Một số định lý về khối đa diện

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN THÁI

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ KHỐI ĐA DIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN THÁI

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ KHỐI ĐA DIỆN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN MINH

Thái Nguyên, năm 2015


i

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học khoa học - Đại học
Thái Nguyên với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Minh - Trưởng khoa
Cơ bản trường Đại học Kinh tế và Quản trị kinh doanh- Đại học Thái
Nguyên. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm
hướng dẫn của Thầy, tới các thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng đào tạo
trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên.
Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K7Q Trường Đại học khoa học đã động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập
và nghiên cứu.
Tác giả xin cảm ơn Sở giáo dục - Đào tạo tỉnh Quảng Ninh, Ban giám
hiệu và đồng nghiệp trường THPT Vũ Văn Hiếu thành phố Hạ Long đã
tạo điều kiện cho tác giả học tập và hồn thành khóa học.
Tác giả xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015
Tác giả
Nguyễn Văn Thái


ii

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i
iii
1

1 Các
1.1
1.2
1.3

kiến thức cơ bản
3
Một số tiên đề của hình học khơng gian . . . . . . . . . . . .
3
Một số cách xác định mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.1 Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . . . .
4
1.3.3 Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4 Quan hệ vng góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4.1 Góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vng góc 5
1.4.2 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng, góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4.3 Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc .
6
1.4.4 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5 Thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Khối tứ diện
2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các định lý về khối tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bất đẳng thức liên quan đến tứ diện . . . . . . . . . . . . . .

8
8
17
32

3 Khối đa diện
3.1 Đa diện - Khối đa diện . . . . . . . . . . . . .
3.2 Định lý Euler về khối đa diện . . . . . . . . .
3.3 Định lý về khối đa diện . . . . . . . . . . . . .
3.4 Một số bài toán và hệ quả của định lý Euler
3.5 Thể tích của các khối đa diện . . . . . . . . .
3.5.1 Phân hoạch của khối đa diện . . . . .
3.5.2 Thể tích của khối đa diện . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
39
43
46
54
62
62

63
71
72

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.


iii

Bảng kí hiệu
△ :

Tam giác

S :

Diện tích đa giác

p :

Số đỉnh của đa diện

a :
f :

Số cạnh của đa diện
Số mặt của đa diện

V :
h :
R :

Thể tích
Chiều cao đa diện
Bán kính cầu ngoại tiếp

r :

Bán kính cầu nội tiếp

d :

Khoảng cách

E :
D :

Khối đa diện
Miền đa giác

X (E ) :

Đặc số Euler của đa diện E .


1

Lời mở đầu
Trong vật lý, hóa học, sinh học ta đều học được một bài học: nếu biết
rõ thành phần nhỏ nhất cấu tạo nên vật chất, ta sẽ hiểu rõ được bản chất
của vật chất. Trong hình học cũng vậy, nếu biết rõ thành phần cơ bản cấu
tạo nên hình học, ta sẽ hiểu rõ hình học. Ý nghĩa căn bản của hình học

từ thời nguyên thủy đã sống lại: hình học khơng phải là sản phẩm thuần
túy của tư duy, mà là bức tranh của tự nhiên do con người vẽ ra theo khả
năng nhận thức, và vì thế sự phản ánh đó khơng bao giờ đầy đủ và chính
xác tuyệt đối.
Tuy nhiên, nhận thức và trải nghiệm của con người ngày càng sâu
sắc để nhận ra rằng tự nhiên tuy đa dạng, phức tạp, nhưng được cấu trúc
theo những mơ hình xác định. Khám phá cấu trúc ấy chính là bản chất
của hình học. Trong hình học, thành phần đơn giản nhất là điểm, đường
thẳng và mặt phẳng. Vì thế việc nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm, đường
và mặt mang ý nghĩa nền tảng của hình học. Hệ tiên đề hình học chính là
tập hợp những mệnh đề về những mối quan hệ nền tảng đó. Trên nền tảng
ấy, trong khơng gian 3 chiều, hình đơn giản nhất là tứ diện. Mọi hình khối
3 chiều đều có thể coi là tổ hợp của các tứ diện. Vì thế việc nghiên cứu tứ
diện là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình trong khơng gian 3 chiều. Các
bài tốn và định lý về tứ diện đóng vai trị cốt lõi trong nghiên cứu hình
học 3 chiều.
Điều đặc biệt lý thú là bài toán 3 chiều bài tốn về khối đa diện. Điều
này nói lên rằng vũ trụ được xây dựng theo cấu trúc tầng tầng lớp lớp lặp
đi lặp lại những cấu trúc nhất định. Các tầng cao hơn, rộng hơn, tuy phức
tạp hơn nhưng thực ra cũng được xây dựng trên những nguyên lý cấu trúc
nhất qn. Điều này có thể ví như sự sống tuy có cấu trúc vơ cùng phức
tạp và đa dạng, nhưng tất cả đều dựa trên cấu trúc DNA. “Phân tử DNA”
của hình học 3 chiều là Tứ diện (Tetrahedron). Tứ diện là một hình khơng
gian 3 chiều khép kín được giới hạn bởi 4 mặt. Không gian ấy được xác
định bởi 4 điểm không đồng phẳng. Mỗi điểm là một đỉnh của tứ diện.
Mỗi đỉnh ứng với một góc tam diện. 3 đỉnh xác định một mặt của tứ diện.
Mỗi cặp 2 mặt của tứ diện xác định một nhị diện. Cạnh của nhị diện chính
là cạnh của tứ diện. Tứ diện có 6 cạnh, chia làm 3 cặp, mỗi cặp gồm 2
cạnh chéo nhau, gọi là 2 cạnh đối. Giống như tam giác có 4 đường chủ yếu
là trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao, tứ diện cũng có những

đường và mặt chủ yếu. Việc khảo sát những đường và mặt chủ yếu ấy sẽ
cung cấp một cái nhìn tồn cảnh và sâu rộng về tứ diện.


2

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Các kiến thức cơ bản.
Trong chương này, tơi trình bày các khái niệm trong hình học khơng gian.
Chương 2. Khối tứ diện.
Chương này trình bày một số khái niệm về khối tứ diện, các tứ diện
đặc biệt, một số định lý về khối tứ diện và một số bài toán được dịch ra
từ tài liệu tiếng Nga, một số bài thi vô địch các nước, khu vực.
Chương 3. Khối đa diện.
Chương này trình bày về định nghĩa khối đa diện tổng quát, tính chất
của khối đa diện. Định lý Euler về khối đa diện, định lý A.Đ. Alechxandrop
và thể tích của khối đa diện.


3

Chương 1
Các kiến thức cơ bản
1.1

Một số tiên đề của hình học khơng gian

Tiên đề 1.1.1. Qua hai điểm phân biệt trong khơng gian có một và chỉ
một đường thẳng duy nhất.
Tiên đề 1.1.2. Qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt

phẳng duy nhất.
Tiên đề 1.1.3. Một đường thẳng có hai điểm nằm trong một mặt phẳng
thì nó nằm trong mặt phẳng ấy.
Tiên đề 1.1.4. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có một
đường thẳng chung đi qua điểm ấy.
Chú ý. Người ta gọi đường thẳng chung của hai mặt phẳng là giao tuyến
của hai mặt phẳng.

1.2

Một số cách xác định mặt phẳng

❼ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất được một mặt
phẳng.
❼ Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất được một mặt
phẳng.
❼ Qua hai đường thẳng song song xác định duy nhất được một mặt
phẳng.
❼ Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó xác
định duy nhất được một mặt phẳng.


4

1.3
1.3.1

Quan hệ song song
Hai đường thẳng song song

❼ Hai đường thẳng được gọi là song song với một đường thẳng nếu
chúng đồng phẳng và khơng có điểm chung.
❼ Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm
trong một mặt phẳng.
❼ Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau
theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song.
❼ Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song
song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng
đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó .
❼ Ba đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện của một tứ diện
đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó cịn được gọi là
trọng tâm của tứ diện.
❼ Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua hai đường thẳng song
song.

1.3.2

Đường thẳng song song với mặt phẳng

❼ Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với nhau
nếu chúng khơng có điểm chung.
❼ Một đường thẳng (Khơng nằm trên mặt phẳng (P )) song song với
(P ) khi và chỉ khi nó song song với một đường thẳng nằm trong (P ).
❼ Nếu mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a, a song song với mặt phẳng
(P ), thì giao tuyến của (P ) và (Q) (nếu có) song song với a.
❼ Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
❼ Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó, ln tồn tại duy nhất
mặt phẳng (P ) chứa a song song với b.

5

1.3.3

Hai mặt phẳng song song

❼ Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng khơng có
điểm chung.
❼ Nếu mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng cắt nhau và song song với
mặt phẳng (Q) thì (P ) song song với (Q).
❼ Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, tồn tại duy nhất một mặt
phẳng song song với mặt phẳng đó.
❼ Cho hai mặt phẳng song song với nhau, nếu một mặt phẳng cắt mặt
phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song
với nhau.
❼ Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau.

Định lý Thales.
❼ Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn
tương ứng tỷ lệ.
❼ Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a′ lần lượt lấy thứ tự các
điểm A, B, C và A′ , B ′ , C ′ sao cho:

AB
BC
CA
=

=
A′ B ′ B ′ C ′ C ′ A′

(1.1)

Khi đó ba đường AA′ , BB ′ , CC ′ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song
song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.

1.4
1.4.1

Quan hệ vng góc
Góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vng góc

❼ Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong không gian là góc giữa hai
đường thẳng a1 và a2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song
hoặc trùng với d1 và d2 .
❼ Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 900 .


6

1.4.2

Đường thẳng vng góc với mặt phẳng, góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng

❼ Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó
vng góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng ấy.

❼ Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P ) khi và chỉ khi a vng
góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc (P ).

Định lý ba đường vng góc.
Cho đường thẳng a có hình chiếu lên mặt phẳng (P ) là đường thẳng
Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P ) vng góc với a
khi và chỉ khi nó vng góc với a′ .

a′ .

❼ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình
chiếu của nó lên mặt phẳng (nếu hình chiếu đó là một điểm thì xem
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 900 ).

1.4.3

Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc

❼ Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng
lần lượt vng góc với hai mặt phẳng đó .
❼ Hai mặt phẳng gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng
đó bằng 900 .
❼ Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vng góc với nhau là mặt
phẳng này chứa một đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia.
❼ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vng góc với một mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba đó.

1.4.4

Khoảng cách

❼ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc một đường
thẳng) là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt
phẳng (hoặc đường thẳng).
❼ Khoảng cách từ đường thẳng a tới mặt phẳng (P ) song song với a là
khoảng cách từ một điểm nào đó của a lên (P ).
❼ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm nào đó trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.


7

❼ Đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường thẳng
cắt cả hai đường thẳng và vng góc với hai đường thẳng đó .
❼ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b bằng:

i) Độ dài đường vng góc chung.
ii) Khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song
song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
iii) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai
đường thẳng đó.

1.5

Thể tích khối đa diện
Cơng thức tính thể tích khối chóp

1
V = .S.h
3

(1.2)

Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao.
Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ

V = S.h

(1.3)

Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao.
Cơng thức tính thể tích khối chóp cụt

V =

√
1
(S + S ′ + SS ′ ) .h
3

(1.4)

Trong đó: S là diện tích đáy lớn, S ′ là diện tích đáy nhỏ, h là chiều
cao của chóp cụt.


8

Chương 2
Khối tứ diện

2.1

Một số khái niệm cơ bản

❼ Đường cao khối tứ diện: Đường thẳng hạ từ một đỉnh bất kỳ tới mặt
đối diện với đỉnh đó và vng góc với mặt phẳng đó.
❼ Mặt trung trực của một cạnh: Mặt phẳng đi qua trung điểm của cạnh
và vuông góc với cạnh đó được gọi là mặt phẳng trung trực của cạnh
đó.
❼ Mặt cầu nội, ngoại tiếp, bàng tiếp khối tứ diện:

i) Sáu mặt phẳng trung trực của sáu cạnh tứ diện cắt nhau tại một
điểm, điểm đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
ii) Sáu mặt phẳng phân giác của sáu nhị diện tương ứng với sáu
cạnh tứ diện cắt nhau tại một điểm, điểm đó là tâm mặt cầu nội
tiếp tứ diện.
iii) Sáu mặt phẳng phân giác của sáu nhị diện tương ứng với ba cạnh
tứ diện và ba cạnh đáy cắt nhau tại một điểm, điểm đó là tâm
mặt cầu bàng tiếp tứ diện.
❼ Tứ diện vuông: Tứ diện SABC gọi là tứ diện vuông đỉnh S , nếu như
SA, SB, SC từng đôi một vng góc với nhau.
❼ Tứ diện trực tâm: Tứ diện ABCD gọi là tứ diện trực tâm, nếu các
cạnh đối vng góc với nhau, tức là AB CD; AC BD; AD BC .
❼ Tứ diện đều: Tứ diện ABCD gọi là tứ diện đều, nếu như tất cả các
cạnh của nó bằng nhau tức là: AB = CD = AC = BD = AD = BC.
❼ Tứ diện gần đều: Tứ diện ABCD gọi là tứ diện gần đều, nếu như tất
cả các cặp cạnh đối của nó bằng nhau tức là: AB = CD, AC = BD,
AD = BC.

9

Bài tốn 2.1.1. Chứng minh rằng một hình tứ diện khơng thể có tâm
đối xứng.
Bài giải. Giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng là O.
Nếu O thuộc một mặt phẳng chứa một mặt của tứ diện thì mặt đó
là hình có tâm đối xứng. Điều này khơng thể xảy ra vì mặt của tứ diện là
một tam giác mà tam giác là hình khơng có tâm đối xứng.

Hình 2.1

Vậy O không thuộc các mặt phẳng chứa mặt của tứ diện. Gọi A′ , B ′
lần lượt là hai điểm đối xứng của A và B qua O thì A′ , B ′ lần lượt thuộc
hai mặt phẳng BCD và ACD của tứ diện (Hình 2.1).
Vì đoạn A′ B ′ là hình đối xứng của đoạn AB qua O nên A′ B ′ ∥= AB .
Suy ra tứ giác ABB ′ A′ là hình bình hành, suy ra BA′ ∥ AB ′ .

Nếu A′ khơng trùng với B thì B ′ khơng trùng với A, khi đó hai mặt
phẳng (BCD) và (ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song BA′
và AB ′ nên giao tuyến CD của chúng cũng song song với BA′ , điều này
không thể xảy ra vì A′ thuộc tam giác BCD do đó A′ trùng B và B ′ trùng
A, khi đó O là trung điểm của AB tức là O thuộc một mặt của tứ diện
(điều này mâu thuẫn). Vậy tứ diện không có tâm đối xứng.
Bài tốn 2.1.2. Cho tứ diện và sáu mặt phẳng sao cho mỗi mặt đi qua
trung điểm mỗi cạnh của tứ diện và vng góc với cạnh đối diện. Chứng
minh rằng sáu mặt phẳng đó đồng quy.
Bài giải. Giả sử G là trọng tâm của tứ diện ABCD; khi đó G là trung
điểm của đoạn M N , nối các trung điểm của đoạn AB và CD. Giả sử O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp, khi đó O thuộc mặt phẳng trung trực của cạnh
CD, (Hình 2.2) .

10

Hình 2.2

Mặt phẳng qua M và vng góc với CD, song song với mặt phẳng
trung trực của CD. Hai mặt phẳng này cắt mặt phẳng (OGN ) theo hai
giao tuyến song song: ON ∥ M H (H ∈ OG). Từ hai tam giác bằng nhau
GM H và GN O suy ra GH = GO, hay H là ảnh đối xứng của O qua G.
Lập luận tương tự, năm mặt phẳng còn lại cũng đi qua H . Suy ra sáu
mặt phẳng trên đồng quy tại H .
Bài toán 2.1.3. Chứng minh rằng sáu mặt phẳng, mỗi mặt phẳng đi qua
trung điểm của mỗi cạnh của tứ diện và song song với mặt phân giác của
nhị diện cạnh đối diện thì đồng quy.
Bài giải. Gọi G và O lần lượt là trọng tâm và tâm mặt cầu nội tiếp tứ
diện ABCD, (Hình 2.3)
Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng
(M N O) cắt mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh (AB ) theo giao tuyến
OM . Giả sử OG cắt mặt phẳng qua N và song song với mặt phẳng nói
trên tại H , khi đó: M O ∥ N H và GO = GH.
Vậy H là ảnh đối xứng của O qua G, từ đó năm mặt phẳng cịn lại
đi qua H .
Bài toán 2.1.4. Chứng minh rằng bốn đường thẳng, mỗi đường đi qua
đỉnh của một tứ diện và tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện, đồng quy
khi và chỉ khi tích độ dài các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
Bài giải.
Xét điều kiện để hai đường thẳng tương ứng nối các đỉnh B và C của
tứ diện ABCD lần lượt với các tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác
ABC và ACD thuộc một mặt phẳng. (Hình 2.4)

11

Hình 2.3

Hình 2.4

Điều kiện đó tương đương với các phân giác của các góc ABD và
ACD cắt nhau trên cạnh AD của tứ diện. Điều kiện cuối cùng xảy ra khi
và chỉ khi:
BA AC
=
⇔ BA.CD = AC.BD.
BD CD
Lập luận tương tự để dẫn tới: Bốn đường thẳng, khơng có ba đường
nào nêu trong bài tốn là đồng phẳng, đơi một cắt nhau. Như thế chúng
đồng quy.
Bài toán 2.1.5. Một mặt phẳng cắt ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của
một tứ diện. Chứng minh rằng mặt phẳng này chia diện tích xung quanh
của tứ diện thành hai phần tương ứng tỷ lệ với các phần thể tích của tứ
diện do mặt phẳng này phân chia tứ diện khi và chỉ khi mặt phẳng nói
trên đi qua tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.


12

Bài giải.
Ta kí hiệu V, S, r lần lượt là thể tích, diện tích xung quanh và bán
kính mặt cầu nội tiếp tứ diện.(Hình 2.5)

Một phần của tứ diện được phân chia là hình chóp với đáy thuộc mặt
phẳng (α) cắt tứ diện. Ta lại kí hiệu V1 , S1 , r1 lần lượt là thể tích, diện
tích các mặt bên của hình chóp và bán kính mặt cầu có tâm thuộc đáy,
tiếp xúc với các mặt bên. Đáy của hình chóp đi qua tâm mặt cầu nội tiếp
tứ diện khi và chỉ khi r = ri .

Hình 2.5

1
1
Từ cơng thức: V = S.r; V1 = S1 .r1 và điều kiện bài toán, suy ra :
3
3
S
V − V1
S − S1
V
=
⇔
=
V1 S 1
V1
S1

(2.1)

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài tốn 2.1.6. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh DA, DB, DC lấy một
cách tùy ý các điểm A′ , B ′ , C ′ . Xét các điểm P1 , P2 , P3 lần lượt thuộc các
đoạn thẳng AB, BC, CA và các điểm P1′ , P2′ , P3′ lần lượt thuộc các đoạn

A′ B ′ , B ′ C ′ , C ′ A′ sao cho:

AP3 A′ P3 AA′ P1 B P1 B ′ BB ′ P2 C P2 C ′ CC ′
=
;
= ′ =
;
= ′ =
.
′ =
BP3 B ′ P3 BB ′ P1 C P1 C ′ CC ′ P2 A P2 A′ AA′
′

′

′

(2.2)

Chứng minh rằng
a) Các đường thẳng AP1 , BP2 , CP3 cắt nhau tại một điểm P và A′ P1 ,
′
′
B ′ P2 , C ′ P3 cắt nhau tại P ′ .
′


13

b) Nếu các điểm A′ , B ′ , C ′ thay đổi trên các cạnh DA, DB, DC thì P P ′

luôn luôn song song với một đường thẳng cố định.
Bài giải.
a) Từ giả thiết suy ra

P A′ P B ′ P C ′
P3 A P 1 B P2 C
.
.
= 3′ ′ . 1′ ′ . 2′ ′ = 1 .
P3 B P1 C P2 A
P3 B P 1 C P2 A
′

′

′

(2.3)

Do đó theo định lý Ceva thì P1 A, P2 B, P3 C đồng quy tại điểm P ,
′
′
′
còn P1 A′ , P2 B ′ , P3 C ′ đồng quy tại P ′ .
b) Ta sử dụng định lý Menelaus trong △BCP3 với cát tuyến AP P1 và
kết quả câu a) ta tính được:

CC ′ CC ′
P C P2 C P 1 C
+

=
+
=
P P 3 P2 A P1 B
BB ′ AA′

(2.4)

Hồn tồn tương tự ta cũng có

PC
P ′C ′
= ′ ′
P P3
P P3

(2.5)

Dựng các hình bình hành AA′ P3 E và BBP3′ F , từ giả thiết suy ra ba
′
điểm E, P3 , F thẳng hàng. Trong △P3 EF có:
′

P ′E
P3 E
= 3′ ⇒ P3′ P
P3 F
P3 F
′
̂

là phân giác của góc EP
3 F và song song với phân giác DD3 của
△DAB . Mặt khác từ (2.5) suy ra tồn tại duy nhất 3 mặt phẳng
α, β, γ song song với nhau sao cho:

P3 P3 ⊂ α, P P ′ ⊂ β, CC ′ ⊂ γ.
′

Do đó P3 P3 không song song với CC ′ và P3 P3 // DD3 suy ra (γ )trùng
mặt phẳng (CDD3 ) và P P ′ //(CDD3 ).
′

′

̂ trong tam giác DBC , thì
Nếu gọi DD1 là phân giác của góc BDC
hồn tồn tương tự ta cũng có P P ′ ∥ (ADD1 ). Vậy P P ′ song song
với giao tuyến của 2 mặt phẳng (ADD1 ) và (ADD3 ) cố định .


14

Bài toán 2.1.7. Trên các cạnh AB, AC, AD của khối tứ diện ABCD
cho trước, với mỗi giá trị n ∈ N ta lấy các điểm Kn , Ln , Mn tương ứng
sao cho:

AB = n.AKn , AC=(n+1)ALn , AD=(n+2)AMn .
Chứng minh rằng: Tất cả các mặt phẳng (Kn Ln Mn ) cùng đi qua một
đường thẳng.
Bài giải.

Ta sẽ chứng minh rằng tất cả các đường thẳng Kn Ln với n ∈ N đi
qua điểm O cố định nằm trên đường thẳng đi qua đỉnh A và song song với
đường thẳng BC.
Thật vậy, nếu đường thẳng Kn Ln cắt đường thẳng BC tại P (nằm
trên tia CB ), thì từ sự đồng dạng của các tam giác tương ứng ta có :

BKn
CLn
PC
PB
=
=
= n−1 ,
= n.
OA
AKn
OA
ALn
Từ đó ta có OA = nOA − (n − 1).OA = P C − P B = BC.
Tương tự ta chứng minh được rằng tất cả các đường thẳng Ln Mn với
n ∈ N đi qua điểm cố định Q nằm trên đường thẳng đi qua đỉnh A và song
song với đường thẳng CD. Suy ra tất cả các mặt phẳng (Kn Ln Mn ) với
n ∈ N cùng đi qua đường thẳng OQ.
Bài toán 2.1.8. Cho tứ diện ABCD bất kỳ. Chứng minh rằng:
1) Bốn đường thẳng trung tuyến và 3 đường trung bình của tứ diện
ABCD gặp nhau tại G (G là trọng tâm tứ diện).
2) Gọi GA , GB , GC , GD là trọng tâm của các mặt đối diện với các góc
A, B, C, D chứng minh rằng:

GGA GGD GA GD 1

=
=
=
GA
GD
DA
3

(2.6)

(G là trọng tâm tứ diện).
Bài giải.
1) Ta gọi GD là trọng tâm ∆ABC , nối AGD kéo dài và cắt BC tại A′ ,
nối CGD kéo dài và cắt AB tại C ′ , ta có các trung tuyến AA′ , CC ′
và DGD là trung tuyến của tứ diện. Gọi GA là trọng tâm △BCD,
nối CGA suy ra CGA ∩ DB = C ′′ . Gọi CGA ∩ DGD = G. Tương tự ta


15

Hình 2.6

gọi GB là trọng tâm △ADC, GC là trọng tâm △ADB . Vì vai trị của
AGA , BGB , CGC , DGD cắt nhau từng đôi một, mà chúng không
đồng phẳng, suy ra bốn trung tuyến đồng quy tại G.(Hình 2.6)
Gọi B là trung điểm AD, ta phải chứng minh B, G, A′ thẳng hàng.
Thật vậy ta có B, G, A′ thuộc mặt phẳng (AA′ D), ta lại có B, G, A′
thuộc mặt phẳng (BCB). Gọi A là trung điểm của DC , hoàn toàn
tương tự ta cũng chứng minh được A, G, C ′ cũng thẳng hàng, suy ra
B, C ′ , A′ , A đồng phẳng.

Mà ta lại có:

1
1
C ′ A′ ∥= AC và A′′ B ′′ ∥= AC ⇒ C ′ A′ = B”C”.
2
2
Vậy suy ra G là trung điểm A′ B ′′ và C ′ A′′ .
Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được các cặp còn lại.
Vậy bốn đường thẳng trung tuyến và 3 đường trung bình của tứ diện
ABCD gặp nhau tại G.
2) Nối GA GD , (Hình 2.7) ta có

A′ GA A′ GD GA GD 1
= ′ =
= .
A′ D
AA
DA
3
Bài toán 2.1.9. Chứng minh rằng các mặt phẳng phân giác của nhị diện
của tam diện cắt nhau theo một đường thẳng (đồng trục).
Bài giải.(Hình 2.8)


16

Hình 2.7

Xét tam diện Oxyz mặt phẳng phân giác αx của nhị diện cạnh Ox là

quỹ tích (tập hợp) những điểm cách đều hai mặt phẳng (Oxy ) và (Oxz ).
Mặt phẳng phân giác (αz ) của nhị diện cạnh Oz là quỹ tích những điểm
cách đều hai mặt phẳng (Ozy ) và (Ozx).

Hình 2.8

Hai mặt phẳng phân giác (αx ) ∩ (αz ) = Ot. Vậy Ot là quỹ tích những
điểm cách đều.
Bài tốn 2.1.10. Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua cạnh của góc tam
diện và đi qua các phân giác của góc các mặt đối thì cắt nhau theo một
đường thẳng.
Bài giải.
Xét tam diện Oxyz .(Hình 2.9) Trên tia Ox, Oy, Oz lấy A, B, C sao
cho OA = OB = OC . Gọi A′ là trung điểm của BC, C’ là trung điểm của
AB.


17

Hình 2.9

̂ , C ′ là chân đường
Suy ra A′ là chân đường cao, phân giác của yOz
̂ , Nối CC ′ ; AA′ ta có CC ′ cắt AA′ tại H . Suy ra
cao, phân giác của xOy
BH cũng là trung tuyến; BH cắt AC tại B ′ (AB ′ = B ′ C ) suy ra OB ′
cũng là phân giác (vì tam giác AOC cân tại O). Vậy suy ra OH là trục
của 3 mặt phẳng.

2.2

Các định lý về khối tứ diện

Định lý 2.2.1. (Định lý Ceva) Trong không gian cho tứ diện ABCD.
Gọi X là điểm trên AB , Y là điểm trên BC , Z là điểm trên CD và W là
điểm trên DA. Bốn mặt phẳng (AZB ), (BW C ), (CXD) và (DY A) cắt
nhau tại một điểm khi và chỉ khi

AX BY CZ DW
.
.
.
= 1.
XB Y C ZD W A

(2.7)

Chứng minh.
Gọi A′ = BZ ∩ DY, C ′ =BW ∩ DX. (Hình 2.10) Khi đó

(AZB ) ∩ (AY D) = AA′ , (CXD) ∩ (DYA)=CC ′ .

Dựng mặt phẳng chứa cả AA′ và CC ′ . Gọi T = AC ′ ∩ CA′ . Áp dụng định
lý Ceva cho tam giác ADB và tam giác CDB ta nhận được kết quả sau:

AW DT BX
BT DZ CY
.
.
= 1,

.
.
= 1.
W D T B XA
T D ZC Y B
Nhân hai vế đẳng thức trên ta có
AW DT BX BT DZ CY
AX BY CZ DW
.
.
.
.
.
=1⇔
.
.
.
= 1.
W D T B XA T D ZC Y B
XB Y C ZD W A


18

Hình 2.10

∎
Định lý 2.2.2. (Định lý Ptolemy)
Với mỗi khối tứ diện ABCD ta có các bất đẳng thức :

AB.CD < AC.BD + AD.BC
AC.BD < AB.CD + AD.BC
AD.BC < AC.BD + AB.CD

(2.8)
(2.9)
(2.10)

Chứng minh.

Hình 2.11

Trong mặt phẳng (BCD) ta lấy điểm E sao cho B và E khác phía
với đường thẳng CD và AC = CE, AD = DE . (Hình 2.11)


19

Từ đó ta có ∆ACD = ∆ECD. Suy ra AP = P E , trong đó P là giao
điểm của BE và CD. Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác BCED,
ta có BE.CD ≤ CE.BD + BC.DE .
Mặt khác

AB.CD ≤ (AP +P B ).CD = AP.CD+AP.CD = P E.CD+P B.CD = BE.CD.
Vậy

AB.CD ≤ BE.CD ≤ CE.BD + BC.DE = AC.BD + AD.BC.
Ngồi ra dấu đẳng thức khơng xảy ra.
Hồn tồn tương tự cho các cặp cịn lại

AC.BD < AB.CD + AD.BC
AD.BC < AC.BD + AB.CD.
∎
Bài toán 2.2.3. (Omlypic 30/4, Việt Nam 2000) Cho hình chóp tam giác
ABCD. Giả sử các trung tuyến của các tam giác ABC, ABD, ADC kẻ từ
A tạo với những cạnh đáy BC, BD, CD các góc bằng nhau. Chứng minh
diện tích một mặt bên của hình chóp nhỏ hơn tổng diện tích các mặt bên
cịn lại.
Bài giải. (Hình 2.12)

Hình 2.12

Gọi α là góc tạo bởi các trung tuyến AM, AK, AL với các cạnh đáy
BC, DC, BD. Vì vai trị của các mặt bên là như nhau nên ta chỉ cần chứng
minh diện tích SABC < SACD + SABD . Thật vậy, áp dụng định lý Ptolemy


20

(2.9) cho tứ diện AM KL ta có AM.KL < AK.M L + AL.M K . Bất đẳng
thức trên tương đương với các bất đẳng thức

AM.BC < AK.DC + AL.BD
⇔ AM.BC. sin α < AK.DC. sin α + AL.BD. sin α
⇔ SABC < SACD + SABD .
Bài toán 2.2.4. (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, số 264)
Trên cạnh CD của hình tứ diện ABCD lấy điểm N (N khác C, D).
Ký hiệu c(XY Z ) là chu vi tam giác XY Z . Chứng minh rằng

N C.c(DAB ) + N D.c(CAB ) > CD.c(N AB ).

Bài giải. Xét bất đẳng thức Ptolemy (2.9) cho bốn bộ điểm (N, A, C, D)
và (N, C, B, D) ta có:

N C.DA + N D.CA > CD.N A,
N C.DB + N D.CB > CD.N B.

(2.11)
(2.12)

Mặt khác, vì N thuộc đoạn CD nên N C + N D = CD. Do đó

N C.AB + N D.AB = CD.AB.

(2.13)

Cộng theo vế ba đẳng thức (2.11), (2.12) và (2.13) ta được bất đẳng thức
cần chứng minh.
Định lý 2.2.5. (Công thức Crelle)
Với mỗi khối tứ diện ABCD đều tồn tại ít nhất một tam giác mà số
đo các cạnh của nó bằng tích số đo các cặp đối của tứ diện đó. Hơn nữa,
nếu gọi V là thể tích, R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
thì ta có cơng thức số đo
S = 6V.R
(2.14)
Bổ đề 2.2.6. Cho tứ diện ABCD với BC = a; AD = m; AC = b; BD =
n; AB = c; CD = p. Ta có thể lấy am, bn, cp là độ dài ba cạnh của tam
giác.
Chứng minh. (Hình 2.13)
Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Kẻ OO1 ⊥ (ABCD),
thì O1 là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC . Gọi π là tiếp diện của mặt

cầu ngoại tiếp nói trên tại A, tức là OA ⊥ (π ).
Giả sử (π ) ∩ (ABC ) = Ax. Do OA ⊥ (π ) ⇒ OA ⊥ Ax, vì thế theo
định lý ba đường vng góc suy ra Ax ⊥ OO1 ⇒ Ax là tiếp tuyến với
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại A (tiếp tuyến này nằm trong (ABC )) .