Môđun artin và tính catenary của giá không trộn lẫn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.84 MB, 41 trang )
<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">
2.2_ Tính chất (*) của đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
3 Tính catenary của giá khơng trộn lân
3.1 Một số tính chất cơ sở về tính catenary... 3.2 Tính catenary của giá không trộn lẫn... 33 VídU... Q Q Q Q Q Q HQ HQ Quà và và vi.
Tài liệu tham khảo ... 13 18 19 22
</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn. Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cơ và gia đình.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS.TS Nguyễn Quốc Thắng ở Viện Toán học Hà Nội; các thầy cô giáo ở Khoa
Tốn và Phịng Đào tạo sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đố tôi trong sudt thoi gian hoc tập tại trường.
Tôi cũng rất cảm ơn cán bộ, giáo viên Trung tâm KTH HN & GDTX Phổ Yên , Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Phổ Yên, tỉnh Thái Nguyên,
nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tơi hồn thành kế hoạch học tập của mình.
Tơi cũng xin bày tfó sự quý mến của mình tới vợ tôi và các con, các
bạn tôi, những người đã luôn động viên, khuyến khích tơi hồn thành cơng VIỆC
</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">Tính catenary cho các vành được quan tâm nghiên cứu đầu tiên bởi W, Krull từ năm 1937. Những cơng trình của W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen,
<small>D. Ferand va M. Raynaud, L. J. Ratliff, R. Heitmann, M. Brodmann ... vé </small>
tính catenary đã làm giàu đẹp lí thuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác của Đại số Giao hoán như vành định chuẩn,
<small>môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết, các </small>
phương pháp đồng điều, các mở rộng vành siêu việt... Có 2 lớp vành
cafenary quan trọng được biết đến đầu tiên. Lớp vành thứ nhất được chỉ
ra bởi W. Krull năm 1937, và ông được coi là người đặt nền móng nghiên cứu các giả thuyết về dãy iđêan nguyên tố. Ông chỉ ra rằng nếu #' là một trường thì mọi #'—đại số hữu hạn sinh đều là vành catenary. Lớp vành catenary tiếp theo là các vành địa phương đầy đủ theo tôpô ma—adIic. Tính catenary của lớp vành này được chứng minh bởi I. S. Cohen năm 1946, ở đó ơng đã chỉ ra tính catenary cho vành các chi luỹ thừa hình thức trên một trường và sau đó chứng minh rằng mỗi vành địa phương đầy đủ là vành thương của một vành các chuối luỹ thừa hình thức. Hầu hết các vành được biết đến trong những áp dụng của toán học đều là catenary. Ví dụ đầu tiên về vành không catenary được Nagata [Na] phát hiện vào năm 1956. Cho đến nay, việc nghiên cứu tính catenary cho các vành vẫn rất được quan
tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới. Đặc biệt, gần đây Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] đã thông qua nghiên
cứu môđun Artin để đặc trưng tính catenary cho các vành Noether và giá
không trộn lần của các môđun hữu hạn sinh.
Cho (,m) là một vành Noether địa phương, 4 là f-môđun Artin và
</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">M 1a R-m6dun hittu han sinh. Khi dé Anng(M/pM) = p véi moi idéan nguyên tố p 2 Anne M. Vi thé, theo suy nghi d6i ngau, N. T. Cuong va
L. T. Nhan [CN] đã xét tính chất sau cho các môđun Artin A:
Amnp(0 :4 p) = p với mọi iđêan nguyên tố p 2 Anng A. (x)
Tuy nhiên tính chất (*) nhìn chung lại không đúng cho các môđun Artin
A, kể cả khi 4 là môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất #72 (1M),
trong đó dim M = d. Kí hiệu Ứn;(0) là môđun con lớn nhất của M có
chiêu nhỏ hơn đ. Đặt Usupp M⁄ = Supp(Mf/Ux;(0)). Ta gọi Ủsupp Mƒ là giá không trộn lan của môđun Mĩ. Kết quả chính của bài báo [CDN] là đưa
ra 03 đặc trưng về tính catenary của giá không trộn lẫn của Ä⁄ thông qua
tinh chat (*) cua H4(M), thong qua m6i quan hệ giữa các tập ;(0) và
Uøg(0), và thông qua các hệ tham số của môđun hữu hạn sinh M/Uj,(0) và cua modun Artin H“(M).
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả trên về tính catenary của giá khơng trộn lẫn Usupp M trong bài báo của
Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] ``7op
local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely
<small>generated module, Comm. Algebra, (5)35 (2007), 1691-1701". </small>
Luận văn gồm 3 chương. Chương I noi vé tính chất (*) của các môđun
Artin, va cũng là những kiến thức chuẩn bị cho 2 chương sau. Chương II
đặc trưng tính chất (*) của đối đồng điều địa phương cấp cao nhất thôngqua quan hệ giữa ;;(0) và Uœ(0) và quan hệ giữa các hệ tham số cua
M/Uj,(0) va H“(M). Chuong III dac trung tinh catenary cia gid khong
tron lan Usupp M. Cuối chương HI 1a mot vi du minh hoa cac két qua trong toàn luận văn.</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">Một tính chất linh hoá tử của môđun
Artin
Trong suốt chuong nay, cho (R,m) 1a mét vanh Noether dia phương với
Iđêan tối đại duy nhất m, cho A là -môđun Artin va M la R-modun hitu hạn sinh.
Trước hết ta xét một tính chất cơ sở của các môđun hữu hạn sinh Ä⁄ như sau: Giả sử p là Iđêan nguyên tố của chứa Ànng M. Khi đó p € Supp M@
va do dé M, 4 0. Theo Bo dé Nakayama ta suy ra
(M/pM) p = My/pMp # 9.
Vì thế p € Supp(M/pM), ttc la p D Annp(M/pM). Vi vay ta luôn có Annp(M/pM) = p với mọi Iđêan nguyên tố p 2 Anng M.
Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cuong và L. T. Nhan [CN]
<small>đã xét tính chất sau đối với các môđun Artin A: </small>
Amnp(0 :4 p) = p với mọi iđêan nguyên tố p 2 Anng A. (x)
Tuy nhiên tính chất (*) lại khơng đúng cho các môđun Artin A. Ké ca
trường hợp khi 4 = ?/723( 1) là môđun đối đồng điều địa phương cấp <small>5</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">cao nhất của một môđun hữu hạn sinh M tng véi giá cực đại (môđun này
luôn là Artin) thì Á cũng không nhất thiết thỏa mãn điều kiện (*), điều
này sẽ thể hiện ở các Chương II và III của luận văn này.
Mục đích của Chương I là nghiên cứu tính chất (*) của các môđun
Artin. Trong Tiết 1.1, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị như đối ngẫu Matlis, tính phẳng và phẳng hoàn toàn của các đồng cấu vành và biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin. Tiết 1.2 của luận văn dành để trình bay
một đặc trưng của tính chất (*) của môđun Artin. Tiết cuối của Chươngđưa ra mối quan hệ giữa tính chất (*) và chiều Noether của các môđun <small>Artin. </small>
1.1 Kiến thức chuẩn bị
4) Đối ngâu Matlis. Kí hiệu F(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư
R/m của l. Xét hàm tử (—) = Homp(—, E(R/m)) từ phạm trù các R—mơđun đến chính nó. Vì /⁄(/m) là mơđun nội xạ nên 2(—) là hàm tử khớp. Ta gọi D(—) là đối ngẫu Mailis. Kí hiệu ? là vành đầy đủ theo
topd m—adic cua R. Gia sử L la —môđun, kí hiệu L 1a R—-modun day du cua L theo top6 m—adic.
1.1.1 Bo đề. (xem [Ma], [BS]). Các phát biểu sau là đúng.
(i) Anng Ù = Anng D(L). Đặc biệt, b # 0 nếu và chỉ nếu D(L) # 0. (H) Nếu L có độ dài hữu hạn thi D(L) L. Trong trường hợp này ta
</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">(v) Giả sử R là day du theo tép6 m—adic. Khi dé D(L) la R—médun
hitu han sinh néu L la Artin.
b) Déng cdu phang. Gia stt f : R —> S la mot déng cau vanh. Khi d6 môi S—môđun Ù đều có cấu trúc là f—mơdun, trong đó phép cộng đã sẵn có trong Ù và tích vơ hướng của phần tử r € với phần tử m € duoc cho boi tich f(r)m. Cau tric R—médun L nhu thế được gọi là cấu tric R—médun xdc dinh boi f. Mot dong céu f : R —> S duoc goi là
đồng cấu phẳng nếu S, xét như —~môđun xác định bởi ƒ, là -môđun phăng, tức là với mỗi dãy khớp
0—>ữ—>L:—>Ì”——0
các R—modun, day cam sinh0——-L'®S—>+>L@S—>L’ @S +0
là khớp. Một đồng cấu ƒ : R —> S duoc gọi là đồng cấu phẳng hoàn
foàn nếu Š, xét như ~môđun xác định bởi ƒ, là ?-môđun phẳng hồn
tồn, tức là mơi dãy
</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">(i) Néu f : R —+ S la mot dong cdu phdng thi dnh xa cam sinh f* : Spec S —> Spec R cho boi ƒ*(p) := ƒ~}(p) là toàn ánh.
(ii) Néu f : R —+ S là đồng cấu hoàn toàn phẳng va L la R—moédun
<small>khác 0 thì L®p S là S—mơdđun khác 0. </small>
c) Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin. Trong luận văn này, chúng ta cần
một số kết quả về lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin được
giới thiéu boi I. G. Macdonad [Mac]. Lí thuyết này được xem như là đối ngẫu với lí thuyết phân tích nguyên sơ cho môđun Noether: Nhắc lại rằng, một #-môđun L được gọi là /h⁄ cấp nếu phép nhân bởi r trên U là toàn cấu hoặc lũy linh với mọi r € ?. Trong trường hợp này, tập các phần tử ” € l sao cho phép nhân bởi r trên Ù là lũy linh lập thành một idéan
nguyên tố p của Ÿ¿ và ta gọi Ù là p-fhứ cấp.
Macdonald [Mac] đã chỉ ra rằng mỗi môđun Artin 44 đều có một biểu
diễn thứ cấp A = Ái +... + A, trong d6 4; là p;—thứ cấp với mọi ¡ = 1,...,m. Trong trường hợp các .4; là không thừa (tức là 4 # >,,„; 4;
với mọi ? = I,...,m) và các iđêan nguyên tố p; là phân biệt thì biểu diễn thứ cấp này được gọi là ứối thiểu. Khi đó tập {p,..., p„} không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của 44 và được kí hiệu bởi Attp A.
Tập Attp A được gọi là ứập các iđêan nguyên tố gắn kết của A.
1.1.3 Bồ đề. /Mac]. Táp các phần tỉ tối thiểu của Attp A chính là tập
</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">chi néu no 18 R—modun con. Điều này cho thấy các dàn môđun con cua
A xét như —môđun và f—môđun là như nhau. Do đó 4 là f—môđun Artin. Quan hệ giữa các tập Attp 4 và Atta 41 được cho bởi công thức sau đây.
1.1.4 Bổ đề. (xem [Sh]). Attr A= {pNR : p€ Atta 4}. 1.2 Tính chất (*) của mơđun Artin
Với mỗi Iđêan ƒ của FR ta ki hiéu V (J) là tập các idéan nguyén t6 cua R
chita J. Trong tiét nay, chúng ta nhac lại một số kiến thức về tính chat (*) cho các môđun Artin, đồng thời chứng minh một đặc trưng tính chất (*)
của môđun Artin 4 thông qua mối quan hệ giữa các tập V(Anng 4) và tập V(Amna 4). Đặc trưng này cần được sử dụng để chứng minh kết quả
chính trong Chương II.
1.2.1 Chú ý. Giả sử # là đầy đủ theo tôpô m—adic. Khi d6 D(A) 1a R—môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng Anng 4 = Anng D(4). Vì thế áp
dụng tính chất linh hố tử cho mơđun D(A) ta có
Annp(0 :4 p) = Annp(D(0:x4p)) = Annp(D(1)/pD(41)) =p
với mọi Iđêan nguyên tố p 2 Anng 4 = Anng D(4). Do vậy tính chất
(*) luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phương đầy đủ.
Tiếc rằng, tính chất (*) khơng cịn đúng khi vành # không đầy đủ.
Dưới đây chúng ta trình bày ví dụ về một môđun Artin không thoả mãn
tính chất (*). Chú ý rằng với mỗi số nguyên 7, môđun đối đồng điều địa
phương thứ ¿ với giá cực đại H} (Ä⁄) của Ä⁄ luôn là l—môđun Artin (xem
[BS]).
</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">1.2.2 Ví dụ. [CN, Ví dụ 4.4]. Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether
địa phương không thoả mãn tính chất (*).
Chứng minh. Gọi (R,tm) là miền Noether địa phương chiêu 2 được xây dựng bới D. Ferrand và M. Raynaud [FR] thoả mãn tính chất tồn tại một
iđêan nguyên tố nhúng 4 € Ass # với dim / = 1. Khi đó #!(R) là mơđun Artin và ta có đẳng cấu các ƒ-môdun }(R) & H}(R). Theo
[Sh1, Hệ quả 4.9]) ta suy ra q € Atta (H(R)). Theo Bổ dé 1.1.4 ta suy ragQn R € Attr (H,(R)). Chi y rang AssR={pOR : p€ Ass R} (xem [Mat, Định lí 12]). Vì thế ta có qf1# € Ass . Do # là miền nguyên
nén Ass R = {0}. Do đó 0 =1 € Attp(HT(?P)). Vì thế
Anng (Hà(R)) = ( pCgnlt=0.
p€Attn(H-(®))Chọn 4 = H(P). Khi đó A là -môđun Artin. Lấy tuỳ ý một iđêan
nguyên tố p của # sao cho p 4 0 va p $ m. Ta đã chứng minh ở trên rằng Anng 4 =0. Do đó p Đ Anng A. Lấy 0 zZ z € p. Xét dãy khớp
</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">Kết quả chính của tiết này là đặc trưng tinh chat (*) cua médun Artin A
thông qua mối quan hệ giữa các tập V(Anng 4) và tập V(Anna A). Trude
hết chúng ta nhắc lại mối quan hệ sau đây giữa tập Supp Ä va Supp M của một môđun hữu hạn sinh M.
Supp M C{pnR: pe Supp M}.
<small>LÌ </small>
Vi M 1a hitu han sinh nén Supp M = V(Anng 4⁄). Tương tự, vì M là R—modun hiu han sinh nén Supp M = V(Anng M). Do dé tir B6 dé
1.2.3 ta có V(Anng1⁄) ={pnR : pc V(Anna(M)}. Hơn nữa, như
đã nhắc ở tiết trên, mỗi Ï-môđun Artin 4 đều có cấu trúc tự nhiên là
R—modun Artin. Vì thế, rất tự nhiên chúng ta hỏi rằng liệu đẳng thức
V(Anng4) ={pn R : peV(Aana 4}
</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">là xảy ra cho modun Artin A4. Dưới đây chúng ta chi rang đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi 4A thoả mãn tính chất (*).
1.2.4 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương:
(ï) A thoả mấn tính chất (*).
(ii) V(Annr A) = {pN R: pe V(Anng A)}.
Chứng minh. ()=>(1). Cho p € V(Anna 4). Khi đó tồn tại một iđêan nguyên tố tối thiểu đ chứa Ann .4 sao cho p > q. Theo Bổ đề 1.1.3, mỗi
iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Anna 4 đều là một iđêan nguyên tố gắn
kết của R—modun Artin A, do d6 q€ Atta A. Theo Bo dé 1.1.4,
AttrA={poR : pe Atts A}.
Vi thé qO R € Atte A. Suy rag yn R € V(Annpg A) va vi thé ta suy ra pn Re V(Annp4). Do đó
V(Anng 4) 2 {pfR: p€V(Anna 4)}.
Ngược lại, cho p € V(Annp 4). Theo giả thiết (1), A thoả mãn tính
chất (*). Vì thế Annp(0 :¿ p) = p. Rõ ràng mọi Iđêan nguyên tố chứa Amnzp(0 :¿ p) đều phải chứa p, do đó p là iđêan nguyên tố bé nhất chứa
Annz(0 :x4 p). Theo Bổ đề 1.1.3 ta suy ra p € Attp(0 :4 p). Lai vi Attp(0:a4p)={fnR : p€Atta(0:ap)}
nên tồn tại iđêan nguyên tố p € Atta(0 :4 p) sao cho pí\ = p. Vì
<small>p C Atta(0 :4 P) nên p —) Amna(0 :4 p). Vi thé p C V (Anna A) va </small>
pnf=gp, tức là
V(Ann 4) C{pn: pc V(Anna 4)}.
</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">(ii)=>(i). Cho p € V(Ann A). Theo gia thiét (11), ton tai idéan nguyén t6
pe V(Anng A) sao cho pb R=p. Nhu đã giải thích trong Chú ý 1.2.1, tính chất (*) ln thoả mãn cho môđun Artin 4 trên vành đầy đủ R. Vi
thé tacé Anng(0 :4 p) =p. Lai do pR C Pf nen ta c6
p C Annp(0:4 p) = Annp(0:4 pR) C Anng(O:4p)N R=pNR=p.
đã quen biết cho các môđun hữu hạn sinh. Trong suốt luận văn này, chúng tôi dùng thuật ngữ ``chiều Noether” của Kirby [K2].
1.3.1 Định nghĩa. Chiều Nocther của A, ki hiéu boi N-dimp A, được định nghĩa bằng quy nạp như sau: Khi A = 0, ta đặt N-dimp A = —1.
Cho đ > 0 là một số nguyên không âm. Ta đặt N-ding 4 = đ nếu
</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">N-dimp A < d la sai và với mỗi dãy tăng các môđun con 4o C 4¡ C...
của 4, tồn tại một số tự nhiên mo sao cho N-dimp(Á„/Á„¿1) < đ với mọi
N-dimr A = max{N-dimp A’, N-dimp A”}.
R. N. Roberts [Ro] va D. Kirby [K1,2] da chi ra nhiều tính chất đẹp của mơđun Artin tương tự như các tính chất về chiều Krull cho các môđun hữu
hạn sinh trên vành địa phương, đặc biệt là kết quả duới đây cho ta 03 điều
kiện tương đương về chiều Noether cho các môđun Artin
1.3.2 Mệnh đề. Nếu q là idéan sao cho £(0 :4 q) < œ thì có một đa thức Q(n) với hệ số hữu ty sao cho €p(0:4 q"*") = Q(n) khin > 0 va
N-dimp A = deg(lp(0 :4 q"*"))
= imnf{f >0: 3đz,...,z; Cm: Ép(0 :4 (q,...,2¿)R) < ©}.
Mệnh đề 1.3.2 cho phép ta định nghĩa khái niệm hệ tham số cho môđun Artin. Khái niệm này sẽ được dùng trong Chương II để đặc trưng tính chất(*) của mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất.
1.3.3 Định nghĩa. Một hệ (zị,..., zz) gồm đ = N-dim A4 phần tử của m được gọi là hệ ham số của A nếu /(Ö :A (z,...,#øa)R) < œ. Một hệ (Z1,...,;¿) VỚI ¿ < d, các phần tử của m được gọi là phản hệ tham số
</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">cua A néu ta có thể bổ sung thêm các phần tử z;„¡,..., z„ của m sao cho
(z,..., zz) là hệ tham số của A4. Một phần tử z € m được gọi là phần tu
tham số của A nếu có thể bổ sung thêm N-dimp 4 — 1 phần tử trong m
để được một hệ tham số của A.
Từ Mệnh đề 1.3.2 ta suy ra kết quả sau đây.
1.3.4 Hệ quả. Nếu d = N-dimg 4 > 0 rhì
N-dimpr(0 :4 2) > N-dimg A—1, Ve Em
và đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x là phần tử tham số của A. Tương
f, VỚI ¡ <d ta co
<small>N-dimp(0 A (#1, " xj) > N-dimp A — 1, Vx1,...,4; Em </small>đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x1,...,2; la phần hệ tham số của A.
Ta đã biết rằng nếu Ả⁄ là một môđun hữu han sinh thi phần tử z € m là phần tử tham số của Ä⁄ nếu và chỉ nếu z € p với mọi p € AssM thoa man dim R/p = dim M. Hon nifa, néu J 1a idéan cua R sao cho dim M/IM = dim M — r thi t6n tai m6t phan hệ tham số của / trong T có độ dài r. Các mệnh đề sau đây, được chứng minh bởi Z. Tang và H. Zakeri [TZ], cho ta các kết quả tương tự về đặc trưng một phần tử z € m là
phần tử tham số của môđun Artin 4 và sự tồn tại một phần hệ tham số của
môđun Artin 4 trong một idéan J cua R. Cac ménh dé nay sé duoc ding
trong Chương II để chứng minh một đặc trung tinh chat (*) cua modun
đối đồng điều địa phương cấp cao nhất.
<small>1.3.5 Mệnh đề. Cho N-ding A = đ và A = 4i +... + A„ là một biểu </small>
diễn thứ cấp tối thiểu của A với A;¡ là p;—thứ cấp. Cho z € ta. Khi đó x
</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">la phan tu tham sé cua A néu va chi néu x € p; voi moi i thod man tinh
Kí hiệu dinp 4 = dim(/ Anng 4). Khi đó N-dimp 4 = 0 nếu và
chỉ nếu dinpạ Ả = 0, nếu và chỉ nếu 4 có độ dài khác 0 và hữu hạn,
nếu và chỉ nếu ?‡/ Anng; 4 là vành Artin. Trường hợp tổng quát ta chỉ có
N-dinp A < dimp A. Hơn nữa, với môđun Artin A4 = H} (?) như trong
Ví dụ 1.2.2 ta có ding .4 = 2> 1 = N-dimp 4. Mệnh đề sau đây chỉ ra
rằng tính chất (*) là đủ để đăng thức về chiều ở trên xảy ra.
1.3.7 Mệnh đề. CN.(i) N-dimg A < dim(R/ Ann A).
(ii) Nếu A thoa man tinh chat (*) thi N-dimp A = dim p A.
Trong tiết sau chúng ta sẽ thấy rằng điều ngược lại của Mệnh đề
1.3.7,(1) 1a khong ding: Khi dim VM = d thi môđun đối đồng điều địa
phương cấp cao nhất #74 (\ƒ) ln có tính chất
dimg H¢(M) = d = N-dimg H¢(M)
nhung tinh chat (*) nhìn chung vẫn không thoả man cho H“(M).
Nhắc lai rang A có cấu trúc tự nhiên như là R—modun Artin và các dàn môđun con của 4 xét như /?—môđdun và xét như —môđun là như nhau.
Vì thế từ định nghĩa chiều Noether ta có N-dinp 4 = Ñ-dima 44. Theo
Chú ý 1.2.1, tính chất (*) là đúng cho R—modun Artin A. Vi thé theo
</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">Mệnh đề 1.3.7 ta cé N-dimg A = dim(R/ Anng A). Theo Bé dé 1.1.3,
tập các idéan nguyén tố tối thiểu của ] chứa Ann ạ 4 và tập các Iđêan
nguyên tố gắn kết tối thiểu trong Atta .4 là như nhau. Vì thế ta có
dim(R/ Anng A) = max{dim(R/p) : $ € Att A}.
Tương tự ta cũng có dim(R/ Ann A) = max{dim(R/p) : p € Attp A}.
Vi thé ta có các quan hệ sau đây: </div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">Tính chất (*) của đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
Trong suốt chương này, luôn giả thiết ( J,m) là vành Noether địa phương
va M là -môđun hữu hạn sinh véi dim M = d. Ki hiéu Ứạ;(0) là môđun
con lớn nhất của Ä⁄ có chiều nhỏ hơn d. Chú ý rằng môđun con lớnnhất Ù;(0) như thế luôn tồn tại và duy nhất (xem Bổ đề 2.2.1). Đặt
supp M = Supp(M/U;(0)). Ta gọi Dsupp MỸ là giá không trộn lân
của Ä⁄. Mục đích của Chương II là đặc trưng tính chất (*) cho môđun đối
đồng điều địa phương cấp cao nhất H“(M) thong qua mối quan hệ giữa
214 khong tron lan Usupp M cua M va gia khong tron lẫn Usupp M của
M. Đồng thoi, tinh chat (*) cho H4(M) citing duoc đặc trưng thông qua mối quan hệ giữa các tập hệ tham số của môđun hữu hạn sinh M⁄/U;(0) và cua modun Artin H4(M). Cac két qua chính của chương này sẽ được trình bày trong Tiết 2.2.
<small>18</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">2.1 Giá không trộn lân
Nhác lại rằng H} (Ä⁄) là -môđun Artin với mọi số nguyên ¿ và
depth M = min{i : H'(M) 40};
dim M = max{i : H'(M) z 0}.
Vì thé H’,(M) = 0 với mọi ¿ < 0 và mọi ¿ > d. Nguoi ta goi H4(M) là
môđun đối đồng điều cấp cao nhất của Ä⁄. Trước hết, chúng ta nhắc lại các tính chất quan trọng sau đây về tập các iđêan nguyên tố gắn kết vàchiều Noether của môđun này.
2.1.1 Bo dé. (BS). Attr H4(M) = {p € Assp M : dim R/p = đ}. Đặc biét, dim H4(M) = d.
2.1.2 Bo dé. [CN, Hé qua 3.6]. N-dim H“4(M) = dim H¢(M) = d.
2.1.3 B6 dé. Médun con lén nhdt cia M cé chiéu nho hon d luén tôn tai
và duy nhất.
Chứng minh. Gọi T` là tập các môđun con của ⁄ có chiều nhỏ hơn đ. Khi
đó mođun con 0 thuộc tập I’, ttc la 4 @. Do M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether nên M là mơđun Noether, và vì thế Ï' có phần tử tối đại. Gọi / là một phần tử tối đại của Ï`. Với mỗi N“ˆ € T ta có
dim(N + N’) = max{dim N, dim N’} < d.
Vithé N+ N’€T. Do N C N +N‘ va do tinh t6i dai cua N ta suy ra N=N+N’, ttc la NC N. Vậy N là môđun con lớn nhất của M có
</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">Ki hiéu Uj,(0) là môđun con lớn nhất của M c6 chiéu nho hon d. Két
quả sau đây cho ta cách tính tốn médun Uj,(0) thong qua mot phan tích
nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của M.
2.1.4 Bổ để. (xem JCN1]). Giả sử 0 = () N(p) là một phân tích
2.1.5 Bo đề. Ass(⁄/U;;(0)) = {p € Ass M : dim R/p = d}.
Chitng minh. Cho p € Ass M véi dim R/p = d. Vì dim Uạ¿(0) < d nên
