Một số phương pháp giúp học sinh trung bình, yếu trường THPT thường xuân 3 giải bài toán tính xác suất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH TRUNG BÌNH,
YẾU GIẢI BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT KHỐI 11 THPT

Người thực hiện: Nguyễn Trọng Hạnh
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác:Trường THPT Thường Xuân 3
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2021


MỤC LỤC
1. Mở đầu.......................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài.....................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu...............................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu..............................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................1
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm ………………………… 2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.............................................................3
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm................................................3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi sử dụng sáng kiến.......................................4
2.3. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề......................................4
2.3.1. Giải pháp 1: Tóm tắt lý thuyết..............................................................4
2.3.2. Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loại bài tốn tính xác suất......5
2.3.3. Giải pháp 3: Bài tập áp dụng................................................................27

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.......................................................31
3. Kết luận và kiến nghị................................................................................31
3.1. Kết luận....................................................................................................31
3.2. Kiến nghị.................................................................................................32
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................33
DANH MỤC SKKN ĐÃ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI ……………….. 34


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Những năm gần đây, vấn đề đổi mới phương pháp dạy học nói chung đang
được bàn đến trên nhiều diễn đàn khác nhau. Người ta đã đề xuất, thử nghiệm
nhiều phương pháp dạy học để nâng cao hiệu quả giờ dạy Toán. Luật giáo dục
do Quốc hội khóa X thơng qua đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thơng cần
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ
năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học
tập cho học sinh”.
Toán học là một mơn học địi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và
kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc phân dạng và hình thành
phương pháp giải từng dạng toán là biện pháp mang lại hiệu quả cao trong giảng
dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh miền núi có học lực trung bình, yếu.
Tốn xác suất là một ngành tốn học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực Toán học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật, y học, công nghệ thông
tin và các ngành kinh tế. Lý thuyết xác suất được đưa vào chương trình Đại số &
Giải tích 11và cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về ngành tốn học
này. Hơnnữa, trongnhững năm gần đây thì dạng tốn này cịn có trong đề thi
THPT Quốc gia do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định.
Đứng trước một bài toán xác suất nhiều học sinh thường lúng túng, khơng
biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng khơng

dám chắc mình đã làm đúng. Từ những lí do trên tơi đã chọn đề tài: “ Một số
phương pháp giúp học sinh trung bình, yếu Trường THPT Thường Xn 3
giải bài tốn tính xác suất”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung xác xuất gồm định
nghĩa và tính chất để tìm ra phương pháp cho từng dạng bài tốn tính xác suất,
giúp học sinh tiếp thu dễ dàng. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh
trong các tiết học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Các dạng tốn và phương pháp tính xác suất. Khám phá, phân tích lời giải
chi tiết từ đó học sinh hồn thiện kiến thức và nắm bắt bài toán một cách thấu
đáo và có chiều sâu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách tham
khảo về các vấn đề liên quan đến đề tài.


2
1.4.2. Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dị thực trạng và điều tra
theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ.
1.4.3. Phương pháp thống kê tốn học: Xử lí số liệu thu được sau q trình
giảng dạy, kiểm tra đánh giánhằm minh chứng cho hiệu quả của việc sử dụng
các giải pháp.
1.5.Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
a. Phương pháp dạy học bài mới
- Giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề của bài toán
Phần bài học (phiếu học) thường được nếu thành cùng một loại tình huống
có vấn đề nhưng tương đối đơn giãn, rồi để tự học sinh giải quyết (vì đối tượng
ta hướng tới là học sinh yếu kém) . Thời gian đầu, giáo viên hướng dẫn học sinh
và giải quyết vấn đề, dần dần yêu cầu học sinh tự nêu và giải quyết.

- Giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức mới
Phân chia theo thời gian, giáo viên giúp học sinh tự nêu, tự giải quyết vấn
đề, tự xây dựng kiến thức mới. Đương nhiên trong các bài toán giáo viên đều
phải giúp học sinh ghi nhớ kiến thức mới (như các công thức).
- Giúp học sinh phát hiện chiếm lĩnh kiến thức
Từ tình huống có thực trong đời sống
Giải quyết vấn đề đơn giãn tìm ra kiến thức mới
Xây dựng rồi ghi nhớ và vận dụng kiến thức mới vào các tình huống khác
trong thực hành sẽ chiếm lĩnh kiến thức đã phát hiện
- Hướng dẫn học sinh thiết lập mối quan hệ giữa kiến thức mới và kiến
thức đã học trước đó.
Huy động kiến thức đã học để phát hiện và chiếm lĩnh kiến thức mới
Đặt kiến thức mới trong mối quan hệ với kiến thức đã có
- Giúp học sinh thực hành, rèn luyên cách diễn đạt thơng tin bằng lời, bằng
kí hiệu.
Trong q trình dạy học giáo viên phải quan tâm đến việc rèn luyện cách
diễn đạt ngắn gọn, rõ rang, vừa đủ nội dung, logic trong phát biểu và bài làm tự
luận.
b. Phương pháp dạy học các bài luyện tập, ôn tập
- Giúp học sinh nhận ra các kiến thức mới học trong các dạng bài tập khác
nhau
Khi luyện tập, nếu học sinh nhận ra kiến thức đã học trong mối quan hệ
mới thì học sinh tự làm được bài. Nếu học sinh không nhận ra được kiến thức đã
học trong các dạng bài tập thì giáo viên nên giúp đỡ các em bằng cách hướng
dẫn, gợi ý đễ tự học sinh nhớ lại kiến thức.
- Giúp học sinh luyện tập theo khả năng các em
Bao giờ cũng yêu học sinh phải giải các bài tập theo thứ tự đã sắp xếp
trong phiếu, sử dụng nhiều đơn giản tạo hứng thú cho học sinh.
Cần chấp nhận tình trạng: Trong cùng một khoảng thời gian có học sinh
khá, giỏi làm được nhiều bài tập hơn học sinh khác.

3
- Hỗ trợ, giúp đỡ nhau giữa các đối tượng học sinh(học sinh khá, giỏi kèm
học sinh yếu, kém).
Nên khuyến khích học bình luận về cách giải của bạn, tự rút kinh nghiệm
trong quá trình trao đổi ý kiến.
Sự hỗ trợ giữa các học sinh trong nhóm, trong lớp góp phần tạo mối đoàn
kết và sự mặc cảm, tự ti của học sinh yếu dần dần khơng cịn.
- Tập cho học sinh thói quen khơng thỏa mãn với bài làm của mình đã làm.
Sau mỗi tiết học, tiết luyện tập nên tạo cho học sinh niềm vui vì đã hồn
thành công việc được giao, niềm tin vào sự tiến bộ của bản thân (khuyến khich,
nêu gương).
Khuyến khich học sinh giải nhiều bài tập ở nhà với những bài đơn giản đến
khó mà các em đã làm ở lớp... có những biện pháp cụ thể để giúp các em vươn
lên sau một năm học.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Thống kê Tốn và Lí thuyết xác suất có nhiều khả năng trong việc góp
phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh và một số tri thức cơ bản của
Thống kê tốn và Lí thuyết xác suất thuộc vào học vấn phổ thông...
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do
đặc thù của chuyên ngành nên các bài tốn về xác suất có nhiều điểm khác biệt
so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Với đa số học sinh phổ thơng, đặc
biệt là học sinh miền núi, vùng đặc biệt khó khăn, việc làm quen, áp dụng và
giải các bài toán về xác suất cịn rất bỡ ngỡ và thấy khó. Để có thể học tốt xác
suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản đồng thời phảithường xuyên
làm bài tập để học hỏi, trau rồi phương pháp, kĩ năng khi giải quyết các bài toán
bằng các phương pháp phù hợp.
Do đó tơi ln có ý định tìm ra một phương pháp mới để truyền dạy cho

học sinh, một phương pháp học đơn giản, một phương pháp mà học sinh cảm
thấy tự giác hứng thú khi học.
Để tiếp cận bài toán xác suất cũng như các bài toán khác ta nên tập cho
học sinh vận dụng quy trình giải tốn sau:
a.Tìm hiểu nội dung bài tốn.
b.Xây dựng chương trình giải cho bài tốn.
c. Thực hiện chương trình giải đã xây dựng ở bước a.
d. Nghiên cứu sâu về lời giải.
Đối với quy trình này, khi áp dụng vào mỗi dạng tốn cụ thể sẽ góp phần
tập cho HS xây dựng được một phương pháp chung để giải bài toán đó. Bản
chất của việc này là làm cho HS chủ động tiếp thu, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức.


4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trường THPT Thường Xuân 3 đóng trên địa bàn miền núi, với đa số học
sinh là con em dân tộc Thái, Mường, còn nhiều hạn chế trong việc tiếp thu kiến
thức, đặc biệt là kiến thức của các mơn địi hỏi tư duy trừu tượng như mơn Tốn.
Đại đa số các em đều có học lực mơn Tốn là trung bình, yếu. Với đặc điểm như
trên, để cải thiện chất lượng mơn Tốn cho đối tượng học sinh đại trà, chúng tôi
thường tập trung vào giúp các em nắm vững và giải thành thạo các bài toán ở
phần kiến thức được đánh giá là dễ học, dễ tiếp thu và một trong số kiến thức
cần cung cấp cho các em.
Lượng kiến thức về phần xác suất trình bày trong sách giáo khoa Đại số &
Giải tích 11 khơng nhiều.Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh ở trường
THPT Thường Xuân 3 tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu sâu sắc các khái
niệm cơ bản như: Không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố đối, biến cố
xung khắc…và đặc biệt đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc
cộng, quy tắc nhân xác suất để giải các bài tập về tính xác suất. Cụ thể năm học
2019-2020 khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi cho học sinh lớp 11A2

làm bài khảo sát, kết quả như sau:
Số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Lớp
SL
TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%)
HS
11A2
39
2
5,1
8
21,5
16
41,2
13
32,2
Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2020-2021 tơi đã tiến hành đổi
mới cách dạy nội dung này tại lớp 11A3(có chất lượng tương đương với lớp
11A2 trong năm học trước).
2.3. Các giải pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.
2.3.1. Giải pháp 1. Hệ thống lại kiến thức liên quan đến xác suất.

a.Phép thử ngẫu nhiênvà biến cố.
a1.Phép thử ngẫu nhiên: Là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả của
nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.
a2.Khơng gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được

gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω.
a3.Biến cố: Là một tập con của khơng gian mẫu.Biến cố thường được kí hiệu
bằng chữ in hoa A, B, C, … và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn
đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử ln có hai biến cố đặc biệt:
+ Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).
+ Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
a4. Phép toán trên biến cố.


5
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và
các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
+ Tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A . Và A xảy ra
khi và chỉ khi A không xảy ra.
+ Tập A ∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
+ Tập A ∩ B được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B
+ Nếu A ∩ B = ø thì ta nói A và B là xung khắc.
+ Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không
xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của biến
cố kia.
2.3.2. Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loại bài tốn xác suất.
2.3.2.1. Xác định khơng gian mẫu và biến cố
1. Phương pháp giải
Phương pháp 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi đếm.
Phương pháp 2: Sử dụng các quy tắc đếm, các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp,
tổ hợp để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố.
2. Ví dụ điển hình
Ví dụ 1.Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên
xuất hiện mặt sấp hoặc cả năm lần ngửa thì dừng lại.

1. Mơ tả khơng gian mẫu.
2. Xác định các biến cố:
A : “Số lần gieo không vượt q ba”
B : “Có ít nhất 2 lần gieo xuất hiện mặt ngửa”
Hướng dẫn giải.
Kí hiệu mặt sấp là S , mặt ngửa là N .
1. Ta có Ω = { S; NS; NNS; NNNS; NNNNS; NNNNN } ⇒ Ω = 6.
2. A = { S; NS; NNS} ⇒ Ω A = 3.
B = { NNS; NNNS; NNNNS; NNNNN } ⇒ ΩB = 4.

Ví dụ 2. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng.
Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của
1. Không gian mẫu
2. Các biến cố:
a) A : “ 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”.
b) B : “ 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.


6
c) C : “ 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.
Hướng dẫn giải.
4
1. Ta có: Ω = C24 = 10626 .

2. a) Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng hai viên bị màu trắng là:
C102 .C142 = 4095 .

Suy ra ΩA = 4095 .
b) Số cách lấy 4 viên bi mà khơng có viên bi màu đỏ được chọn là C184 .
4

4
Suy ra ΩB = C24 − C18 = 7566 .

c) Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là: C64 + C84 + C104
Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là:
C144 + C164 + C184 − 2(C64 + C84 + C104 )

Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là:
4
C24
− (C144 + C164 + C184 ) + (C64 + C84 + C104 ) = 5040

Suy ra ΩC = 5859 .
1
1
2
1
2
1
2
1
1
Cách 2: ΩC = C6 .C8 .C10 + C6 .C8 .C10 + C6 .C8 .C10 = 5040.

Ví dụ 3.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau. Tính
số phần tử của
1. Khơng gian mẫu.
2. Các biến cố
a) A : “Số được chọn chia hết cho 5”
b) B : “Số được chọn có đúng 2 chữ số lẻ và và hai chữ số lẻ không đứng kề

nhau”
Hướng dẫn giải.
1. Số các số tự nhiên có bốn chữ số đơi một khác nhau là 9.A 93 = 4536 .
Suy ra Ω = 4536 .
2.Gọi abcd là số có bốn chữ số đơi một khác nhau và thỏa yêu cầu bài toán (
a ≠ 0).
a) TH1: d = 5 : Có 8.A82 = 448 (số)
TH2: d = 0 : Có A93 = 504 (số)
Suy ra ΩA = 952 .
b) Cách 1.


7
TH1: Chỉ có chữ số a,c lẻ: Có A52.A52 = 400 (số)
TH2: Chỉ có chữ số a,d lẻ: Có A52.A52 = 400 (số)
TH1: Chỉ có chữ số b,d lẻ: Có A52.4.4 = 320 (số)
Suy ra ΩB = 1120.
Cách 2.
Chọn từ 5 chữ số lẻ ra 2 chữ số lẻ và sắp theo thứ tự trên hàng ngang, có A52 = 20
cách.
Với mỗi cách xếp trên ta xem như có 3 khoảng trống được tạo ra (một khoảng
trống ở giữa và hai khoảng trống ở hai đầu).
Chọn ra 2 trong 5 chữ số chẵn và xếp vào 2 trong 4 ô trống đó (mỗi ơ 1 chữ số)
để được số thỏa yêu cầu đề bài, có C52.A32 − C41 = 56 cách.
Suy ra ΩB = 20.56 = 1120 .
Ví dụ 4. Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi Ak là các biến cố “ xạ
thủ bắn trúng lần thứ k ” với k = 1,2,3,4 . Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các
biến cố A1, A2 , A3 , A4 .
A : "Lần thứ tư mới bắn trúng bia".
B : "Bắn trúng bia ít nhất một lần".

C : "Bắn trúng bia đúng ba lần".

Hướng dẫn giải.
Ta có

Ak

là biến cố "Lần thứ

k

( k = 1,2,3,4 ) xạ thủ bắn khơng trúng bia".

Do đó
A = A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4
B = A1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4

C = A 1A 2A 3A 4 ∪ A 1A 2A 3A 4 ∪ A 1A 2A 3A 4 ∪ A 1A 2A 3A 4 .

2.3.2.2. Xác địnhxác suất của biến cố.
b1. Định nghĩa cổ điển của xác suất.
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả
đồng khả năng xuất hiện.
n( A)

n( A)

Ta gọi tỉ số n(Ω) là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P( A) . Vậy P( A) = n(Ω)
b2. Tính chất của xác suất.

*) Tính chất cơ bản.


8
P (∅) = 0
P ( Ω) = 1
0 ≤ P( A) ≤ 1 , với mọi biến cố A .

P( A) = 1 − P( A)

*) Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B xung khắc ( A ∩ B = ∅ ) thì: P( A ∪ B) = P( A) + P( B ) .



Nếu A ∩ B ≠ ∅ thì P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P( A ∩ B )

*) Quy tắc nhân xác suất:
+ Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi: P( A ∩ B) = P( A).P( B) .
Dạng 1: Các bài tốn tính xác suất áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất:
Với dạng này giáo viên cần hướng dẫn học sinh thực hiện theo 3 bước sau:
Bước 1: Tính số phần tử của khơng gian mẫu(số khả năng xảy ra của phép
thử): n(Ω) .
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố A đang xét (số kết quả thuận lợi): n( A)
n( A)

Bước 3:Tính xác suất theo cơng thức: P ( A ) = n(Ω) .
•

Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng công thức:

P( A) =

n .
N

1.1. Ví dụ điển hình
Ví dụ 1. Bộ bài tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tính
xác suất của các biến cố
a) A: “Rút ra được tứ quý K ‘’
b) B: “4 qn bài rút ra có ít nhất một con Át”
c) C: “4 qn bài lấy ra có ít nhất hai qn bích’’
Hướng dẫn giải.
a) Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: C524 = 270725 ;
Suy ra Ω = 270725
Vì bộ bài chỉ có 1 tứ q K nên ta có ΩA = 1
Vậy P( A) =

1
.
270725

b) Ta có số cách rút 4 qn bài mà khơng có con Át nào là C484 , suy ra
ΩB = C524 − C484 . ⇒ P( B) =

15229 .
54145


9
c) Vì trong bộ bài có 13 qn bích, số cách rút ra bốn quân bài mà trong đó có ít

nhất hai quân bích là: C132 .C392 + C133 C391 + C134 .C390 = 69667
Suy ra ΩC = 69667 ⇒ P(C ) =

5359
.
20825

Ví dụ 2. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên
bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất
để:
a) 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ.
b) 3 viên bi lấy ra có khơng q hai màu.
Hướng dẫn giải.
Gọi các biến cố A: “3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”
B: “3 viên bi lấy ra có đúng hai màu”
3
Số cách lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là C203 nên ta có Ω = C20 = 1140 .

a. Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là C83 = 56 nên ΩA = 56 .
Do đó: P( A) =

56
14
=
.
1140 285

b. Ta có:
Số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu
3

3
3
Đỏ và xanh: C15 − ( C8 + C7 )
3
3
3
Đỏ và vàng: C13 − ( C8 + C5 )
3
3
3
Vàng và xanh: C12 − ( C5 + C7 )

Nên số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu:
C153 + C133 + C123 − 2 ( C83 + C73 + C53 ) = 759

Do đó: ΩB = 759 . Vậy P( B) =

253
.
380

Ví dụ 3. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên 1,2,3, . . . ,80. Tính xác suất
của các biến cố:
1.A: “Trong 3 số đó có đúng 2 số là bội số của 5”.
2.B: “Trong 3 số đó có ít nhất một số chính phương”.
Hướng dẫn giải.
3
Số cách chọn 3 số từ 80 số là Ω = C80 = 82160

10
 80 

1. Từ 1 đến 80 có   = 16 số chia hết cho 5 và có 80 − 16 = 64 số khơng chia hết
5
cho 5.
1
C64
.C162
96
=
Do đó ΩA = C .C ⇒ P( A) =
.
3
C80
1027
1
64

2
16

2. Từ 1 đến 80 có 8 số chính phương là: 1,4,9,16,25,36,49,64.
Số cách chọn 3 số khơng có số chính phương nào được chọn là C723 .
3
3
Suy ra ΩB = C80 − C72 ⇒ P( B ) =

3
C803 − C72

563
=
.
3
C80
2054

Ví dụ 4. Xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào một bàn dàicó 8 ghế. Tính
xác suất sao cho:
a) Các học sinh nam ln ngồi cạnh nhau.
b) Khơng có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau.
Hướng dẫn giải.
Ta có Ω = 8! = 40320.
Gọi các biến cố
A: “Các học sinh nam ln ngồi cạnh nhau”
B: “ Khơng có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau”
a) Số cách xếp 5 học sinh nam thành hàng ngang là 5! = 120. Ứng với mỗi cách
sắp xếp này, ta có 4! = 24 cách sắp xếp thêm 3 bạn nữ vào sao cho thỏa yêu cầu
bài toán.
Suy ra ΩA = 120.24 = 2880 . Do đó P(A) =

2880
1
= .
40320 14

b) Số cách xếp 5 học sinh nam thành hàng ngang là 5! = 120.
Ứng với mỗi cách sắp xếp này, ta có 6 khoảng trống (2 khoảng trống ở hai đầu
và 4 khoảng trống ở giữa). Xếp 3 học sinh nữ vào các khoảng trống đó, có
A63 = 120 cách.

14400 5
= .
Suy ra ΩB = 120.120 = 14400 . Do đó P( B) =
40320

14

1.2. Bài tập kiểm tra
Bài 1. Có 8 quả cân có trọng lượng là 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg.
Chọn ngẫu nhiên ra 3 quả cân. Tính xác suất để tổng trọng lượng khơng vượt
q 9kg.
Hướng dẫn giải.


11
Số phần tử của khơng gian mẫu chính là số cách chọn 3 quả cân từ 8 quả cân:
Ω = C83 = 56.

Vì tổng trọng lượng 3 quả cân khơng vượt quá 9kg nên ta có 7 cách chọn ra các
quả cân có khối lượng: ( 1, 2,3) ; ( 1, 2, 4 ) ; ( 1, 2,5 ) ; ( 1, 2, 6 ) ; ( 1,3, 4 ) ; ( 1,3,5 ) ; ( 2,3, 4 ) .
Vậy xác suất cần tìm là P =

7 1
= .
56 8

Bài 2. Một nhóm thanh niên có 9 nam, 3 nữ. Tính xác suất để khi chọn ngẫu
nhiên 4 người thì có đúng 1 nữ.
Hướng dẫn giải.
4

Số phần tử của khơng gian mẫu: Ω = C12 = 495.

Để chọn 4 người có đúng 1 nữ thì phải chọn 1 nữ và 3 nam. Số cách chọn là
C31.C93 = 252.

Vậy xác suất cần tìm P =

252 28
= .
495 55

Bài 3. Một hộp đựng 4 quả cầu đỏ, 5 quả cầu trắng và 6 quả cầu vàng. Người ta
chọn ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để trong số các quả cầu được chọn
khơng có đủ ba màu.
Hướng dẫn giải.
Số phần tử khơng gian mẫu chính là số cách chọn 4 quả cầu trong 15 quả cầu:
Ω = C154 = 1365.

Gọi A: "Trong số các quả cầu được chọn không có đủ ba màu".
Suy ra A : "Trong số các quả cầu được chọn có đủ ba màu".
2 1 1
1 2 1
1 1 2
Suy ra ΩA = C4 C5C6 + C4 C5 C6 + C4C5C6 = 720. Do đó ΩA = 1365 − 720 = 645.

Vậy P ( A) =

645 43
=
.

1365 91

Bài 4. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh từ 1,2,3,…,15. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính
xác suất để
1. Các số ghi trên 3 thẻ đều là số lẻ.
2. Tổng các số trên 3 thẻ là một số chia hết cho 3.
Hướng dẫn giải.
3
1. Số phần tử của không gian mẫu Ω = C15 = 455.

Từ 1 đến 15 có 8 số lẻ.
Gọi A: "Các số ghi trên 3 thẻ được chọn đều là số lẻ".


12
3
Suy ra ΩA = C8 = 56. Do đó P( A) =

56
8
= .
455 65

2. Từ 1 đến 15 có 5 số chia hết cho 3; 5 số chia 3 dư 1; 5 số chia 3 dư 2.
Gọi B: "Tổng các số trên 3 thẻ là một số chia hết cho 3".
Có 2 trường hợp:
TH1: 3 số trên 3 thẻ được chọn cùng chia hết cho 3; hoặc cùng chia 3 dư 1;
hoặc cùng chia 3 dư 2: Có C53 + C53 + C53 = 30 (cách).
TH2: 3 số trên 3 thẻ được chọn có 1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1; 1 số
chia 3 dư 2: Có C51.C51.C51 = 125 (cách).

Suy ra ΩB = 30 + 125 = 155. Do đó P ( B ) =

155 31
= .
455 91

1.3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Gieo con súc sắc 100 lần, kết quả thu được ghi ở bảng sau
Số chấm
1
2
3
4
5
6
Hãy tìm xác suất của các biến cố
A: “Mặt sáu chấm xuất hiện”.
B: “Mặt lẻ chấm xuất hiện”.
Hướng dẫn giải.

Số lần xuất hiện
14
18
30
12
14
12

12
3

= .
100 25

g Số

lần xuất hiện mặt 6 chấm: ΩA = 12 , suy ra P ( A) =

g Số

lần xuất hiện mặt lẻ chấm: ΩB = 14 + 30 + 14 = 58 , suy ra P ( B ) =

58 29
= .
100 50

Bài 2. Một bình đựng 16 viên bi, 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy
ngẫu nhiên bốn viên bi. Tính xác suất của các biến cố :
A: “Lấy được 1 bi trắng, 1 bi đen, 2 bi đỏ”.
B: “Lấy được bốn viên bi khơng có bi đỏ”.
C: “Lấy bốn viên bi trong đó có ít nhất hai màu” .
Hướng dẫn giải.
4
Số phần tử của không gian mẫu Ω = C16 = 1820 .


13
g ΩA = C71 .C61 .C32 = 126 , suy ra P ( A) =
g ΩB = C134 = 715 , suy ra P ( A) =
g Số

126
9
=
.
1820 130

715 11
= .
1820 28

4
4
cách lấy bốn viên bi trong đó có đúng một màu là ΩC = C7 + C6 = 50 .

Suy ra ΩC = 1820 − 50 = 1770 . Do đó P(C ) =

1770 177
=
.
1820 182

Bài 3. Gieo một đồng xu, sau đó gieo một con súc sắc.
1. Mơ tả không gian mẫu.
2. Xác định các biến cố sau và tính xác suất các biến cố
A: “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”.
B: “Mặt 6 chấm xuất hiện”.
Hướng dẫn giải.
1. Không gian mẫu Ω = { S1; S 2; S 3; S 4; S 5; S 6; N1; N 2; N 3; N 4; N 5; N 6} , suy ra
Ω = 12.

2. gA = { S 2; S 4; S 6} ⇒ ΩA = 3 , suy ra P( A) =
gB = { S 6; N 6} ⇒ ΩB = 2 , suy ra P( B) =

3 1
= .
12 4

2 1
= .
12 6

Bài 4. Có 5 đoạn thẳng có độ dài 1, 2, 3, 4, 5 (cm). Lấy ngẫu nhiên 3 đoạn, tính
xác suất để 3 đoạn này là 3 cạnh của một tam giác.
Hướng dẫn giải.
3
Số phần tử của không gian mẫu là Ω = C5 = 10.

Ba đoạn a < b < c lấy ra tạo thành tam giác khi a + b > c . Do đó có 3 khả năng
chọn đoạn là ( 2,3, 4 ) ; ( 2, 4,5 ) ; ( 3, 4,5 ) . Vậy xác suất cần tìm P =

3
.
10

Bài 5. Một người gọi điện thoại cho bạn, quên mất 2 số cuối cùng nhưng lại
nhớ là 2 số khác nhau. Tính xác suất để người đó bấm gọi một lần là đúng số.
Hướng dẫn giải.
Theo giả thiết, người đó bấm đúng các chữ số trừ 2 số cuối ab , với số điện thoại
có đầy đủ các chữ số từ 0 đến 9.
Ta có a có 10 cách chọn; b có 9 cách chọn (vì b ≠ a ). Do đó khơng gian mẫu có

10.9 = 90 phần tử. Vậy xác suất gọi 1 lần đúng số là P =

1
.
90


14
Bài 6. Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi, mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh học
thuộc 80 câu. Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi có 4
câu đã học thuộc.
Hướng dẫn giải.
5
Có C100
cách lập đề thi gồm 5 câu hỏi.

Có C804 cách chọn ra 4 câu đã học thuộc và có C201 cách chọn ra 1 câu cịn lại từ
20 câu không học thuộc. Vậy xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một
1
C804 .C20
395395
.
đề thi có 4 câu đã học thuộc là P = 4 =
C100
941094

Bài 7. Cho bát giác đều nội tiếp trong một đường trịn. Chọn ngẫu nhiên ra 2
đỉnh, tìm xác suất để 2 đỉnh nối thành đường chéo có độ dài bé nhất.

Hướng dẫn giải.

Có cách chọn 2 đỉnh tùy ý từ 8 đỉnh của bát giác đều.
Đường chéo ngắn nhất là đường nối 2 đỉnh gần nhất khơng liên tiếp chính là
cạnh của hình vng nội tiếp. Vì có 2 hình vng nội tiếp như thế nên có 8 cạnh,
suy ra có 8 đường chéo ngắn nhất.
Vậy xác suất cần tìm P =

8 2
= .
28 7

1.4 . Các dạng bài tập trắc nghiệm
Dạng 1. Liệt kê các phần tử của biến cố cần tìm xác suất
Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn
lần xuất hiện mặt sấp là ?
A.

4
.
16

B.

2
.
16

C.

1
.

16

Hướng dẫn giải.
Chọn C
Số phần tử của không gian mẫu là Ω = 2.2.2.2 = 16.
Gọi A là biến cố '' Cả bốn lần gieo xuất hiện mặt sấp '' ⇒ ΩA = 1.
Vậy xác suất cần tính P ( A ) =

1
.
16

D.

6
.
16


15
Ví dụ 2: Có 5 đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2cm, 4cm, 6cm, 8cm và 10cm . Lấy
ngẫu nhiên 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng trên, tính xác suất để 3 đoạn thẳng
lấy ra lập thành một tam giác ?
A.

3
.
10

B.

9
.
10

C.

7
.
10

4
5

D. .

Hướng dẫn giải.
Chọn A
Không gian mẫu là số cách lấy 3 đoạn thẳng từ 5 đoạn thẳng.
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Ω = C5 = 10 .
Gọi A là biến cố '' 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác '' . Để ba đoạn
thẳng tạo thành một tam giác chỉ có các trường hợp: ( 4cm, 6cm, 8cm ) hoặc

( 6cm,

8cm, 10cm ) hoặc ( 4cm, 8cm, 10cm ) .

Suy ra số phần tử của biến cố A là Ω A = 3 .
Ω

3

A
Vậy xác suất cần tìm P ( A ) = Ω = 10 .
Dạng 2. Sử dụng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để đếm số phần tử
của biến cố cần tìm xác suất.
Ví dụ 1: Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca,
tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ ?

A.

70
.
143

B.

73
.
143

C.

56
.
143

D.

87
.
143

Hướng dẫn giải.
Chọn A
Không gian mẫu là chọn tùy ý 4 người từ 13 người.
4
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Ω = C13 = 715 .
Gọi A là biến cố '' 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ '' . Ta có hai trường hợp
thuận lợi cho biến cố A như sau:
● TH1: Chọn 3 nữ và 1 nam, có C83C51 cách.
● TH2: Chọn cả 4 nữ, có C84 cách.
3 1
4
Suy ra số phần tử của biến cố A là ΩA = C8 C5 + C8 = 350 .
Ω

350

70

A
Vậy xác suất cần tính P ( A ) = Ω = 715 = 143 .

Ví dụ 2: Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bơng hoa ly,
bó thứ ba có 6 bơng hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm
vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa
ly.
A.

3851
.
4845

B.

1
.
71

C.

36
.
71

D.

994
.
4845


16
Hướng dẫn giải.
Chọn D
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa gồm 21 hoa.
7
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Ω = C21 = 116280 .

Gọi A là biến cố '' 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly '' . Ta có các
trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
● TH1: Chọn 1 hoa hồng, 1 hoa ly và 5 hoa huệ nên có C81.C71 .C65 cách.
● TH2: Chọn 2 hoa hồng, 2 hoa ly và 3 hoa huệ nên có C82 .C72 .C63 cách.
● TH3: Chọn 3 hoa hồng, 3 hoa ly và 1 hoa huệ nên có C83 .C73 .C61 cách.
1
1
5
2
2
3
3
3
1
Suy ra số phần tử của biến cố A là ΩA = C8 .C7 .C6 + C8 .C7 .C6 + C8 .C7 .C6 = 23856 .
Ω

23856

994

A
Vậy xác suất cần tính P ( A ) = Ω = 116280 = 4845 .
Ví dụ 3: Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên vào 9
ghế thành một dãy. Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6
học sinh lớp 11?

A.

5

.
12

B.

7
.
12

C.

1
.
1728

D.

5
.
72

Hướng dẫn giải.
Chọn A
Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 9 học sinh vào một ghế dài.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Ω = 9! .
Gọi A là biến cố '' Xếp 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11 '' . Ta mô
tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:
● Đầu tiên xếp 6 học sinh lớp 11 thành một dãy, có 6! cách.
● Sau đó xem 6 học sinh này như 6 vách ngăn nên có 7 vị trí để xếp 3 học
sinh lớp 12 (gồm 5 vị trí giữa 6 học sinh và 2 vị trí hai đầu). Do đó có A73 cách

xếp 3 học sinh lớp 12 .
3
Suy ra số phần tử của biến cố A là Ω A = 6!. A7 .
ΩA 6!. A73 5
Vậy xác suất cần tính P ( A) = Ω = 9! = 12 .

Ví dụ 4: Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số
khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S
, tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu?
1
5

A. .
Hướng dẫn giải.
Chọn C

B.

23
.
25

C.

2
.
25

4
5

D. .


17
 a , b, c ∈ A

Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Trong đó a ≠ 0
.
a ≠ b; b ≠ c; c ≠ a


Khi đó
● Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a ≠ 0 .
● Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b ≠ a .
● Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c ≠ a và c ≠ b .
Do đó tập S có 5.5.4 = 100 phần tử.
Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Ω = C100 = 100 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu '' . Khi đó ta
có các bộ số là 1b2 hoặc 2b4 thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách
chọn nên có tất cả 8 số thỏa yêu cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố X là Ω X = 8 .
Ω

8

2

X
Vậy xác suất cần tính P ( X ) = Ω = 100 = 25 .

Bài toán 1( Sách Đại số và giải tích11 ).Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn
nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho.
a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Hướng dẫn giải:
a) Bước 1: Tính số phần tử của khơng gian mẫu
* Phép thử T: ‘‘Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê
theo hàng ngang” (6 người vào 6 ghế).
* Số phần tử của khơng gian mẫu: n(Ω) = 6! = 720.
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố A: “Nam nữ ngồi xen kẽ nhau”: ⇒ n( A) = 3!.3!+ 3!.3! = 72
Bước 3: Tính xác suất: P( A) =

72
1
= .
720 10

b) Bước 1: Tính số phần tử của khơng gian mẫu: ⇒ n(Ω) = 6! = 720.
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố B: “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”: n(B) = 4.3!.3! = 144
Bước 3: Tính xác suất: P(B) =

144 1
= .
720 5

Bài tốn 2( Đề thi THPT-QG năm 2018 ).Từ một hộp chứa 11 quả cầu đỏ và 4
quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3
quả cầu màu xanh bằng:


18
A.

4
.
455

B.

24
.
455

C.

4
.
165

D.

33
.
91

Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính số phần tử của khơng gian mẫu
* Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp chứa 15 quả cầu”.
* Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = C153 = 455 (phần tử)
Bước 2:Tính số phần tử của biến cố
3
Xét biến cố A: “Lấy được 3 quả cầu màu xanh” ⇒ n ( A ) = C4 = 4 ( phần tử ).
n( A)

4

Bước 3: Tính xác suất: P( A) = n(Ω) = 455 . Chọn A.
Bài toán 3(Đề thi chính thức THPT-QG năm 2019).Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết
ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [ 1;17 ] . Xác suất để ba số được
viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A.

1728
.
4913

B.

1079
.
4913

C.

23

.
68

D.

1637
.
4913

Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính số phần tử của khơng gian mẫu
* Phép thử T: “Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên
thuộc đoạn [ 1;17] ”
* Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 17.17.17 = 4913 (phần tử).
Bước 2:Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố A: “ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 ”.
Lấy một số tự nhiên từ 1 đến 17 ta có các nhóm số sau:
+) Số chia hết cho 3 : có 5 số thuộc tập { 3;6;9;12;15} .
+) Số chia cho 3 dư 1 : có 6 số thuộc tập { 1;4;7;10;13;16} .
+) Số chia cho 3 dư 2 : có 6 số thuộc tập { 2;5;8;11;14;17} .
Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn

[ 1;17 ] thỏamãn ba số đó có tổng chia hết cho 3 thì các khả năng xảy ra như sau:
3
+ TH1: Ba số đều chia hết cho 3 có 5 = 125 cách.
3
+ TH2: Ba số đều chia cho 3 dư 1 có 6 = 216 cách.

+ TH3: Ba số đều chia cho 3 dư 2 có 6 = 216 cách.
+ TH4: Một số chia hết cho 3 , một số chia cho 3 dư 1 , chia cho 3 dư 2 có

5.6.6.3! = 1080 cách.
⇒ n ( A ) = 125 + 216 + 216 + 1080 = 1637 ( phần tử ).
3

n( A)

1637

Bước 3: Tính xác suất: P( A) = n(Ω) = 4913 . Chọn D


19
Bài tốn 4(Đề minh họa THPT QG năm 2019): Có hai dãy ghế đối diện nhau,
mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai
dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học
sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng
A.

2
.
5

B.

1
.
20

C.

3
.
5

D.

1
.
10

Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
* Phép thử T: “Xếp ̉ học sinh vào ̉ ghế”.
* Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 6! = 720 (phần tử)
Bước 2:Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố A: “Mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ”.
* Học sinh nam thứ nhất có 6 cách xếp, học sinh nam thứ 2 có 4 cách xếp, học
sinh nam thứ 3 có 2 cách xếp.
* Học sinh nữ có: 3! cách xếp.
⇒ n ( A ) = 6.4.2.3! = 288 ( phần tử ).
n( A)

288

2

Bước 3: Tính xác suất: P( A) = n(Ω) = 720 = 5 . Chọn A
Bài toán 5(Đề KS THPT Quốc gia của sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019): Gọi S là
tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các
chữ số 1, 2,3, 4,5,6, 7,8,9 . Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S . Tính xác suất để lấy

được một số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11.
A. P =

8
.
21

B. P =

2
.
63

C. P =

1
.
126

D. P =

1
.
63

Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
* Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau
được chọn từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 ”.
* Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = A94 = 3024 (phần tử)

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố A: “Lấy được một số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng
chia hết cho 11 ”.
Gọi số tự nhiên thuộc S có dạng abcd .
Vì abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 1001a + 99b + 11c + (−a − c) + (b + d )
11
nên abcd M11 ⇔ b + d − (a + c )M

11
a + cM
11
b + d M

Từ giả thiết a + b + c + d M11 ⇒ 


20
Các cặp có tổng chia hết cho 11 là ( 2;9 ) ,(3;8),(4;7);(5;6)
n( A) = 4 × 3 × 2!× 2! = 48 ( phần tử ).
n( A)

48

1

Bước 3: Tính xác suất: P( A) = n(Ω) = 3024 = 63 . Chọn D
Dạng 3: Biến cố đối.
Trong tốn học, có những bài tốn khi tính tốn trực tiếp rất dài dịng và phức
tạp. Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn.
Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy.

Bài tốn 1 (Sách Đại số và giải tích11). Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết
các chữ cái A, B, C, D, E, F vào 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao
cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:
a) Cạnh của lục giác.
b) Đường chéo của lục giác.
c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.
Hướng dẫn giải:
* Phép thử T: ‘‘ Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ từ 6 thẻ”. Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân
biệt sao cho khơng có 3 điểm nào thẳng hàng có thể tạo ra được n(Ω) = C62 đoạn
thẳng.
* Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = C62 = 15.
a) Xét biến cố A: “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ
6 2
= .
15 5
b) Xét biến cố B: cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai

là cạnh của lục giác”: n( A) = 6 ⇒ P ( A) =

2
5

3
5

thẻ là đường chéo của lục giác”: B = A ⇒ P ( B) = 1 − P( A) = 1 − = .
c) Xét biến cố C: “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ
n(C )

6

3

là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”: n(C ) = 6 ⇒ P(C ) = n(Ω) = 15 = 5

Bài toán 2.Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến
cố:
a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Hướng dẫn giải:
Học sinh có thể giải quyết bài tốn theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuất
hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai
lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.
Do đó học sinh sẽ giải bài tốn theo cách giải dạng 1:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu


21
* Phép thử T: ‘‘tiền xu cân đối đồng chất 3 lần’’
* Số phần tử của không gian mẫu gồm n(Ω) = 6.6 = 2.2.2 = 8 phần tử
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
* Xét biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
A = { NSS , SNS , SSN , SNN , NNS , NSN , NNN } ⇒ n( A) = 7

Bước 3: Tính xác suất: ⇒ P( A) =

7
8

Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Ta có thể xét

biến cố đối của biến cố A là biến cố A : “Khơng có lần nào xuất hiện mặt ngửa”.
Do đó bài toán này sẽ được giải theo cách khác:
Cách khác.
* Phép thử T: ‘‘tiền xu cân đối đồng chất 3 lần’’.
* Số phần tử của không gian mẫu gồm n(Ω) = 6.6 = 2.2.2 = 8 phần tử.
* Xét biến cố A : “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố: A : “Khơng có lần nào xuất hiện mặt
ngửa”.
1

1

7

Và ta có: A = { SSS } ⇒ n( A) = 1 ⇒ P ( A) = ⇒ P( A) = 1 − P( A) = 1 − =
8
8 8
b) Biến cố B : “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Ta có biến cố đối của biến cố B là biến cố: B : “Trong 3 lần gieo hoặc là khơng
có mặt ngửa, hoặc là khơng có mặt sấp”.
2
8

Ta có: B = { SSS , NNN } ⇒ n( B ) = 2 ⇒ P ( B ) = =

1
1 3
⇒ P (B) = 1 − P(B) = 1 − = .
4
4 4

Bài toán 3. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác
suất của các biến cố sau:
a) Biến cố A : “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”.
b) Biến cố B : “Tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 ”
Hướng dẫn giải:
Nếu tính trực tiếp ta phải xét rất nhiều trường hợp, chẳng hạn:
- Đối với biến cố A .
· Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất.
· Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai.
· Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm (khả năng này lại nằm trong cả hai
khả năng trên).
- Đối với biến cố B . Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 tức là có
10 khả năng xảy ra.


22
Vì thế đối với bài tốn này dùng phương pháp sử dụng biến cố đối là phương
pháp tối ưu.
* Phép thử: “Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần”.
* Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 6.6 = 36.
a) Biến cố đối của biến cố A là A : “Không lần nào xuất hiện mặt một chấm”.
25
36
25 11
⇒ P (A) = 1 − P(A) = 1 −
=
36 36
b) Biến cố đối của biến cố B là B : “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là
⇒ n( A) = 5.5 = 25 ⇒ P( A) =

một số không nhỏ hơn 11 ”.
B = { ( 5; 6 ) ; ( 6;5 ) ; ( 6; 6 ) } ⇒ n( B ) = 3 ⇒ P ( B ) =
⇒ P (B) = 1 − P (B) = 1 −

3
1
=
36 12

1 11
= .
12 12

Bài toán 4(Đề thi thử THPT Quốc gia của sở GD&ĐT Thanh Hóanăm 2018).
Xếp ngẫu nhiên8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng ngang.
Tính xác suất để có ít nhất hai chữ cái H đứngcạnh nhau.
A.

5
.
14

B.

79
.
84

C.

5
.
84

D.

9
.
14

Hướng dẫn giải:
Bài tốn này đã trình bày ở trên bằng cách áp dụng định nghĩa cổ điển của xác
suất. Tuy nhiênbài tốn này cũng có thể giải bằng cách sử dụng biến cố đối.
* Phép thử T: “Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành
một
hàng ngang”.
* Số phần tử của không gian mẫu:
Xét trường hợp các chữ cái được xếp bất kì, khi đó ta xếp các chữ cái lần lượt
như sau
- Có C83 = 56 cách chọn vị trí và xếp có 3 chữ cái H.
- Có C52 = 10 cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cái A.
- Có 3! = 6 cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
n(Ω) = 56.10.6 = 3.360

Xét biến cố: A: “Có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau”.
Ta có: A : “ Khơng có hai chữ cái H đứng cạnh nhau”.
Đầu tiên ta xếp 2 chữ cái A và 3 chữ cái T, O, N, có C52 .3! = 60 cách xếp.
Tiếp theo ta có 6 vị trí (xen giữa và ở hai đầu) để xếp 3 chữ cái H, có C63 = 20
cách xếp

23
Do đó P( A) = 1200 = 5 ⇒ P( A) = 1 − 5 = 9 . Chọn D
3360 14
14 14 ..
Nhận xét:Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên
để vận dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:
• Nhận dạng loại tốn: Các bài tốn có cụm từ “có ít nhất”, “tối
thiểu”, “tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vơ nghiệm, có nghiệm,…nếu tính
kiểu bù gọn hơn thì ta dùng biến cố đối.
• Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập
hợp để tránh xác định sai biến cố đối.
Dạng4: Các bài tốn sử dụng cơng thức cộng xác suất.
Khi dùng quy tắc cộng xác suất cần phải chú ý cho học sinh các biến cố cơ sở
phải xung khắc, trường hợp các biến cố cơ sở khong xung khắc thì phải dùng
cơng thức cộng xác suất mở rộng. Khi đó phải sử dụng cả cơng thức nhân xác
suất sẽ được trình bày ở dạng 4
Bài tốn 1. Trong hịm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất
để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có khơng q 1 chi tiết hỏng.
Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có khơng q 1 chi tiết hỏng nghĩa là khơng có
chi tiết nào hỏng hoặc có một chi tiết hỏng. Bài tốn này khơng thể giải theo
dạng 1 mà phải sử dụng phép tính xác suất. Đây là bài toán dùng quy tắc cộng
xác suất
Hướng dẫn giải:
* Phép thử T: “Lấy 6 chi tiết trong hịm có 10 chi tiết”.
* Số phần tử của không gian mẫu:
n(Ω) = C106 = 210

Gọi

A1 là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra khơng có chi tiết nào hỏng”.
A2 là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”.
A là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có khơng q 1 chi tiết hỏng”.

Khi đó A = A1 ∪ A2 . Do A1 và A1 xung khắc nhau nên
P( A) = P ( A1 ) + P( A2 ) .

Có 8 chi tiết khơng bị hỏng nên n( A1 ) = C86 = 28
Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là: C85 = 56 .
Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là : C21 = 2
Theo quy tắc nhân ta có n( A2 ) = 56.2 = 112
Do vậy ta có:

P( A1 ) =

n(A1 ) 28
1
=
= .
n(Ω) 210 15

P( A2 ) =

n(A 2 ) 112 8
=
=
n(Ω) 210 15