Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 2021 trường THPT Minh Châu tỉnh Hưng Yên

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

TỔ TỰ NHIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Mơn: TỐN - Lớp 11

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm)

a) Giải phương trình: sin 3x 3 cos3x2sin 2x.

b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos 2x7cosx 3 sin 2



x7sinx



8 trên đoạn



2 ;2

 



Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm số hạng chứa _x3_{trong khai triển}

9

1
.
2
x

x
 _ 

 

 

b) Đề thi THPT mơn Tốn gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1
phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được cộng 0, 2điểm, điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh có năng lực

trung bình đã làm đúng được 25 câu( từ câu 1 đến câu 25), các câu còn lại học sinh đó khơng biết cách giải
nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu cịn lại. Tính xác suất để điểm thi mơn Tốn của học sinh đó lớn
hơn 6 điểm nhưng khơng vượt q 8 điểm( làm trịn đến hàng phần nghìn).

Câu 3:(1 điểm) Tìm tất cả các số thực x để ba số , 2 , 4x  x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Câu 4: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:

a) _I __lim



₁₆n1_₄n _ ₁₆n1_₃n



_b)





2 3

1

2 7 1
lim

2 1

x

x x x

J

x



   





Câu 5: (1,5 điểm)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A,
3

SA a , SB2a. Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho AM 2MD. Gọi

 

P là mặt phẳng qua M và
song song với



SAB



.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD.

b) Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

 

P .
Câu 6: (1,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình

2 2

4 8 17 1

21 1 2 4 3

x x x y y

x y y y x

       




     

 .

b) Cho dãy số

 

u

_n được xác định như sau 1 *
1

4

,

.

9

_n _n

4 4 1 2

_n

u

n

u

_

u

u





_



_

_{ }

_





Tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy số

 

u

_n và tính

lim

u

_n

--- Hết ---

(

Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm

)

Họ và tên thí sinh:...
Số báo danh:……….. Phịng thi số:………

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Câu 1:

a) Giải phương trình sau sin 3x 3 cos 3x2sin 2x.

Ta có : sin 3 3 cos 3 2sin 2 1sin 3 3cos 3 sin 2

2 2

x x x x x x (0.25)

3 2 2

3
sin 3 sin 2

3

3 2 2

3

x x k

x x

x x k

 _



  

   


 

 _  _  

  _{    }







2
3

2 2

15 5

x k

k
k
x

 _

 

   


 

  




(0.5)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 2 ; 2 2

3 15 5

k

S  _



k









k _

 . (0.25)

b) Ta có:

cos 2x7 cosx 3 sin 2



x7 sinx



 8 cos 2x 3 sin 2x7 cos



x 3 sinx



 8 0

_{cos 2} _{7 sin} _{4 0} _2sin2 _{7 sin} _{3 0}

3 6 6 6

x  x  x  x 

       

 _  _ _  _    _  _ _  _ 

        (0.25)

1
sin

6 2

sin 3( )

6
x

x VN




  _ _

 

 _ _




  _ _
 _ _


(0.25)

Ta có:

2
2

1 6 6

sin ₂

5

6 2 2

2 ₃

6 6

x k

x k

x

x k

x k

  _ _





  _ 

 _{  } _ _



 _ _{ }_ __

  _{ } _

  _{  } _




(0.25)

Vì



2 ; 2



2 ; 4 ;0;2 ; 2

3 3

x      x _     _

 . (0.25)
Câu 2:

Câu 030. Tìm số hạng chứa _x3_{trong khai triển}

9

1

.
2
x

x
 _ 

 

 

B1.X.T0

Lời giải

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

9 ₉

9
9
0
9

9 2
9

0

1 1

. . 0.25

2 2

1

. . . 0.25
2

k

k k

k

k

k k

k

x C x

x x

C x







 _  _  

   

   

 

 _{ }

 





Hệ số của _x3_{ứng với}_{9 2}_ _k_{  }₃ _k _{3 0.25}

Vậy số hạng cần tìm 3 3
9

1 _.

8C x 0.25
b) Gọi x là số câu học sinh đó trả lời đúng trong 25 câu cịn lại.

Số điểm học sinh đó đạt được là 5 0,2 x. (0.25)

TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

TỔ TỰ NHIÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2020 - 2021

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Theo yêu cầu đề bài 6 5 0,2  x   8 5 x 15,x_.

Như vậy, để điểm của học sinh đó lớn hơn 6 điểm nhưng không vượt quá 8 điểm thì học sinh đó phải trả lời
đúng từ 6 đến 15 câu và làm sai các câu còn lại.

Xác suất trả lời đúng 1 câu là 0,25; xác suất trả lời sai 1 câu là 0,75.

Xác suất trong mỗi trường hợp là _C₂₅x



0.25 . 0.75

 

x



25x_với_x_

 và 6 x 15 (0.25)
Suy ra xác suất cần tính là 15 ₂₅



 



25

6

0.25 . 0.75x x 0,622
x

x

C 







. (0.25)

0,622 (0.25)
Câu 3:

Ta có

 

₂ 2 _.4 ₄ 2 ₄ ₀ 0

1
x

x x x x

x




   _{  }



 . (0.25)

Với x0 ta có 0; 0; 4_{ } không là cấp số nhân. (0.25)
Với x1 ta có 1; 2; 4_{ } là cấp số nhân có cơng bội q2. (0.25)

Vậy x1. (0.25)

Câu 4:

a) Ta có _T __lim



₁₆n1_₄n _ ₁₆n1_₃n



1 1

4 3
lim

16 4 16 3

n n

n n n n

  

 _ _

  

  (0.5)

3
1

4
lim

1 3

16 16

4 16

n

n n

 _{ } 

 _{  } 

   

 _ _

   

 _ _ _ 

   

 _{ } _ _ 

 

1
8

 . (0.5)

b) Lời giải
Ta có









2 3 2 3

1 1

2 7 1 2 2 2 7 1

lim lim

2 1 2 1

x x

x x x x x x

x x

 

    _      

  (0.25)









2 3

1 1

2 2 2 7 1

lim lim

2 1 2 1

x x

x x x

I J

x x

 

    

   

  .

Tính





_

_





2 2

1 1 2

2 2 2 4

lim lim

2 1 ₂ ₁ _{2 2}

x x

x x x x

I

x _x _x _x

 

     

 

 _ _{  }



















1 2 1 2

1 2 2 3

lim lim

4 2

2 1 2 2 2 2 2

x x

x x x

x x x x x

 

  

  

       . (0.25)

và





_

_

_

_

3

2

1 1 ₃ ₃

2 7 1 8 7 1

lim lim

2 1 ₂ _{1 4 2 7} ₁ ₇ ₁

x x

x x

J

x _x _x _x

 

   

 

 

 _ _ _{ } _

 

 

(0.25)





2

1 ₃ ₃

7 7

lim

12 2

2 4 2 7 1 7 1

x

x x



 

 

 _ _{ } _ 

 

 

.

Do đó





2 3

1

2 7 1 2

lim

12

2 1

x

x x x

I J
x



    _{  }

 (0.25)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a) Ta có : AB//CD nên (SB,CD)=(SB,AB) (0.25)
Do tam giác SAB vuông tại A theo gt nên



SB CD,



SBA (0.25)

Có : sin 3 3

2 2

SA a
SBA

SB a

  
Suy ra:



_{SB CD}_,



_₆₀0 _(0.25)

b)

  



 

//

,
P SAB
M AD M P


 _ _



  



  



P ABCD MN

P SCD PQ

 



  _ _

 và MN PQ AB// // (1)


  



 

//

,
P SAB
M AD M P


 _ _



  



  



P SAD MQ

P SBC NP

 



  _ _

 và

//
//
MQ SA
NP SB





Mà tam giác SAB vuông tại A nên SAAB MN MQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra thiết diện là hình thang vuông tại M và Q. (0.25)
MQ SA// MQ DM DQ

SA DA DS

   1

3

MQ SA

  và 1

3
DQ

DS  .
PQ CD// PQ SQ

CD SD

  2

3

PQ AB

  , với _AB_ _SB2__SA2 __a _(0.25)

Khi đó 1 .





2
MNPQ

S  MQ PQ MN

1 . 2

2 3 3

MNPQ

SA AB

S  AB

  _  _

 

2

5 3

18
MNPQ

a
S

  . (0.25)

6. a)

 

 

2 2

4 8 17 1 1

21 1 2 4 3 2

x x x y y

x y y y x

       




     



Điều kiện: y0, 4y3x0.

  

₁ _ _{x y}_{  }₄



_x2_₈_x_₁₇_ _y2_{ }_{1 0}









2 2

2 2

4

4 0

8 17 1

x y

x y

x x y

 

    

   



4

 

₂ 4



4 ₂



0

8 17 1

x y x y

x y

x x y

   

    

   









2 2

4

4 1 0

8 17 1

x y

x y

x x y

 _{ } 

 

    

 _ _ _ _ 

  (0.25)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(Vì:













2 2

2 2 2 2

4 1 4 1

4

1 0 ,

8 17 1 8 17 1

x x y y

x y

x y

x x y x x y

      
 

   

        ) (0.25)

Thay y x 4 vào (2) ta được:

 

2  x x 4 x25 1 2  x16



x 4 2

 

x 25 5

 

x 8 2 x 16



0

          

1 1 12 ₀

4 2 25 5 8 2 16

x
x

x x x x



 

 _   _

      

 

 

0 4 ( t/m)

1 1 12

0 3

4 2 25 5 8 2 16

x y

x

x x x x

  




_ _ _  _

       



. (0.25)

Do x        4 y 0 x 4 x 8 0 nên (3) vơ nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

   

x y;  0; 4 . (0.25)

Chú ý: Ta có thể giải (1) như sau:

 

₁ _{  }_x ₄



_x_₄



_{  }₁ _y _y2_₁

Xét hàm số _{f t}

 

_{ }_t _t2_₁_có

 

2

2 2

1

1 0,

1 1

t t t

f t t

t t

 

      

  .

Do đó f t

 

đồng biến trên _ nên

 

1  f x



4



 f y

 

  x 4 y.

6. b)
(0.75đ)

Ta có

_0,

*

n

u

  

n

_

và

9

u

_n_₁



u

_n

 

4 4 1 2



u

_n

1

18

u

_n_

2

u

_n

8 8 1 2

u

_n





 











2

1

9 1 2

u

_n_

1 2

u

_n

4











0,25

1

3 1 2

u

_n_

1 2

u

_n

4













1



3 1 2

u

_n_

2

1 2

u

_n

2













0,25

Đặt

_{1 2}

_2,

*

n n

v





u

  

n

_

Ta có

1

*
1

1

,

1

3

n n

v

n

v

_

v







_{ }



_





0,25



dãy số

 

v

_n là một cấp số nhân có cơng bội

1

3

q



, số hạng đầu

v

₁



1.

1

1

3

n

n

v



 



_{  }

 





2

2 2 1

2

1 1

1

4

3 .

2

2 3

3

n

n n n

v

u







_ _









_





_





Kết luận *

2 2 1

1

1

4

3 ,

.

2 3

3

n n n

u





_

_



_





_

 

n







Khi đó

2 2 1

1

1

4

3

lim

lim

3

.

2 3

3

2

n n n

u





_

_



_





_







0,25

</div>

<!--links-->