3 Chuyen de ham phan thuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (285.28 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1

CHUYÊN ðỀ: HÀM PHÂN THỨC

CHỦ ðỀ 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI HÀM PHÂN THỨC 
A. Lý thuyết:

1. Tiếp tuyến với ðTHS y=f(x) tại điểm M x y( ;0 0) có phương trình y−y0= f x'( )(0 x−x0)
2. ðiều kiện tiếp xúc: ðồ thị hai hàm số y=f(x) và y=g(x) tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ x0
⇔x0 nghiệm hệ phương trình ( ) ( )

'( ) '( )
f x g x
f x g x

=


 =


B. Các bài toán cơ bản:

Loại 1: Tiếp tuyến với ñường cong tại một ñiểm cho trước trên ñường cong

Bài : Cho hàm số 2( )
2
x

y C

x

+
=

− . Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục
Ox và Oy.

Bài : (TK 03). Cho hàm số 2 1 ( )
1
x

y C

x
−
=

− . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của ðTHS. Tìm M thuộc (C
) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vng góc với đường IM.

Bài 1: (KD -07). Cho h/s 2
1
x
y

x
=

+ . Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến tại M cắt 2 trục tọa ñộ
tại 2 ñiểm A, B và △OAB có diện tích bằng 1

4 .
Bài 4: Cho ñường cong 2 1

2
x
y

x
+
=

+ (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng d: y=2x+1 một góc 45o. ( sử dụng công thức 1 2

1 2
tan

1
k k

k k

ϕ = −
+ ). 
Bài 5: Cho ñường cong 3 1

3
x
y

x
+
=

− (C) và M là ñiểm bất kì thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm
cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.

a) Chứng minh M là trung ñiểm của AB.
b) Chứng minh tiếp tuyến tại M không qua I.
Bài (TK KD 07). Cho hàm số

1
x
y

x
=

− . Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và và hai tiệm
cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.

Bài (DB KD 08). Cho hàm số 3 1
1
x
y

x
+
=

+ . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa ñộ và tiếp tuyến
với ñồ thị hàm số (1) tại ñiểm M(-2;5)

Bài (KA 09). Cho hàm số 2

2 3

x
y

x
+
=

+ (1) .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp
tuyến đó cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc O
Bài (TK 06). Cho hàm số 3

1
x
y

x
+
=

− . Cho ñiểm Mo(xo;yo)thuộc ñồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại
o

M cắt các ñường tiệm cận tại các ñiểm A,B. Chứng minh Molà trung ñiểm của ñoạn AB

Bài: (KB-06). Cho hàm số

2 1

2
x x
y

x
+ −
=

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2

Bài: (DB KB 03). Cho hàm số 2 1 (1)

1
x
y

x
−
=

− . Gọi I là giao ñiểm hai ñường tiệm cận của (C). Tìm điểm
M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vng góc với ñường IM.

Bài: Cho ñường cong 
2

1
1
x x
y

x
+ +
=

− (C) . Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến tại M cắt Ox, Oy tương
ứng tại A, B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân.

Loại 2: Phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua một ñiểm cho trước

Bài : Cho hàm số 2( )
2
x

y C

x
+
=

− . Lập phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua A(-6;5)
Bài. (TK KD 07). Cho hàm số 1

2 1
x
y

x
− +
=

+ . Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó qua
giao ñiểm của tiệm cận ñứng và trục Ox

Bài: Cho hàm số 1( )
1
x

y C

x
+
=

− . Tìm những điểm trên Oy mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được ñúng một tiếp
tuyến với ñồ thị hàm số.

Bài: (KD 02). Cho hàm số

(2 1)x
y

x 1
m− −m

− (1). Tìm m để đồ thị h/s (1) tiếp xúc với ñường thẳng y =
x

Bài : Cho đường cong 3
1
x
y

x
+
=

− (C). Tìm các điểm M trên ñường thẳng y=2x+1, sao cho từ M vẽ ñược
một tiếp tuyến với (C).

Bài : Cho ñường cong

2 2 1

x x

y
x

− +

− (C) và ñiểm A(6;4). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng
tiếp tuyến ñi qua A.

Bài : Cho ñường cong

2 1

1
x x
y

x
+ +
=

+ (C). Tìm trên trục Oy các điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến
vng góc với nhau.

CHỦ ðỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC (CTNC) 
A. Lý thuyết cơ bản

a) Hai quy tắc tìm cực trị

b) Hàm số

' '

ax bx c
y

a x b
+ +
=

+ có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm khác –b’/a’
c) Giả sử ( )

( )
p x
y

q x

= có cực trị tại x0 kho đó ta có 0 0
0

0 0

( ) '( )
( )

( ) '( )
p x p x
y x

q x q x

= =

B. Bài tập cơ bản

Bài 1: (KA-07). Cho hàm số

2 2( 1) 2 4

x m x m m

y

x

+ + + +

+ . Tìm m ñể HS có Cð, CT ñồng thời các ñiểm
cực trị của ñồ thị cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O

Bài 2: (KB-05). Gọi (Cm)là ñồ thị HS

2 ( 1) 1

x m x m

y

x

+ + + +

+ . CM: ∀m (Cm)ln có Cð, CT và

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3

Bài 3: (KA-05). Cho hàm số y mx 1

x

= + . Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu
của ñồ thị ñến tiệm cận xiên bằng 1

Bài 4: Cho hàm số 
2

( )

1 m

x mx

y C

x
+
=

− . Tìm m để hàm số có Cð, CT và khoảng cách giữa chúng bằng 10.
Bài 5: Cho hàm số

2 ( 1) 1

( m)

x m x m

y C

x m

+ + − +

− . Tìm m ñể (Cm) có cực ñại, cực tiểu nằm về cùng một
phía của trục Ox.

Bài 6: Tìm m để ñường cong

2 3

( m)

x x m

y C

x m
− +
=

− có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho

2 1

( ) ( ) 16
y x −y x >

CHỦ ðỀ 3: BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC

Nội dung của bài tốn có dạng chung như sau: Cho ñồ thị các hàm số y=f(x), y=g(x) thường chứa 
tham số. Tìm điều kiện để chúng cắt nhau và các giao ñiểm thỏa mãn ñiều kiện nào đó.

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm f(x)=g(x) (1). Số giao ñiểm của hai ñường cong bằng số nghiệm 
của (1) và ngược lại số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của hai ñồ thị.

Bài (Cð 08). Cho hàm số

1
x
y

x
=

− . Tìm m để đường thẳng d: y=-x+m cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt
Bài (KB 2010). Cho hàm số 2

2 3

x
y

x
+
=

+ (1). Tìm m để đường thẳng d: y=-2x+m cắt (C) tại 2 ñiểm phân
biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3

Bài (CðKTKT I 05). Cho hàm số 3
2
x
y

x

+
=

+ (1). CMR đường
1
2

y= x m− ln cắt (C) tại hai ñiểm phân
biệt A,B. Xác ñịnh m sao cho ñoạn AB nhỏ nhất.

Bài (CðSPHCM 05). Cho hàm số 1
1
x
y

x
+
=

− (1). Xác ñịnh m ñể ñường thẳng d: y=2x+m cắt (C) tại hai
ñiểm phân biệt A,B sao cho các tiếp tuyến của (C) tại hai ñiểm A, B song song với nhau.

Bài (KA-2011). Cho hàm số 1
2 1

x
y

x
− +

− . Chứng minh rằng với mọi m ñường thẳng y = x + m ln cắt đồ
thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A
và B. Tìm m để tổng k1 + k2 ñạt giá trị lớn nhất.

Bài (KA 08). Cho hàm số ( )
1
x

y C

x
=

− . Tìm m để đường thẳng ( ) :d y= − +x mcắt (C) tại hai ñiểm
phân biệt

Bài : (KA-04). Cho h/s

x 3x 3
y

2(x 1)

− + −

− (1). Tìm m ñể ñường thẳng d : y = m cắt ñồ thị h/s (1) tại 2
ñiểm A, B sao cho AB = 1

Bài : (KA-03). Cho h/s

x x

x 1
m + +m
=

− (1). Tìm m để ñồ thị h/s (1) cắt Ox tại 2 ñiểm phân biệt có
hồnh độ dương

Bài : (KD-09- NC). Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đường cong 
2

1
( )
x x

y C

x
+ −

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4

Bài : Cho ñường cong

2 3

( )
2

x x

y C

x
−
=

− và ñường thẳng dm:y=2mx m− . Tìm m để (C) và dm cắt nhau

tại hai ñiểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (C).

Bài : Tìm m để đường thẳng dm: y= 2x+m cắt ñồ thị (C) 3 3
1
y x

x
= − + +

− tại hai ñiểm phân biệt A, B sao
cho AB có độ dài nhỏ nhất.

CHỦ ðỀ 4: TIỆM CẬN VỚI HÀM PHÂN THỨC 
A. Lý thuyết cơ bản:

1. ðịnh nghĩa và cách xác định: 
1. ðịnh nghĩa:

• ðường thẳng x=x0 đgl ñường tiệm cận ñứng của ñồ thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất một trong
các điều kiện sau ñược thoả mãn:

lim ( )

x x

f x

→ = +∞; 0

lim ( )

x x

f x

→ = −∞; 0

lim ( )

x x

f x

−

→ = +∞; 0

lim ( )

x x

f x

−

→ = −∞

• ðường thẳng y=y0 ñgl ñường tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất một trong
các ñiều kiện sau ñược thoả mãn:

0
lim ( )

x→+∞f x =y ; xlim ( )→−∞f x =y0

• ðường thẳng y=ax b a+ , ≠0 ñgl ñường tiệm cận xiên của ñồ thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau ñược thoả mãn:

[

]

lim ( ) ( ) 0

x→+∞ f x − ax b+ = ; xlim→−∞

[

f x( ) (− ax b+ )

]

=0
2. Chú ý:

a) Nếu ( ) ( )

( )

P x

y f x

Q x

= = là hàm số phân thức hữu tỷ.

• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x=x0.
• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.

b) ðể xác ñịnh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức
sau:

[

]

( )

lim ; lim ( )

x x

f x

a b f x ax

x

→+∞ →+∞

= = −

hoặc lim ( ); lim

[

( )

]

x x

f x

a b f x ax

x

→−∞ →−∞

= = −

2. Nếu hàm số khơng có tham số thì việc tìm các ñường tiệm cận của ðTHS ñơn giản. Nếu hàm

phân thức có tham số, ví dụ: y 2x 2
x m
−
=

− hoặc

2 1
2
mx x
y

x

+ −
=

− thì trước hết xem chúng có thỏa mãn điều

kiện tử số và mẫu số có nhân tử chung hay khơng. Rồi sau đó mới xem ứng với các giá trị đó thì phân
thức có dạng gì, từ đó xác định tiệm cận theo các qui tắc.

B. Bài tập

Bài. (TK 06). Cho hàm số 1 ( )
1
x

y C

x
+
=

− . Cho M x( 0;y0)∈( )C . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các ñường

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

5

Bài. (CðSP HCM 05). Cho hàm số 1 ( )

1
x

y C

x
+
=

− . Tìm tất cả các điểm M thuộc (C) sao cho khoảng
cách từ M ñến giao ñiểm hai tiệm cận ngắn nhất.

Bài: (Cð TDTT ð Nẵng 06). Cho hàm số 1 ( )
1

x

y C

x
−
=

+ .CMR tích các khoảng cách từ M bất kì thuộc
(C) đến hai tiệm cận của nó ln là hằng số.

CðSPHCM 05. Cho hàm số 1
1
x
y

x
+
=

− (1). Tìm tất cả các ñiểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M
ñến giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của (C) ngắn nhất.

Bài : (KA-08). Cho hàm số

2 (3 2 2) 2

mx m x

y

x m

+ − −

+ . Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm

cận của ðTHS bằng 45o
Bài : Cho ñường cong

2 3

( m).

x x m

y C

x m

− +
=

− Tìm các tiệm cận của (Cm) khi m thay ñổi.

Bài : Cho

2 2

( )

1 m

x mx

y C

x

+ −
=

− . Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) tạo với hai trục tọa ñộ một tam giác

có diện tích bằng 4.

Bai : Cho đường cong

2 2 2

( )
1

x x

y C

x

+ −
=

− . Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M ñến giao ñiểm

hai ñường tiệm cận là nhỏ nhất.

BÀI TẬP TỰ GIẢI 
Bài 1: Cho

2 2

( ).
1
x x

y C

x

+ +
=

− Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vng góc với đường thẳng qua

M và tâm ñối xứng của (C).

ðS: M M1, 2∈( )C ứng với hồnh độ

4 4

1 1 8, 2 1 8

x = + x = −
Bài 2: Cho ñường cong 4 3 ( )

2 1
x

y C

x
− +
=

− và điểm A(0;1). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng
tiếp tuyến ñi qua A.

ðS: y=-2x+1, y=-18x+1 
Bài 3: Cho

2 1

( ).
1

x x

y C

x

− +
=

−

a) Chứng minh rằng y=7 là một tiếp tuyến của (C).

b) CMR trên đường thẳng y=7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm trên đó, có thể kẻ ñến (C) hai tiếp tuyến lập
với nhau góc 45o

Bài 4: Cho 
2

( ).

1 m

x x m

y C

x

+ +
=

+ Tìm m để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy.

ðS: m>1 
Bài 5: Cho

2 2

( ).

1 m

x mx

y C

x

+ +

+ Tìm m để (Cm) có cực trị và khoảng cách từ hai ñiểm cực trị ñến

ñường thẳng x+y+2=0 là bằng nhau.

Bài 6: (KB-09). Tìm m để đường thẳng y=-x+m và ñường cong 
2

1
x
y

x

−

= cắt nhau tại hai ñiểm phân
biệt A, B sao cho AB=4

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

6

Bài 7: Cho hàm số

2 2 4

x x

y
x

− +

− (C). Tìm m để đường thẳng y=mx+ −2 2m cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm
phân biệt

Bài 8: Tìm m để đường thẳng dm: y=mx+2-m cắt ñồ thị (C):

2 4 1

x x

y
x

+ +

+ tại hai ñiểm phân biệt thuộc
cùng một nhánh của (C).

ðS: 3, 1
2
m< m≠
Bài 9: Cho

2 2 1

( ).

2 m

mx mx

y C

x
+ −
=

− Tìm m ñể (Cm) có tiệm cận xiên và khoảng cách từ A( 4;− m) đến

nó là lớn nhất.

</div>

3 Chuyen de ham phan thuc

1

2

3

4

[

]

[

]

[

]

[

]

5

6

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về