Một số đặc trưng về tính catenary của giá không trộn lẫn

1

Bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học vinh

Nguyễn Thị Bích Phợng

Một Đặc trng về tính catenary
của giá không trộn lẫn
luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành: ĐạI số và lý thuT sè
M· sè: 60.46.05

Ngêi híng dÉn khoa häc
TS. Ngun ThÞ Hång Loan

Vinh - 2010


2

Mục lục
Mục lục

01

Mở đầu

02

Chơng I. Kiến thức chuẩn bị

04

1.1. Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại

04

1.2. Phổ và giá của môđun

04

1.3. Iđêan nguyên tố liên kết

05

1.4. Vành địa phơng

06

1.5. Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m adic

06

1.6. Chiều Krull của môđun

07

1.7. Chiều Noether

08

1.8. Hệ tham số

08

1.9. Phân tích nguyên sơ

09

1.10. Biểu diễn thứ cấp

10

1.11. Môđun đối đồng điều địa phơng

12

1.12. Đối ngẫu Matlis

13

1.13. Đồng cấu phẳng

14

Chơng 2. Tính Catenary của giá không trộn lẫn

16

2.1. Vành catenary

16

2.2. Giá không trộn lẫn

18

2.3. Tính catenary của giá không trộn lẫn

23

Kết luận

33

Tài liƯu tham kh¶o

34


3

Mở đầu
Cho R là một vành giao hoán, Noether. R đợc gọi là vành catenary nếu
với mọi cặp iđêan nguyên tố q p của R luôn tồn tại một dÃy nguyên tố bÃo
hòa giữa q và p và mọi dÃy nguyên tố bÃo hòa giữa q và p đều có chung độ dài.
Tính catenary của các vành đà đợc quan tâm nghiên cứu đầu tiên bởi W. Krull
từ năm 1937. Những công trình của W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D.
Ferand và M. Raynaud... nghiên cứu về tính catenary đà làm phong phú lí
thuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác của Đại

số giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen Macaulay tối đại Có hai
lớp vành catenary quan trọng đợc biết đến đầu tiên. Lớp vành thứ nhất đợc chỉ
ra bởi W. Krull trong một bài báo của ông năm 1937 và ông đợc coi là ngời đặt
nền móng nghiên cứu các giả thuyết về dÃy iđêan nguyên tố. Bài báo đợc công
bố vào năm 1946 của Cohen đà chỉ ra lớp vành catenary tiếp theo là vành địa
phơng đầy đủ theo tôpô m adic. Hầu hết các vành đợc biết đến trong những
áp dụng của toán học đều là catenary. Năm 1956, Nagata đà phát hiện ra một
lớp vành catenary nữa, đó là những miền nguyên địa phơng tựa không trộn lẫn
đồng thời ông cũng xây dựng một lớp những miền nguyên không catenary.
Cho M là R môđun. Ký hiệu U M (0) là môđun con lớn nhất của M có
chiều nhỏ hơn dim M. Đặt
Usupp M = Supp ( M / U M (0) ).
Khi đó Usupp M đợc gọi là giá không trộn lẫn của M.
Bài báo [4] của Nguyễn Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn
ra năm 2007 đề cập đến môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất và tính
catenary của giá không trộn lẫn của một môđun hữu hạn sinh.
Mục đích của luận văn này là dựa vào bài báo [4], trình bày lại một đặc
trng về tính catenary của giá không trộn lẫn Usupp M.


4

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn đợc chia
thành hai chơng.
Chơng I: Kiến thức chuẩn bị. Chơng này sẽ trình bày một số khái niệm cơ sở
có sử dụng trong luận văn nhằm làm cơ sở cho việc trình bày chơng II nh: iđêan
nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan nguyên tố liên kết của môđun, phổ và giá của
môđun, vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m adic, môđun đối đồng điều địa
phơng cấp cao nhất
Chơng II: Tính catenary của giá không trộn lẫn. Chơng này trình bày một

đặc trng về tính catenary của giá không trộn lẫn Usupp M . Đó là việc chỉ ra
rằng tính catenary của giá không trộn lẫn Usupp M của M là tơng đơng với tính
d
chất linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất Hm (M) và

trình bày chứng minh tính chất đó.
Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn, giúp
đỡ, chỉ bảo tận tình của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tôi xin bày tỏ lòng
cảm ơn trân trọng đến cô cùng các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại
học trờng Đại học Vinh, Ban giám hiệu trờng THPT Nguyễn TrÃi, bạn bè, đồng
nghiệp và gia đình đà tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu.


5

Chơng I
Kiến thức chuẩn bị

Chơng này sẽ trình bày một số khái niệm cơ sở có sử dụng trong luận văn
nh: iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan nguyên tố liên kết của môđun, phổ và
giá của môđun, vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m adic, môđun đối đồng
điều địa phơng cấp cao nhất

1.1. Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại
Iđêan P của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu P R và a, b R
mà ab P thì a P hoặc b P.
Iđêan P của vành R đợc gọi là iđêan tối đại nếu P R và P không thực
sự chứa trong một iđêan Q R của R, nghĩa là nếu tồn tại iđêan Q của vành
R mà P Q R thì Q = P hoặc Q = R.

1.2. Phổ và giá của môđun
1.2.1. Phổ của vành. Kí hiệu Spec R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của
vành R. Khi đó Spec R đợc gọi là phổ của vành R.
Với
mỗi iđêan I của R ta kÝ hiÖu V ( I ) = { P ∈ Spec R P ⊇ I } .
1.2.2. Gi¸ cđa môđun. Tập con

{

}

Supp M = P Spec R M p 0
của Spec R đợc gọi là giá của môđun M .


6

Với mỗi x M ta kí hiệu
AnnR (x) = { a ∈ R ax = 0} ;
AnnR M = { a ∈ R aM = 0} = { a ∈ R ax = 0, ∀ x ∈ M} .
Ta có AnnR (x ) và AnnR M (hoặc Ann (x ) và Ann M nếu không để ý đến vành R) là
những iđêan của vành R, AnnRM đợc gọi là linh hóa tử của môđun M . Hơn nữa,
nếu M là R môđun hữu hạn sinh thì
Supp M = V (AnnR M) = { P ∈ Spec R AnnR M P} .
1.3. Iđêan nguyên tố liên kết
1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R - môđun. Ta gọi iđêan nguyên tố P của R là
iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x M, x ≠ 0 sao cho
P = (0 : R x) = AnnR (x).
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M đợc kí hiệu là AssR M (hoặc
Ass M nếu không để ý đến vành R).

Ass M = { P ∈ Spec R P = Ann (x) víi x M} .
1.3.2. Tính chất. (i) P là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn tại

một môđun con Q của M sao cho Q R / P.
(ii) Gäi ∑ = { Ann (x) x M} . Khi đó nếu P là phần tử tối đại của thì P là
iđêan nguyên tố liên kÕt cđa M.
(iii) R lµ vµnh Noether vµ M lµ R - môđun. Khi đó Ass M khi và chỉ khi
M 0. Hơn nữa nếu M là R - môđun Noether thì tập Ass M là tập hữu hạn. (iv)
Cho M là R - môđun. N là môđun con của M thì Ass N Ass M.
(v) Cho M là R - môđun. Khi đó: Ass M ⊆ Supp M. NÕu P ∈ Supp M vµ P tối
tiểu trong Supp M theo quan hệ bao hàm thì P ∈ Ass M.


7

1.3.3. Bổ đề. Giả sử 0 M M → M ′′ → 0 lµ mét d·y khíp ngắn các R

môđun. Khi đó:
(i) Ass M Ass M ⊆ Ass M ′ ∪ Ass M ′′;
(ii) Supp M ⊆ Supp M ′ ∪ Supp M ′′.
1.4. Vµnh địa phơng
Vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu nó chỉ có duy nhất một iđêan tối
đại.
1.5. Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m adic
Cho ( R, m ) là một vành tựa địa phơng. Ta xét R nh một vành tôpô với cơ
sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t , t = 0, 1, 2, ... Chó ý r»ng c¬ së lân cận
của một phần tử tùy ý r R gåm c¸c líp ghÐp r + m t víi t = 0, 1, 2, ... Khi đó
à
vành đầy đủ theo t«p« m – adic cđa R kÝ hiƯu bëi R đợc định nghĩa bằng cách
thông thờng theo ngôn ngữ của d·y Cauchy nh sau: Mét d·y Cauchy trong R lµ

mét dÃy (rn ) các phần tử của R sao cho víi mäi t > 0 , tån t¹i sè tù nhiên n0 để
rn rm m t với mọi m, n > n0 .
DÃy
(rn ) đợc gọi là hội tơ vỊ d·y kh«ng nÕu víi mäi t > 0 tồn tại số tự nhiên n0 để
rn 0 = rn ∈ m t víi mäi n > n0 .
Hai
d·y Cauchy (rn ) và (sn ) đợc gọi là tơng đơng, kí hiệu là (rn ) : ( sn ) nÕu d·y


8

(rn sn ) là dÃy không. Khi đó quan hệ ~ trên tập các dÃy Cauchy là quan hệ tà
ơng đơng. Ta kí hiệu R là tập các lớp tơng đơng của các dÃy Cauchy.
Chú
ý rằng nếu (rn ) và (sn ) là các dÃy Cauchy thì các dÃy (rn + sn ), (rn sn ) cũng là
các dÃy Cauchy và lớp tơng đơng của các dÃy (rn + sn ), (rn sn ) không phụ thuộc
vào việc chọn các đại diện của các lớp tơng


đơng của các dÃy (rn) vµ (sn) tøc lµ (rn ) : (rn′ ) và (sn ) : (sn ) thì (rn + sn ) : (rn′ + sn )
µ
′
vµ (rn sn ) : ( rn sn ). Vì thế trang bị phép toán hai ngôi + và . trên R, khi đó cùng
à
với hai phép toán này R lập thành một vành. Mỗi phần tử r R có thể đồng
nhất với lớp tơng đơng của dÃy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dÃy đều là r.
Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành
à
RR
r a ( r)

trong đó ( r ) là dÃy mà tất cả các phần tử của nó đều là r.
Do
à
à
đó có thể xem R lµ vµnh con cđa vµnh R. Khi R = R thì ta nói R là vành đầy
đủ theo tôpô m adic ( gọi tắt là vành đầy đủ ).
Định
t
nghĩa này tơng tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là { m M} . Khi

à
à
đó M là một R - môđun với phép nhân vô hớng nh sau:
à
à
à
với a = (a1 , a2 ,...) ∈ R, x = ( x1 , x 2 ,...) ∈ M, ta cã ax = ( a1 x1 , a2 x2 ,...) M.
1.6. Chiều Krull của môđun


9

1.6.1. Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán. Một dÃy giảm các iđêan nguyên
tố của R: P0 P1 P2 ... Pn đợc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.
(i) Cho P Spec R. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với
P0 = P đợc gọi là độ cao của P, kí hiệu là ht ( P). Nghĩa là
ht ( P) = sup { độ cao xích nguyên tố với P0 = P} .
Cho I là một iđêan của R khi đó ta định nghĩa
ht ( I ) = inf { ht ( P) P ∈ Spec R , P ⊇ I } .
(ii) CËn trªn của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R đợc gọi là

chiều Krull của vành R, kÝ hiƯu lµ dim R. Ta cã
dim R = sup { ht ( P ) P ∈ spec R} .
(iii) Cho M là một R- môđun. Khi đó dim ( R / AnnR M ) đợc gọi là chiều Krull
của môđun M, kí hiệu là dimR M (hoặc dim M nếu ta không để ý đến vành R).
Nh vậy, dim R có thể vô hạn do ht ( P) có thể vô hạn và dim M dim R. Chú
à
ý rằng dim M = dim M.
1.6.2. Định lý. Cho R là vành Noether và M là R môđun hữu hạn sinh. Khi
đó các mệnh đề sau tơng đơng:
(i) M là R môđun có độ dài hữu hạn;
(ii) R / AnnR M lµ vµnh Artin;
(iii) dim M = 0.
1.6.3. §Þnh lý. Cho 0 → M ′ → M → M 0 là một dÃy khớp ngắn các R môđun. Khi đó:
dim M = max { dim M ′, dim M ′′} .
1.7. ChiÒu Noether


10

Cho M là R môđun. Chiều Noether của M, ký hiệu bởi N dim M,
đợc định nghĩa nh sau: Khi M = 0 ta đặt N dim M = − 1 . Cho mét sè nguyªn
d ≥ 0 ta đặt N dim M = d nếu N − dim M < d lµ sai vµ víi mỗi dÃy tăng các
môđun con

M0 M1 M2 ... của M, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho

N − dim ( Mn + 1 / Mn ) < d víi mäi n > n0.
Nh
vËy N − dim M = 0 khi vµ chØ khi M ≠ 0 vµ M lµ Noether.
1.8. HƯ tham sè

Cho R lµ vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan tối đại duy nhất
m, M là một R - môđun hữu hạn sinh cã chiÒu Krull dim M = d > 0.
(i) Mét hƯ gåm d phÇn tư x : = (x1 ,..., x d ) của m đợc gọi là một hƯ tham sè cđa
M nÕu l R ( M /(x1 ,..., x d ) M) < ∞. ( l (∗) là kí hiệu độ dài của R - môđun).
(ii) Nếu x : = (x1 ,..., x d ) lµ mét hệ tham số của M thì hệ các phần tử (x1 ,..., xi ) đợc gọi là một phần của hệ tham số với mọi i = 1,2,..., d.
(iii) Iđêan q đợc sinh bởi một hệ tham số x : = (x1 ,..., x d ) đợc gọi là iđêan tham
sè cđa M víi q = (x1 ,..., x d ) R.
Ta cã mét sè tÝnh chÊt sau cđa hƯ tham số.
(i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của R - môđun M cũng là một hệ tham sè
cña M.
(ii) NÕu x : = ( x1 ,..., x d ) là một hệ tham số của M thì víi mäi i = 1,2,..., d ta cã
dim ( M /( x1 ,..., xi ) M ) = d − i.
(iii) xi + 1 ∉℘ víi ℘∈ Ass ( M /( x1 ,..., xi ) M ) tháa m·n dim R /℘ = d − i víi
∀ i = 1,..., d.


11

(iv) NÕu x : = ( x1 ,..., xd ) lµ mét hƯ tham sè cđa M vµ n : = (n1 ,..., nd ) là bộ gồm d
n
số nguyên dơng thì x ( n): = ( x1n1 ,..., x d d ) cịng lµ mét hƯ tham sè cđa M.

(v) NÕu x : = ( x1 ,..., x d ) là một hệ tham số của M thì x cũng là hệ tham số của
à
à
M trong đó M là bao đầy đủ m adic của M.
1.9. Phân tích nguyên sơ
1.9.1. Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán và M là một R - môđun.
(i) Môđun con N M của M đợc gọi là nguyên sơ nếu tồn tại một iđêan
nguyên tố p của R sao cho Ass ( M / N ) = { p} . Khi đó ta cũng nói N là p

nguyên sơ.
(ii) Cho N là môđun con của M. Một phân tích nguyên sơ của N là một biểu
diễn N = M1 M2 ... Mn trong đó Mi là các môđun con pi - nguyên sơ
của M. Phân tích trên đợc gọi là thu gọn nếu các pi là đôi một phân biệt và
không có Mi nào thừa.
1.9.2. Chú ý. (i) Nếu M1 và M2 là các môđun con p nguyên sơ của M thì
M1 M2 cũng là môđun con p nguyên sơ của M. Vì thế mọi phân tích
nguyên sơ của môđun con N đều cã thĨ quy vỊ mét ph©n tÝch thu gän.
(ii) Khi M = R và R là vành Noether thì khái niệm iđêan nguyên sơ trùng với
khái niệm môđun con nguyên sơ.
Định
lý sau đây khẳng định sự tồn tại phân tích nguyên sơ của mọi môđun con của
môđun Noether và tập các iđêan nguyên tố liên kết có thể đợc xác định thông
qua một phân tích nguyên sơ thu gọn.
1.9.3. Định lý. Cho M là R môđun Noether và N là môđun con của M. Khi
đó:


12

(i) N có sự phân tích nguyên sơ thu gọn;


(ii) NÕu N = N1 ∩ N2 ∩ ... ∩ Nn vµ N = N1′ ∩ N2 ∩ ... ∩ Nn là hai phân tích
nguyên sơ thu gọn của N trong đó Ni là pi - nguyên sơ, i = 1, 2,..., n và Ni là
pi - nguyên sơ, i = 1, 2,..., m thì n = m và

{

{

p1 ,..., pn } = { p1 ,..., pn } . V× thÕ

p1 ,..., pn } không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của N. Hơn nữa

ta có

{

p1 ,..., pn } = Ass ( M / N );

(iii) Cho N = N1 ∩ N2 ∩ ... ∩ Nn trong ®ã Ni là pi - nguyên sơ, i = 1, 2,..., n là
phân tích nguyên sơ thu gọn của N. Nếu pi là phần tử tối tiểu trong tập
Ass ( M / N ) thì môđun con Ni tơng ứng không phụ thuộc vào sự phân tích
nguyên sơ thu gọn của N.
1.10. Biểu diễn thứ cấp

Trong mục này ta nhắc lại khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ của I. G.
Macdonal. Khái niệm này có thể xem là đối ngẫu với khái niệm phân tích
nguyên sơ.
1.10.1. Định nghĩa. (i) R - môđun M 0 đợc gọi là thứ cÊp nÕu víi mäi
r ∈ R, phÐp nh©n bëi r trên M là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong hợp này
Rad ( AnnR M) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn p vµ ta gäi M lµ p - thø cÊp.
(ii) Cho M là R - môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một sự phân tích
M = M1 + M2 + ... + Mn thành tổng hữu hạn các môđun con pi - thứ cấp Mi . Nếu
M = 0 hc M cã mét biĨu diƠn thø cÊp thì ta nói M là biểu diễn đợc. Biểu
diễn thứ cấp này đợc gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một phân
biệt và không có hạng tử Mi nào thừa.

13

1.10.2. Nhận xét. (i) Khái niệm môđun con nguyên sơ theo một nghĩa nào đó
đối ngẫu với khái niệm môđun con thứ cấp.
(ii) Nếu M1 và M2 là các môđun con p – thø cÊp cđa M th× M1 + M2 cũng là
môđun con p thứ cấp của M. Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của M đều cã thĨ
quy vỊ mét biĨu diƠn tèi tiĨu.
1.10.3. MƯnh ®Ị. Cho M = M1 + M2 + ... + Mn, trong đó Mi là pi - thứ cấp,
i = 1, 2,..., n lµ mét biĨu diƠn thø cÊp tèi tiĨu của R môđun M. Khi đó tập

{ p1 , p2 ,..., pn } là độc lập với việc chọn biĨu diƠn thø cÊp tèi tiĨu cđa M.
TËp

{ p1 , p2 ,..., pn } xác định nh trên đợc gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của
M và kí hiệu bởi Att R M. Các hạng tử Mi , i = 1, 2,..., n đợc gọi là thành phần
thứ cấp cô lập. Chú ý rằng các thành phần thứ cấp tối tiểu của M không phụ
thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M.
1.10.4. Định lý. Cho M là R môđun Artin. Khi đó M có biểu diễn thứ cấp
tối tiểu.
1.10.5. Bổ đề. Tập các phần tư tèi tiĨu cđa Att R M chÝnh lµ tËp các iđêan
nguyên tố tối tiểu chứa AnnR M . Đặc biƯt Rad ( AnnR M) =

{

I

p.

p ∈ AttR M

}

ˆ
ˆ
1.10.6. Bỉ ®Ò. Att R M = p ∩ R: p ∈ Att R M .
à
1.11. Môđun đối đồng điều địa phơng
1.11.1. Định nghĩa. Giả thiết R là vành Noether địa phơng, m là iđêan tối đại
duy nhất của R và M là R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d.
(i) Đối đồng điều địa phơng lần đầu tiên đợc định nghĩa bởi A.Grothendick.
Cho I là một iđêan của R. Với mỗi R môđun M, đặt


14

Γ I ( M): =

U (0:

n∈ N

M

{

}

I n ) = x ∈ M ∃ n ∈ N, xI n = 0 .

Ta có I ( M) là một môđun con của M. Với mỗi R đồng cấu f : M → N, ta
cã f (Γ I ( M )) I (N ). Do đó tồn tại
I ( f ): Γ I ( M ) → Γ I ( N )
x

a Γ I ( f )( x ) = f ( x ), ∀ x ∈ I ( M ) .

Khi đó I là một hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các R
môđun vào phạm trù các R môđun. I đợc gọi là hàm tử xoắn.
Với
mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của I đợc kí hiệu là H Ii và đợc
gọi là hàm tử đối đồng điều địa phơng thứ i với giá là I.
Với
mỗi R - môđun M, ta kí hiệu H Ii ( M ) là ảnh của môđun M qua tác động bởi
hàm tử H Ii . Khi đó, H Ii ( M ) đợc gọi là môđun đối đồng điều địa phơng thứ i
của môđun M với giá là I.
d
(ii) Ngời ta gọi Hm ( M ) (với dim M = d ) là môđun đối đồng điều địa phơng

cấp cao nhất của môđun M.
i
1.11.2. Mệnh đề. (i) Hm ( M ) là môđun Artin víi mäi i ≥ 0.

(ii) H Idim M ( M) là môđun Artin với mọi iđêan I của R.
i
(iii) Hm ( M ) = 0 víi mäi i > dim M hc i < depth M. Víi

{
dim M = max { i : H

}
( M ) ≠ 0} .

i
depth M = min i : Hm ( M ) ≠ 0 ;
i
m

dim
dim
Đặc biệt, Hm M ( M) 0 và Hm M ( M ) là môđun Artin.


15

Sau đây là một số tính chất quan trọng về tập các iđêan nguyên tố gắn kết
d
và chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất Hm ( M ).
d
1.11.3. Bỉ ®Ị. Att R Hm (M) = { p ∈ AssR M dimR / p = d} . Đặc biệt,
d
dim Hm (M) = d.
d
d
1.11.4. Bổ đề. N − dim Hm ( M ) = dim Hm ( M ) = d.

1.12. §èi ngÉu Matlis
1.12.1. §èi ngÉu Matlis. KÝ hiƯu E ( R / m) lµ bao néi xạ của trờng thặng d R / m
của R. Xét hµm tư D ( −) = HomR (−, E ( R / m)) từ phạm trù các R môđun đến

chính nó. Vì E ( R / m) là môđun nội xạ nên D ( ) là hàm tử khớp. Ta gọi D ( )
à
à
là đối ngẫu Matlis. Giả sử L là R môđun, kí hiệu L là R môđun đầy đủ
của L theo tôpô m adic.
1.12.2. Bổ đề. Các phát biểu sau là đúng
(i) AnnR L = AnnR D ( L ). Đặc biệt, L 0 khi vµ chØ khi D ( L ) ≠ 0.
(ii) Nếu L có độ dài hữu hạn thì D ( L ) L. Trong trờng hợp này ta cã
l ( L ) = l ( D( L )).
(iii) Nếu L hữu hạn sinh thì D ( L ) là R- môđun Artin. Tuy nhiên, khi L là
Artin thì D ( L ) không nhất thiết là R- môđun hữu hạn sinh.
à
(iv) Nếu L hữu hạn sinh thì D ( L ) L. L là Artin thì D ( D ( L )) ≅ L.
(v) Gi¶ sư R đầy đủ theo tôpô m adic. Khi đó, D ( L ) là R- môđun hữu hạn
sinh nếu L là Artin.
1.13. Đồng cấu phẳng
Giả sử f : R S là đồng cấu vành. Khi đó mỗi S - môđun L đều có cấu
trúc là R - môđun, trong đó phép cộng đà có sẵn trong L và tích víi v« híng cđa


16

phÇn tư r ∈ R víi phÇn tư m ∈ L đợc cho bởi tích f (r ) m. Cấu trúc R - môđun
L xác định nh thế đợc gọi là cấu trúc R - môđun xác định bởi f .
Một đồng cấu f : R S đợc gọi là đồng cấu phẳng nếu S xét nh R môđun xác định bởi f là R - môđun phẳng, tức là với mỗi dÃy khớp
0 L L L 0
các R - môđun, dÃy cảm sinh 0 → L′ ⊗ S → L ⊗ S → L S 0 là khớp.
Một đồng cấu f : R S đợc gọi là đồng cấu hoàn toàn phẳng nếu S xét
nh R - môđun xác định bởi f là R - môđun hoàn toàn phẳng, tức là với mỗi dÃy
0 L L L 0

các R - môđun là khớp nếu và chỉ nếu dÃy cảm sinh
0 L S → L ⊗ S → L ′′ ⊗ S → 0 là khớp.
1.13.1. Bổ đề. Các phát biểu sau là ®óng:
(i) NÕu f : R → S lµ ®ång cÊu hoàn toàn phẳng thì ánh xạ cảm sinh
f * : Spec S → Spec R cho bëi f * (p) = p ∩ R : = f − 1 ( p ) là toàn ánh;
(ii) Nếu f : R S là đồng cấu phẳng hoàn toàn và L là R- môđun khác 0 thì
L R S là S - môđun khác 0.
Cho f : R S là đồng cấu giữa các vành Noether. Ta nói rằng f thỏa
mÃn Định lí đi xuống (going-down theorem) nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố
q p của R với q p và mỗi iđêan nguyên tố P của S sao cho f − 1 ( P ) = p đều
tồn tại iđêan nguyên tố Q của S sao cho Q ⊂ P vµ f − 1 (Q) = q.
1.13.2. Bổ đề. Cho (R, m) và (S, n) là các vành Noether địa phơng. Nếu
f : R S là đồng cấu phẳng địa phơng (tức là f (m) n ) thì f thỏa mÃn
Định lí đi xuống.


17

Chơng 2
Tính Catenary của giá không trộn lẫn
Mục đích của chơng này là trình bày một đặc trng về tính catenary của giá
không trộn lẫn của một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phơng và
trình bày chứng minh tính chất đó. Trong chơng này ta luôn giả thiết ( R, m) là
vành Noether địa phơng và M là R - môđun hữu hạn sinh với dim M = d.

2.1. Vành catenary
2.1.1. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán, Noether. R đợc gọi là vành
catenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q p của R luôn tồn tại một dÃy
nguyên tố bÃo hòa giữa q và p và mọi dÃy nguyên tố bÃo hòa giữa q và p đều có
cùng độ dài.

2.1.2. Chú ý. (i) Khi R là vành Noether địa phơng thì dim R < . Vì thế luôn
tồn tại một dÃy nguyên tố bÃo hòa giữa q và p với mọi cặp iđêan nguyên tố
q p của R. Trong trờng hợp này, R là vành catenary nếu và chỉ nếu mọi dÃy
nguyên tố bÃo hòa giữa hai iđêan nguyên tố q p đều có cùng độ dài. Rõ ràng
nếu dimR 2 thì R là catenary.
(ii) Vành thơng của vành catenary cũng là vành catenary. Thật vậy, giả sử R là
vành catenary và I là iđêan của R. Khi đó, mỗi dÃy iđêan nguyên tố bÃo hòa
giữa hai iđêan nguyên tố q ⊂ p cđa R / I t¬ng øng víi một dÃy iđêan nguyên tố
bÃo hòa giữa hai iđêan nguyên tè q ⊂ p cđa R chøa I, trong ®ã q và p là ảnh
của q và p trong R / I. Vì thế R / I là catenary.


18

Có hai lớp vành catenary quan trọng đợc biết đến đầu tiên. Lớp vành thứ
nhất đợc chỉ ra bởi W. Krull trong một bài báo của ông năm 1937. Trong bài
báo này ông đà chỉ ra rằng nếu K là một trờng thì mọi K - đại số hữu hạn sinh
đều là vành catenary. Bài báo đợc công bố vào năm 1946 của Cohen đà chỉ ra
lớp vành catenary tiếp theo là vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m - adic. Hầu
hết các vành đợc biết đến trong những áp dụng của toán học đều là catenary.
Năm 1956, Nagata đà phát hiện ra một lớp vành catenary nữa, đó là những miền
nguyên địa phơng tựa không trộn lẫn đồng thời ông cũng xây dựng một lớp
những miền nguyên không catenary.
2.1.3. Định nghĩa. Giả sử ( R, m) là vành Noether địa phơng.
(i) Vành R đợc gọi là đẳng chiều nÕu dim ( R / p) = dim R víi mọi iđêan nguyên
tố liên kết tối tiểu p Ass R.
(ii) Vành R đợc gọi là tựa không trộn lẫn nếu vành đầy đủ theo tô pô m adic
à
R của R là đẳng chiều.

2.1.4. Mệnh đề. (i) Nếu ( R , m) là miền nguyên địa phơng Noether tựa không
trộn lẫn thì R là catenary.
(ii) Tồn tại những miền nguyên địa phơng Noether không catenary.
Từ
định nghĩa vành catenary, nếu R là miền nguyên địa phơng catenary thì nó thỏa
mÃn c«ng thøc chiỊu ht p + dim R / p = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R.
Vì thế năm 1954, I. S. Cohen đà hỏi rằng liệu một miền nguyên địa phơng R
thỏa mÃn công thức chiỊu
ht p + dim R / p = dim R
víi mọi iđêan nguyên tố p của R luôn là miền catenary? Vào năm 1972, R. J.
Ratliff đà trả lời đợc câu hỏi trên.
2.1.5. Mệnh đề. Một miền nguyên Noether địa phơng R là catenary khi và
chỉ khi với mỗi iđêan nguyªn tè p cđa R ta cã


19

ht p + dim R / p = dim R .
Giả
sử R là vành địa phơng Noether với tính chất dim R / p = dim R với mọi iđêan
nguyên tè tèi tiĨu p ∈ Ass R. Ta ®· biÕt R là catenary nếu nó thỏa mÃn công
thức chiều ht p + dim R / p = dim R víi mọi iđêan nguyên tố p của R. Năm
1974, R. J. Ratliff đà chứng minh điều ngợc lại, kết quả này mở rộng Mệnh đề
2.1.5 cho tất cả các vành địa phơng.
2.1.6. Mệnh đề. Giả sử R là vành địa phơng Noether víi tÝnh chÊt
dim ( R / q) = dim R với mọi iđêan nguyên tố tối tiểu q Ass R. Khi đó R là
catenary nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có
ht p + dim R / p = dim R .
2.2. Giá không trộn lẫn
2.2.1. Bổ đề. Môđun con lớn nhất cđa M cã chiỊu nhá h¬n dim M = d luôn

tồn tại và duy nhất.
Chứng minh. Gọi là tập các môđun con của M có chiều nhỏ hơn d. Khi đó
môđun con 0 thuộc tập , tức là . Do M là môđun hữu hạn sinh trên vành
Noether nên M là môđun Noether, vì thế có phần tử tối đại. Gọi N là phần tử
tối đại của . Với mỗi môđun N ta cã
dim (N + N ′) = max { dim N, dim N ′} ≤ d.
V× thÕ N + N ′∈ Γ. Do N ⊆ N + N ′ vµ do tính tối đại của N nên N = N + N ′, tøc
lµ N ′ ⊆ N. VËy N lµ môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d.

W
Kí

hiệu U M (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Bổ đề sau cho
thấy có thể xác định môđun U M (0) thông qua một phân tích nguyên sơ thu gọn


20

của môđun con 0 của M.

2.2.2. Bổ đề. Giả sử 0 =

I

p Ass M

N (p ) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của

môđun con 0 của M, trong đó N (p) là p - nguyên sơ. Khi ®ã
U M (0) =

I

N ( p).

p ∈ Ass M , dim R/ p = d

2.2.3. Bỉ ®Ị. Ass ( M /U M (0)) = { p ∈ Ass M dim R / p = d} .
Chøng minh. Tríc hÕt ta chøng minh
Ass ( M /U M (0)) ⊇ { p ∈ Ass M dim R / p = d} .
LÊy p ∈ Ass M víi dim M = d vµ dim R / p = d. Víi mäi q ∈ AssU M (0) vì
dim U M (0) < d nên dim R / q < d. Do ®ã, p ∉ AssU M (0) (v× dim R / p = d ). Do
dim U M (0) < d = dim M nªn tõ d·y khíp
0 → U M ( 0) → M → M / U M ( 0) → 0,
theo Bỉ ®Ị 1.3.3, ta cã Ass M ⊆ AssU M (0) ∪ Ass ( M /U M (0)). V× p Ass M
và p AssU M (0) nên suy ra p ∈ Ass ( M /U M (0)). VËy
Ass ( M /U M (0)) ⊇ { p ∈ Ass M dim R / p = d} (1).
Ta chøng minh chiều ngợc lại
Ass ( M /U M (0)) { p ∈ Ass M dim R / p = d} .
ThËt vËy, cho p ∈ Ass ( M /U M (0)). Khi ®ã p = AnnR (m ), trong ®ã,
m = m + U M (0) ∈ M /U M (0).
V× p = AnnR (m) = { a ∈ R am = 0} = { a ∈ R a m + U M (0) = 0} vµ p ≠ R nªn


21

m U M (0). Vì tất cả các môđun con của M có chiều nhỏ hơn d đều chứa trong
U M (0) mµ m ∉ U M (0) vµ Rm là môđun con của M nên dim Rm = d . Suy ra
dim ( Rm + U M (0)) = d. Còng tõ dim U M (0) < d = dim M, ta cã d·y khíp
0 → U M (0) → M → M /U M (0) → 0,

theo §Þnh lý 1.6.3, ta cã
d = dim M = max { dimU M (0), dim M /U M (0)} .
V× thÕ suy ra
d = dim ( Rm + U M (0)) = max { dimU M (0), dim ( Rm )} .
Do dim U M (0) < d nªn dim ( Rm) = d. Mặt khác p = AnnR (m) nªn
dim R / p = dim ( Rm) = d.
HiĨn nhiªn ta cã AnnR m ⊆ AnnR m = p. Do ®ã
d = dim R / p ≤ dim ( Rm ) = d.
Suy ra dim R / p = dim (Rm ) = d, vì thế p là iđêan tèi tiĨu cđa AnnR ( Rm). Do ®ã
p ∈ Ass ( Rm ) ⊆ Ass M . Suy ra
Ass ( M /U M (0)) ⊆ { p ∈ Ass M dim R / p = d} (2).
Tõ (1) vµ (2) ta có điều phải chứng minh
Ass ( M /U M (0)) = { p ∈ Ass M dim R / p = d} .

W
Từ

bổ đề này, ta thấy các iđêan nguyên tố liên kết của M /U M (0) đều có chiều nh
nhau. Điều này đa đến khái niệm sau.
2.2.4. §Þnh nghÜa. TËp Supp ( M / U M (0)) đợc gọi là giá không trộn lẫn của
môđun M và ®ỵc ký hiƯu bëi Usupp M .
Nh
vËy Usupp M = Supp ( M / U M (0)).


22

Từ
Bổ đề 2.2.3, ta có ngay hệ quả sau.
2.2.5. Hệ qu¶. Supp ( M / U M (0)) =

U

V ( p ).

p ∈ Ass M , dim R / p = d

2.2.6. Bỉ ®Ị. Cho p ∈ Supp M . Khi đó p Usupp M nếu và chỉ nếu
d
d
p AnnR Hm ( M). Đặc biệt Usupp M = V ( AnnR Hm ( M )).

Chøng minh. Theo Bæ ®Ò 1.11.3, ta cã
d
Att R Hm ( M) = { p ∈ AssR M dim R / p = d} .
d
Theo Bổ đề 1.10.5, tập các iđêan nguyên tố tối tiểu chứa AnnR Hm ( M) chính là
d
tập các phần tư tèi tiĨu cđa tËp Att R Hm (M). V× thÕ theo HƯ qu¶ 2.2.5, ta cã
d
V ( AnnR Hm (M)) =

U

V ( p) = Usupp M.

W

p ∈ Ass M, dim R / p = d

à
Mệnh đề sau chỉ ra mối quan hệ giữa Usupp M và Usupp M.

{

}

à


2.2.7. Mệnh ®Ò. Usupp M ⊇ p ∩ R: p ∈ Usupp R M .
à
à


Chứng minh. Cho p Usupp ả . Khi ®ã p ⊇ q víi q ∈ AssR M nào đó thỏa

M
à

{

}

à
à


mÃn điều kiện dim R / q = d. V× AssR M = p ∩ R : p Ass M nên suy ra
à

q R Ass M. Hơn nữa, do d dim ( R /( q ∩ R )) ≥ dim R / q = d nªn ta cã
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
dim ( R /(q ∩ R )) = d. V× p ∩ R ⊇ q R nên từ định nghĩa của giá không trén
ˆ
lÉn ta suy ra p ∩ R ∈ Usupp M. VËy

{

}

µ
ˆ
ˆ
Usupp M ⊇ p ∩ R : p ∈ UsuppR M .
à

W
Định

lý sau đây cho một điều kiện cần và đủ để dấu = trong mệnh đề trên xảy ra.


23

{

}

à


2.2.8. Định lý. Usupp M = p R : p ∈ UsuppR M khi vµ chØ khi
µ
d
AnnR (0 : H d ( M ) p ) = p víi mọi iđêan nguyên tố p AnnR H m (M ).
m

Chứng minh. Trớc hết ta có khẳng định sau.

{

}



V (AnnR A) = p ∩ R : p ∈ V ( AnnR A) khi vµ chØ khi AnnR (0 : A p ) = p với
à
mọi iđêan nguyên tố p AnnR A, trong đó A là R - môđun Artin.
Thật vËy, gi¶ sư AnnR (0 : A p ) = p với mọi iđêan nguyên tố p AnnR A, trong
đó A là R - môđun Artin, ta chứng minh

{

}

V (AnnR A) = p ∩ R : p ∈ V (AnnR A) .
à


Cho pV(AnnR A). Khi đó tồn tại một iđêan nguyên tố tối tiểu q chứa AnnR A
à
à

sao cho p q. Theo Bổ đề 1.10.5, mỗi iđêan nguyên tố tối tiểu chứa AnnR A
à

à
đều là một iđêan nguyên tố gắn kết của R - môđun Artin A, do đó q Att R A.
à
Theo Bổ đề 1.10.6, ta cã

{

}

ˆ
ˆ
Att R A = p ∩ R : p AttR A .
à


Vì thế q R Att R A. Suy ra q ∩ R ∈ V(AnnR A) và vì thế ta suy ra

p R V(AnnR A). Do ®ã

{

}

ˆ
ˆ
V (AnnR A) ⊇ p ∩ R : p ∈ V (AnnR A) .
µ
Cho p ∈ V (AnnR A). Vì AnnR (0 : A p) = p nên rõ ràng mọi iđêan nguyên tố
chứa AnnR (0 : A p) đều phải chứa p, do đó p là iđêan nguyªn tè nhá nhÊt chøa
AnnR (0 : A p). Theo Bỉ ®Ị 1.10.5, ta suy ra p ∈ Att R (0: A p). Tõ

{

}

ˆ
ˆ
Att R (0: A p) = p ∩ R : p ∈ Att R (0: A p )
à



nên tồn tại iđêan nguyên tố p Att R (0: A p ) sao cho p ∩ R = p. Vì
à


24

ˆ
ˆ
ˆ
p ∈ Att R (0: A p ) nªn p ⊇ AnnR (0 : A p). V× thÕ p ∈ V (AnnR A) vµ p ∩ R = p, tøc
ˆ
µ
µ
µ
lµ

{

}

ˆ
ˆ
V (AnnR A) ⊆ p ∩ R : p ∈ V (AnnR A) .
µ

{

}

ˆ
ˆ
VËy V (AnnR A) = p ∩ R : p V ( AnnR A) .
à

{

}



Ngợc lại, từ V (AnnR A) = p ∩ R : p ∈ V (AnnR A) ta cần chứng minh
à

AnnR (0 : A p ) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A.

{

}

ˆ
ˆ
Cho p ∈ V (AnnR A). Do V ( AnnR A) = p ∩ R : p ∈ V (AnnR A) nên suy ra tồn
à


tại iđêan nguyên tố p ∈ V (AnnR A) sao cho p ∩ R = p. Theo tính chất của đối
à
à

d
à
ngẫu Matlis ta suy ra AnnR (0 : Hm (M) p) = p. Lại có pR p nên ta có


à

p Ann (0 : A p) = Ann (0 : A pR ) ⊆ AnnR (0 : A p ) ∩ R = p ∩ R = p .
µ
Suy ra Ann (0 : A p) = p. Khẳng định đợc chứngminh.

W

Từ tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết của M / U M (0) và tập các
d
iđêan nguyên tố g¾n kÕt cđa H m (M ) ta cã
d
V (AnnR Hm ( M)) =

d
V (AnnR Hm ( M )) =
µ

U

V (p ) = Usupp M.

p ∈ Ass M , dim R / p = d

U

µ
µ ˆ
ˆ
p ∈ Ass M , dim ( R / p ) = d

{

µ
ˆ
V (p ) = Usupp R M.
à

}

à


Vì thế Usupp M = p R : p UsuppR M tơng đơng với điều kiƯn
µ

{

}

d
d
ˆ
ˆ
V (Ann Hm ( M )) = p ∩ R : p ∈ V( AnnR H m ( M ) .
µ


25
d
Do Hm ( M) là môđun Artin nên theo khẳng định trong phần đầu của chứng

d
minh này, đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi AnnR (0: Hm ( M ) p) = p với mọi

d
iđêan nguyên tố p AnnR Hm ( M).

W

2.3. Tính catenary của giá không trộn lẫn
2.3.1. Định nghĩa. Ta nói rằng Supp M là catenary nếu với mỗi cặp iđêan
nguyên tố p, q Supp M với p q luôn tồn tại một dÃy nguyên tố bÃo hòa
xuất phát từ p và kết thúc tại q và tất cả các dÃy nguyên tố bÃo hòa nh thế đều
có chung độ dài.
2.3.2. Nhận xét. Từ định nghĩa về tính catenary của Supp M ta thÊy r»ng
Supp M lµ catenary khi vµ chØ khi vµnh R / Ann M là catenary. Do đó theo kết
quả cđa R. J. Ratliff, ta cã Supp M lµ catenary và dim R / p = d với mọi iđêan
nguyên tè p∈ Ass M khi vµ chØ khi dim R / p + dim M p = d víi mäi p∈Supp M.
Sư dơng nhËn xÐt vỊ tÝnh chÊt catenary ë trên áp dụng cho giá không trộn
lẫn Usupp M = Supp ( M / U M (0)) víi chó ý rằng dim R / p = d với mọi iđêan
nguyên tè p ∈ Ass M / U M (0), ta có mệnh đề sau.
2.3.3. Mệnh đề. Giá không trộn lẫn Usupp M cđa M lµ catenary nÕu vµ chØ

nÕu dim R / p + dim M p = d víi mọi p Usupp M.
Trớc
khi trình bày một kết quả chính trong bài báo [4] của N. T. Cờng, N. T. Dung và
L. T. Nhàn ta cần các bổ đề sau.
2.3.4. Bổ đề. Giả thiết rằng R là đầy đủ theo tôpô m adic. Cho M là một R
-môđun hữu hạn sinh thỏa mÃn tính chất dim R / p = d víi mäi p ∈ Ass M.