Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (117.58 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
PHÒNG GD - ĐT PHÙ MY<b> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN</b>
<b> TRƯỜNG THCS MỸ LỘC NĂM HỌC : 2010 - 2011</b>
<b> Môn : TOÁN </b>
(ĐỀ ĐỀ XUẤT ) T<i><b>hời gian làm bài : 150 phút ( không kể phát đề ) </b></i>
<b>Bài 1</b> : (6.0 điểm)
a- Cho tổng : A = 5 + 52<sub> + 5</sub>3<sub> + ………+ 5</sub>2010<sub> . Chứng minh rằng : A chia hết cho 126 .</sub>
b- Tìm số tự nhiên a để (23 – a) ( a – 3 ) là số chính phương .
<b>Bài 2</b> : (4.0 điểm)
a- Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .
CMR :
<i>a</i>
<i>b c a</i> <sub> +</sub>
<i>b</i>
<i>a c a</i> <sub>+</sub>
<i>c</i>
<i>a b c</i> <sub> 3</sub>
b- Giải phương trình :
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<b>Bài 3</b> :(3.0 điểm) Cho x,y dương thỏa : x+y=
2009
2010<sub>. Tìm GTNN của S =</sub>
2008
<i>x</i> <sub>+</sub>
1
2008<i>y</i>
<b>Bài 4</b> :(4.0 điểm)
Cho <i>ABC</i><sub>cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong. Biết IA = 2</sub> 5<sub>, IB = 3.</sub>
Tính độ dài AB ?
<b>Bài 5</b> : (3.0 điểm)
ÁP ÁN VÀ BI U I M CH M
Đ Ể Đ Ể Ấ
Bài Đáp án Điểm
Bài 1
(6.0 đ)
Câu a
A = 5 + 52<sub> + 5</sub>3<sub> + … + 5</sub>2010
= (5 + 54<sub>) + (5</sub>2<sub> + 5</sub>5<sub>) +(5</sub>3<sub> + 5</sub>6<sub>) + … + (5</sub>2007<sub> +5</sub>2010<sub>)</sub>
= 5(1+53<sub>)+5</sub>2<sub>(1+5</sub>3<sub>) +5</sub>3<sub>(1+5</sub>3<sub>)+ … + 5</sub>2007<sub>(1+5</sub>3<sub>)</sub>
= 126.(5 + 52<sub> + 5</sub>3<sub> + … + 5</sub>2007<sub>)</sub>
Vì : 126 <sub> 126 </sub><sub></sub><sub> A </sub><sub> 126 </sub>
1.0đ
1.0đ
Đặt (23 – a) ( a – 3 )= b2.
Biến đổi được: 26a – a2 <sub> - 69 = b</sub>2 <sub>.</sub>
( a – 13) 2 <sub>= 100 - b</sub>2<sub>.</sub>
Suy ra 100 – b2 <sub> là số chính phương.</sub>
Tìm được :
Trường hợp: b = 10 <sub> a = 13.</sub>
b = 8 <sub> a = 19 .</sub>
b = 6 <sub> a = 21.</sub>
Vậy các số a là 13; 19, 21.
0.5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
Bài 2
(4.0 đ)
Câu a
Đặt x = b + c – a , y = a + c – b , z = a + b – c
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên x , y ,z > 0
Khi đó ta có : 2 , 2 , 2
<i>z y</i> <i>x z</i> <i>y x</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Do đó :
<i>a</i>
<i>b c a</i> <sub> +</sub>
<i>b</i>
<i>a c a</i> <sub>+</sub>
<i>c</i>
<i>a b c</i> <sub>= </sub>
1
2
<i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i>
<i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
=
(2 2 2) 3
2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>y</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>y</i>
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z <sub> a = b = c</sub>
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
Câu b
Điều kiện : <i>x</i>0
Ta có :
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
1 1 1 1
8 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
8 <i>x</i> 8 <i>x</i> <i>x</i> 4
<i>x</i> <i>x</i>
0 ( )
8
<i>x</i> <i>loai</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
Vậy phương trình có một nghiệm : x = -8 .
0,25đ
Bài 3
(3.0 đ)
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky , ta có :
2
2
2008 1 2008 1
. .
2008 2008
1 1
2008 2010
2008 2008
<i>x y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Suy ra :
1 2009 1
2010 : 2011
2008 2010 1004
<i>s</i>
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
2008
2008
2008 1
2010
2009
2008 <sub>1</sub>
2010
2009 <sub>2010</sub>
2010
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>
<i>y</i>
<i>x y</i>
Vậy MinS =
1
2011
1004<sub> đạt được khi </sub>
2008
2010
<i>x</i>
;
1
2010
<i>y</i>
1,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
Bài 4
(4.0đ)
- Từ A kẻ AM<sub>AC (M</sub><sub>tia CI)</sub>
- Chứng minh được : <i>AMI</i> <sub> cân tại A </sub> <sub>AM = AI = </sub>2 5<sub> </sub>
Kẻ AH<sub>MI => MH = HI </sub>
Đặt HM = HI = x (x>0)
Tam giác AMC vng tại A , có AM2<sub> MH . MC </sub>
=>
2
2 5 <i>x x</i>2 3
2
2<i>x</i> 3<i>x</i> 30 0
=> x = 2,5 hoặc x = -4 (loại)
Do đó : MC = 2.2,5+3=8
AC2<sub> = MC</sub>2<sub> – AM</sub>2<sub> = 8</sub>2<sub> - </sub>
2
2 5
= 44
=> AC = AB = 2 11
1,0đ
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
(3.0đ)
Gọi a,b,c là độ dài các cạnh đối diện A,B,C và ha,hb,hc là các đường
cao tương ứng
Giả sử : <i>a b c</i> <sub>, khi đó </sub><i>ha</i> <i>hb</i> <i>hc</i>
Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB
=> 2SABC =a.PH + b.PK + c.PI a(PH + PK + PI)
=> PH + PK + PI
2<i>S<sub>ABC</sub></i>
<i>a</i>
= ha
Vập PH + PK + PI đạt giá trị nhỏ nhất khi P<sub>A</sub>
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
C <sub>N</sub> <sub>B</sub>