Chuyên đề: Hằng đẳng thức và ứng dụng – Toán lớp 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (403.12 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề hằng đẳng thức và ứng dụng

Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG

A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức

1. Bình phương của một tổng:





2 2 2

2AB B
A

B

A    =



AB



24AB
2. Bình phương của một hiệu:



 



2 2 2

2AB B
A

A
B
B

A      =



AB



24AB

3. Hiệu của hai bình phương: A2 B2 



AB



AB



4. Lập phương của tổng:



AB



3  A33A2B3AB2B3  A3B33AB



AB



5. Lập phương của hiệu:



AB



3  A33A2B3AB2B3  A3B33AB



AB



6. Tổng hai lập phương: A3B3 



AB





A2ABB2







AB



33AB.(AB)
7. Hiệu hai lập phương: A3 B3 



AB





A2 ABB2



(AB)3 3AB.(AB)
* Một số hằng đẳng thức tổng quát

1. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)

2. a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)
3. a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k) 
4. (a + b)n = an + nan-1b +

2
.
1

)
1
(n
n

an-2b2+…+

2
.
1

)
1
(n
n

a2bn-2 +nabn-1 + bn
5. (a -b)n = an - nan-1b +

.
1

)
1
(n
n

an-2b2-

…-2
.
1

)
1
(n
n

a2bn-2 +nabn-1 - bn

Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :



ABC



2  A2B2C22



ABBCAC





ABC



3  A3B3C33



AB



.BC



. AC



3. 2



A2B2







AB

 

2 AB





A2B2



.X2 Y2







AX BY

 

2 AX BY



Bài tập 2. Tính :

a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
Giải
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)

A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005

A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

B =(232 - 1)(232 + 1) – 264
B = 264 – 1 – 264

B = - 1

* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 
a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x2 + 8x

c/ C = - 2x2 + 8x – 15

Giải
a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.

b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16
Dấu “ =” xảy ra  x – 4 = 0  x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.

c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7
Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
 * Chú ý:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần: 
- Chứng minh A > m với m là một hằng số. 
- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA ) 
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần: 
- Chứng minh A < t với t là một hằng số.

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )

Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c

Giải
( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )

a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac
a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0

2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0

( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0
( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0

( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0
a = b hay b = c hay c = a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chuyên đề hằng đẳng thức và ứng dụng
* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Bài tập 5. Chứng minh rằng:
a/ 7.52n + 12.6n  19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1  133 ( n N)

Giải

a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n  19

Vì ( 25n – 6n )  ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n )  19 và 19.6n  19 
Vậy 7.52n + 12.6n  19 ( n N)

b/ 11n+2 + 122n+1  133 = 112 . 11n + 12.122n

= 12.( 144n – 11n) + 133.11n  133
Vì (144n – 11n)  (144 – 11) nên (144n – 11n)  133

* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1) do đó (an – bn)  (a- b)

Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải

2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

 (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0
 ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0

 ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0
x = - 5 ; y = -3; z = 8

* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Bài tập 7: Cho x = 
1
số
chữ

n
15
...

11 ; y = 

1
số
chữ

n
19
...

11 . Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.

Ta có : y = 

1
số
chữ

n
19

...

11 = 

1
số
chữ

n
15
...

11 + 4 = x + 4

Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
hay xy + 4 = 

1
số
chữ
n

17
...

11 là số chính phương.

B. Ứng dụng hằng đẳng thức

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

= [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)

= (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c)
= (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab)
= (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
=

2
1

(a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]

Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
=>

2
1

(a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0

=> 














0
)
(
)
(
)
(

2
2

c
a
c
b
b
a

c
b
a

=> 










c
b
a

c
b

a 0

Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán: 
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.

Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình 
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.

DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ

Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử.
Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)

Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử.

Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3
Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:

(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2)
Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử

(x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3.
= (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chuyên đề hằng đẳng thức và ứng dụng
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.

(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3
Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c.
=>x+y+z = a+b+c

=>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:

Bài 1: Cho 1 11 0

z

y

x tính P = 2 2 y2

zx
x
yz
z
xy


Từ 1 11 0

z
y

x => x y z xyz

3
1
1
1
3
3

3   

=> P = 2 2 2 3 3 3 13 13 13 3 3















xyz
xyz
z
y
x
xyz
y
xyz
x
xyz
z
xyz
y
zx
x
yz
z
xy

Bài 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = 




 





 





 
a
c
c
b
b
a
1
1
1

Từ a3 + b3 + c3 = 3abc =>









c
b
a
c
b
a 0

Nếu a+b+c = 0 thì A =   . . 1





 





 






 

b
c
a
b
c
c
c
a
c
c
b
b
b
a

Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8
=> A có 2 giá trị: -1 và 8

Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2. Tính P = 




 






 







x
z
z
y
y
x
1
1
1

Đặt a= xy, b = yz, c =zx.

Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => 








c
b
a
c
b
a 0

Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz

P =



 



xy
y
z
x
zx
x
z
y
yz
z
y
x
x
x
z
z
z

y
y
y
x
x
z
x
y
y

x    






 





 





 







 





 







 1 1 . .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8

Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3
Ta biến đổi b-c = b-a+a-c

Ta được A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c).

Vì a+b+c=0 -> A=0

Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B =

xzy
z
y
x



 3 3
3

vì x+y+z=0 => x3+y3+z3 = 3xyz => B = 3 3

3
3
3










xyz

xyz
xyz

z
y
x

Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c 0 tính giá trị biểu thức. M=





2
2
2

c
b
a




ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 0







 





0
2

1 2 2 2









b c a b b c c a
a

Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = 0 => a=b=c

=> M =

 

1
9
3

3 2

2
2
2






a
a
a

Bài 7: Cho a+b+c=0 (a  0; b 0; c  0) tính giá trị biểu thức

A =

2 2 2

a b c

cbcaab; B= 2 2 2

2
2

b
a
c

c
a

c
b

b
c

b
a

a











Ta có A =

abc
c
b
a3 3 3

vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc

A = 3abc 3

abc 

B = 2 2 2

2
2

b
a
c

c
a

c
b

b
c

b
a

a











Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab 
TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac

Nên B=

abc
c
b
a
ab
c
ac
b
bc
a

a

2
2

3
3
3
2
2

2  




</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chuyên đề hằng đẳng thức và ứng dụng
-> B =

2
3
2

3 

abc
abc

Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức:

A = a b b c c a

c a b

  

   

 

  











 c a

b
c
b

a
b
a

c

Đặt B =

b
a
c
a

c
b
c

b

a 






Ta có B . 







   











   





 ab

a
ac
bc
b
b
a

c
b

a
c

a

c
b
b
a

c
b

a

c 2

.
1

= 1 +







abc
c
ab

c
ab

b
a

c
b
a
b
a

c 2 2 3

1
.
2
1

.       



Tương Tự . B . 1 2 ;

abc
a
c

b
a




 B. ;

2
1

abc
b
a

c
b





Bậy A =





abc
c
b
a
abc

b
abc

a
abc

c3 3 3 3 3 3

3
2
1
2
1
2

1     

Vì a+b+c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 +2.3 9

abc
abc

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3.

(3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = 0
=> (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = 0 =>

=> Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = 0 =>

Áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0 
=>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2

Vì x;y Z ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1)..2(-1)

chỉ xảy ra trường hợp


















1
2
.

2
2

y
x











1
0

y
x

Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vơ nghiệm
KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

x3 +y3+z3- 3xyz=1

Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 <=>

(x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1

Ta xét x2+y2+z2-xy-xz=

2
1

[(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ]  0 nên chỉ có thể xảy ra
















)
2
(
1
)

1
(
1

2
2
2

zx
yz
xy
z
y
x

z
y
x

Từ 1 ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 1 3 
Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0 <2-3>

Nên x2 +y2 + z2 = 1
giả sử x2  y2 z2
=>z = 0; y = 0; x = 1

Nếu 












0
0
1

z
y
x

khơng t/m

Nếu 











0
0
1

z
y
x

T/m phương trình

và TH: 











0
1
0

z
y
x

và










1
0
0

z
y
x

DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC

Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc.
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Ta có a3 +b3+c3 = 3abc 











c
b
a

c
b

a 0

Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0)
=> ABC Là tam giác đều.

Bài 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a3+b3+c3+d3 = 3 (d+c) (ab-cd)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chuyên đề hằng đẳng thức và ứng dụng
=3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b)

= 3(c+d)(ab-cd)

Bài 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)
từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z)5= -x5.

=>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5
=>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = 0

=>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0 
=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= 0 
=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 0 
2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm.

C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất

Bài tập 1 : Cho ab0, biết

a/ 3a2 3b2 10ab. Tính

b
a

b
a
P





b/ 2a2 2b2 5ab. Tính

b
a

b
a
Q





a. Xét

4
1
6
10

6
10
6

3
3

6
3
3
2

2
2

2
2
2

2
2

2 





























ab
ab

ab
ab
ab

b
a

ab
b

a
b
ab
a

b
ab
a

b
a

P . Mà

2
1

0 

 P

P
b. ( Tương tự ) Xét E2 9E 3

Bài tập 2:

a/ Cho abc0và a2 b2 c2 14. Tính Aa4 b4 c4

b/ Cho xyz 0 và x2  y2 z2 a2. Tính Bx4 y4 z4theo a

a/ Ta có: 142 



a2 b2 c2



2 a4 b4 c4 1962



a2b2b2c2c2a2



Ta có:





2
0

2
2
2
2

















b c a b c ab bc ac a b c
a



 



2 49 2 2 2 2 2 22 (   )49 2 2 2 2 2 2 49

 ab bc ac a b b c a c abca b c a b b c a c

Vậy Aa4 b4 c4 1962.4998

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>



 



2
2

4
4

2
2
2
2
4
4
4
2

2
2
2
2
2

4
4

4 a

B
a
z

y
x
z
y
x
z

x
z
y
y
x
z
y

x              



Bài tập 3: Cho x0và a

x

x1  . Tính các biểu thức sau theo a

2 1

x
x

A  3 13

x
x

B  6 16

x
x

C  7 17

x
x

D 

Dể dàng chứng minh được, khi n>1, ta có: 






 







 






 


  




1
1

1 1 1 1 1

n
n
n

n
n

n

x
x
x
x
x
x
x

x

Ta tính được Aa2 2 Ba3 3a C a6 6a4 9a2 2 Da7 7a1514a3 7a

Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số

a/ a2



bc



b2



ca



c2



ab



b/ a3 4a2 29a24à

c/ x4 6x3 7x2 6x1

d/ x3 6x2 11x6



x1



. x3



. x5



. x7



15



xy

 

3 yz

 

3 zx



3
Gợi ý:

a/ Thay bc(ca)(ab)

Sau khi thay, ta được



ab





c2 a2







ca





b2 a2







ab



ca





ca

 

 ba









ab



ca



cb



b/ Đáp số:



a1



a3



a8



c/ Đáp số:



x2 3x1



2
d/ Đáp số:



x1



x2



x3



e/ Đáp số:



2 8 10





6



. 2



x
x
x

x

f/ Đặt xya yzb zxc





3 3

0 a b c a b c

c
b

a        





a b



c a b c ab a b abc

ab
b

a3  3 3   3  3  3 3 3 (  )3





x y



y z



z x



</div>

Chuyên đề: Hằng đẳng thức và ứng dụng – Toán lớp 8

<b>Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG </b>

<b>A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức </b>











 











































































 











 



<b>B. Ứng dụng hằng đẳng thức </b>



 

 













 

 





 











<b>C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất </b>









