Chuyên đề Bất Đẳng Thức bồi dưỡng Toán 9

một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Phơng pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta chứng minh A B > 0
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M
2


0 với M
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x
2
+ y
2
+ z
2


xy+ yz + zx
b) x
2
+ y
2
+ z
2

2xy 2xz + 2yz

c) x
2
+ y
2

+ z
2
+3

2 (x + y + z)
Giải: a) Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z
2
- xy yz zx =
2
1
.2 .( x
2
+ y
2
+ z
2
- xy yz
zx)
=
2
1
[ ]
0)()()(
222
++ zyzxyx
đúng với mọi x;y;z

R
Vì (x-y)
2


0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y; (x-z)
2


0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra
khi x=z
(y-z)
2


0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x
2
+ y
2
+ z
2


xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z

2
- ( 2xy 2xz +2yz ) = x
2
+ y
2
+ z
2
- 2xy +2xz 2yz
=( x y + z)
2
0

đúng với mọi x;y;z
R
Vậy x
2
+ y
2
+ z
2

2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
R
. Dấu bằng xảy ra khi
x+y=z
c) Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z

2
+3 2( x+ y +z ) = x
2
- 2x + 1 + y
2
-2y +1 + z
2
-2z +1
= (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(z-1)
2

0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)
2
22
22






+

+ baba

; b)
2
222
33






++

++ cbacba
c) Hãy tổng quát bài toán
Giải: a) Ta xét hiệu
2
22
22






+

+ baba
=
( )
4

2
4
2
2222
bababa ++

+
=
( )
abbaba 222
4
1
2222
+

=
( )
0
4
1
2
ba
. Vậy
2
22
22

+

+ baba
; Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu:
2
222
33






++

++ cbacba
=
( ) ( ) ( )
[ ]
0
9
1
222
++ accbba
Vậy
2
222

33






++

++
cbacba
; Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát:
2
21
22
2
2
1







+++

+++
n

aaa
n
aaa
nn
phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng
thức đã đợc chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
( )
2
2 2
2A B A AB B = +
1

( )
BCACABCBACBA 222
222
2
+++++=++

( )
3
3 2 2 3
3 3A B A A B AB B = +
Ví dụ 1:Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng: a)
ab
b
a +
4
2

2
b)
baabba ++++ 1
22
c)
( )
edcbaedcba +++++++
22222
Giải: a)
ab
b
a +
4
2
2
abba 44
22
+
044
22
+ baa

( )
02
2
ba
(bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy
ab
b

a +
4
2
2
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b)
baabba ++++ 1
22
)
)(21(2
22
baabba ++>++

012122
2222
+++++ bbaababa

0)1()1()(
222
++ baba
Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy
baabba ++++ 1
22
. Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c)
( )
edcbaedcba +++++++
22222

( ) ( )
edcbaedcba +++++++ 44
22222



( ) ( ) ( ) ( )
044444444
22222222
+++++++ cacadadacacababa


( ) ( ) ( ) ( )
02222
2222
+++ cadacaba
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :
3
4
1
1
1
1

+
+
+ ba
Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng ;

3(a + 1 + b + 1)

4(a + 1) (b + 1) 9

4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)
9

4ab + 8 1

4ab (a + b)
2


4ab
Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x>y Chứng minh
yx
yx

+
22

22
Giải: Ta có:
yx
yx

+
22

22
vì : x

y nên x- y

0

x
2
+y
2


22
( x-y)


x
2
+y
2
-
22
x+
22
y

0

x

2
+y
2
+2-
22
x+
22
y -2

0

x
2
+y
2
+(
2
)
2
-
22
x+
22
y -2xy

0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y-
2
)

2


0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Giải : Ta có : a
3
+ b
3
+ ab


2
1
<=> a
3
+ b
3
+ ab -
2
1

0
<=> (a + b)(a
2
- ab + b
2
) + ab -
2
1


0 <=> a
2
+ b
2
-
2
1

0 . Vì a + b = 1
2a
2
+ 2b
2
- 1

0 2a
2
+ 2(1-a)
2

- 1

0 ( vì b = a -1 ) 4a
2
- 4a + 1

0 ( 2a - 1 )
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a
3
+ b
3
+ ab


2
1
2
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =
2
1
Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc
A/ một số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a)
xyyx 2
22

+
b)
( )
xyyx 4
2
+
c)
2
+
a
b
b
a
2)Bất đẳng thức Cô sy:
n
n
n
aaaa
n
aaaa


321
321

++++
Với
0>
i
a

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski:
( )
( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
2

nnnn
xaxaxaxxaaa
+++++++++
4) Bất đẳng thức Trê- b-sép:
Nếu





CBA
cba

3
.
33
CBAcbacCbBaA ++++

++
Nếu





CBA
cba



3
.
33
CBAcbacCbBaA ++++

++
. Dấu bằng xảy ra khi



==
==
CBA

cba
b/ Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a)

8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:
( )
xyyx 4
2
+
Tacó
( )
abba 4
2
+
;
( )
bccb 4
2
+
;
( )
acac 4
2
+


( )
2
ba +

( )
2
cb +
( )
2
ac +

( )
2
222
864 abccba =

(a+b)(b+c)(c+a)

8abc
Dấu = xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng:

2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a

Giải: áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c)
)(2 cba +

cba
a
cb
a
++

+
2
Tơng tự ta thu đợc :
cba
b
ac
b
++

+
2
,
cba
c
ba
c
++

+
2
Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :

a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dơng ).
Từ đó suy ra :
2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Ví dụ 2 : Cho x , y là 2 số thực thoả mãn :

x
2
+ y
2
=
22
11 xyyx +
Chứng minh rằng : 3x + 4y

5
Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :
(x
2
+ y
2

)
2
= (
22
11 xyyx +
)
2
(
1x
;
1y
)


(x
2
+ y
2
)(1 - y
2
+ 1 - x
2
) => x
2
+ y
2


1
Ta lại có : (3x + 4y)

2


(3
2
+ 4
2
)(x
2
+ y
2
)

25 => 3x + 4y

5
3
Đẳng thức xảy ra







=
>>
=+
43
0,0

1
22
yx
yx
yx






=
=
5
4
5
3
y
x
. Điều kiện :
2
5
2
3
x
Ví dụ 3: Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a,
6+++++ accbba

b,
5,3111 <+++++ cba
Giải : a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )






++++++++++++
222
1111.1.1. accbbaaccbba
=>
( )
6)22.(3
2
=+++++++ acbaaccbba
=>
6+++++ accbba
.
Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :
1
22
1)1(

1 +=
++
+
aa
a
Tơng tự :
1
2
1 ++
b
b
;
1
2
1 ++
c
c
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :
5,33
2
111 =+
++
+++++
cba
cba
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
Vậy :
5,3111 <+++++ cba
Ví dụ 4 : Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
9

111
++
cba
Giải : Ta có :
0>+
a
b
b
a
, a , b > 0
Ta có :
=++
cba
111
)
111
(
cba
++
.1 =
)
111
(
cba
++
.(a + b + c)
=
111 ++++++++
b
c

a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
=
++++++ )()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
9
111
++
cba

Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
Ví dụ 5: Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng :
yxyx +
+
411

Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xyyx 2+

yx
11
+



xy
2
=> (x + y)(
yx
11
+
)

4 =>
yx
11
+

yx +
4
4
Ví dụ 6: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

222222
)()( dcbadbca ++++++
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd

2222
. dcba ++
mà
( ) ( ) ( )
2222
22
2 dcbdacbadbca +++++=+++
( )
22222222
.2 dcdcbaba ++++++

222222
)()( dcbadbca ++++++
Ví dụ 7: Chứng minh rằng:
acbcabcba ++++
222
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có

( )
( )
2
222222
.1.1.1)(111 cbacba ++++++


3
( )
( )
acbcabcbacba +++++++ 2
222222


acbcabcba ++++
222
Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phơng pháp 4:dùng tính chấtcủa tỷ số
Kiến thức
1) Cho a, b ,c là các số dơng thì
a Nếu
1>
b
a
thì
cb
ca
b
a

+
+
>
b Nếu
1<
b
a
thì
cb
ca
b
a
+
+
<
2) Nếu b, d >0 thì từ

d
c
db
ca
b
a
d
c
b
a
<
+
+

<<

`
Ví dụ 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng:
21 <
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:
dcba
da
cba
a
cba
a
+++
+

<
++
<
++
1
(1)
Mặt khác :
dcba
a
cba
a
+++
>
++
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
dcba
a
+++
<
cba
a
++
<
dcba
da
+++
+
(3)
Tơng tự ta có:

dcba
ab
dcb
b
dcba
b
+++
+
<
++
<
+++
(4)

dcba
cb
adc
c
dcba
c
+++
+
<
++
<
+++
(5)

dcba
cd

bad
d
dcba
d
+++
+
<
++
<
+++
(6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có
21 <
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
điều phải chứng minh

5
Ví dụ 2 : Cho:
b
a
<
d
c
và b,d > 0 .Chứng minh rằng
b
a
<
d
c
db
cdab
<
+
+
22
Giải: Từ
b
a
<
d
c
22
d
cd
b
ab

<


d
c
d
cd
db
cdab
b
ab
=<
+
+
<
2222
Vậy
b
a
<
d
c
db
cdab
<
+
+
22
điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Cho a;b;c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a+b = c+d =1000

tìm giá trị lớn nhất của
d
b
c
a
+
Phơng pháp 5: Phơng pháp làm trội
Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn
hoặc tích hữu hạn.
(*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S =
n
uuu +++
21
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u
k
về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
1+
=
kkk
aau
Khi đó :
S =
( ) ( ) ( )
1113221

++
=+++
nnn
aaaaaaaa
(*) Phơng pháp chung về tính tích hữu hạn: P =

n
uuu
21
Biến đổi các số hạng
k
u
về thơng của hai số hạng liên tiếp nhau:
k
u
=
1+k
k
a
a

Khi đó P =
1
1
13
2
2
1

++
=
nn
n
a
a
a

a
a
a
a
a
Ví dụ 1 :Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng :
4
31

2
1
1
1
2
1
<
+
++
+
+
+
<
nnnn
Giải: Ta có
nnnkn 2
111
=
+
>
+

với k = 1,2,3, ,n-1
Do đó:
2
1
22
1

2
1
2
1

2
1
1
1
==++>++
+
+
+ n
n
nnnnn
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
( )
112
1

3
1
2

1
1 +>++++ n
n
Với n là số nguyên
Giải : Ta có
( )
kk
kkkk
+=
++
>= 12
1
2
2
21
Ta có: 1 > 2
( )
12

( )
232
2
1
>


( )
nn
n
+> 12

1
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có

( )
112
1

3
1
2
1
1 +>++++ n
n
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng
2
1
1
2
<

=
n
k
k

Zn

6
Giải: Ta có
( )

kkkkk
1
1
1
1
11
2


=

<
Ta có:
1
1

3
1
2
1
1
1
11

3
1
2
1
3
1

2
1
1
2
1
222
2
2
2
<+++


<
<
<
n
nnn
Vậy
2
1
1
2
<

=
n
k
k
Phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0; và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-

b| < c < b+a
Ví dụ 1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
a, a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải: a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có






+<<
+<<
+<<
bac
cab
cba
0
0
0

+<
+<
+<
)(
)(
)(
2
2
2
bacc
cabb
cbaa
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > b-c
222
)( cbaa >
> 0
b > a-c
222
)( acbb >
> 0

c > a-b
0)(
222
>> bacc
Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc

( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
bacacbcbaabc
bacacbcbacba
bacacbcbacba
+++>
+++>
>

222
222
2
2
2
2
2
2222
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam

giác) . Chứng minh rằng :
2
111


+

+
cpbpap
)
111
(
cba
++
Giải: Ta có : p - a =
0
2
>
+ acb
Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ;
áp dụng bất đẳng thức
yxyx +
+
411
ta đợc ;
cbpapbpap
4
)()(
411
=

+


+

7
Tơng tự :
acpbp
411


+

;
bcpap
411


+

=>
)
111
(4)
111
(2
cbacpcpap
++

+

+

=> điều phải chứng minh .
Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c. Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
Phơng pháp 7: đổi biến số
Ví dụ1: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :
2
3

+
+
+
+
+ ab
c
ac
b
cb
a
Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c =
2
zyx ++
=> a =
2
xzy +
, b =
2
yxz +
, c =

2
zyx +
Khi đó : VT =
ab
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
=
z
zyx
y
yxz
x
xzy
222
+
+
+
+
+
=
2
3

2
3
111
2
3
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
=+++++++
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng
9
2

1
2
1
2
1
222

+
+
+
+
+ abcacbbca
(1)
Giải: Đặt x =
bca 2
2
+
; y =
acb 2
2
+
; z =
abc 2
2
+

Ta có
( )
1
2

<++=++ cbazyx

(1)
9
111
++
zyx
Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
++ zyx
3.
3
xyz

++
zyx
111
3. .
3
1
xyz



( )
9
111
.

++++
zyx
zyx
Mà x+y+z < 1. Vậy
9
111
++
zyx
(đpcm)
Phơng pháp 8: dùng tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai
( )
cbxaxxf ++=
2
Nếu
0<
thì
( )
0. >xfa

Rx
Nếu
0=
thì

( )
0. >xfa

a
b
x
Nếu
0>
thì
( )
0. >xfa
với
1
xx <
hoặc
2
xx >
(
12
xx >
)

( )
0. <xfa
với
21
xxx <<
Ví dụ: Chứng minh rằng:
( )
036245,

22
>+++= yxxyyxyxf
(1)
Giải:Ta có (1)


( )
0365122
22
>++ yyyxx

( )
36512
2
2
+=

yyy
( )
2
2 2
4 4 1 5 6 3 1 1 0y y y y y= + + = <
Vậy
( )
0, >yxf
với mọi x,
Phơng pháp 9: dùng quy nạp toán học
8
Để chứng minh bất đẳng thức đúng với
0

nn >
ta thực hiện các bớc sau :
1 Kiểm tra bất đẳng thức đúng với
0
nn =
2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy
nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh
rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
4 kết luận BĐT đúng với mọi
0
nn >
Ví dụ1: Chứng minh rằng

nn
1
2
1

2
1
1
1
222
<+++

1; > nNn
(1)
Giải : Với n =2 ta có
2

1
2
4
1
1 <+
(đúng)
Vậy BĐT (1) đúng với n =2
Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh
BĐT (1) đúng với n = k+1
Thật vậy khi n =k+1 thì (1)


1
1
2
)1(
11

2
1
1
1
2222
+
<
+
++++
kkk
Theo giả thiết quy nạp

( )
1
1
2
1
11
2
)1(
11

2
1
1
1
2
2222
+
<
+
+<
+
++++
k
k
kkk


( )
k

k
kk
1
1
1
1
1
)1(
1

1
1
2
22
<
+
+
+
<
+
++



2
2
)1()2(
1
)1(
11

+<+<
+
++
kkk
k
k
k

k
2
+2k<k
2
+2k+1. Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)đợc
c/m.
Ví dụ2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n

3 thì : 2
n
> 2n + 1 (*)
Giải : + Với n = 3 , ta có : 2
n
= 2
3
= 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng
với n = 3 .
+ Giả sử (*) đúng với n = k (k

N ; k

3) , tức là : 2

k
> 2k + 1
ta phải chứng minh : 2
k+1
> 2(k + 1) + 1
hay : 2
k+1
> 2k + 3 (**)
+ Thật vậy : 2
k+1
= 2.2
k
, mà 2
k
> 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp )
do đó : 2
k +1
> 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0)
Vậy (**) đúng với mọi k

3 .
+ Kết luận : 2
n
> 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n

3 .
Ví dụ 3: Chứng minh rằng :
2
1
.

4
3
.
6
5

n
n
2
12


13
1
+n
(*) (n là số nguyên dơng )
Giải : + Với n = 1 , ta có : VT = VP =
2
1
. Vậy (*) đúng với n = 1 .
9
+ Giả sử (*) đúng với n = k

1 ta có :
2
1
.
4
3
.

6
5

k
k
2
12


13
1
+
k
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là :

2
1
.
4
3
.
6
5

k
k
2
12
.

+
+
)1(2
12
k
k

13
1
+
k
.
)1(2
12
+
+
k
k
do đó chỉ cần chứng minh :
13
1
+
k
)1(2
12
+
+
k
k

1)1(3
1
++k
dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có :
(2k + 1)
2
(3k + 4)

(3k + 1)4(k +1)
2

12k
3
+ 28k
2
+ 19k + 4

12k
3
+ 28k
2
+ 20k +4
k

0 . => (**) đúng với mọi k

1 .
Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dơng n .

Phơng pháp 10: Chứng minh phản chứng
Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết
hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là
điều trái ngợc nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0. CMR: a > 0, b>0, c>0
Giải : Giả sử a

0 thì từ abc > 0

a

0 do đó a < 0
Mà abc > 0 và a < 0

cb < 0
Từ ab+bc+ca > 0

a(b+c) > -bc > 0
Vì a < 0 mà a(b +c) > 0

b + c < 0
a < 0 và b +c < 0

a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0
Vậy a > 0 tơng tự ta có b > 0 , c > 0
Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c , d thỏa mãn điều kiện: ac

2.(b+d). Chứng minh rằng có ít nhất
một trong các bất đẳng thức sau là sai:
ba 4

2
<
,
dc 4
2
<
Giải : Giả sử 2 bất đẳng thức :
ba 4
2
<
,
dc 4
2
<
đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc
)(4
22
dbca +<+
(1)
Theo giả thiết ta có 4(b+d)

2ac (2)
Từ (1) và (2)


acca 2
22
<+
hay
( )

0
2
<ca
(vô lý)
Vậy trong 2 bất đẳng thức
ba 4
2
<
và
dc 4
2
<
có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3: Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng
Nếu x+y+z >
zyx
111
++
thì có một trong ba số này lớn hơn 1
Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1 =x + y + z (
zyx
111
++
) vì xyz
= 1
theo giả thiết x+y +z >
zyx
111
++
nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng. Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1


xyz > 1 (trái giả thiết). Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
10
các bài tập nâng cao
i / Dùng biến đổi tơng đơng
1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng:
( )
( )
8
2
2
22


+
yx
yx
Giải :Ta có
( ) ( )
22
22
22
+=+=+ yxxyyxyx
(vì xy = 1)


( )

( ) ( )
4.4
24
2
22
++=+ yxyxyx
Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với

( ) ( ) ( )
224
.844 yxyxyx ++


( ) ( )
044
24
+ yxyx


( )
[ ]
02
2
2
yx
BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy

1 .Chứng minh rằng:
xyyx +

+
+
+ 1
2
1
1
1
1
22
Giải : Ta có
xyyx +

+
+
+ 1
2
1
1
1
1
22

0
1
1
1
1
1
1

1
1
222









+

+
+








+

+ xyyyx


( )

( )
( )
( )
0
1.11.1
2
2
2
2

++

+
++

xyy
yxy
xyx
xxy


( )
( )
( )
( )
0
1.1
)(
1.1
)(

22

++

+
++

xyy
yxy
xyx
xyx


( ) ( )
( ) ( )
( )
0
1.1.1
1
22
2

+++

xyyx
xyxy

BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh
ii / dùng bất đẳng thức phụ
1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1. Chứng minh rằng:

3
1
222
++ cba
Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
Ta có
( ) ( )
( )
222
2
.111.1.1.1 cbacba ++++++


( )
( )
222
2
.3 cbacba ++++



3
1
222
++ cba
(vì a+b+c =1 ) (đpcm)
2) Cho a,b,c là các số dơng. Chứng minh rằng:
( )
9
111

.






++++
cba
cba
(1)
Giải : (1)


9111 ++++++++
a
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a


93

++






++






++
b
c
c
b
a
c
c
a
a

b
b
a
áp dụng BĐT phụ
2+
x
y
y
x
Với x,y > 0
Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng. Vậy
( )
9
111
.






++++
cba
cba
(đpcm)
Iii / dùng phơng pháp bắc cầu
So sánh 31
11
và 17
14

Giải : Ta thấy
11
31
<
( )
11
11 5 55 56
32 2 2 2= = <
Mặt khác
( )
14
56 4.14 4 14 14
2 2 2 16 17= = = <
Vậy 31
11
< 17
14
(đpcm)
iv/ dùng tính chất tỉ số
1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng :
2 3
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
11
Giải : Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có

a b a b a b d

a b c d a b c a b c d
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
(1)

b c b c b c a
a b c d b c d a b c d
+ + + + +
< <
+ + + + + + + +
(2)

d a d a d a c
a b c d d a b a b c d
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
(3)
Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :

2 3
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
(đpcm)
2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
Chứng minh rằng:

1 2
a b c
b c c a a b
< + + <
+ + +
Giải :Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0
Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
Từ (1)
2a a a a
b c a b c a b c
+
< =
+ + + + +
. Mặt khác
a a
b c a b c
>
+ + +
Vậy ta có
2a a a
a b c b c a b c
< <
+ + + + +
Tơng tự ta có
2b b b
a b c a c a b c
< <
+ + + + +

2c c c
a b c b a a b c
< <
+ + + + +
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :

1 2
a b c
b c c a a b
< + + <
+ + +
(đpcm)
V/ phơng pháp làm trội :
1) Chứng minh BĐT sau: a)
1 1 1 1

1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2n n
+ + + <
+
; b)
1 1 1
1 2
1.2 1.2.3 1.2.3 n
+ + + + <
Giải : a) Ta có

( ) ( )
( )
2 1 (2 1)
1 1 1 1 1

.
2 1 . 2 1 2 (2 1).(2 1) 2 2 1 2 1
k k
n n k k k k
+

= =
ữ
+ + +

Cho n chạy từ 1 đến k . Sau đó cộng lại ta có:
1 1 1 1 2 1
. 1
1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2 2 1 2n n n

+ + + = <
ữ
+ +


(đpcm)
b) Ta có:
( )
1 1 1 1 1 1
1 1
1.2 1.2.3 1.2.3 1.2 1.2.3 1 .n n n
+ + + + < + + + +

<
1 1 1 1 1 1

1 1 2 2
2 2 3 1n n n

+ + + + < <
ữ ữ ữ


(đpcm)
ứng dụng của bất đẳng thức
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
- Kiến thức : Nếu f(x)

m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m .
Nếu f(x)

M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M .
12
Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị .
Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đ-
ơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức
Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chú ý :
BABA ++

Xảy ra dấu '' = '' khi AB

0

0A
Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:B = a
3
+ b
3
+ ab ; Cho biết a và b thoả mãn: a +b =1
Giải: B = (a + b)(a
2
- ab + b
2
) + ab = a
2
- ab + b
2
+ ab = a
2
+ b
2

Ta có : 2(a
2
+ b
2
)

(a + b)
2
= 1 => a

2
+ b
2



2
1
Vậy min B =
2
1
khi a = b =
2
1
Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x
2
+ x)(x
2
+ x - 4)
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = - x
2
- y
2
+ xy + 2x +2y
Giải: a, A = (x
2
+ x)(x
2
+ x - 4) . Đặt : t = x
2

+ x - 2
=> A = (t - 2)(t + 2) = t
2
- 4

- 4
Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 x
2
+ x - 2 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0 x = -2 ; x = 1 .
=> min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;
b, Tơng tự
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
a, C =
1232 + xx
; b, D =
63
22
++++ xxxx

Giải : a, áp dụng BĐT :
BABA ++
Dấu '' = ''xảy ra khi AB

0 .
=> C =
2221322132 ==++ xxxx
Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x)

0
2

3
2
1
x

Vậy minC = 2 khi
2
3
2
1
x
b, Tơng tự : minD = 9 khi : -3

x

2
c, minE = 4 khi : 2

x

3
13
Bài 4 : Cho ba số dơng x , y , z thoả mãn :
x+1
1
+
y+1
1
+
z+1

1


2
Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz
Giải :
x+1
1


(1 -
y+1
1
) + ( 1 -
z+1
1
) =
y
y
+1
+
z
z
+1


2
)1)(1( zy
yz
++

Tơng tự :
y+1
1


2
)1)(1( zx
zx
++

z+1
1


2
)1)(1( yx
xy
++
Từ đó suy ra : P = xyz


8
1
. MaxP =
8
1
khi x = y = z =
2
1
Bài 5 : Cho 3 số dơng a, b, c thảo mãn : a + b + c =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F

=
222
)
1
()
1
()
1
(
c
c
b
b
a
a +++++
Giải: Ta có : F = (a
2
+ b
2
+ c
2
) + (
222
111
cba
++
) + 6
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có :
(a.1 + b.1 + c.2)
2

3(a
2
+ b
2
+ c
2
) => a
2
+ b
2
+ c
2



3
1
Tơng tự :
2
)
111
(
cba
++


3
)

111
(
222
cba
++
Mặt khác :
=++
cba
111
(
cba
111
++
).1 = (
cba
111
++
)(a + b + c)
= 3 + (
a
b
b
a
+
) + (
b
c
c
b
+

) + (
c
a
a
c
+
)

3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
cba
111
++


9 =>
2
)
111
(
cba
++


81 =>
)
111
(
222
cba

++


27 F

3
1
+ 27 + 6 = 33
Du '' = '' xy ra khi : a = b = c =
3
1
. Vy MinF = 33
3
1
khi : a = b = c =
3
1
.
B i 7 : Cho G =
xyz
zxyyzxxyz 321 ++
.Tỡm giỏ tr ln nht ca G.
Gii : Tp xỏc nh : x

1 ; y

2 ; z

3
Ta có : G =

x
x 1
+
y
y 2
+
z
z 3
Theo BT Cụsi ta cú :
2
11
1
+

x
x
=>
x
x 1

2
1

Tơng tự :
22
1
2


y

y
;
32
13


z
z
=> G


32
1
22
1
2
1
++
14
Vậy MaxG =
32
1
22
1
2
1
++
đạt đợc khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6
Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H =
1x

x
với x > 1 .
b. Tìm giá trị lớn nhất của K =
2
1. xx

HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 :
2 - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình .
Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến
đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình . Nếu
VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phơng trình có
nghiệm .
Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn => phơng trình vô nghiệm .
Bài 1 : Giải phơng trình : 13
1x
+ 9
1+x
= 16x
Giải: Điều kiện : x

1 (*)
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13
1x
+ 9
1+x
= 13.2.
1
2
1
x

+ 3.2.
1
2
3
+x

13( x - 1 +
4
1
) + 3(x + 1 +
4
9
) = 16x
Dấu '' = '' xảy ra





=+
=
2
3
1
2
1
1
x
x
x =

4
5
thoả mãn (*)
Phơng trình (1) có nghiệm dấu '' = '' ở (2) xảy ra. Vậy (1) có nghiệm x =
4
5
.
Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L =
32 x
+
x25
b. Giải phơng trình :
32 x
+
x25
- x
2
+ 4x - 6 = 0 (*)
Giải : a. Tóm tắt : (
32 x
+
x25
)
2


2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4

32 x
+

x25


2 => MaxL = 2 khi x = 2 .
b. TXĐ :
2
5
2
3
x
(*)
32 x
+
x25
= x
2
- 4x + 6
VP = (x - 2)
2
+ 2

2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
=> với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 . => phơng trình (*) có nghiệm x = 2 .
Bài 3 : Giải phơng trình :
x6
+
2+x
= x
2
- 6x + 13

Giải : TXĐ : -2

x

6.
VP = (x - 3)
2
+ 4

4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
VT
2
= (
x6
.1 +
2+x
.1)
2


(6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
=> VT

4 , dấu '' = '' xảy ra khi
x6
=
2+x
x = 2 .
15
=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm

Bài 4 : Giải phơng trình :
16123
2
+ xx
+
134
2
+ yy
= 5
HD:
16123
2
+ xx

2;
134
2
+ yy

VT

5. Dấu '' = '' xảy ra khi :



=
=
02
02
y

x




=
=
2
2
y
x

=> phơng trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .
3. Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên
Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh
hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc đợc các kiến thức về bất đẳng thức thì
mới vận dụng đợc .
Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên .
Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
zyx
111
++
= 2
Giải : Không mất tính tổng quát, ta giả sử x

y

z ta có : 2 =
zyx
111

++

z
3
=> 2z

3,
mà z nguyên dơng. Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phơng trình ta đợc :
1
11
=+
yx

Theo giả sử , x

y , nên 1 =
yx
11
+



y
2
; Do y nguyên dơng nên y = 1 hoặc y = 2 .
Với y = 1 không thích hợp. Với y = 2 ta có : x = 2 .
Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phơng trình .
Hoán vị các số trên , ta đợc nghiệm của phơng trình là: (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1 CMR : a) x

2
+y
2


1
2
; b) x
4
+y
4

1
8

Bài 2: Cho a,b, c, d ,e là các số thực CMR: a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
=a(b+c+d+e)
Bài 3: Cho hai số dơng x,y và x
3
+y
3

=x-y CMR: x
2

+y
2
<1
Bài 4: Cho hai số dơng x,y CMR :
3 3
3
( )
2 2
x y x y+ +

Bài 5: Cho ab
1
CMR:
2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
+
+ + +
Bài 6 : Cho 3 số x,y,z không âm sao cho x+y+z=a. CMR: (a-x)(a-y)(a-z)

8xyz
Bài 7: Cho a

0,b

0,c
0

. CMR: a
4
+b
4
+c
4

abc(a+b+c)
Bài 8: Cho x
2
+4y
2
=1 CMR:
5
2
x y
Bài 9: CMR: Nếu
1; 1a b< <
thì
1a b ab+ < +
Bài 10: CMRvới mọi số nguyên dơng n

3thì 2
n
> 2n+1
16