a



0;1;2;5



0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
3 b

Chøng tá r»ng

:

1 1 1 1

A= ... 1

1.2 2.3 3.4   50.51

.

2®iĨm

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A= ... ...

1.2 2.3 3.4   50.51 1 2 2 3 3 4       50 51
1 50

A=1- 1

51 51 

1,0đ
1.0đ
4 Cho 2012 điểm trong đó có đúng 12 điểm thẳng hàng. Cứ

qua hai điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng. Hỏi vẽ đợc tất cả
bao nhiêu đờng thẳng từ 2012 điểm đó?

4điểm
Chia các điểm đã cho thành 2 nhóm: Nhóm thứ nhất gồm 12

điểm thẳng hàng, nhóm thứ 2 gồm 2000 điểm cịn lại trong đó

khơng có 3 điểm nào thẳng hàng.

Qua các điểm ở nhóm thứ nhất vẽ đợc chỉ 1 đt

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Qua 2000 điểm ở nhóm thứ 2 vẽ đợc

2000.1999

1999000

2  ®t

Vẽ các đt đi qua 1điểm của nhóm 1 với 1 điểm của nhóm 2 ta
đợc 12.2000=24000đt

Vậy vẽ đợc tất cả là: 1+1999000+24000=2023001đt.

1,0®
0,5®

5 Khơng quy đồng mẫu số biểu thức trong ngoặc, tìm số 
nguyên x biết rằng:





2009 2010 2011

. 2012 3 6036
2010 2011 2009 x x

 

 

.

2điểm

Đặt A=

2009 2010 2011 1 1 2

1 1 1

2010 2011 2009    2010  2011  2009
 =

1 1 1 1

2009 2010 2009 2011

   

    

   

A>3 hay A-3>0

Do đó: A(x-2012)>3(x-2012)(A-3)(x-2012)>0
x-2012>0

x>2012.

Vậy các số nguyên cần tìm là các số nguyên2013.

0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ

Trờng THCS Thanh Xuân

Tổ KH Tự nhiªn

---***---đề thi câu lạc bộ em u thích
mơn tốn lớp 7

Năm học: 2011-2012

Thời gian: 120 phút.

Bài 1

(4 điểm)

:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong 2 sè: 2

n+2

-1 vµ 2

+1

cã mét vµ chØ một số chia hết cho 3.

Bài 2

(3 điểm)

:

T×m x, y, z biÕt:

1 1 2

x y z

x y z

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Tính giá trị của biÓu thøc: A=

1 1 1 1

...

2 3 4 2012
2011 2010 2009 1

...

1 2 3 2012

   

.

b) Chøng minh r»ng:

1 1 1 1

3 1 ... 6

2 3 4 63
     

.

Bài 4

(4 điểm)

: Cho tam giác đều ABC, các đờng cao AH, BK cắt nhau tại

điểm G. Tia phân giác của góc BKH cắt đoạn thẳng CG, AH, BC lần lợt tại

các điểm M, N, P. Chứng minh rng: KM=NP.

Bài 5

(3 điểm)

:

a) Tìm một nghiƯm cđa ®a thøc P(x)=x

+ax

+bx+c. BiÕt r»ng ®a thøc

cã nghiƯm và

1
a+2b+4c=

-2

.

b) Tìm các giá trị x, y thỏa m·n:





2012
2011

2x 25  3y5 0

---

HÕt

---Hä vµ tªn:

………

Líp

: . . . .

Đáp án và biểu điểm chấm đề thi clb mơn Tốn 7

Bµi ý Đáp án Biểu

điểm
1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong 2 số:

2n+2-1 và 2n+1 có một và chỉ một số chia hết cho 3. 4điểm
Xét tỉng cđa 2 sè: (2n+2-1)+(2n+1)= 2n+2+2n=2n(22+1)=5.2n

kh«ng chia hÕt cho 3 n

cả hai số 2n+2-1và 2n+1không thể cùng chia hÕt cho3(1)

XÐt tÝch (2n+2-1).(2n+1)=4n+3.2n-1

Ta cã: 41(mod3) 4n+11(mod3) 4n+1-10 (mod3)

3.2n0(mod3)

VËy (2n+2-1).(2n+1) chia hÕt cho 3  n (2)

Đpcm.

1,5đ
0,5đ

1,5đ

0,5đ
2

Tìm x, y, z biết: 1 1 2

x y z

x y z
z y  x z  x y    
(víi x, y, z ≠0).

3®iĨm

Tõ 1 1 2

x y z

z y  x z  x y 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>



1 1 2 2( ) 2

x y z x y z

z y x z x y x y z

 

   

       
nªn: x+y+z=1/2.

Từ đó ta có : x+y=1/2-z; x+z=1/2-y; y+z=1/2-x
Thay vào ta tìm đợc x=y=1/2 ; z=-1/2.

1,0đ
1,0đ

3 a

Tính giá trị của biểu thức: A=

1 1 1 1

...

2 3 4 2012
2011 2010 2009 1

...

1 2 3 2012

   

2®iĨm

Ta cã:

2011 2010 2009 1
...

1  2  3  2012

2010 2009 2008 1 2012

1 1 1 ... 1

2 3 4 2011 2012

       

         

       

2012 2012 2012 2012
...

2 3 4 2012

    

1 1 1 1

2012. ...

2 3 4 2012

 

      

 

Khi đó ta có: A=

1 1 1 1

... 1

2 3 4 2012

1 1 1 1 2012

2012. ...

2 3 4 2012
   

 
   

 
 
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
b

Chøng minh r»ng:

1 1 1 1

3 1 ... 6

2 3 4 63

.

4điểm

Đặt S=

1 1 1 1

1 ...

2 3 4 63
   

Ta cã: S=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 5 6 7 8 9 10 16

       

           

       

       

1 1 1 1 1 1 1

... ...

17 18 32 33 34 64 64

   

         

    >

1 1 1 1 1 1 1

.2 .2 .4 .8 .16 .32
2 4 8 16 32 64  64=
=

1 1 1 1 1 1
1

2 2 2 2 2 64
     
=3
31
3
64 
L¹i cã:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

S=1+ ...

2 3 4 5 6 7 8 9 15

     

         

     

     

1 1 1 1 1 1

... ...

16 17 31 32 33 63

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

<1+

1 1 1 1 1

.2 .4 .8 .16 .32 1 1 1 1 1 1 6
2 4 8 16 32       
VËy suy ra ®pcm.

4 Cho tam giác đều ABC, các đờng cao AH, BK cắt nhau tại
điểm G. Tia phân giác của góc BKH cắt đoạn thẳng CG,
AH, BC lần lợt tại các điểm M, N, P. Chng minh rng:
KM=NP.

4điểm

0,5đ

Ta thấy CG là tia phân giác của góc C ACG 30 0

Vỡ K, H là trung điểm của AC, BC nên KH//AB và ΔCHK đều.

HKB 90  0 600 300

Do KP là phân giác của HKB nên: BKP 15  0, từ đó CKP 75  0.
Ta có MCK 30  0,CKP 75  0KMC 75  0nên ΔCMK cân tại C

CK=CM.

Ta cã AK=CM(=CK) ;KAN MCP ( 30 )   0 ;
  0

AKN CMP ( 105 ) 
VËy ΔAKN=ΔCMP(g.cg)

KN=MP hay KM+MN=MN+NP

T ú suy ra: KM=NP. pcm.

0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

5 a Tìm một nghiƯm cđa ®a thøc P(x)=x3+ax2+bx+c. BiÕt r»ng

®a thøc cã nghiƯm và

a+2b+4c=

-2

1điểm

Ta có giả thiết:

1
a+2b+4c=

-2
1

+a+2b+4c=0
2

Chia c hai vế của đẳng thức trên cho 4 ta đợc:
1 1 1

+ a+ b+c=0
8 4 2

3 2

1 1 1 1

0 ( ) 0

2 2 a 2b c P 2
   

         
   

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VËy x=
1

2chÝnh lµ mét nghiƯm của đa thức.
b

Tìm các giá trị x, y thỏa mÃn:





2012
2011

2x 25  3y5 0 2®iĨm
Ta cã :





2012
2011

2x 25  0 x; 3y5  0 y

Nên : 2x-25=0 và 3y+5=0

x=12,5 và y=-5/3

1,0đ
0,5đ

0,5đ

Trờng THCS Thanh Xuân

Tổ KH Tự nhiên

---***--- thi cõu lc b em yờu thớch
mụn toỏn lp 8

Năm học: 2011-2012

Thời gian: 120 phút.

Bài 1

(6 điểm)

:

a) Cho m là một số nguyên dơng. HÃy tìm các chữ số x và y (x

0) sao

cho số

A=xy5 100m(m+5)

là số chính phơng.

b) Cho a+b+c=0 và a

+b

+c

=14.Tính giá trị của biểu thức B=a

+b

+c

Bài 2

(3 ®iĨm)

: Cho biĨu thøc A=

4 2
3

2 1
1

x x x

x

  


Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

Bài 3

(4 điểm)

: Một bể có hai vịi nớc. Một vịi lấy nớc vào có vận tốc gấp ba

lần vịi tháo nớc ra. Nếu ta mở cả hai vòi khi bể khơng có nớc thì sau 2 giờ

bể đầy. Hỏi vòi tháo nớc ra đặt ở độ cao bao nhiêu so với độ cao của bể biết

rằng nếu mở một mình vịi lấy nớc vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút?

Bài 4

(5 điểm)

: Cho hình thoi ABCD có cạnh a và

A 60  0

. Một đờng thẳng

bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và N.

a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị khơng đổi.

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD?

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

vịng trịn là một đồng xu màu đen. Chứng tỏ rằng tồn tại hai ng xu mu

en t cnh nhau.

---

Hết

---Họ và tên:

………

Líp

: . . . .

Đáp án và biểu im chm thi clb mụn Toỏn 8

Bài ý Đáp án Biểu

điểm
1 a Cho m là một số nguyên dơng. HÃy tìm các chữ số x và y

(x0) sao cho số A=xy5 100m(m+5) là số chính phơng.

3điểm

Số A=xy5 100m(m+5) (m nguyên dơng) lµ sè chÝnh phơng
vàchia hết cho 5 nên có dạng: A=(10t+5)2=100t2+100t+25 với t

.

Từ đó suy ra : 100t2+100t+25=100x+10y+5+100m2+500m (1)

Do đó 10y+5-25 phải chia hết cho 100,

suy ra y=2, thay vào (1) ta đợc t2+t=m2+5m+x (2)

Đặt t=m+v, thay vào (2) ta đợc : (m+v)2+m+v= m2+5m+x

2m(2-v)=v2+v-x. Đẳng thức xảy ra với m bất kỳ khi và chỉ

khi v=2 và x=v2+v=6.

Vậy các chữ phải tìm là : x=6; y=2.

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ

b Cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=14. Tính giá trị cđa biĨu thøc

B=a4+b4+c4 3®iĨm

Ta cã a2+b2+c2=14( a2+b2+c2)2=142

a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2=196

 a4+b4+c4 =196-2(a2b2+a2c2+b2c2)

L¹i cã: a+b+c=0( a+b+c)2=0

 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0

14+2(ab+bc+ac)=0 (v× a2+b2+c2=14)

 ab+bc+ac=-7

(ab+bc+ac)2=49

 a2b2+a2c2+b2c2 +2abc(a+b+c)=49

 a2b2+a2c2+b2c2=49 (v× a+b+c=0)

Khi đó B=196-2. 49=98

0,5®
0,5®
0,5®
0,5®

0,5®
0,5®
2

Cho biĨu thøc A=

4 2
3

2 1
1

x x x

x

  


Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta cã: A=







 











2 2 2

4 2

3 3 2

1 1

1
2 1

1 1 1 1

x x x x

x x

x x x

x x x x x

   
 

  

 

    

=

2 1 1

1 1

x x

x

x x

 

 

  (víi x-1)

Do x nguyên nên để A nguyên thì x+1 phải là ớc của 1.
Suy ra: x=0; x=-2 (tm)

1,0đ
1,0đ
1,0đ
3 Một bể có hai vòi nớc. Một vòi lấy nớc vào có vận tốc gấp

ba ln vòi tháo nớc ra. Nếu ta mở cả hai vòi khi bể khơng 
có nớc thì sau 2 giờ bể đầy. Hỏi vòi tháo nớc ra đặt ở độ cao
bao nhiêu so với độ cao của bể biết rằng nếu mở một mình 
vịi lấy nớc vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút?

4 ®iiĨm

Trong1h vịi thứ nhất chảy đợc vào bể:
2
3(bể)
Vòi thứ hai chảy ra trong 1h đợc:

2
9(bÓ)

Khi mức nớc đã ở trên độ cao đặt vịi chảy ra thì trong 1h hai
vịi mở cùng một lúc đợc :

2 2 4
3 9 9 (bÓ)

Gọi x(h) là thời gian vịi thứ nhất chảy một mình cho đến khi
n-ớc bắt đầu chảy ra đợc. Trong thời gian này vịi thứ nhất chảy
đợc

3x(bĨ).

Sau x giờ đó hai vòi cùng mở trong thời gian là: 2-x (giờ)
Ta có phơng trình:

2 4

(2 ) 1
3x9  x 

Giải đợc x=1/2 giờ.

Vậy độ cao của vòi tháo nớc ra so với độ cao của bể nớc là:
1 3 1

:
2 2 3

0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®

Cho hình thoi ABCD có cạnh a và A 60  0. Một đờng thẳng
bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và
N.

a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị khơng đổi.
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD?

3®iĨm

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

XÐt ΔAMN cã BC//AN nªn:

MB MC

AB CN (theo ĐL Ta let)
Tơng tự ta có:

MC AD
=
CN DN



MB AD

AB DN hay MB. DN=AB.AD
Mµ AB=AD =a (do ABCD là hình thoi)

Nờn: MB. DN=AB.AD=a2 cú giỏ tr khụng i.

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

ABD có AB=AD (gt) ; A 60  0  ΔABD đều

ABD=ADB=60  0  DBM=BDN 120   0(2 gãc kỊ bï) (1)

Theo cmt ta cã MB. DN=a2, BD=a nªn

BM BD
BD DN (2)
Từ (1) và (2) ΔMBD và ΔBDN đồng dạng (c-g-c)

 M =B 1 1

XÐt ΔBMD cã  

0
1 1
M D 60

(v× DBM 120  0 cmt)

 

0
1 1
B D 60

  

0
1 1

B D BKD 180

(§L tổng 3 góc của tam giác)

BKD 120 0

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

5 Trên một vòng tròn ngời ta đặt 20 đồng xu màu trắng và
một đồng xu màu đen. Biết rằng đối diện với một đồng xu
màu trắng qua tâm vòng tròn là một đồng xu màu đen.
Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau.

2®iĨm

Giả sử khơng tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau(1) thì
khơng có hai đồng xu trắng đặt cạnh nhau, do đó các đồng xu
trắng phải xếp xen kẽ nên cũng có 20 đồng xu màu đen.
Xét hai đồng xu trắng đen đối diện nhau trên vòng tròn, đồng
xu trắng đợc đánh số 1, đồng xu đen đối diện đánh số 21. Do
các đồng xu trắng đen xếp xen kẽ nên các đồng xu đen mang
số 2, 4, 6, …, 20 lại xảy ra hai đồng xu đen số 20 và số 21 cạnh
nhau, điều này trái với (1). Vậy phải tồn tại hai đồng xu màu
đen đặt cạnh nhau.

0,5®

</div>

DE THI HSG 678

<b>Trờng THCS Thanh Xuân</b>

Tổ KH Tự nhiên

<b>Năm học: 2011-2012</b>

Thời gian: 120 phút.

<b>Bài 1</b>

(4 điểm)

:

a) Cho p và 8p-1 là các số nguyên tố. Chứng tỏ rằng: 8p+1 là hợp số.

b) Chứng tỏ rằng: A=3+3

<sub>+3</sub>

<sub>+</sub>

<sub>+3</sub>

<sub> chia hết cho 13.</sub>

<b>Bài 2</b>

(6 điểm)

: So sánh:

a) 5

<sub> vµ 124</sub>

<sub>;</sub>

b)

<sub> và </sub>

<sub>.</sub>

<b>Bài 3</b>

(4 điểm)

:

a) Tìm số tự nhiªn a sao cho a+7 chia hÕt cho a+1.

b) Chøng tá r»ng:

<sub>.</sub>

<b>Bài 4</b>

(4 điểm)

: Cho 2012 điểm trong đó có đúng 12 điểm thẳng hàng. Cứ qua

hai điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng. Hỏi vẽ đợc tất cả bao nhiêu đờng thẳng

từ 2012 điểm đó?

<b>Bài 5</b>

(2 điểm)

: Không quy đồng mẫu số biểu thức trong ngoặc, tìm số

nguyªn x biÕt r»ng:





<sub>.</sub>

---

<i>Hết</i>

---Họ và tên:

Lớp

: . . . .

<b>Đáp án và biểu điểm chấm đề thi clb mụn Toỏn 6</b>

<b><sub> và 124</sub></b>

<b><sub> và </sub></b>





:

<sub>.</sub>





<b>Trờng THCS Thanh Xuân</b>

Tổ KH Tự nhiªn

<b>Năm học: 2011-2012</b>

Thời gian: 120 phút.

<b>Bài 1</b>

(4 điểm)

:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong 2 sè: 2

<sub>-1 vµ 2</sub>

<sub>+1 </sub>

cã mét vµ chØ một số chia hết cho 3.

<b>Bài 2</b>

(3 điểm)

:

T×m x, y, z biÕt:

a) Tính giá trị của biÓu thøc: A=

.

b) Chøng minh r»ng:

.

<b>Bài 4</b>

(4 điểm)

: Cho tam giác đều ABC, các đờng cao AH, BK cắt nhau tại

điểm G. Tia phân giác của góc BKH cắt đoạn thẳng CG, AH, BC lần lợt tại

các điểm M, N, P. Chứng minh rng: KM=NP.

<b>Bài 5</b>